Một phương pháp proximal điểm trong cho bài toán cực tiểu lồi và cho bất đẳng thức biến phân 4

Luận văn thạc sĩ toán học -ngành Toán Giải Tích-Chuyên đề :Một phương pháp proximal điểm trong cho bài toán cực tiểu lồi và cho bất đẳng thức biến phân

Chuong 1

Một Số Bổ Đề Co Bản

"Trong chương này chúng tôi nêu một vài bổ để cơ bản cần thiết cho sự khảo

sát hội tụ của thuật toán trong các chương sau đó

B6 dé 1.1 Cho {v,} va {G,} là hai dấy số thực không âm thỏa:

(2) Đẹ++ € 9y + Ủy, Vk = 1,2,

(it) À >ụ < co

k=1

Khi đó dãy {ø;} hội tụ

Chứng minh

Vm,n € ], m > n, ta có

< Um-2 + Bm-2 + Bm-1

m—1

Un + > Br:

<

k=n

Cho ‹ > 0, vi ; < œ nên tổn tại số tự nhiên nạ thoả > Be < € V6i moi

m>n>no Do d6 um <tu,+e€ Ym > n > nọ Cố định n, cho m —› co, ta có

lim sup vm < Un + €, V6i moi e > 0 Va n > no

Tn¬oc

Bây giờ, cho z — oo ta được

lim sup vm < lim inÝ „ + e, VỚI mỌi e > 0

mn—+co n¬›eo

vay

lim sup vm = lim inf Un:

Trr—>OO

Do vậy {uy} hội tụ

Bổ để 1.2 Cho {A¿} là một dãy số đương, {a„} là một dấy số thực và bạ :=

On’ `Apae, trong đó ơn := À `A¿ Giả sử ø„ —¬ co, khi đó

(1) lim infan < lim inf b,, < limsupb, < limsup an;

+00 +00 n—++00 n—>+oo

(ii) Nếu lim a„=ø<oothì lim bạ

Chứng miỉnh._

(1) Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đầu

Nếu lim inf a„ = —oo thì (ï) hiển nhiên đúng

:r¬+oœo

Ngược lại, ta có Vnw >p > 1

› Ak >- À0 » Anak

k=

inf ag < <* = b„ — =}

Vì

lim —*—= lim (1-=!-]=1va lim & =0,

nên ta có

Vp > 1, inf ay < liminf by

2p n->+co

Cho p — +00 ta thu được bất đẳng thức đầu

(ii) Dễ dàng suy ra trực tiếp từ (¡)

Bổ đề 1.3 Với s > 0, > 0 và u > 0 ta có

(t — u)(2t — s— *)> > Si(u —t)? -(u—s)*] + sứ —8)Ẻ

Chifng minh

Đặt 6 = (t—u)(2t—s — £) Vi = > 2s — t,

ô = 2/2— st— s?— u(2t — s) + 5ˆ

> 22 — st — s2 — u(2t — s) + u(2s — t)

= s(t—s) + 2 — s) — 3u(t — s) (1.1)

= (s—t)(3u—2t-—s)

= (t—s)(s—u)+2(t—s)(t—u)

Mặt khác, ta có:

2(# — s)(s — u) = (w~— #) — (w— 3) — (# — s)”

2(£ — s)( — u) = (u— 8)” — (w— s)Š + (t— 3)”

Thay hai biểu thức trên vào (1.1) ta được kết quả cần chứng minh .