g x log log Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình chứa phép nhân, chia giữa các hàm số mũ.. Giải các phương trình sau 1.
Trang 1Chuyên đề 1: Phương trình Mũ
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1 : Dùng phép biến đổi tương đương đưa
phương trình đã cho về dạng a f x( )=a g x( ) (1)
Khi đó : (1) a f x( )=a g x( ) ⇔ f x( )=g x( )
Dạng 2 : Nếu cơ số a = h(x) là một biểu thức chứa ẩn
số x thì:
1: ( ) 1
2 : ( ) ( )
f x g x
TH h x
TH
f x g x
=
= <=> < ≠
Dạng 3 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt t a= f x( ),t>0 với a và ( )f x thích hợp để đưa
phương trình biến số x đã cho về phương trình mới
biến t, giải phương trình này tìm t (đối chiếu điều kiện t
> 0) rồi từ đó tìm x
Ví dụ: 9x−4.3x−45 0= đặt ẩn phụ t=3 ,x dk t: >0
Ví dụ: 4 x2 + − 5 x−2 x2 + − + 5 x 2 = −4 (đặt t=2 x2 + − 5 x)
BÀI TẬP DẠNG 1
2x− +x =4− x ĐS : {− −2; 3}
2 5x2 − − 5x 6 =1
3 52x =125 ĐS: 3
2
4
3 1
0
x x−
÷ ÷
5 2 6 5
2
2x− −x =16 2 ĐS : {−1;7}
(3 2 2)− x= +3 2 2 ĐS : 1
3
7 5x+ 1+6.5x−3.5x− 1=52 ĐS : { }1
8 32x+ 3.52x+ 3 =3 55x 5x
9 5 11 25 1
+
10 3 2x− 1 2x− 2 =129 −x
11 3x+ 1+3x+ 2+3x+ 3 =9.5x+5x+ 1+5x+ 2 ĐS : { }0
12 3 2x x+ 1=72 ĐS : { }2
13 2 3 5x x− 1 x− 2 =12 ĐS : { }2
14 3 x− 2 =9x− 5
15 34x− 4 =81x− 1 ĐS : x≥1
16 2 (1x x2+ − − =4 x 2) 4 x2+ −4 4x−8 12
17 6x−4.3x− + =2x 4 0 ĐS : { }0;2
BÀI TẬP DẠNG 2
( 1)x x ( 1)
x − + = x − ĐS : {± 2; 3− }
( 1) x 1
2x+2x− +2x− = −3x 3x− +3x− ĐS : 2
4 ( 10 3) 31 ( 10 3) 13
5 8.3x+3.2x =24 6+ x(ĐH QGHN-2000) ĐS:{ }1;3
2x+x−4.2x−x−2 x+ =4 0(ĐH D-2006) ĐS:
BÀI TẬP DẠNG 3
3 9x−8.3x+ =7 0
4x −6.2x + =8 0
5 8x−6.2x− 1+ =2 0 ĐS : 0
6 5x+ 1+51 −x =26 ĐS : 1; -1
8 sin 2 cos 2
2
kπ
9 4 x− 2 + =16 10.2 x− 2 ĐS : 3; 11
10 4 x2 + − 5 x−2 x2 + − + 5 x 2 = −4 (đặt t=2 x2 + − 5 x)ĐS : 2
11.82x 23x x3 12 0
+
− + = ĐS : 3; log 86
12 (7 4 3)+ x+ +(2 3)x− =2 0 ĐS : 0
13 (2+ 3)x+ −(2 3)x =14 ĐS : 2
15.25x −34.15x +15.9x =0
15 6.91x−13.61x +6.41x =0 ĐS : 1; -1
16 3.42x+2.34x=5.36x ĐS : 0; 1/2
17 (3+ 5)x+16.(3− 5)x =23 +x ĐS : (3 5)
2
log + 4
18 32x2 + − 6x 9+4.15x2 + − 3x 5 =3.52x2 + − 6x 9 ĐS : 1; -4
Dạng 4 : Phương pháp lôgarit hóa
Trang 2Chuyên đề 1: Phương trình Mũ
Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng
sau :
• f x( ) ( ) log
a
• f x( ) g x( ) ( ) ( )log
a
• f x( ) g x( ) ( ) ( )log log
Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các
phương trình chứa phép nhân, chia giữa các hàm số
mũ
VD Giải các phương trình sau
1 2
3 2x x =1 ĐS : 0; log 2− 3
2 4 2
2 2x− =3x− ĐS : 2;log 2 23 −
3 5x2 − + 5x 6 =2x− 3 ĐS : 3;2 log 2+ 5
1
4 3 4 18
x
x x
−
= ĐS : 2; log 2− 3
5 8 2 36.32
x
x
x+ = − ĐS : 4; 2 log 2− − 3
6 5 x =7 x ĐS : 7 5
5
log (log 7)
7 53 log− 5x =25x ĐS : 5
log 5
4 3
8 5x =5 x ĐS : 1 4
; 5 5
9 9.xlog 9x =x2 ĐS : 9
1
10 5 8 500
x
x x
−
= ĐS : 3; log 2− 5
Dạng 5 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm
số
Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó
là nghiệm duy nhất)
Đưa phương trình đã cho về dạng ( )f x =g x( ) (*)
• Bước 1 : Chỉ ra x là một nghiệm của phương 0
trình (*)
• Bước 2 : Chứng minh ( )f x là hàm đồng biến,
( )
g x là hàm nghịch biến hoặc ( ) f x là hàm đồng biến,
( )
g x là hàm hằng hoặc ( ) f x là hàm nghịch biến,
( )
g x là hàm hằng Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm
Cách 2 :Đưa phương trình đã cho về dạng
( ) ( )
f u = f v , rồi chứng minh f là hàm số luôn đồng
biến (hoặc luôn nghịch biến trên D) Từ đó suy ra
( ) ( )
f u = f v ⇔ =u v
Ví dụ 1: Giải phương trình 3x+ − =x 4 0
Cách 1 : 3x+ − = ⇔ + =x 4 0 3x x 4 (*)
• Ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình (*)
• Đặt : ( ) 3
( ) 4
x
g x
Ta có : '( ) 3 ln 3 1 >0 xf x = x + ∀
Suy ra ( ) 3f x = +x x là hàm đồng biến trên R
Mà ( ) 4g x = là hàm hằng
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là x=1
Cách 2 : 3x+ − = ⇔ + =x 4 0 3x x 4 (*)
Ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình (*)
• Nếu x>1, ta có
1
1
x x
> =
>
3x x 3 1 4
• Nếu x<1, ta có
1
1
x x
< =
<
3x x 3 1 4
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là x=1
Ví dụ 2: Giải phương trình 2 32 1
x
x = +
Ta có : 2 32 1
x
x = + ⇔2x =( 3)x+1
1 ( 3) ( )1
• Ta thấy x=2 là một nghiệm của phương trình (*)
•Đặt :
( )
( ) 1
f x
g x
Ta có
÷ ÷ ÷
Suyra ( ) ( 3) ( )1
f x = + là hàm nghịch biến trên R
Mà ( ) 1g x = là hàm hằng Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là x=2
Giải các phương trình sau:
1 3.8x+4.12x−18x−2.27x=0 ĐS : 1
2x−x−2 + −x x =3 ĐS : -1; 2
3 ( 2 1)− x+( 2 1)+ x−2 2 0= ĐS : 1; -1
4 4.3 9.2 5.62
x
x− x = ĐS : 4
5 22x2 + 1−9.2x2 +x+22x+ 2 =0 ĐS : -1; 2
6 25x+15x =2.9x ĐS : 0
7 125x+50x=23 1x+ ĐS : 0
8 4x2 − + 3x 2+4x2 + + 6x 5 =42x2 + + 3x 7+1 ĐS : 1;2; 5± −
( 7 4 3 )+ x+( 7 4 3 )− x=4 ĐS : kπ
10 23 6.2 3( 1)1 12 1
x− x