2300 bài tập tổng hợp ôn thi đại học môn toán

Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.. Chứng tỏ rằng trong các tiếp tuyến của đồ thị C thì tiếp tuyến tại điểm

Viết PTTT tại điểm thuộc đồ thị

10 Cho hàm số y=- x4 +2x2 , có đồ thị (C) Viết PTTT của (C) tại điểm A( 2;0) (ĐH Thái Nguyên D01)

11 Cho y x4 2x2 3 , có đồ thị (C) Viết PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 (ĐH





 , có đồ thị (C) Viết PTTT của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành.

14 Cho hàm số 2 1

2

y x

+

-= + , có đồ thị (C) Viết PTTT của (C) tại điểm x  (CĐSP0 1Cần Thơ A01)

hoành (ĐH BK76)

, có đồ thị (C) Lập PTTT với (C) tại điểm có tung độ bằng 1.

20 Cho hàm số y x3mx2 m 1 Viết PTTT tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn

đi qua với mọi giá trị của m (ĐH AN A00)

21 Cho hàm số y=x3 +3x2 +mx, có đồ thị (C )m Viết PTTT của (C ) m tại điểm uốn của

nó CMR tiếp tuyến đó đi qua điểm M(1;0) khi và chỉ khi m=4 (ĐH Thăng Long A01)

22 Cho hàm số y x3 3mx 3m 2 , có đồ thị (C )m CMR tiếp tuyến với (Cm tại điểm) uốn luôn đi qua một điểm cố định.

" Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc" Ngạn ngữ Gioócđani

" Giá trị đích thực của một ngời là ở nhân cách chứ không ở của cải" (Balaxkiơ)

23 Cho hàm số y x3 3x2 mx

   , có đồ thị Cm Viết PTTT của  Cm tại điểm uốn.

Chứng minh rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(1; 0) khi và chỉ khi m = 4.

24 Cho hàm số y ax 3bx2cx d ; giả sử rằng a > 0 Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.

(Với trờng hợp a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn sẽ có hệ số góc lớn nhất).

25 Cho hàm số 1 3 1

3

y x  x , có đồ thị (C) Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị (C), h yãy

tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất (HV QHQT 0102)

26 Cho hàm số y x3 3x2 3x 1 , có đồ thị (C) Tìm trên (C) những điểm mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc lớn nhất.

27 Cho hàm số y x3 3x2 9x 5

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số, h y tìm tiếp tuyến có hệ số gócãy

nhỏ nhất.

28 Cho hàm số y x3 3x2 2

   , có đồ thị (C).

a Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C).

b Chứng tỏ tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất (ĐHDL Duy Tân 0102)

29 Cho hàm số y mx 3 3mx2  2m 1x , trong đó m là tham số thực (Viện ĐH Mở 2

Hà Nội 0102)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với giá trị m = 1.

b Viết phơng trình của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn.

c Chứng tỏ rằng trong các tiếp tuyến của đồ thị (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.

30 Cho hàm số y 2x3 3x2 1 , có đồ thị (C) Tìm trên (C) điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất (ĐH Ngoại Ngữ CB00)

31 Cho hàm số y 2x3 3mx2 2m 1

    , trong đó m là tham số thực.

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với giá trị m = 1.

b Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất.

c Với giá trị nào của m thì hàm số đ cho nghịch biến trên khoảng (1; 2).ãy (ĐH Ngoại ngữ 0001)

a Viết PTTT của (C) tại điểm M(1;0)

b CMR tiếp tuyến tại M có hệ só góc lớn nhất so với mọi tiếp tuyến khác của (C) (ĐH Nông Nghiệp I-97)

34 Cho hàm số y x4 2mx2 2m 1 , có đồ thị (C )m

a CMR (C )m luôn đi qua hai điểm cố định A, B.

b Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm A, B vuông góc với nhau (ĐH Huế 98)

a Giả sử A là điểm trên (C) có hoành độ a Viết phơng trình tiếp tuyến (d) của (C) tại

điểm A.

b Xác định a để (d) đi qua điểm M(1;0) Chứng tỏ rằng có hai giá trị của a thoả m n điềuãy

kiện của bài toán và hai tiếp tuyến tơng ứng là vuông góc với nhau.

44 Cho hàm số   



2 2

x m

Xác định m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 2 điểm phân biệt

mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau (ĐH CSND G00)

, có đồ thị (C) Tìm tất cả PTTT của (C) biết mỗi một trong các

tiếp tuyến đó cùng với các trục tọa độ giới hạn một tam giác có diện tích bằng 1

2 (ĐH KTQD A00)

Viết PTTT biết nó đi qua điểm M x y0 ( ; ) 0 0

1 Cho hàm số yx3 3 1  x , có đồ thị (C) Lập PTTT với (C) biết nó đi qua điểm 2

3 Cho y 2x3 3x2 1 , có đồ thị (C) Qua điểm A(0;-1) viết các PTTT với (C) (ĐH DL

Đông Đô-A00)

4 Cho hàm số yx3 x2, có đồ thị (C) Lập PTTT với (C) biết nó đi qua điểm N   2; 4.

5 Cho hàm số y=x3 - 3x2 + Viết PTTT của (C) đi qua điểm A(-1;2) (ĐH DL Phơng2

22 Cho hàm số x3 + 3x2 + 4 Viết PTTT của (C) đi qua điểm A(0;-1) (CĐ Kinh Tế Kĩ ThuậtI-A04)

7 Cho hàm số y 3x 4x , có đồ thị (C) Viết PTTT của (C) biết nó đi qua M(1;3) (ĐH Tây3

a Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

c Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 6).

T (ĐH CSND-A00).

+

=

- , có đồ thị (C) Xác định a để từ điểm A(0;a) kẻ đợc hai tiếp tuyến

đến (C) sao cho hai tiếp tuyến tơng ứng nằm về hai phía đối với trục Ox (ĐHSP TP.HCM-A01)

23 Cho hàm số 3 2

2

x y x





 , có đồ thị (C) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai đờng tiệm cận của đồ thị đó.

a CMR với mọi aạ - 2 và aạ - 1 từ điểm A(a;0) luôn kẻ đợc hai tiếp tuyến đến (C).

b Với giá trị nào của a thì hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với nhau (CĐSP Quảng Bình 05)

10 Cho hàm số   



2 1

y

x

, có đồ thị (C )m Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hai

tiếp tuyến với đồ thị (C )m kẻ từ O(0;0) vuông góc với nhau (ĐH DL Hùng Vơng B00)

12 Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x xln đi qua điểm M(2;1) (ĐH XD 01)

6 Cho hàm số  



2 1 1

x y

x Viết PTTT với (C), biết nó song song với đờng thẳng y=-x (ĐH

Đà Lạt-D00)

8 (HV CNBCVT-2000) Cho hàm số

2 1 1

x x y

2 Cho hàm số y x3 3x2 2 , có đồ thị (C) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng 5y-3x+4=0 (ĐH Nông NghiệpI-B99)

c Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến qua gốc toạ độ.

d Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C).

e Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(1; 4).

f Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết nó song song với y 9x 1

g Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết nó vuông góc với 1 19

y x

3 Cho hàm số y (m 1)x3 (2m 1)x m 1 , có đồ thị (C )m (ĐH SP Vinh-A99)

a.CMR với mọi m đồ thị hàm số đ cho đi qua 3 điểm cố định thẳng hàngãy

b.Với giá trị nào của m thì (C )m có tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng đi qua 3 điểm cố

định trên.

4 Cho hàm số y x4mx2 (m 1) , có đồ thị (C )m

a Tìm các điểm cố định của (C )m khi m thay đổi.

b Gọi A là điểm cố định có hoành độ dơng của (C )m Tìm giá trị của m để tiếp tuyến với(Cm tại A song song với đờng thẳng y=2x (ĐH SP Vinh-G99))

điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau.

25 Cho hàm số y x3 3x2 3x 5

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai điểm sao cho hai tiếp tuyến tại hai điểm

đó vuông góc với nhau.

c Xác định k để trên (C) có ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y kx

26 Cho hàm số 2

2

x y x





 , có đồ thị (C) Lập PTTT với (C) biết nó song song với phân giác của góc phần t thứ nhất tạo bởi các trục toạ độ.

a Có hệ số góc là 2.

b Song song với đờng thẳng y x 1.

c Vuông góc với đờng thẳng 4

y x

 



 Tìm trên đồ thị hàm số đãy cho những điểm

sao cho tiếp tuyến tại đó của đồ thị vuông góc với tiệm cận xiên của nó

 

 Viết phơng trình các tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết các

tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y=-3x+1

11 (ĐH DL Hải Phòng-A2000) Cho hàm số yx3  3x2 Viết phơng trình các tiếp tuyến2

của đồ thị (C) vuông góc với đờng thẳng 1 2

y=- x+

13 (ĐH KTQD-2001) Cho hàm số 1

(C) 3

x y x

+

=

- Tìm toạ độ các giao điểm của các đờng

tiếp tuyến của đồ

thị hàm số (C) với trục hoành, biết rằng các tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng y=x+2001

14 (ĐH AN-A2001) Cho hàm số

(C) 1

x x y

tại A vuông góc với đờng thẳng đi qua A và qua tâm đối xứng của đồ thị

15 (ĐH AN-D2001) Cho hàm số y= -x3 3x2 Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số trên, biết

rằng tiếp tuyến ấy vuông góc với đờng thẳng 1

tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y=-x

17 (ĐH DL Đông Đô-BD2001) Cho hàm sốy= -x3 3x2+ 1 (c) Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị

hàm số biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng (d): y=9x+2001

x=-1 Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại M song song với đờng thẳng 5x-y=0

20 (CĐ SP Hải Phòng-2004) Cho hàm số y=- x3+ 3x Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết

tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y=-9x

21 (CĐ Công Nghiệp HN-2004) y=- x3+ 3x2- 2 Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp

tuyến đó song song với đờng thẳng y=-9x

22 (CĐ Kinh Tế Kế Hoạch Đà Nẵng-2004) Cho hàm số

(C) 1

x x y

- Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị

(C), biết tiếp tuyến

song song với đờng thẳng 3

15 4

x

+ +

= + Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến đó

vuông góc với đờng

thẳng x- 3y+ = 3 0

25 (ĐH AN-A99) Cho hàm số 9 (C)

1

x x y

x

 



 Viết phơng trình parabol đi qua điểm cực

đại, cực tiểu của

đồ thị hàm số (C) và tiếp xúc với đờng thẳng 2x-y-10=0

26 (ĐH AN-DG99) Cho hàm số 3 2

yx  x  Viết phơng trình parabol đi qua điểm cực

đại, cực tiểu của

đồ thị hàm số và tiếp xúc với đờng thẳng y=-2x+2

27 (ĐH Tây Nguyên-D2000) Cho hàm số 3 2

yx  x  Đờng thẳng (d) có phơng trình

y=5 tiếp xúc với

đồ thị tại điểm A và cắt tại điểm B Tính tọa độ điểm B

28 (ĐH DL Đông Đô-A2001) Cho hàm số

2 (C) 1

x y x

=

- Tìm điểm M thuộc nhánh phải

của đồ thị (C) mà

tiếp tuyến tại M vuông góc với đờng thẳng đi qua điểm I và M (I là giao 2 tiệm cận)

29 (ĐH Y Thái Bình-hệ ngắn hạn 2001) Cho hàm số y=- x3+ 9 (C)x Viết phơng trình ờng thẳng (d) đi

đ-qua điểm A(3;0) và có hệ số góc k với k=? để đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của (C)

30 (HV Ngân Hàng TPHCM-D2001) Cho hai parabol: y=x2- 5x+ và 6 y=- x2 + 5x- 11 Viết phơng

trình tiếp tuyến chung của 2 parabol trên

31 (ĐH DL Văn Hiến-A2001) Cho hàm số y= - (x 1)(x2+mx+m) Tìm các giá trị của m để

đồ thị hàm số

tiếp xúc với Ox Xác định toạ độ của tiếp điểm trong mỗi trờng hợp của m

32 (CĐ SPHN-D 1 2001) Cho hàm số y= -x3 3x2+ -m 1 (C )m Tìm k để đờng thẳng (d): y=k(x-2)+m-5 là

tiếp tuyến của đồ thị (C m )

33 (ĐH CĐ-D2002) Cho hàm số

2 (2 1)

(C) 1

2 2

) 2 (

3

24

x x

dx I





dx x x

 3

2

9 x

dx x I

I

dx x

0

2 ) 1 (x e dx



dx x tg x I

1

sin

.

x

dx x

5 cos 2 sin 3 sin





dx x x



dx I



xdx x

x I

Phương trình lượng giác

Bài 1/ Cho phương trình lượng giác: a x

x

x

2 sin 2

) 2 cos 1 ( sin

2 2





a/ Giải phương trình với a=2

b/ Giải và biện luận nghiệm phương trình theo a

Bài 2/ a/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

x

x y

4 cos 3

4 cos 2



b/ Tìm m để phương trình: sin 4 x cos 4x m2 cos 2 4x



Bài 3/ Chứng minh rằng:

2   

b/

x

x tgx

x

cos 2 cos 5 sin

1 4

y

2/ Tim m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:

0 cos

3 )

Bài 7: Giải phương trình: 3 sin 2x 3 cos 2x  3 2 cos 2x

Bài 8: Giải phương trình: 3 sin 2 2 cos2 3 1 sin 2 2 sin2 28



  

x

Bài 9: Giải phương trình: 2 (tgx sinx)  3 (cotgx cosx)  5  0

Bài 10: Giải phương trình:

x x

x

x

x g tgx

cos 3

cos

5

6 cos 2 4 cos

2

cot 3

2 3

x x

4 cos 2

sin 2 cos 3

2 sin 2 2 cos







Bài 12: Cho phương trình: 2 cosx cos 2x cos 3xm 7 cos 2x

a/ Giải phương trình với m=-7

b/ Tìm m để phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm   

8

, 8

b/ Giải và biện luận nghiệm phương trình theo m.

Bài 14: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

4

9

; 4

a/ Giải phương trình với m41

b/ Giải và biện luận nghiệm phương trình theo m

Bài 17: Cho phương trình: msinx (m 1 ) cosx 3  2m

a/ Giải phương trình với m 4

x x

2 sin

cos

sin cos

2 2

6 6

Bài 20: Cho phương trình: Cos2xm cos 2x 1 tgx

1/ Giả phương trình với m=1

Hệ thức lượng tam giác

Bài 1/ Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện sau thì là tam giác đều:

S m

2 2

2

2 sin 2 2 cos 2

sin 2 2 cos 2

B A c B

C A b A

A bc

'

1 1

BB AA AA

Khi nào dấu bằng sảy ra

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, thì độ dài các cạnh b,c,là các nghiệmcủa phường trình:

0 2 sin

1 ) 4 ( 4

1

2

2 2 2

k kx

Trong đó: ma là độ dài đường trung tuyến kẻ từ A, k=b+c

Bài 5: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:

2 2 2

cot cot

cot

2 2 2 3

2 2 2

C tg B tg A tg

c b a gC

gB gA

c b a

Thì tam giác ABC đều

Bài 6: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có:

2 sin 2 cos

2 2

.

2

2 sin 2 sin 2

sin 2 cos 2 cos 2

sin 2 cos 2 cos 2

sin 2 cos

tg

A

tg

C B A B

A C

A C

B C

sin (sin

cos

sin cos

g B A B

B A

A





Thì tam giác ABC là tam giác cân

Bài 9: Chứng minh rằng tam giác ABC thoả mãn điều kiện:

2 sin 2 sin 2

h a Thì tam giác ABC là tam giác vuông

Bài 10: Chứng minh rằng tam giác ABC thoả mãn điều kiện:

) ( p a p b p c p

m m

m a b c      Thì tam giác ABC là tam giác đều

(trong đó tam giác ABC có các cạnh là a,b,c, các đường trung tuyến là m a, m b, m cvà p

là nửa chu vi)

Phương trình- Bất phương trình mũ, logarit

Bài 1: Cho bất phương trình: 9 2 2 ( 2 1 ) 6 2 2 4 2 2 0

a/ Giải bất phương trình với m=6

b/ Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng x thoả mãn: x 12

nghiệm đúng với mọi x 0

Bài 4: Giải bất phương trình: 3 25 2 ( 3 10 ) 5 2 3 0

Bài 7: Tìm m để phương trình: ( 1)log ( 2) ( 5)log ( 2) 1 0

2 1 2

2

m

có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: 2 x2x2 4

3 2

) 1 ( log ) 1 ( log

2

2 4

x x

Bài 9: Giải phương trình: (x2  1 ) lg 2 (x2  1 )  m 2 (x2  1 ) lg(x2  1 ) m 4  0 biết rằng 4

m=-Bài 10: Tìm m để bất phương trình: logn( 9x2  9 )  logn(mx2  4xm) nghiệm đúng với mọi

x biết rằng nN

Hình phẳng

Bài 1: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là: x+y-9=0, các đường cao quađỉnh A, B lần lượt là (d1): x+2y-13=0 và (d2): 7x+5y-49=0 Lập phương trình cạnh AC,

BC và đường cao thứ ba

Bài 2: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(3,5); đường cao vàtrung tuyết kẻ từ một đỉnh tương ứng là:

(d1): 5x+4y-1=0 và (d2): 8x+y-7=0

Bài 3: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2,-1) sao cho đường thẳng đó cùngvới hai đường thẳng (d1): 2x-y+5=0 và (d2): 3x+6y-1=0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh

là giao của hai đường thẳng (d1) và (d2)

Bài 4: Viết phương trình các cạnh của một hình vuông biết đỉnh A(2,1) và một đườngchéo là (d): x+y+1=0

Bài 5: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh B(2,-1); đường cao vàphân giác trong qua đỉnh A và C lần lượt có phương trình (d1): 3x+4y+27=0 và (d2):x+2y-5=0

Bài 6: Cho tam giác ABC có các cạnh là: x+2y-5=0; 2x+y+5=0 và 2x-y-5=0

a/ Tính các góc của tam giác ABC

b/ Tìm phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC

c/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 7: Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng có phương trìnhlà(d1): 2x-y=0 và (d2): x-2y+2=0 và có tâm thuộc đường thẳng (d): x+y-1=0

Bài 8: Cho đường tròn (C): (x-1)2+(y-3)2=4 và điểm M(2,4)

a/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A,

B sao cho M là trung điểm AB

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc k=-1

Bài 9: Cho hai đường tròn: (C1): x2+y2-10x+24y=56 và

(C2): x2+y2-2x-4y=20

Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn đã cho

Bài 10: Cho đường tròn (C): x2+y2-2x-4y-4=0 và điểm A(-2,2) Hãy tìm phương trìnhtiếp tuyến của của đường tròn kẻ từ A Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tạiM,N tính diện tích tam giác AMN

Bài 11: a/ Lập phương trình chính tắc của (E) biết trục lớn thuộc Oy và có độ dài bằng

10, tiêu cự bằng 6, nhận 0x, 0y làm trục đối xứng

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tìm được biết tiếp điểm M có hoàn độ xM=3.Bài 12: Cho (E) có phương trình : 9x2+4y2=36

a/ Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tính tâm sai của (E) đó

b/ Cho M(1,1), lập phương trình đường thẳng đi qua M cắt (E) tại hai điểm A,B sao choMA=MB

Bài 13: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai Elíp sau: