Một phương pháp proximal điểm trong cho bài toán cực tiểu lồi và cho bất đẳng thức biến phân 6

Luận văn thạc sĩ toán học -ngành Toán Giải Tích-Chuyên đề :Một phương pháp proximal điểm trong cho bài toán cực tiểu lồi và cho bất đẳng thức biến phân

Phu'dng Phap Proximal Logarithmic-Quadratic Di Giiii

Bili Toan Ba't Diing Thuc Bie'n Phan

X6t b~ti tmln bftt d~ng thue bie'n phan: (V 1) Tim x* E C va g* E T(x*) thoa (g*,x - x*) 2: 0 vx E C, trong do C :- {x E }R.m IAx :::;b} la da di~n 16i trong

}R.m,Ala ma tr~n eftp (p, m), bE }R.P,m :::;p va T la toan tli' don di~u eve d~i tren }R.m.:£)6 th! eua T du'Qe d!nh nghla nhu' sau G(T) := {(x, y) E }R.m x}R.mlyE T(x)}.

T la toan tli' don di~u ne'u

(y- y',x - x') 2: 0, vy E T(x),Vy' E T(x')

va T la don di~u eve d~i ne'u G(T) la khong b! ehua trong bftt ky d6 th! eua

toan tli' don di~u khae

Ta gia thie't dng:

A co h~ng m,

intO = {x : Ax < b} i= 0,

dam Tn intO i= 0.

Khi T = af, thi bai toan (V 1) ehinh la bai toan t6i u'u

{

mill f(x),

x E C.

Bai toan (V 1) co thS giai b~ng thu~t toan proximal D~ng khong ehinh xae eua

thu~t toan sau

Thu~it tm!n khong chinh xac proximal di~m trong cho bai toaD ba't diing thuc bitn phan

Cho Ak 2 A > 0, ta thie't l~p cac day {xk} va {ek} bdi:

l + :k (xk - xk-l) = ek va l E T(xk),

trong do T(.) := T(.) + Nc(.) va Nc ky hi<$ula non pharo

Thu~t toan chinh xac ung vdi ek = o Thu~t toan tren da duQc nghien CUlltrong

nhi€u bai baa Nhung ke't qua hQi tv d<:ltduQCtrong cac bai nay bi h<:lnche' bdi dli li<$ucua bai toan Trong chuang 3 nay, chung t6i trlnh bay l<:limQt phuong

phap proximal di€m trong hQi tv toan cvc de'n nghi<$mcua bai toan (V1) chi vdi gia thie't t~p nghi<$mcua bai toan (V 1) khac r6ng Thu~t toan nay thu duQc bdi

Auslender et al [2]

3.1 Phu'dng phap proximal Logarithmic -Quadratic

Trong mvc nay chung ta xet ham khoang cach san:

{

p

L Ui - UiVi - Vi log - neu U E JR++,

Ta ky hi<$u ai la hang thli i cua ma tr~n A va

li(X) = bi- (ai,x), l(x) = (h(x), l2(X), , lp(x)f, D(x, y) = d(l(x), l(y)).

Do do vdi x, y E intC ta co

'\lxD(x, y) = - Ladi=l 2li(X) -li(Y) - l'I(x ) ]. (3.1) Khi do thu~t toan tren duQc vie't l<:linhu san:

Thu~t toaD proxiaml Logarithmic-Quadratic cho bai toaD ba't diing thuc bitn phan (LQP)

Uiy xOE intC, ta thie't l~p cac day {xk} C intC va {ek} C JRmbdi:

l+ :k'\lxD(xk,xk-l)=ek vdi lET(xk), trong do Ak 2 A > O.

(3.2)

D€ chung minh ke't qua hQi tl,l cua thu~t tmln LQP ta gia sii'ding:

+00

LAkllekll < +00,

k=O

(3.3)

+00

L Ak(ek, ek) < +00.

k=O

(3.4)

Khi do ta co

Dfnh ly 3.1.1 Gia sii' {xk} la day xac dinh bdi (3.2) thoa (3.3)-(3.4) Gia sii' t~p

nghi<%mS* cua bai toan (VI) khac r6ng Khi do {xk} hQi tl,lde'n nghi<%m x* E

S*-Chung minh D~t T = T + No, trong do No la non phap cho bdi

N (x)=

{ {y:(y,u):::;(y,x), VUEC} ne'uxE9,

Vi domT n intO-=I- f/J nen T la toan tii' don di<%u qic d~i [10] va x* E S ne'u va chi

ne'u 0 E T(x*) Hon nua, voi xk E intO thl NO(xk) = 0, do do

Tu (3.1) va (3.2) ta co

p

l ( k-l ) 2

g - e = ~k i=l~ ad2li(x ) -li(X ) - l-( k) ].~ X (3.6)

Dung dinh nghia cua li va tinh don di<%u cua T, tu (3.6) ta du'QcV(x, g) E G(T),

Ak(X - xk,g - ek) 2: L(li(xk)i=l -li(X))(2li(xk) -li(xk-l) - i t(xk)~ ). (3.7)

L§y (x, g) = (x*, 0) trong (3.7) voi x* E S Ap dl,lng B6 d~ 2.3 voi s = li(xk-l), t =

l ( i X k ) va' U = l ( i X*) rOl;,. I'"ay tong,:? 'l-= 1,- ,p, ta du'Qc

Ak(X*- xk, -ek) 2:~(IIA(x* - xk)1I2 -IIA(x* - xk-l)1I2) +~IIA(xk - xk-l)1I2. (3.8)

Suy ra

Ak(X* - xk, -ek) 2:~(IIA(x* - xk)1I2-IIA(x* - xk-l)1I2).

Tu (3.3) va (3.4), ap dl,lngB6 d~ 2.1 ta co {IIA(x*- xk)lI} hQi tl,l Vi A co h~ng

m nen u t lIuliA := IIAuilia chu§:n tren JRmnen {lIx*- xkll} hQi tl,l Tu (3.8), {IIA(xk - xk-l)ll} hQi tl,l de'n 0 va

lim IIxk - xk-lll =O.

z ( k-l)2 Bay giG, d~t Ci,k(X):= (li(xk) -li(X))(2li(xk) -li(xk-l) - iZ:(Xk) ) Tli (3.7) ta co

P

k k 1""

(x - x ,g - e ) ~ ;:- L ,Ci,k(X).

k i=l

(3.10)

Thay s = li(xk-l), t = li(xk), u = li(X), x E C V~lO(1.1) ta duQc

Ci,k(X) ~ (li(xk-l) -li(xk))(3li(X) - (li(xk-l) + 2li(xk))).

Vi {xk} bi ch~n, {li(xk-l) -li(xk)} hQi tt;lde'n 0, {Ak} bi ch~n lien voi m6i x ta

co

1 p

liminfk-too \Ak LCi,k(X) ~ O.

i=l

(3.11)

Voi XOO Ia giOi h'.ln cua {xk} thl do {ek} hQi tt;lde'n 0 lien tu (3.11), la'y giOi h'.ln

trong(3.10) ta duQc

(x - xOO,g)~ 0 V(x, g) E G(T).

Vi T la tmin tli'ddn di~u, clfc d'.lilien tu ba'tding thuc tren ta suy ra 0 ET(xOO),

nghia Ia XOOE S Vi {lIx* - xkll} hQi tt;l voi m6i x* E S lien tO~lllbQ {xk} hQi tl;l

3.2 St;it5n t~i nghi~m cua bili toaD bilt diing thuc bie'n phan.

Trang ph~n nay chung ta chung minh t0n t~i mQt nghi~m cua bai to<in (3.2) Truoc khi chung minh k€t qua nay ta xet lOp ham 8' Lop ham 8' chua ta'"tca

cae ham f : IRP -> IR U{+oo} thoa

(i) f la ham 10i, dong, chinh thuGng voi dam f mo,

(ii) f kha vi tren dam f,

(iii) foo(d) = +00, \;Id# O.

Bay giG chung ta chung minh k€t qua t0n t~i

M~nh d~ 3.2.1 Cha f E 8' Khi do

(i) Anh x~ gradient \7f la taan anh;

(ii) N€u Ala ma tr~n ca'"p(P, m,) p 2:: m,co h,;lllg m, bE IRPvoi (b-A(IRP))ndamf #

0 va h(x) := f(b - Ax) Khi do

(j) h E 8';

(jj) N€u T la anh x~ ddn di~u, cvc d~i thoa damT ndamh # 0 va d~t

U(x) =

{

T(x) +\7h(x), \;Ix E da~T n dam\7h,

thl t0n t~i it nha'"tmQt nghi~m x cua phudng trlnh t6ng quat

(3.12)

Hdn nii'a, nghi~m x duy nha'"tn€u f la ham 10i ng~t tren mi€n cua no.

Chung minh.

(i) Anh x~ gradient \7f la taan anh.

Cha y E IRP,d~t v(x) = f(x) - (y, x) Vi voo(d)= foo(d)- (y,d), ta co

voo(d) = +00 \;Id# O.

Da do t~p t6i u'u S := arg mill v( x) khac r6ng va VI damv la t~p mo nen mQi x nghi~m t6i u'u x d€u thoa \7v(x) = \7f(x) - y = O Tom l~i, \;Iy E IRP,3x E damf, \7f(x) = y, nghIa la \7f(x) taan anh.

(ii) Ta chung minh cae kh~ng dinh sail:

(j) h E 8'

Truoc h€t VI (b- A(IRP))ndamf # 0 nen h la ham chinh thuGng Hdn nii'a, h la ham dong VI f la ham dong va h la ham 10i VI voi mQi x, y Edam h va A E [0,1],

ta co

h(AX+ (1- A)Y) = f(b - A(Ax + (1- A)Y))

= f(A(b- Ax) + (1- A)(b- Ay))

:::; Af(b - Ax) + (1 - A)f(b - Ax)

= Ah(x) + (1- A)h(y).

Hdn nlla, ta c6 hoo(d) = +00, Vd i= O Th~t v~y,

hoo(d) - sup h(x + Ad) - h(x)

f(b - A(x +Ad)) - f(b - Ax)

f(b - Ax + A(-Ad)) - f(b - Ax)

- foo( -Ad).

f E ~ V~y hoo(d) = +00, Vd i= O.

Bay gio ta cftn chung minh h Ia ham kha vi lIen dom h Vi domh = A-1(b

Ham f kha vi lIen dom f ( VI f E ~ ) va ham b- Ax kha vi lIen IRPnen ham h(x) = f(b - Ax) kha vi lIen dom h.

OJ) T6n t~i it nheft mQt nghi~m x cua phudng trinh t6ng quat 0 E U(x)

D~ chung minh r~ng T +'1h la loan anh, ta cftn sii' d\lng k€t qua sau [5] : Cho T la mQt loan tii' ddn di~u cvc d~i va cho og Ia duoi vi phan cua mQt ham l6i, d6ng, chinh thuong duQcdinh nghIa lIen IRmthoa domTn int dom 9 i= 0 Thl

og la loan anh, do d6 T+og cling v~y Vi h la mQt ham l6i, d6ng, chinh thuong, kha vi tren t~p md dom h, va do (1) nen '1h cling loan anh, ham 9 := h thoa teft

thoa 0 E (T + oh)(x) = U(x) Hdn nlla, n€u f Ia ham l6i ng~t lIen dom f, va do

A la ma tr~n cvc d~i nen suy ra h cling la ham l6i ng~t lIen dom h va T + oh

la ddn di~u ng~t Di~u nay chung to t6n t~i duy nheft x sao cho 0 E U(x). .

Ap d\lng M~nh d~ 3.2.1, ta thu duQc k€t qua sau

M~nh d~ 3.2.2 Phudng phap proximal Logarithmic-quadratic cho bai loan beft

t6n t~i duy nheft xk E intO thoa (3.2)

Chung minh Truoc h€t, ta thc1y r~ng (3.2) c6 th~ bi~u di€n duoi d~ng sau

1

D~t T:= T - ek va h(x) := 1kD(x,xk-l), (3.14) c6 th~ duQc vi€t duoi d~ng sau:

0 E T(xk) + '1h(xk) Toan tii' T Ia ddn di~u cvc d~i VIT la loan tii' ddn di~u cvc

d~i va dom T = dom T D~ sii' d\lng M~nh d~ 3.2.1, ta dinh nghIa

P

f(u) = ~k i=l L)Ui - uili(X ) -li(X ) log l.(xk-l/z

R6 rang f E ~, dom f = IR~+va (b- A(IRP))ndomf i=0VI {x : Ax < b}-I-0 Hdn

nlla, h(x) = f(b - Ax) voi mQi x E intO Th~t v~y, theo dinh nghIa cua d, ta c6

f(u) = ;k d(u, l(xk-l)) voi mQi u E IR~+

va do do voi mQi x E int 0, ta duQc

f(b - Ax) = :k d(l(x), l(xk-l)) = :k D(x, xk-l) = h(x).

Ta't ca gia thie't cua M~nh d~ 3.2.1 d~u thoa, VI v~y t6n t<;lixk thoa 0 E T(xk) +

\7h(xk) Hon nfi'a, xk la duy nha't VI f la ham 16i ng~t tren mi~n cua no.