Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề Bất đẳng thức

ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC I... Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phương pháp sử dụng định nghĩa Để chứng minh ab ta chứng minh ab0.. Chứng minh rằ

ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC

I Một số ghi nhớ

*Định nghĩa: abab0

*ab, bcac

*abacbc

*ab, cdacbd

*ab, c0acbc

*ab, c0acbc

*ab0, cd 0acbd

*ab, cd 0acbd0

*ab0 a n b n nN

*ab a nb n nN,n lẻ

*a1 a n a m nm

*0a1 a n a m nm

*a2n0, aR, nN, dấu = xảy ra khi a=0

*(ab)24ab, a,bR , dấu = xảy ra khi ab(tương ứng)

*a2abb2 0, a,bR, dấu = xảy ra khi ab0

*|a|a, aR , dấu = xảy ra khi a0 hoặc a0 (tương ứng)

*|ab||a||b|, a,bR, dấu = xảy ra khi ab0 hoặc a.b0(tương ứng)

*|ab|||a||b||, a,bR, dấu = xảy ra khi ab0 hoặc a.b0(tương ứng)

*|sinx|1, |cosx|1

* a b a b a b

,

|,

|

|

|

|

|     dấu = xảy ra khi ak b, k0

* a b a b a b

,

|,

|

|

|

|

|     dấu = xảy ra khi ak b, k0

* a b a b a b

,

||,

|

|

||

|

|     dấu = xảy ra khi ak b, k0

* a b a b a b

,

||,

|

|

||

|

|     dấu = xảy ra khi ak b, k0

* Bất đẳng thức Côsi

Cho n số không âm a1,a2, ,a n khi đó ta có n

n

n n a a a a

a

a1 2   1 2 ; dấu "=" xảy ra khi a1a2 a n

* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki

Cho hai dãy số a1,a2, ,a n và b1,b2, ,b n khi đó ta có

)

)(

( )

(a1b1a2b2 a n b n 2 a12a22 a n2 b12b22 b n2 ; dấu "=" xảy ra khi

n

n

b

a b

a b

2 2 1

1

Trường hợp đặc biệt: với mọi số thực x, y, z ta có

2 2

2

2

2

2 2

1 1 ) 1 1

)(









 













dấu "=" xảy ra khi x y

3 3

1 1 1 ) 1 1 1 )(





























dấu "=" xảy ra khi x yz

II Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1.Phương pháp sử dụng định nghĩa

Để chứng minh ab ta chứng minh ab0

Ví dụ 1: Với mọi số thực x, y, z Chứng minh rằng:

a x2 y2z2xy yzzx

b x2 y2z22xy2yz2zx

c x2 y2z232(x yz)

d x4y4z4xyz(xyz)

Hướng dẫn giải:

Ta xét hiệu

a

, , 0

] ) ( ) ( ) [(

2

1

) 2 2 2 2 2 2 ( 2 1

2 2

2

2 2 2 2

2 2

R z y x x

z z y y x

zx yz xy z

y x zx

yz xy z y

x









































Dấu “=” xảy ra khi x y z

b.Ta xét hiệu

R z y x z

y x zx yz xy z

y

Dấu “=” xảy ra khi x yz

c.Ta xét hiệu

R z y x z

y x

z y x z

y

x2 2 232(   )( 1)2( 1)2( 1)2  , , 

Dấu “=” xảy ra khi x y z 1

d.Ta xét hiệu

0 ] ) (

) (

) [(

2

1 ) (

) (

) (

2

1

2 2

2 2 2 2

2

1

) (

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 4 4 4

2 2

2 4 4 4 4

4 4













































x z z

y y

x xy

z xz y yz

x

xyz z

xy yz x z y x

xyz z xy yz x z y x z y x xyz z

y

x

với mọi số thực x, y, z Dấu “=” xảy ra khi x yz

Ví dụ 2: Với mọi số thực a, b, c, d Chứng minh rằng:

) 1 (

1 2 2 2

2b c d  a bcd

Hướng dẫn giải:

Ta xét hiệu

0 ] ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )

2

[(

4

1

)] 1 (

4 4 4 4 4 4 [ 4

1 ) 1 (

1

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2

2

2





















































a d

a c a b

a

d c b a d

c b a d

c b a d

c

b

a

Với mọi số thực a, b, c, d Dấu “=” xảy ra khi a2,bcd 1

2.Phương pháp biến đổi tương đương

Chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với một bất đẳng thức đúng

Ví dụ 3: Với mọi số thực a, b, c, d, e Chứng minh rằng:

a a2b21abab

b a2b2c2d2e2a(bcde)

c (a10b10)(a2b2)(a8b8)(a4b4)

Hướng dẫn giải:

a Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức

0 ] ) 1 ( ) 1 ( ) [(

2

1 0

2

2b  abab  ab  a  b 

Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi ab 1

b Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức

0 2

2 2

2 0 ) (

2 2

2 2

2 2 2

2









 













 













 













 



















a

Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi a 2b 2c 2d 2e

c Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức

0 ) (

) (

0 ) )(

( 0

) (

) (

0 0

) )(

( ) )(

(

4 2 2 4 2 2 2 2 2

6 6 2 2 2 2 2

2 2 8 2 2 2 8

8 4 4 8 2 10 2 10 4

4 8 8 2 2 10 10



















































b b a a b a b a

b a b a b a a

b a b b a b a

b a b a a b b a b

a b a b a b a

Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi ab hoặc a b hoặc a 0 hoặc

0



Ví dụ 4: Với các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện xy1, x y Chứng minh

2

2







y

x

y

x

Hướng dẫn giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức

0 ) 2 (

0 2 ) 2 ( 2 2 2 2 0

2 ) 2 ( 2 2 2 2

0 2 2 2 2 0

2 2 2 2 0

2 2

2

2 2

2 2

2

2

2 2 2

2 2

2



































































y

x

xy y

x y

x y

x y

x

y x

y x y

x

y x

y x y

x

y

x

Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi





















y x xy

y x

1

0 2 hay























2

6 2 2

6 2

y x

hoặc























2

6 2 2

6 2

y

x

Ví dụ 5: Với mọi số thực dương x, y, z Chứng minh rằng:

2













x z

z z y

y y

x

x

Hướng dẫn giải:

Ta có

y x z

z x

z

z z

y x

y z

y

y z

y x

x y

x

x























Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra 1









z z y

y y x

x

Bạn đọc dễ dàng chứng minh được

y x z

x z x z

z z

y x

x y z y

y z

y x

z x

y

x

x





























Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra 2









z z y

y y x

x

3.Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi

Ví dụ 6: Với mọi số thực a, b, c không âm Chứng minh rằng:

abc a

c c

b

b

Hướng dẫn giải:

Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho từng cặp hai số không âm ta được

ab

b

bc

c

ac

c

Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

Ví dụ 7: Giải phương trình

2

3 4 2

1 1

2

4 1 4









x

x

x

Hướng dẫn giải:

Đặt

























2 0 , 4

2

a b

b a b

a

x

x

Phương trình trên trở thành

2

3 1 1









b b

a

Vế trái của phương trình

2

3 3 ) )(

1 )(

1 (

1

3 ) )(

1 )(

1

(

3

2

1

3 ) 1 1

1 1

1 )](

( ) 1 ( ) 1 [(

2

1 3 ) 1 1

1 1

1 )(

1

(

3 ) 1

1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( 1 1

1

3























































































b a b a b

a b a

b a a

b b a b

a b

a a

b b

a

b a a

b b

a b

a a

b

b

a

Như vậy, vế trái  vế phải Dấu “=” xảy ra khi 1 0

1





















x b a b

a

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=0

Ví dụ 8: Với số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 Tìm giá trị lớn nhất

(GTLN) của biểu thức

1 1

1   





z

z y

y x

x

Hướng dẫn giải:

1

1 1

1 1

1 ( 3 1

1 1 1

1 1 1

1 1







































z y

x z

z y

y x

x

Vì x+y+z=1 nên

4

9

) 2

)(

2 )(

2 (

1

3 ) 2

)(

2 )(

2

(

3

4

1

) 2

1 2

1 2

1 ).(

) 2

( ) 2

( ) 2

(

4

1

) 1 1

1 ).(

(

) 1

1 1

1 1

1 ).(

( 1

1 1

1

1

1

3 3





















































































































y x z z x y z y x y

x z z x y z y x

y x z z x y z y x y x z z x y z

y

x

y x z z z x y y z y x x z

y

x

z y

x z y x z

y

x

Vì vậy,

4

3 4

9

3 



P Suy ra GTLN của P là

4

3 , đạt được khi x=y=z=1/3

Ví dụ 9: Với mọi bộ ba số a, b, c là ba cạnh của một tam giác CMR:















c b

c a

b a

c

b

a

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta được

3

) )(

)(

( 3

c b a b c a a c b

abc c

b a

c b

c a

b a

c

b

a





























Ta lại có

2 2 2

) )(

(a b c a c b a b c a c b a

















tương tự

2

) )(

(bca abc b ,

2

) )(

(bca acb c

Từ đó, suy ra

) )(

)(

(bca abc acb abc















abc c

b a

c b

c a

b a

c

b

a

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

4.Phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki

Ví dụ 10: Với mọi số thực x CMR:

8

1 sin

cos8x 8x

Hướng dẫn giải:

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số (cos4x,sin4x)và (1, 1), ta có

2

) sin (cos

sin cos

sin cos

) 1 1 )(

sin

(cos

2 4 4

8 8

2 4 4

2 2 8

x x

x x

x

Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số (cos2x,sin2x)và (1, 1), ta được

2

1 sin

cos 1 sin

cos ) 1 1 )(

sin

(cos4x 4x 2 2  2x 2x2   4x 4x

8

1 sin cos8x 8x

2 4 0

2 cos sin

x x

x

Ví dụ 11: Với mọi bộ bốn số thực a, b, c, d CMR:

(ac)2(bd)2  a2b2  c2d2

Hướng dẫn giải:

Bình phương hai vế,

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 )

(

)

(

d c b a bd

ac

d c d c b a b

a d b

c

a































Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số (a, b); (c, d) ta suy ra đpcm

Dấu “=” xảy ra khi

d

b c

a 

Ví dụ 12: Giải hệ phương trình:

5 3

2

5

3

2

2

2















y

x

y

x

Hướng dẫn giải:

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số ( 2x; 3y)và ( 2; 3) ta suy ra

) 3

2

(

25 x y 2   x2 y2  x2 y2

Hệ phương trình trên chỉ có nghiệm khi 1

3

3 2

2x y x y

5.Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 13: Với hai số thực không âm x, y thỏa mãn điều kiện: x+y=1 Tìm GTNN và

GTLN của biểu thức: Px32y3

Hướng dẫn giải:

Ta có y=1-x, suy ra Px32(1x)3

Xét hàm số f(x)x32(1x)3 trên [0, 1]

Có f(x)3x26(1x)23(x2 2)(x2 2)

Hàm số đồng biến trên khoảng (2 2,1) và nghịch biến trên khoảng (0,2 2)

1 ) 1 ( , ) 1 2 ( 2 ) 2 2 ( ,

2

)

0

f

Vậy Pmin 2( 21)2 tại (x2 2,y1 2),

và Pmax 2 tại (x0,y1)

Ví dụ 14: Với hai số thực x, y lớn hơn e thỏa mãn x>y CMR:

y

x y

x  ln

ln

Hướng dẫn giải:

Bất đẳng thức trên tương đương với

y

y x

ln 

Xét hàm số

t

t t

f( )ln trên khoảng (e,)

Ta có ( ) 1 2ln 0 t e

t

t t

Vậy, f (t) là hàm số nghịch biến trên khoảng (e,) Suy ra f(x) f(y)(đpcm)

6.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức véc tơ

Ví dụ 15: Với mọi số thực a CMR: a2a1 a2 a12

Hướng dẫn giải:

2

3

; 2

1 ( ), 2

3

; 2

1 (a v a

Khi đó, bất đẳng thức trên được viết thành |u | |v | |u v |





 , luôn đúng Dấu “=” xảy ra khi

0

2 3 2 3

2 1 2

1















a

a

v

III Giới thiệu một số bài toán trong các đề thi đại học từ năm 2003-2014

Bài 1 (ĐH-khối A năm 2003): Với x, y, z là ba số dương và xyz1 CMR:

82 1

1 1

2 2 2

2 2

z

z y

y x

Hướng dẫn giải:

Sử dụng bất đẳng thức về véc tơ và bất đẳng thức Côsi

Xét ( ;1), ( ;1), ( ;1)

z z c y y b x

x

Khi đó, vế trái của bất đẳng thức trên là

82 80

162

80 1 1 1 ) (

18

) (

80 1

1 1 ) (

81

1 1 1 ) (

|

|

|

|

|

|

|

|

2 2

2

2 2































































































z y x z y

x

z y x z

y x z

y

x

z y x z

y x c b a c

b

Dấu “=” xảy ra khi

3

1





 y z x

Bài 2 (ĐH-khối A năm 2005): Với x, y, z là ba số dương và 1 11 4

z y

1 2

1 2

1 2















Hướng dẫn giải:

Sử dụng bất đẳng thức

4

1 1 4

)







b a b a ab b

Suy ra,



























1 1 ( 4

1 2

1 4

1 ) 1 2

1 ( 4

1

2

1

z y x z

y x z

y





















1 1 ( 4

1 2

1 4

1 ) 1 2

1 ( 4

1

2

1

z x y z

x y z

y



























1 1 ( 4

1 2

1 4

1 ) 1 2

1 ( 4

1

2

1

y x z y

x z z

y

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm Dấu “=” xảy ra khi

4

3





 y z

Bài 3 (ĐH-khối B năm 2005): CMR với mọi số thực x thì ta có

x x x x x

x

5 4 3 ) 3

20 ( )

4

15

(

)

5

12

Hướng dẫn giải:

Sử dụng bất đẳng thức Côsi

x x

x

3 2 )

4

15

(

)

5

12

3

20 ( ) 5

15

3

20 ( ) 5

12

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được đpcm

Bài 4 (ĐH-khối D năm 2005): CMR với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz 1

3 3 1

1

1 3 3   3 3   3 3 

zx

x z yz

z y xy

y

x

Hướng dẫn giải:

Sử dụng bất đẳng thức Côsi

xy xy

y x xy

y

1

3 3 3

yz yz

z

1 3 3  ,

zx zx

x

1 3 3 

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra

3 3

1 3 3 3 3

3 1

1 1

3 3

3 3

3 3

3



























xyz zx

yz xy

zx

x z yz

z y xy

y

x

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1

Bài 5 (ĐH-khối A năm 2006): Với mọi số thực khác 0 và thỏa mãn

xy y x

xy

y

)

( Tìm giá trị nhỏ nhất của 13 13

y x

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta suy ra

xy y x y x

1 1 1 1 1

2



Đặt

y

b x

a1,  1 thì aba2b2ab

2 3 ) ( 3 ) ( 2

2 2

2

2



















 



























 

Ta lại có  13  13 a3b3 (ab)(a2b2ab)(ab)2 16

y x

Vậy, GTLN của A là 16 xảy ra khi a=b và a+b=4 hay x=y=1/2

Bài 6 (ĐH-khối B năm 2006): Tìm giá trị nhỏ nhất của

| 2

| )

1 ( )

1

(  2 2   2 2 

Hướng dẫn giải:

Dùng phương pháp tọa độ và đạo hàm:

Xét M(x-1; -y), N(x+1; y) ta có OMONMN nên

A (x1)2 y2  (x1)2y2| y2| 44y2|2y|

Xét hàm số f(y)  4  4y2  |y 2 |

TH1: Nếu y 2  f(y)  4  4y2 y 2  f(y)  4  4y2  2 5  2  3

1

1 2

) ( ' 2 4

4 ) (

2

2





















y

y y y f y

y y

f

Vậy, GTNN của A là 2 3 xảy ra khi x=0 và

3

3



Bài 7 (ĐH-khối A năm 2007): Với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz 1 Tìm giá

trị nhỏ nhất của

y y x x

y x z x x z z

x z y z z y y

z y x P

2

) ( 2

) ( 2

)

2

















Hướng dẫn giải:

Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x2(yz)2x2 xy 2x x, tương tự

y y z

x

y2(  )2 , z2(xy)2z z

Đặt ax x2y y, b y y2z z, cz z2x x thì ta có

9

2 4

, 9

2 4

, 9

2

z z c b a y y b a

c

x













Suy ra,

4.3 3 6 2.

9

2

6 ) (

) (

4

9

2

2 4

2 4

2 4

9

2

































a

c c

b b

a a

b c

a

b

c

a

a c b c

c b a b

b a

c

P

Vậy, GTNN của P là 2 xảy ra khi x yz 1

Bài 8 (ĐH-khối B năm 2007): Với mọi số thực dương x, y, z

Tìm giá trị nhỏ nhất của























 















xy

z z zx

y y yz

x

x

2

1 2

1

Hướng dẫn giải:

Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có ta có

2

9 2

3

2

3

2

3

1 1 2

1 1 1 2

1 1 1

2

1

1 1 1 2

1

2

1 2

1 2

1 2

1

2 2

2

2 2

2

2 2 2



































































































z z

z y

y

y x

x

x

y x z z y

x

yz

x xy

z zx

y xy

z zx

y yz

x z

y x

P

Vậy, GTNN của P là

2

9

xảy ra khi x yz1

Bài 9 (ĐH-khối B năm 2008) Với mọi số thực x, y thỏa mãn x2y2 1

Tìm GTLN và GTNN của: 2

2 2 2 1

) 6 ( 2

y xy

xy x

P







Hướng dẫn giải:

Nếu x=0 thì P=0

Nếu x0 thì đặt y=kx Khi đó, x2(1k2)1 và 2 2 2 2 2

2 2

3 2 1

) 6 1 ( 2 3

2

) 6 ( 2

k k

k x

k kx x

kx x

P















Suy ra, 3Pk22(P6)kP20

TH1: Nếu k=-1/6 thì P=0

TH2: Xét P0, để pt trên có nghiệm thì 2P26P3606P3

Vậy GTNN của P là -6 , GTLN của P là 3

Bài 10 (ĐH-khối D năm 2008) Với mọi số thực x, y không âm Tìm GTLN và GTNN

) 1 ( ) 1

(

) 1 )(

(

y x

xy y

x

P









Hướng dẫn giải:

4

1 ) 1 (

) 1 )(

( ) 1 ( )

1

(

| ) 1 )(

(

|

|























xy y

x

xy y

x y

x

xy y

x

P

Vậy GTNN của P là -1/4 , GTLN của P là 1/4

Bài 11 (ĐH-khối A năm 2009): CMR với mọi số thực dương x, y, z và thỏa mãn

xy z

y

x

x(   )  3 , ta có (x y)3(xz)33(xy)(xz)(yz)5(yz)3

Hướng dẫn giải:

Đặt axy, bxz, c yz

Từ giả thiết ta suy ra c2 a2b2ab

, suy ra c a b ab a b a b (a b) a b 2c

4

1 ) ( 4

3 ) ( 3 )

2             (*)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức

0 , ,

; 5

3

3 b  abc c a b c

5 3

)

(

5 3

) ( 5 3

) )(

( 5 3

2

3 2

3 2

2 3

3

3

c ab c

b

a

c abc c

b a c abc ab

b a b a c abc

b

a



































Từ (*) ta suy ra 2

2 )

3 ) ( 4

3

3ab ab  c , từ đây suy ra đpcm

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c hay x=y=z

Bài 12 (ĐH-khối B năm 2009): Với mọi số thực x, y thỏa mãn (xy)3 4xy 2 Tìm GTNN của biểu thức A3(x4 y4x2y2)2(x2 y2)1

Hướng dẫn giải:

Ta dễ thấy (xy)2 4xy, kết hợp với điều kiện (xy)3 4xy 2, suy ra x y1

1 ) (

2 ) (

4

9 1 ) (

2 ) (

4

3 )

(

2

3

1 ) (

2 ) (

2

3 ) (

2

3 1 ) (

2 ) (

3

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

2

2 2 4

4 2

2 2 2

2 2

2 4

4



















































y x y

x y

x y

x y

x

y x y

x y

x y

x y

x y

x

A

Đặt

2

1 2

)

2

4

9 2  

 t t

Xét hàm số

2

1 ,

1 2 4

9 ) (t  t2 t t

2

1 ,

0 2 2

9 )

16

9 ) 2 / 1 ( min

min  f  f 

Bài 13 (ĐH-khối D năm 2009): Với mọi số thực không âm x, y thỏa mãn x y 1 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A(4x23y)(4y23x)25y

Hướng dẫn giải:

12 2

16 34

)]

( 3 ) [(

12

16

25 9

) (

12 16

25 ) 3 4 )(

3

4

(

2 2 3

2

2

3 3 2

2 2

2





































xy y

x xy y

x xy y

x y

x

xy xy

y x y

x xy x

y y

x

A

Đặt t xy, ta được A 16t2 2t 12