Tổ hợp và Cực trị tổ hợp.DOC

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢPQUI TẮC ĐẾM QUI TẮC CỘNG The Addition Priciples- AP : Nếu có n1 đối tượng khác nhau trong tập hợp thứ nhất , n2 đối tượng khác nhau trong tập hợp thứ hai ,

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP

QUI TẮC ĐẾM

QUI TẮC CỘNG ( The Addition Priciples- AP) :

Nếu có n1 đối tượng khác nhau trong tập hợp thứ nhất , n2 đối tượng khác nhau trong tập hợp thứ hai ,…… n m đối tượng khác nhau trong tập hợp thứ m, Thế thì

số cách để chọn 1 đối tượng từ 1 trong m tập hợp là n1 n2  n m

Cách phát biểu khác:

Cho A A1 ; ; 2 A m là m tập hợp hữu hạn , k≥1.Nếu các tập hợp này đôi một rời nhau , nghĩa là A iA j i j;  1; 2 ; ;m ijthì :

1 1

i i

QUI TẮC NHÂN (The Multiplication – MP)

Giả sử có 1 quá trình có thể chia thành m giai đoạn liên tiếp nhau có thứ tự , Với

1

n kế quả khác nhau trong giai đoạn thứ nhất , n2 kết quả khác nhau trong giai đoạn thứ hai ,…… n m kết quả khác nhau trong giai đoạn thứ m, nếu các kết quảkết hợp lại là phân biệt Thế thì số kết quả kết hợp lại của toàn bộ quá trình là

1. Có bao nhiêu cách để chọn ra 4 số nguyên dương x x x x1 ; ; ; 2 3 4 từ tập hợp S={1 ;2 ;… ;499 ;500} sao cho x x x x1 ; ; ; 2 3 4 là 1 cấp số nhân tăng và công bội củachúng là một số nguyên dương

….9.Vì các chữ số là phân biệt nên :

-Có 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị

-Có 8 cách chọn chữ số hàng ngàn.( khác 0 và khác chữ số đơn vị )

- Có 8 cách chọn chữ số hàng chục ( khác chữ số đơn vị và hàng ngàn).-Có 7 cách chọn chữ số hàng trăm

Với mỗi i=0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 ta đặt S i x y; / ;x y Z x ; 2 y2 i

Trước hết ta chú ý rằng 600= 2 3   3 5 1 2 Khi đó 1 số nguyên dương m là ước

số của 600 nếu và chỉ nếu m có dạng : m   2a 3b 5c với a,b,c Z∈Z :0≤a≤3 ; 0≤b≤1 ; 0≤c≤2 Như vậy số ước số là 4.2.3= 24

 Thế thì số các ước số dương của n là  

1

1

m i i

Vì 2 5 11 3 7 13 là BCNN của a,b nên max{x ;s}=3 ; max{y ;t}=7 ; max

{z ;u}=13

Bằng cách liệt kê ta có 7 cách chọn cặp (x ;s) ; 15 cách chọn (y ;t) ; 27 cách chọn (z ;u) Theo qui tắc nhân , ta được 7×15×27=2835 cặp số (a ;b) thỏa điều kiện

Nhưng phần khó khăn là các hình vuông có cạnh không song song với

đường biên của lưới Mỗi hình vuông này sẽ nội tiếp bên trong 1 quartet

Cho nên ta chỉ cần đếm tất cả các quartet và các hình vuông nội tiếp nó Không khó khăn gì ta được trong 1 k×k quartet có k hình vuông nội tiếp , kể

cả nó Ví dụ khi k=4 ta được hình vẽ bên

Như vậy ta được :

Trường hợp 1 : Trong trường hợp này , ta giả sử rằng k chẳn, tức là k=2m ;

m Z∈Z ; m≥2 Bởi vì x<y nên x+y>2x Chú ý rằng x+y> z Ta xét 2x≤z và 2x> z nghĩa là 1≤x≤m ; và m <x

Khi 1≤x≤m ta cần y> z-x= k-x Vì k=2m≥2x nên ta được k-x

≥x( thỏa điều kiện y>x) Cho nên bất kỳ y nằm giữa k-x+1 và z-1= k-1 như vậy ta có (k-1)-(k-x+1) +1 =x-1 giá trị mà y có thể nhận được

Khi m<x , bất đẳng thức đầu cho ta x+y>2x >2m=z ( thỏa điều kiện), Bất kỳ y nằm giữa x+1 và k-1 như thế sẽ có(k-1)-(x+1)+1= k-x-1= =2m-x-1giá trị mà y có thể nhân được Bởi vậy cho nên ; khi k=2m

Trường hợp 2 : Trong trường hợp này ta giả sử k lẻ , nghĩa là k=2m+1 với k

là số nguyên , m≥2

Khi 1≤x≤m , ta cũng cần có y> z-x = k-x Lúc này , k=2m+1>2x như thế k-x >x Như trước đó , y có thể lấy các giá trị nguyên nằm giữa k-x+1

và k-1 , như thế sẽ có (k-1)- (k-x+1) + 1= x-1 giá trị mà y có thể nhận Khi m < x Như thế sẽ có (k-1)- (x-1)+ 1= k-x-1= 2m-x giá trị mà y

có thể nhận được Bởi vậy , cho nên khi k= 2m+1

Bây giờ ta bắt đầu giải bài toán

Nếu n lẻ : n=2p+1 ( với p là số nguyên không âm nào đó )> Ta có :

Mỗi tập con có 40 phần tử nhưng phải trừ đi các phần tử chung của 2 tập hợp như (17 ;17 ;24) ; (17 ;24 ;17) ; (24 ;17 ;17) ; (17 ;24 ;24) ; (24 ;24 ;17) ;(24 ;17 ;24) Vậy có tất cả 40×6-6= 234

11 Một bằng lái xe chứa 1dãy 3 ký tự alphbet theo sau là một dãy 3 chữ

số Có bao nhiêu bằng lái xe được tạo thành nếu o và 0 không dùng cùng 1 lúc

Gọi S là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 1000 S 999.

Gọi S S S1 ; ; 2 3là tập hợp các số nguyên dương có 1 , 2, 3 chữ số

Với i=1 ;2 ;3 đặt A i S i chứa đúng các chữ số đó và có ít nhất 1 chữ số 1

1000 chứa ít nhất 1 chữ số 1, và Gọi B2 là tập hợp các số nguyên không âm nhỏ hơn 1000 không chứa chữ số 1 Nghĩa là B1  B2 S' 1000 

Ta có B 2 9.9.9 729  Nên B 1 1000 729 271  

13 Có 15 lỗ thông hơi máy lạnh trong 1 rạp hát Để giữ cho nhiệt độ mát

mẻ , phải có ít nhất 1 lỗ thông hơi làm việc suốt thời gian Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện

Gọi A và B là 2 tập hợp Một ánh xạ f ( map- mapping – function) từ tập

hợp A đến tập B ( viết là f:A→ B) đánh dấu mỗi phần tử a A với đúng một∈Zphần tử b B ( viết là f(a)=b) b là ảnh của a Với A’∈Z A , Gọi f(A’) ( ảnh của A’) xác định tập hợp các ảnh của phần tử a A’ Nếu f(A)= B thì f được ∈Z

gọi là toàn ánh (surjective- onto)nghĩa là , với mỗi b B sẽ là ảnh của a A ∈Z ∈ZVới mỗi 2 phần tử phân biệt a a1 ; 2 A có ảnh khác nhau thì f được gọi là đơn

ánh ( injective- one to one) Nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh thì f là song ánh( bijective– one-to-one correspondence)

HOÁN VỊ : ( PERMUTATION)(khái niệm mở rộng):tương đương với khái niệm chỉnh hợp của sgk)

Một cách sắp xếp thứ tự m phần tử phân biệt của n phần tử phân biệt cho trước ( m≤n) được gọi là 1 hoán vị lấy m phần tử của n phần tử Vì các phần

tử là không lặp lại nên nên hoán vị cùng là không lặp và số hoán vị lấy m

phần tử của n phần tử phân biệt được ký hiệu là P A n m( n m).Khi đó ta có :

14 Cho tập hợp E={a;b;c;…;x,y,z} là tập hợp 26 chữ cái tiếng Anh Tìm

số từ có 5 ký tự sao cho các ký tự được tạo thành từ tập E; và ký tự đầu và cuối là các nguyên âm phân biệt , các ký tự còn lại là các phụ âm phân biệt

17. Cho S là tập hợp các số tự nhiên mà các chữ số được chọn từ

{1;3;5;7} Sao cho không có chữ số nào lặp lại Tìm

Tương tự , ta có :

Tương tự ; 24 số trong S3có thể chia thành cặp và tổng của 2 số trong mỗi cặp này là 888

24 số trong S4có thể chia thành cặp và tổng của 2 số trong mỗi cặp này là

C 

 ( chỉ cần lấy thêm r-1 phần tử)

Số cách lấy không có phần tử “1” là 1

r n

a  k với mỗi i=1 ;2 ;…… ;n Độ dài của xâu là n , chính là số

số hạng trong xâu Đôi khi một xâu như thế có thể viết là a a1 ; ; ; 2 a n Một xâu k-aray có thể được gọi là xâu nhị phân ( binary) , Xâu tam phân

( ternary) hay tứ phân ( quarternary) khi k=2 , 3, 4

Ví dụ :

{(0 ;0 ;0) ; (0 ;0 ;1) ;(0 ;1 ;0) ;(1 ;0 ;0) ;(0 ;1 ;1) ;(1 ;0 ;1) ;(1 ;1 ;0) ;(1 ;1 ;1) }

là tập hợp tất cả 8 xâu nhị phân có độ dài là 3

Để tạo ra 1 xâu k-aray có độ dài n : trước hết ta chọn a1từ tập hợp B={0 ;1 ;… ;k-1} kế đến chọn a2từ tập hợp B={0 ;1 ;… ;k-1} ; và cho đến cuối cùng chọn a ntừ tập hợp B={0 ;1 ;… ;k-1},Vì có k cách chọn trong mỗi bước , nên số xâu k-ary phân biệt có độ dài n là k k k n

Trước hết ta xếp 3 số 0 vào 3 trong 7 vị trí của chuỗi

Sau đó xếp 4 số 1 vào 4 vị trí còn lại

Vậy có 3 4

7 4

C C chuỗi thỏa điều kiện

20 Có bao nhiêu cách lập ra 1 Ủy Ban gồm 5 người từ 11 người bao gồm

4 thầy giáo và 7 học sinh, nếu :

a/ Không có yêu cầu về cách lựa chọn

b/Ủy ban phải bao gồm đúng 2 thầy giáo

c/ Ủy ban phải bao gồm ít nhất 3 thầy giáo

d/ Đặc biệt 1 thầy giáo và 1 học sinh không thể cùng nằm trong ủy ban

d/ Gọi T là người thầy đặc biệt, S là học sinh đặc biệt Ta tìm số cách lập ra

ủy ban bao gồm cả T và S Như vậy có 3

9

C cách lập Vậy số cách lập thỏa điều kiện là 5 3

C  C 

21 Giả sử có 8 người chơi a;b;c;d;e;f;g;h tham dự 1 giải tennis đơn Ở

vòng đầu tiên, họ chia thành 4 cặp để thi đấu Hỏi số cách sắp xếp

Gọi A là 1 tập hợp gồm 2n phần tử Một ghép đôi của A ( A pairing ) là 1 sự phân chia tập hợp A thành các tập con 2 phần tử rời nhau tức là 1 hợp của các tập con 2 phần tử rời nhau tạo thành A Thí dụ : Nếu A={a;b;c;d;e;f;g;h} thì

{{a;b};{c;f};{d;h};{e;g}} và {{a;h};{c;f};{d;h};{b;g}} là 2 ghép đôi khác nhau của A.Chú ý rằng thứ tự của các tập con và thứ tự của 2 phần tử trong mỗi tập con là không quan trọng

22. Cho A là tập hợp gồm 2n phần tử ( n≥1) Tìm số sự ghép đôi khác nhau của A

GIẢI:

Ta xét 3 cách khác nhau để giải bài tập này :

Cách 1: Ta chọn một phần tử bất kỳ là x trong A Số cách để chọn người cùng cặp với x , gọi là y, là 2n-1 cách ( và {x;y} là 1 tập con 2 phần

tử).Chọn một phần tử bất kỳ khác là z, từ 2n-2 phần tử còn lại của tập hợp A\{x;y} Số cách để chọn người cùng cặp với z là 2n-3 Tiếp tục quá trình

tử và thứ tự các phần tử trong n tập con là không quan trọng nên số cách

theo yêu cầu là : 2!2! 2!2 ! ! 2 !! 2n

Bài toán trên có thể mở rộng theo cách sau: Cho A là một tập hợp có kn phần tử phân biệt (k,n∈ZN) 1 sự ghép k-phần tử của A là một phân hoạch A thành các tập con k phần tử tức là phân chia A thành các tập con k phần tử đôi một rời nhau

23. Có bao nhiêu số có 5 chữ số lớn hơn 21300 sao cho các chữ số của nó

là phân biệt và lấy từ các chữ số {1;2;3;4;5}

GIẢI:

Cách 1:

Ta chia thành các loại:

- Số các có 5 chữ số mà chữ số hàng chục nghìn có thể là 1 trong các số 3,4,5:

là 1

3 4

A P

- Số các có 5 chữ số mà chữ số hàng chục nghìn có thể là số 2 và chũ số hàng nghìn là 1 trong các số 3,4,5 là 1

3 3

A P.-Số các có 5 chữ số mà chữ số hàng chục nghìn có thể là 2 và chữ số hàng nghìn là 1 là P3

Vậy tổng số các số là 1 1

A P A P P  Cách 2:

Vì số các số có 5 chữ số mà các chữ số phân biệt là P5và chỉ có các số mà chữ số hàng chục ngàn là 1 thì mới không vượt quá 21300 ( số các số này là

4

P) nên số các số cần tìm là P5  P4  96

24. Cho n,k là các số nguyên dương và S là tập hợp n điểm trong mp sao cho:

(i) không có 3 điểm nào của S là thẳng hàng ,

(ii) Với bất kỳ điểm P thuộc S , có ít nhất k điểm thuộc S cách đều P

Chứng minh rằng 1 2

2

k  n

IMO 1989

Để thuận lợi , ta gọi 1 đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ của S là cạnh Gọi l là

số cạnh trong mp Trước hết , vì có n điểm phân biệt và bất kỳ 2 điểm xác định được 1 cạnh nên ta có l= 2

n

C cạnh Kế tiếp , mỗi điểm P của S theo điều kiện (ii) có thể vẽ được 1 đường tròn tâm P(C(P)) sao cho đường tròn đó chứa ít nhất k điểm của S Rõ ràng rằng mỗi điểm của S nằm trên (C(P)) xác định ít nhất 2

(2) Từ chứng minh trên ta thấy rằng điều kiện (i) là không cần thiết vì nếu A,B,C thẳng hàng thì 3 đoạn thẳng AB,AC,BC cũng được xem như là 3 cạnh phân biệt

HOÁN VỊ LẶP LẠI :

Một cách sắp xếp m phần tử của n phần tử phân biệt ( mỗi phần tử có thể lặplại hữu hạn lần )được gọi là hoán vị lặp lại của m phần tử từ n phần tử.Số hoán vị lặp lại là n m

Chứng minh :

Xác định n phần tử phân biệt là 1,2,3…n Thế thì một tổ hợp lặp có dạng :

i i1 ; ; ; 2 i m 1   i1 i2 i mn

ALL PERMUTATION OF INCOMPLETE DISTINCT OBJECTS:

Giả sử có n phần tử bao gồm k phần tử phân biệt a a1 ; ; ; 2 a kvới số lần lặp lại tương ứng là n n1 ; ; 2 n n m: 1 n2  n m n , tất cả các hoán vị của n phần tử được gọi là tất cả các hoán vị của các đối tượng phân biệt không đầy đủ , ta

k

n A

GIẢI:

Minh họa 2 cách phủ như sau:

1 3 3

Với i =1 ;2;3 , ta đặt b i xác định block 1×i Như vậy , cách lát thứ nhất chỉ

ra ở trên có thể biểu diễn dưới dạng b b b b2 1 3 1 Đó là hoán vị của bộ

2 b b b1 ; ; 2 3

Cách thứ hai biểu diễn bởi b b b1 3 3 Đó là hoán vị của 2 b b3 ; 1

Chú ý rằng tổng của các chỉ số trong mỗi bộ đều bằng 7

GIẢI:

Từ minh họa trên , ta thấy số cách yêu cầu bằng với số hoán vị của một vài

số b isao cho tổng của các chỉ số của b ilà 7 Ta có 8 trường hợp bao gồm các khả năng sau đây:

4 ! 4 ! 4 !

4 ; 4; 4 ;4

2 3 4! n 2 3 n n n

Vì P n4 ;4;4 ; 4 là số tự nhiên nên suy ra đpcm

Cho M=  ; ; ; ;a1 a2 a n là 1 multi-set với n ∈N.

Một multi-set của dạng m a m a1 ; 1 2 ; ; 2 m a n. n với m i là các số nguyên không

âm, được gọi là một m1 m2  m n-phần tử của multi-subset cua M Với

số nguyên không âm r , goi r

Trong mỗi trường hợp , ta thấy việc sắp thứ tự của 6 loại sandwich tương ứng với một chuỗi nhị phân có độ dài là 8 vói 6 ký tự 0 và 2 ký tự 1 , thứ tự khác nhau dẫn đến chuỗi nhị phân khác nhau Ta thấy có 1 song ánh giữa tậphợp các cách sắp xếp với tập hợp chuỗi nhị phân như trên Cho nên ta có ,

Cho M=  ; ; ; ;a1 a2 a n là 1 tập con với n ∈N.Số r-phần tử của M là

n n n n n n n n n n n n n

29 Giả sử có 3 cờ đỏ , 4 cờ xanh và 2 cờ vàng để đặt vào vị trí của 9 cột

cờ đã đánh số Hỏi có bao nhiêu ký hiệu phân biệt từ các cây cờ đó

Số cách lấy 6 người từ n người : 6

n

C Với 6 người , có 2

HOÁN VỊ VÒNG TRÒN CỦA CÁC PHẦN TỬ PHÂN BIỆT:

Nếu ta sắp xếp n phần tử phân biệt trên 1 đường tròn thì hoán vị được gọi là

hoán vị vòng tròn của n phần tử, Số hoán vị vòng tròn của n phần tử là :



31 Có bao nhiêu cách để 5 nam và 3 nữ ngồi chung quanh 1 cái bàn , nếu :

a/ nếu không có hạn chế gì ?

b/ Nam B1 và nữ G1 không ngồi kề nhau

c/ không có nữ nào ngồi kề nhau

GIẢI:

a/ Đáp số : 7!

b/ 5 nam và 2 nữ ( không tính G1) có thể có (7-1)! Cách xếp G1 có 5 cách ngồi không kề với B1 Vậy có 6!×5=3600 cách xếp

Ta cũng có thể dùng nguyên lý Phần Bù:(PRINCIPLE OF

COMLEMENTATION-CP)

Nếu A là tập con của X thì X A\ X  A

Số cách xếp 5 nam và 3 nữ trong đó B1 và G1 ngồi cạnh nhau là : 6!.2!

=1440

Vậy số cách xếp thỏa mãn bài toán là : 7!- 1440=3600

c/ Trước hết ta xếp 5 nam vào bàn , có (5-1)! Cách xếp

b/ Mỗi Nữ ngồi kề với chồng của mình

n 

CHÚ Ý : Một bài toán khó hơn và nổi tiếng liên hệ với bài tập trên là:

Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho n cặp vợ chồng (n≥3) quanh 1 bàn tròn sao chon nam và nữ ngồi xen kẽ nhau nhưng vợ không ngồi cạnh chồng ?Bài toán này lần đầu tiên được giới thiệu bởi nhà toán học Pháp Francis

Edward Anatole Lucas (1842-1891)

33 Nếu phải xếp ít nhất 1 người trên một bàn thì có bao nhiêu cách xếp 6 người ngồi:

6

C cách chia 6 người thành 2 nhóm với số lượng 4 và 2 vào mỗi bàn Số cách xếp 4 người vào 1 bàn là (4-1)! và 2 người vào bàn còn lại là 1! Theo qui tắc nhân , ta có : 4

6 3! 1! 90

C    Trường hợp 3: Ta chú ý trường hợp này Số cách để chia 6 thành 2 nhóm 3

2C    Cho nên theo qui tắc cộng là : 144+90+40=274.

(i) 1 chỉ là 1 phân tử trong 1 đường tròn

(ii) 1 trộn với các phần tử khác trong 1 đường tròn

Giả sử 1 xâu chuỗi hạt bao gồm n hột được sắp xếp trên 1 đường tròn thế thì

số xâu phân biệt là 1 ( nếu n=1 ;2) hay 1 1 !( 3)

2 n n CHỨNG MINH :

Nếu n=1 hay n=2 thì số xâu chuỗi là 1

Giả sử n ≥3, bởi vì 1 xâu chuỗi có thể quay hay lật ngược lại mà không làm thay đổi gì , nên số xâu chuỗi bằng ½ số hoán vị vòng tròn

35 Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 nữ và 15 nam để nhảy múa theo vòng tròn sao cho có ít nhất 2 người nam đứng giữa bất kỳ 2 người nữ

GIẢI:

Trước hết với mỗi người nữ , ta coi như 2 người bạn nhảy nam của cô ấy là

1 người đứng ở bên trái và 1 người đứng ở bên phải Vì có 6 người nữ phân biệt nên ta có thể chọn 12 người nam từ 15 người nam bằng 12

15

A cách Kế đến , mỗi người nữ và 2 bạn nhảy nam của mình được xem như là 1 nhóm , mỗi phần dư lại 15-12=3 người nam cũng xem như là 1 nhóm Như vậy tổng cộng có 9 nhóm , mà ta có thể hoán vị vòng tròn nên sẽ có 8! Cách Theo qui tắc nhân ta có : 12

với 1 hoán vị của n đường tròn “ O” và m-1 cạnh “/ “ :

Ở đây x1 là số đường tròn “O” ở bên trái dấu / thứ nhất, x i1là số đường tròn

“O” ở giữa dấu/ thứ i và dấu / thứ i+1, ….x m là số đường tròn “O” ở bên phải dấu / thứ m-1 Vì tương ứng trên là 1-1 , nên số nghiệm của phương trình bằng số hoán vị của n đường tròn “O” và m-1 dấu/ tức là 1

x x  x n m n N bằng số tổ hợp lặp lại của việc lấy m phần tử từ

n phần tử ( mỗi phần tử có thể có hữu hạn lần lặp lại)

NGUYÊN LÝ BAO HÀM VÀ NGUYÊN LÝ LOẠI TRỪ :

Gọi A A1 ; ; 2 A n là n tập hữu hạn Ta xác định số phần tử của A i là

Vì x thuộc ít nhất 1 trong các tập hợp A A1 ; ; ; 2 A n nên không mất tính tổng quát ta giả sử x A A1 ; ; 2 A k và không thuộc các tập hợp khác Trong trường hợp này x được đếm 1 lần trong VT của (1) Nhưng trong VP của (1) x

CHÚ Ý : Phương pháp chứng minh trên được gọi là phương pháp GÓP LẠI

( CONTRIBUTED METHOD)

NGUYÊN LÝ QUÉT LIÊN TIẾP ( SUCCESSIVE SWEEP PRINCIPLE) :

SIEVE FORMULA – CÔNG THỨC SÀNG :

Cho S là tập hợp hữu hạn , A i S (i=1;2… ;n) và xác định phần bù của A i

37 Xác định số các số nguyên dương nhỏ hơn 1000 và không chia hết cho

7 và cũng không chia hết cho 5

38 Có bao nhiêu cách để gắn n lá thư phân biệt vào trong n phong bì sao

cho không có lá thư nào vào đúng phong bì tương ứng của nó

( BÀI TOÁN CÁC LÁ THƯ SAI ĐỊA CHỈ CỦA BERNOULLI-EULER)

GIẢI:

Ta phát biểu lại bài toán : Có bao nhiêu hoán vị của các số {1;2;…;n} sao

cho số k không đặt ở vị trí k với mọi k (1≤k≤n) Các hoán vị như thế gọi là

hoán vị xáo trộn ( derangement) và số hoán vị như thế đặt là D n

Gọi S là tập hợp các hoán vị của {1;2;…;n} và A i là tập hợp các hoán vị

a a1 ; ; ; 2 a n của {1;2;…;n} thỏa điều kiện a i i(i=1;2;….;n)

HOÁN VỊ VÀ CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA NÓ:

Cho X={1;2;…;n} ; φ là song ánh từ X vào chính nó và ta thường viết hoán

vị dưới dạng sau đây:

Với VD trên , ta có hệ quả sau đây:

HỆ QUẢ : Số hoán vị không có điểm bất động của tập X bằng

3345;3346;3347;3349; 3350;3353.

Lần lượt thế các số trên vào phương trình ban đầu ta được n= 3347.Vậy

Như thế , dãy số mới bao gồm tất cả các số dương có dạng 60k+r ( k,r

là các số nguyên không âm và r∈P) Với k cho trước , ta nhận được 36 số hạng lien tiếp của dãy số mới Chú ý rằng 2009= 36×55+29 như thế

4/ Nếu các hệ số A và B của phương trình đường thẳng Ax+By =0 là 2 chữ

số phân biệt từ số 0;1;2;3;6;7 thì số đường thẳng phân biệt là bao nhiêu?GIẢI:

(3) A=1 và B=2 hoặc A=3 và B=6

(4) A=1 và B=3 hoặc A=2 và B=6

(5) A=2 và B=1 hoặc A=6 và B=3

(6) A=3 và B=1 hoặc A=6 và B=2

Cho nên số đường thẳng phân biệt là : 2  1 

Và các trường hợp sau trùng lặp nhau:

CHINA MATHEMATICAL COMPETITION 1994

CHINA MATHEMATICAL COMPETITION 1999

GIẢI:

Giả sử hệ số góc của đường thẳng là tan a 0

b

  

Không mất tính tổng quát , giả sử rằng a>0 và b<0 (1).

Khi c=0, ta chọn a bằng 1

3

C cách và ta chọn b bằng 1

3

C cách Nên ta phải xóa

đi 2 trường hợp lặp lại ( vì 3 phương trình x-y=0; 2x-2y=0; 3x-3y=0 là một).Cho nên trường hợp này số đường thẳng phân biệt là : 1 1

C C   Khi c≠0; ta chọn a bằng 1

CHINA MATHEMATICAL COMPETITION 1988