Tuyển chọn các bài Max – Min (câu 10 điểm) trong 21 đề thi thử Tây Ninh 2015

hoctoancapba.com xin giới thiệu Tuyển chọn các bài MAX – MIN CÂU 10 ĐIỂM trong 21 ĐỀ THI THỬ TÂY NINH 2015 Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn chuyên đề MAX – MIN

hoctoancapba.com xin giới thiệu

Tuyển chọn các bài MAX – MIN (CÂU 10 ĐIỂM) trong 21 ĐỀ THI THỬ TÂY NINH 2015

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn chuyên đề MAX –

MIN trong kỳ thi THPT QG sắp tới.

ĐỀ 1 THPT Quang Trung – Tây Ninh

Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: xyz = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P log23x 1 log23y 1 log23z 1

Trong mp(Oxy), gọi a (log ;1),3x b  (log ;1),3y c (log ;1)3z

và n a b c     n (1;3)

Ta có: a b c  a b c  log23x  1 log23y  1 log23z  1 12 32

0,5

P 10

  , dấu = xảy ra khi ba vecto a b c, , cùng hướng và kết hợp điều

kiện đề bài ta được x=y=z=3 3

Vậy MinP= 10 khi x=y=z=3 3

0,5

ĐỀ 2 THPT Trần Phú – Tây Ninh

Cho ba số thực a, b, c thỏa: a0;1 , b0;2 , c0;3

Tìm giá trị lớn nhất của  

P

Ta có: a0;1 , b0;2 , c0;3

   

   

2 2

a b c ab bc ac

a c ab bc

b a c





ab ac bc ab ac bc

0.25

Mặt khác b c a b c     ( vì a0;1)

b c b a c a b c b a c ab bc ac

Với mọi số thực x, y, z, ta có

2

2 2 2

3

 2  2  2

12a 3b 27c 3 2  a b 3c  2a b 3c 2a b 3c 2ab bc ac

=> 12a2 3b b2 27c2 82ab bc ac b 8

0.25

Suy ra

P

ab bc ac ab bc ac ab bc ac

ab bc ac

P

ab bc ac ab bc ac

 

Đặt t  2ab bc ac   t 0;13

Xét hàm số   2 8 , 0;13 

t

 

 2  2  

0.25

 0 1; 6  16; 13  47   16 0;13

Do đó: P 167 Khi a1;b2;c23 thì P 167 Vậy giá trị lớn nhất của P là 167

0.25

ĐỀ 3 THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh

Cho x là số thực thuộc đoạn [ 1, ]5

4

 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

P



Đặt a 5 4 ,  x b 1 x thì a2  4b2  9, với a b , 0

Do đó đặt [0, ]

2



  với a=3sin ,2b=3cos   Khi đó:

3 3sin cos 2sin cos

2

2 6 3sin 3cos 6 2sin 2cos 4

a b

P

a b



0,25

Xét hàm số ( ) 2sin cos

2sin 2cos 4

f x





  với [0, ]

2

x 

Ta có /

2

6 4sin 8cos



0,25

Suy ra hàm số f(x) luôn luôn đồng biến trên [0, ]

2



Do đó:

min ( ) (0) ;max ( ) ( )



0,25

P khi x

1

1 3

Max P khi x

0,25

ĐỀ 4 THPT Lê Hồng Phong – Tây Ninh

Cho 3 số thực dương a b c, , thoả mãn abc 1

b a  c b  a c 

Giải

Ta có

1

a ba

b a  a ba  

Tương tự:

1 2

b bc

c b   

1 2

c ac

a c   

Cộng các vế của các BĐT trên ta có:

1 1 1

b a  c b  a c         

=

1

bc bca babc    b cb b bc bac  

bc b  b cb b bc    (điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

ĐỀ 5 THPT Nguyễn Trung Trực – Tây Ninh

Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức

3

2

abc P

Áp dụng Bất đẳng thức x y z  2  3xy yz zx  , x y z, ,   ta có:

ab bc ca  2  3abc a b c     9abc 0 

3

Ta có: 1 a 1 b 1 c  1 3 abc3, a b c, ,  0. Thật vậy:

1 a 1 b 1 c   1 a b c    ab bc ca   abc

3 3 2  3 3

1 3  abc 3 abc  abc   1 abc

0,25

Khi đó

3 3

2

1 1

3 1

abc

abc abc





Đặt 6 abc t Vì a b c , , 0 nên

3

3

a b c abc    

0,25

Xét hàm số

2 2 3

2

, t 0;1 1

3 1

t Q

t t





5

Q t

0,25

Do hàm số đồng biến trên0;1 nên    1 5 2 

6

Q Q t Q 

Từ (1) và (2) suy ra 5

6

P 

Vậy max 5

6

P  , đạt được khi và chỉ khi: a b c   1 0,25

ĐỀ 6 THPT Lý Thường Kiệt – Tây Ninh

Cho 3 số thực x y z, , khác 0 thỏa mãn: x  y z  5 và x y z  1 Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức: P 1 1 1

  



Ta có: y z2 4yz 5 x2 4 x 0 3 2 2 x 4 x 3 2 2

x

0,25 Xét hàm số: f x  1 x5 x f ' x  12 5 2x

Với: x  0 3 2 2    x 4 x  3 2 2

2

0,25 Lập bảng biến thiên đúng

Tính được:

1 2 3 2 2 1 4 2

1 2 3 2 2 1 4 2

0,25 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 4 2 

đạt tại: x  y 1 2,z  3 2 2 hay x  z 1 2, y 3 2 2  

hoặc x  y 3 2 2, z  1 2 hay x  z 3 2 2, y  1 2 0,25

ĐỀ 7 THPT Tân Châu – Tây Ninh

ĐỀ 8 THPT Lê Duẫn – Tây Ninh

Cho x, ,y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

P

x xy xyz x y z

2 8 2 8 32

x xy xyz  x x y x y z

x      x y z   x y z 

0.25

t x y z t P f t

t t

  33 12;   0 1

t t

Lập bảng biến thiên của hàm f(t) ta được min

3 2

P  tại t=1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

16 21 1

4

2 8

21

21

x

x y z

z







  





0.25

ĐỀ 9 THPT Hoàng Văn Thụ - Tây Ninh

Cho a, b, c không âm và a2 b2 c2  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P ab bc ca     b c

Cho a, b, c không âm và a2 b2 c2  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ta có 3 a b c  2  3a2 b2 c2

 3 a b c  2  9

 3    a b c 3

0,25đ

Đặt t a b c   với t  3; 3 

3

ab bc ca         

0,25đ

Nên   1 2 5

5

P t  t  t

 

P t   t  t  

0,25đ

BBT

t 3 3

P’(t) +

P(t)

22

4 5 3 

Vậy P max  22 với t  3 a b c   1

0,25đ

ĐỀ 10 THPT Trảng Bàng – Tây Ninh

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc và a2 b2 c2  5

Chứng minh rằng: (a b)(b c)(c a)(abbcca)   4

Ta có: (a b)(b c)(c a)(abbcca)   4

 P (a b)(b c)(a c)(abbcca)  4

Do abc nên

Nếu ab+bc+ca<0 thì P 0  4(đúng)

0,25

Nếu ab+bc+ca 0thì đặt ab+bc+ca = x  0

Áp dụng BĐT Côsi :

4

) ( ) )(

(

2

c a c b b

a   

) 1 ( 4

) ( ) )(

)(

(

3

c a c a c b

b

a    



Áp dụng BĐT Bunhiacopski: 2(a b) 2  (b c) 2 (a c) 2

và 4 (a2 b2 c2  ab bc ca)  2 (a b) 2  2 (b c) 2  2 (a c) 2

) 2 ( 3

5 2 5

0 ) ( 3 )

5

(

4

) ( 2 ) ( ) (

4

2

2 2

2 2

2

x c

a

va

x

c a x

c a c

a ca bc ab c b

a











































Từ (1) và (2) ta có:

3

3

) 5 ( 9

3 2

4

)

(

x x

x

c

a

0,25

Xét hàm số ( ) ( 5 ) 3 ;  0 ; 5 





x f





















5

2 0

) ( '

; ) 2

5 5 ( 5

)

(

'

x

x x

f x

x x

f

Ta có: f( 0 )  0 ; f( 2 )  6 3 ; f( 5 )  0

  ( ) 6 3 ( ) ( 5 ) 3 6 3 ; 0 ; 5

5

;

0 f x   f x x  x  x

Max

0,25

4 3

6

.

9

3

2





























































0 2

5 2 2

5 2 2

2 2 2 2

2

b c

b a a c a b

ca bc ab

c b a c a

c b b a x

0,25

ĐỀ 11 THPT chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh

Cho các số thực dương x, y, z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

x y z

Tương tự ta có

2

x y z

y zx   y zx     (2)

x y z

z xy   z xy     (3)

0.25 Cộng 3 bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

ĐỀ 12 THPT Nguyễn Đình Chiểu – Tây Ninh

Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4

b c2 c d2 d a2 a b2 2

1  1  1  1  

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:

2

a a ab c a ab c a ab c a ab c a ab abc

b c 1+b c b c

2

2 1





Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1

2

bc d

b b bc d b bc d b bc d b b bc bcd

c d 1+c d c d

2

1

(2)

2 1





2

cd a

c c cd a c cd a c cd a c c cd cda

d a 1+d a d a

2

1

(3)

2 1





2

da b

d d da b d da b d da b d d da dab

a b 1+a b a b

2

1

(4)

2 1





Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:

0,25

a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab

b c2 c d2 d a2 a b2 4 4 4

0,25

Mặt khác:

 ab bc cd da a c b d   a c b d

2

4 2

    

Dấu "=" xảy ra  a+c = b+d

 abc bcd cda dab ab c d  cd b a  a b c d c d b a

 abc bcd cda dab a b c d   a b c d a b c d  

   

a b c d abc bcd cda dab

2

4 2

    

Dấu "=" xảy ra  a = b = c = d = 1

b c2 c d2 d a2 a b2

4 4 4

4 4

1  1  1  1    

b c2 c d2 d a2 a b2 2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.

0,25

ĐỀ 13 THPT Nguyễn Trãi – Tây Ninh

Cho a,b là hai số thực dương thỏa 2 5

4

a b 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1

4

F

 

Ta có : 2 1 2 8 1 4 (8 4 )

4

Bất đẳng thức Côsi cho :

8a 8

a 

4 2

4b b

Suy ra F 5

0.25

5

MinF  đạt khi

2 8

1 1

4

1 5

4 , 0

a a

a b

b

b

a b

a b













 



0.25

ĐỀ 14 THPT Nguyễn Huệ - Tây Ninh

Cho x,y  R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của  3 3  2 2

( 1)( 1)

P



Đặt t = x + y ; t > 2 Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có 2

4

t

3 2 (3 2)

1

t t xy t

P

xy t



  Do 3t - 2 > 0 và 2

4

t xy

3 2

2 2

(3 2) 4

2 1

4

t t

P

t



 



 

Xét hàm số

2

4



  f’(t) = 0  t = 0 v t = 4.

t 2 4 +

f’(t) - 0 +

f(t)

8

0,25

Do đó min P = (2; min ( ) ) f t

 = f(4) = 8 đạt được khi x xy y44 x y22

ĐỀ 15 THPT Huỳnh Thúc Kháng – Tây Ninh

Cho các số thực dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn 2a c và ab bc  2c2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a b c

a b b c c a

Theo giả thiết: 2 ên 1

2

a

a c n

c

2 a b b 2 a c 1

ab bc c

Vì 1

2

a

c  nên 4

3

b

c 

Đặt t c

b

 thì 0 3

4

t

 

2 2

1

1 1

t t

P



Xét hàm số ( ) 1 2 7 , 0;3

 

3 '( ) 0, 0;

4

f t    t  

  , do đó f t( )đồng biến trên 0;3

4

 

 

 

Do đó GTLN của hàm số đạt tại 3

4

t  , suy ra max 27

5

P 

Đẳng thức xảy ra khi

2 2

2

ab bc c

a c





(a,b,c)=(3,8,6)

ĐỀ 16 THPT Trần Quốc Đại – Tây Ninh

Cho a b c, , là các số dương và a b c   3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a bc b ca c ab



Vì a + b + c = 3 ta có 3a bc bc  a a b c( bc ) bc  (a b a c bc)( )

2

bc

a b a c

Vì theo BĐT Cô-Si: a b a c1  1  (a b a c2)( )

    , dấu đẳng thức xảy ra b = c

0,25

2 3

b a b c

b ca

2 3

c a c b

c ab

Suy ra P2(bc ca a b ) 2( ab bc c a ) 2( ab ca b c ) a b c 2 32

0,25

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy max P = 3

2 khi a = b = c = 1 0,25

ĐỀ 17 THPT Nguyễn Chí Thanh – Tây Ninh

Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

       

Theo bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có:

3 3 3

   

Cộng từng vế của (1), (2) ta có

3

0,25

Mặt khác ta lại có   1 1 4 1   4 1 1  4



3



0,25

Theo giả thiết x = y = 4 nên

2 3

3 .7

 

 

0,25

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 7 1

2

1 7

2 4



  





      











x x

y

x y

x y

Vậy min 343

4



S

0,25

ĐỀ 18 THPT Bình Thạnh – Tây Ninh

Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x (y z)2 y (z x) z (x y)2 2

Ta có : P x2 x2 y2 y2 z2 z2

Nhận thấy : x2 + y2 – xy  xy x, y  R

Do đó : x3 + y3  xy(x + y) x, y > 0 hay x2 y2 x y

y  x   x, y > 0 Tương tự, ta có :

y z

y z

z  y   y, z > 0

z x

z x

x  z   x, z > 0

0,25

Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:

P  2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 0,25 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 13 Vì vậy, minP = 2 0,25

ĐỀ 19 THPT Lộc Hưng – Tây Ninh

Cho x0,y0 thỏa mãn x y xy2  2  x y 3xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2 2 (1 2 ) 3

2

xy

xy

+ Ta có

3

2





t

+ Ta có

3



      Nên f(t) đồng biến trên

0.25 điểm

0.25 điểm

4;  ( ) (4) 71

4

Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng 71

4 khi x = y = 2

0.5 điểm

ĐỀ 20 THPT Châu Thành – Tây Ninh

Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2x 3y 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P 2xy y  5(x2 y2 ) 24 8(  3 x y ) (  x2 y2  3)

2

x y  x y        x y xy  

Ta có 5(x2 y2 ) 2x y 2  5(x2 y2 ) 2  x y và

2 2 2

2 2

Suy ra P 2(xy x y  ) 24 2(  3 x y xy   3)

0,25

Đặt t x y xy t   , 0;5 , Pf t( ) 2  t 24 2 3 t 6

2 3

/

(2 6) 8 24.2

3 (2 6) (2 6)

t

 

Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng 0;5

Suy ra min ( )f t f(5) 10 48 2   3

min 10 48 2,

1

x

y









0,25

ĐỀ 21 THPT Trần Đại Nghĩa – Tây Ninh

Xét các số thực không âm x, y, z thoả mãn điều kiện: x2  y2 z2 3 Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức P=xy+yz+zx+ 4

x y z 

   

2

2

1 2

3 2

2

x y z

x y z

x y z



 

Ta có: xy + yz + zx =

=

Do đó P=

0.25

2

2 2

3 3

3 2

x y z

x y z

x y z

x y z

Vì 0 xy + yz + zx

Nên 0

Suy ra

0.25

 

2

2

3

3 4

2

3 4

2

t t

t

t

t t

t

 











Đặt t =x+y+z,

P=

Xét f(t)= với

f'(t)=

(loại)

0.25

 

 

 

4 3

3

3

13

3

3

13

3 13

3

13 3

13 3

f

f







Nên f khi

Do đó P

Khi x=y=z=1 thì P=

Do đó giá trị lớn nhất của P là

0.25