Văn Phong Hình học giải tích trong không gian CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Các bài toán về điểm, đường thẳng, mặt phẳng Dạng 1: Cho APd... Viết phương trình đườn
Trang 1Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
Các bài toán về điểm, đường thẳng, mặt phẳng Dạng 1: Cho A(P)d. Lập phương trình đường thẳng d’ qua A, d
+ Xác định tọa độ giao điểm A
+ Lập phương trình mặt phẳng (Q)
- Đi qua A
- d
+ d'(P)(Q)
Dạng 2: Cho d1 và d2 chéo nhau Viết phương trình (P) // và cách đều d1 và d2
+ Xác định u d1,u d2
2
1
d B
d A
tọa độ trung điểm I + Lập (P) đi qua I và có cặp vtcp u d1,u d2
Dạng 3: Cho d1//d2 Viết phương trình đường thẳng d // và cách đều d1, d2 và thuộc mp chứa d1, d2
+ Xác định u d1 u d2
+ Lấy
2
1
d B
d A
tọa độ trung điểm I
+ Khi đó d đi qua I và có vtcp u u d1 u d2
Dạng 4: Cho d 1 cắt d 2 Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d 1 và d 2
+ Tìm tọa độ I d1d2 Lấy Ad1 (AI)
+ Gọi B d2 thỏa mãn AI = BI => hai điểm B1, B2
- Với B1 tọa độ trung điểm I1 của AB1
1
1
II vtcp có
I qua
- Với B2 (tương tự)
Dạng 5: Cho d1 và d2 đồng phẳng Viết (P) chứa d1 và d2
d B
d A
d
P) 1,
( 2
1
và (P) đi qua A (hoặc B)
Trường hợp d 1 cắt d 2 + Lấy A d1 hoặc A d2 n(P) u d1,u d2 và (P) đi qua A
Trường hợp d1 cắt d2 Trường hợp d1//d2
P
A d
P
A
I A
A
d
u1
u 2
d 1
d 2
I
A I
B
1
I2
d1
d2 d'
d''
1
B2
P
Q
A d
d'
P
A
u 1
u 2
d 1
d 2
P
d 1
d 2
u 1
u 2
Trang 2Dạng 6: Cho d1 và d2 chéo nhau Viết phương trình đường thẳng d vuông góc chung
Cách 1:
+ Xác định u d1,u d2 Gọi u là vtcp của d u
u u
u u
d
d
2 1
+ Viết (P1) chứa d1 và có cặp vtcp u d1,u
+ Viết (P2) chứa d2 và có cặp vtcp u d2,u
+ Khi đó d (P1)(P2)
Cách 2: (d1 và d2 cho dạng tham số)
+ Gọi AB là đoạn vuông góc chung
2
1
d B
d A
Do đó tọa độ A, B thỏa mãn phương trình d1 và d2
và suy ra tọa độAB
2
1
d AB
d AB
tọa độ A, B
+ Viết phương trình đường thẳng AB
Cách 3: (nếu d 1 và d2 chéo nhau và d 1 d2)
+ Dựng (P1):
2 1
1 1
) (
) (
d P
P d
+ Dựng (P2):
1 2
2 2
) (
) (
d P
P d
+ Khi đó d (P1)(P2)
Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng qua A, cắt d1 và d2 cho trước
+ Viết (P):
) (
) (
d
P A
+ Viết (Q):
) (
) (
d
Q A
- Nếu (P) (Q) => bài toán có vố số nghiệm
- Nếu (P)(Q) Gọi d (P)(Q)
Nếu d//d1 hoặc d//d2: bài toán vô nghiệm
Nếu không thì d là đường thẳng cần tìm
Cách 2: (nếu d1, d2 viết dưới dạng tham số)
+ Giả sử:
C d d
B d d
2
1
Khi đó tọa độ của B, C thỏa mãn phương trình của d1 và d2
+ Do A, B, C thẳng hàng nên: AB AC k tọa độ của B, C
+ Viết phương trình đường thẳng AB
d
1
d 2
1
P2
u 1
u2
d
d2 1
P2
u1
u2
d
d 1
d 2
u
u 2
A
B
1
d Q
P
A
d1 d2
u1 u2
d A
d
B
C
u 2
u 1
2
d 1
Trang 3Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với d1 và d2
Cách 1:
+ Dựng (P):
1 )
A qua
+ Dựng (Q):
2 )
A qua
+ Khi đó d (P)(Q)
Cách 2: + Xác định u d1,u d2
+ Gọi u là vtcp của d 1 2
1
,
2
d d d
d
u u u u
u
u u
+ Viết phương trình d:
u vtcp có
A qua
Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng qua A, d1 và cắt d 2
Cách 1: + Dựng (P):
1 )
A qua
+ Dựng (Q):
( )
d
A qua
- Nếu (P) (Q) => bài toán có vố số nghiệm
- Nếu (P)(Q) Gọi d (P)(Q)
Nếu d//d1hoặc d//d2: bài toán vô nghiệm
Nếu không thì d là đường thẳng cần tìm
Cách 2: (d1 và d2 cho dưới dạng tham số)
+ Giả sử dxd2 = B => B thỏa mãn phương trình của d2 AB
+ Vì d d1 ABu d1 AB.u d1 0tọa độ B
+ Viết phương trình đường thẳng d:
AB vtcp có
A qua
Dạng 10: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P)
+ Viết phương trình tham số của d:
(P)
A qua
+ Khi đó A'd(P)
Dạng 11: Tìm điểm đối xứng của A qua (P)
+ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P)
+ Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên (P)
+ H là trung điểm của AA’ => tọa độ của A’
2
A
d
d 2
u 1
u
A
d
d2
P
u1
u2
d
d 1
d 2
u 1
u 2
A B
P
A
A'
A
d1
P
Q
d2 d
u1
u2
P
A
H
A'
Trang 4Dạng 12: Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua (P)
Trường hợp 1: d//(P)
+ Lấy A d
+ Xác định A’ đối xứng với A qua (P)
+ Lập phương trình d’ qua A’ và song song với d
Trường hợp 2: d(P)A
+ Lấy B d
+ Xác định B’ đối xứng với B qua (P)
+ Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A và B’
Dạng 13: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P)
+ Viết phương trình (Q) chứa d và (P)
+ Khi đó d'(P)(Q)
Dạng 14: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên d
Cách 1:
+ Viết (P):
d
A qua
+ Tọa độ giao điểm A'd(P)
Cách 2: (d cho dưới dạng tham số)
+ A ' d nên A’ thỏa mãn phương trình của d tọa độ AA '
+ A’ là hình chiếu vuông góc của A xuống d nên AA.'u d 0tọa độ điểm A’
Dạng 15: Tìm điểm đối xứng của A qua d
+ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d
+ Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên d
+ H là trung điểm của AA’ => tọa độ A’
Dạng 16: Cho 2 điểm Ax A,y A,z A, Bx B,y B,z B và (P) Tìm M(P) sao cho MA + MB nhỏ nhất?
Bước 1: Xác định vị trí tương đối của A và B so với (P)
+ Nếu A và B khác phía so với (P): thực thiện theo bước 2
+ Nếu A và B cùng phía so với (P): thực hiện theo bước 3
Bước 3: Tìm tọa độ A1 đối xứng với A qua (P)
B
B' H
d'
P
A d
P
d
d'
A ud
Q
P
A A'
ud d
u d
d
A
H
A'
d
u d
P
A
A' H
d
d'
Trang 5Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
+ Viết phương trình tham số của A1B
+ Tìm N A1B(P) Thực hiện bước 5
+ Lấy M (P) ta có MA + MB AB = NA + NB
+ Dấu “=” xảy ra M N
+ Lấy M (P) ta có MA + MB = MA1 + MB A1B = NA1 + NB
+ Dấu “=” xảy ra M N
P
M A
P
A
A1
B
M=N
Trường hợp A và B nằm khác phía với (P) Trường hợp A và B nằm cùng phía với (P)
Đối với các bài toán về tìm điểm thuộc đường thẳng d hay tìm điểm thuộc (P) thỏa mãn một tính chất K nào đó thì các em áp dụng các phương pháp đã học để thiết lập tính chất K cho điểm M từ
đó tìm ra được tọa độ điểm M
14 ĐIỀU RĂN
1 Kẻ thù lớn nhất của đời người là chính mình
2 Ngu dốt lớn nhất của đời người là dối trá
3 Thất bại lớn nhất của đời người là tự đại
4 Bi ai lớn nhất của đời người là ghen tỵ
5 Sai lầm lớn nhất của đời người là đánh mất mình
6 Tội lỗi lớn nhất của đời người là bất hiếu
7 Đáng thương nhất của đời người là tự ti
8 Đáng khâm phục nhất của đời người là vươn lên sau khi vấp ngã
9 Phá sản lớn nhất của đời người là tuyệt vọng
10 Tài sản lớn nhất của đời người là sức khỏe và trí tuệ
11 Món nợ lớn nhất của đời người là tình cảm
13 Khuyết điểm lớn nhất của đời người là kém hiểu biết
14 An ủi lớn nhất của đời người là bố thí
Trang 6CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1 DẠNG 1: Viết ptmp() đi qua ba điểm M,N,P cho trước (M, N, P không thẳng hàng)
CÁCH GIẢI
Tính MN , MP
Tính n MN, MP
Dạng( ): A(x x ) 0 B(y y ) C(z 0 z ) 0 0
Thế M(x , y , z ), n (A, B, C) 0 0 0
vào pt( )
Đặc biệt: mp( ) đi qua A,B,C với A(a,0,0), B(0,b,0),C(0,0,c); (a,b,c 0)
Dạng( ): x y z 1
2 DẠNG 2: Viết ptmp( ) đi qua M cho trước và song song mp( ): Ax+By+Cz+D=0
CÁCH GIẢI
mà
Dạng( ): A(x x ) 0 B(y y ) C(z 0 z ) 0 0
Thế M(x , y , z ), n (A, B, C) 0 0 0
vào pt( )
3 DẠNG 3: Viết ptmp đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước
CÁCH GIẢI
u d Tìm
( ) (d) n u d
Dạng( ): A(x x ) 0 B(y y ) C(z 0 z ) 0 0
Thế M(x , y , z ), n (A, B, C) 0 0 0
vào pt( )
Ghi chú: Mặt phẳng trung trực ( ) của đoạn AB là mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm I
của AB, nên ( ) đi qua I và n AB
4 DẠNG 4: Viết ptmp ( ) đi qua M và đường thẳng (d); (với Md)
CÁCH GIẢI Cách 1:
là cặp vtcp của mp( )
d
d
AM,u
Dạng
d
0 0 0
M(x , y , z ) n (A, B,C)
Trang 7Văn Phong Hình học giải tích trong khơng gian
Cách 2:
:
Ptmp( )
thế tọa độ điểm M vào pt ( ).Tìm , Thế , vào pt( ).
M ( ) :
5 DẠNG 5: Cho pt hai đường thẳng d 1 ,d 2 (với d 1 chéo d 2 ).Viết ptmp( ) chứa d 1 và song song d 2
CÁCH GIẢI
1
là cặp vtcp của (
Tìm u , u
Dạng
6 DẠNG 6: Viết ptmp( ) CHỨA d 1và VUÔNG GÓC đường thẳngd 2
CÁCH GIẢI
1
Dạng
2
7 DẠNG 7: Cho pt hai đường thẳngd 1,d 2(vớid 1cắtd 2 ) Viết ptmp( ) chứa d 1,d 2
CÁCH GIẢI
Tìm M thuộc d hoặc d có cặp vtcp nên
mp( ) qua M
Dạng Thế M( , , ) , vào pt ( )
0 0 0
( ) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
x y z n (A, B,C)
8 DẠNG 8: Cho pt hai đường thẳng d 1,d 2(vớid 1//d 2) Viết ptmp( ) chứa d 1,d 2
CÁCH GIẢI
d d
Chú y ù: vì d d nên cùng phương Nên không phải là cặp vtcp của ( ) Tìm vtcp của d hoặc
có cặp vtcp nên
u , u
, N
Dạng
Thế M( , , ) , vào pt ( )
1
0 0 0
, MN ( ) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
x y z n (A, B,C)
Trang 89 DẠNG 9: Cho đường thẳng (d) và mp( ), (với d không vuông góc ( )) Viết ptmp ( ) chứa d và
vuông góc ( )
CÁCH GIẢI
d
Tìm M d Tìm u là 1 vtcp của ( ) có cặp vtcp là và nên Dạng
Thế M( , , ) ,
0 0 0
mp( ) qua M
( ) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
vào pt ( )
10 DẠNG 10: Cho d và mp( ), “d không vuông góc ( )”.Viết ptmp( ) đi qua một điểm M song song với d và vuông góc( )
CÁCH GIẢI
d
Tìm u ,n có cặp vtcp là và nên Dạng
0 0 0
11 DẠNG 11:
0 0 0
CÁCH GIẢI Cách 1:
Dạng ( ) :
0 0 0
x , y , z
Cách 2:
Tìm tâm I của mặt cầu (s)
Dạng
0 0 0
0 0 0
12 DẠNG 12:
CÁCH GIẢI
Tìm tâm I, bk R của (s)
tiếp xúc (s) d(I,( ))=R (Giải tìm D' ) Thế D' vào pt ( )
( )
13 DẠNG 13: Viết ptmp ( ) tiếp xúc với mặt cầu (s) cho trước và song song với hai đường thẳng
d 1 ,d 2 cho trước (với d 1 chéo d 2 )
CÁCH GIẢI
Trang 9Văn Phong Hình học giải tích trong khơng gian
Tìm tâm I, bk R của (s)
The
á D vào pt( )
14 DẠNG 14:
CÁCH GIẢI
(d) ta được Dạng là ẩn số phải tìm Tìm tâm I, bk R của (s)
( tiếp xúc (s) , Giải tìm D) Thế D vào pt( )
d ( ) n u n (A, B, C) ( ) : Ax By Cz D 0 (D )
) d(I, ( )) R (
15 DẠNG 15:
Viết ptmp( ) tiếp xúc với mặt cầu (s) cho tr ước, song song với đường thẳng (d) cho tr ước và vuông góc mp(P) cho tr ước.
CÁCH GIẢI
và
Tìm tâm I, bk R của (s)
d ( P )
Thế D vào pt ( )
16 DẠNG 16: pt mặt cầu (s) và đthẳng (d)
Viết ptmp( ) chứa (d) và tiếp xúc (s).
CÁCH GIẢI
2
Dạng với:
Tìm tâm I bán kính R của (s) ( ) t
2
Thế vào pt( )
,
Văn Phong
Vì cuộc sống là khơng chờ đợi!
Trang 10MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng (d) trong mỗi trường hợp
sau:
a) Đi qua điểm M(2;1;-3) và có vectơ chỉ phương u ( , , )1 2 2
b) Đi qua điểm N(-2;0;3) và song song với đường thẳng (d’) có phương trình: x y z
c) Đi qua điểm K(-4;1;1) và vuông góc mặt phẳng (P) có phương trình: x2y 3 0
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng (d ) đi qua điểm A(1;-2;3) cắt và vuông góc với đường thẳng
(d’): x t
1 1 1
Bài 3: Cho 2 đường thẳng: (d): x y1 z2
2 3 1 và (d’):
z
1 2 1 3 a) Chứng minh rằng (d) và (d’) chéo nhau
b) Tìm điểm A(d), B(d’) sao cho AB nhỏ nhất
Bài 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d): x y z
2 3 5 lên mặt
phẳng (P): x2 y z 2 0
Bài 5: Cho hai đường thẳng song song: (d): x y z
3 1 4 và (d’):
4 18
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và (d’)
b) Tính khoảng cách giữa (d) và (d’)
Bài 6: Cho hai đường thẳng (d): x y z
2 3 5 và (d’):
3 2 1 Viết phương trình chính tắc đường vuông góc chung của (d) và (d’)
Bài 7: Tìm một điểm thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương của các đường thẳng sau:
a) x y t t
z t
1 2
3
3
b) x t
y t z
1 2 1 3
c) x y z
2 1 5 d)
Bài 8: Viết phương trình đường thẳngtrong mỗi trường hợp:
a) Đi qua M(1,-2,3) và có vectơ chỉ phương u ( , ,1 0 2 )
b) Đi qua A(1,-1,2) và B(1,2,3)
c) Đi qua A(1,-1,2) và song song với BC biết B(2,-1,3); C(1,0,4)
Bài 9: Viết phương trình đường thẳngbiết:
a) qua A(-1,2,-5) và song song với (d):
z
1 2 1 3
b) qua B(1,-1,2) và song song với (d): x y z
c) qua D(-1,0,3) va song song với 2 mặt phẳng : x2y z 3 0 và : xy3z0
Trang 11Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
Bài 10: Viết phương trình đường thẳngbiết:
a) Đường thẳngđi qua A(1,-2,0) và vuông góc với mặt phẳng x2y3z 5 0
b) Đường thẳngđi qua B(-1,2,-3) và vuông góc với mặt phẳng 2xy3z 5 0
c) qua E(-2,1,0) và vuông góc với 2 đường thẳng:
: 1
z
1 2 1
2 : x y z
Bài 11: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của:
a) : x2 y2 z1
3 4 1 lên mặt phẳng : x2y3z4 0
b) : x y t t
2
2
1 2 lên mặt phẳng : xy z 3 0
c) : x y z
2 3 1 lên mặt phẳng Oxy
Bài 12: Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d): x y z
3 2 1 trên mặt
phẳng : x3 2y z 15 0
Bài 13: Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d): x1 y2 z3
2 3 1 trên các mặt phẳng: Oxy, Oxz,Oyz
Bài 14: Viết phương trình đường thẳngnằm trong mặt phẳng ( ): y2z0và cắt các đường thẳng
(d1): x y t t
z t
1
4
(d2):
z
2
4 2 1
Bài 15: Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng : 2x y z 0 và cắt hai đường
thẳng (d1): x y t t
1
1
và (d2): x y z
Bài 16: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua M(1,5,0) và cắt cả hai đường thẳng
(d1): x y z
1
2 3 1 (d2):
1 2 2 1
Bài 17: Cho (d1): x y z
3 1 2 và (d2):
2 2 5 2
Viết phương trình đường thẳngqua
M(1,1,1) và cắt cả hai đường thẳng (d1), (d2)
Bài 18: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mp(P): xy z 1 0 và cắt cả hai đường thẳng (d1): x y z
(d2): x y z
Trang 12
Bài 19: Lập phương trình đường thẳngvuông góc với mặt phẳng xOz và cắt cả hai đường thẳng: (d1):
4 3
(d2): x y t t
1 2 3
4 5
Bài 20: Viết phương trình đường thẳngsong song với đường thẳng
3 1 5
và cắt cả hai đường
thẳng (d1): x1 y2 z2
1 4 3 (d2):
1
1 2 2
Bài 21: Viết phương trình đường thẳngsong song với x y z
3 2 1 và cắt cả hai đường thẳng:
(d1): x2 y2z1
(d2): x y z
Bài 22: Viết phương trình đường thẳngqua M(0,1,1), vuông góc với đường thẳng (d1), cắt đường thẳng (d2): x y t t
z t
1 2 2
Bài 23: Viết phương trình đường thẳngqua M(0,1,-1), vuông góc và cắt đường thẳng (d):
d: x y t t
2
1 2
Bài 24: Cho mặt phẳng (P): x2y z 5 0 và đường thẳng (d): x3 y1 z3
a) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d’)
b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d’) của (d) lên mp (P)
c) Viết phương trình đường thẳng (P)vàđi qua giao điểm của (d) và (P) và (d’)
Bài 25: Cho mặt phẳng (P): x yz0 và đường thẳng (d): x y z
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P)
b) Viết phương trình đường thẳngqua A, vuông góc với (d) và nằm trong (P)
Bài 26: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau Nếu cắt nhau, hãy tìm toạ độ giao điểm
a) (d1):
9 5 3
và (d2):
8 4
3 3 b) (d1):
y
2 3 1 4
và (d2): x y z
Bài 27: Xét vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng sau Nếu cắt nhau, hãy tìm toạ độ giao
điểm:
a) (d): x y z
1 1 3 và ( ): x3y z 1 0
b) (d): x1 y3z
2 4 3 và ( ): x3 3y2z 5 0