Sử dụng phép toán véc tơ và hình giải tích giải một số bài toán cơhọc và điện xoay chiều

Đa số học sinh thường dùng phương pháp đại số đểgiải quyết các bài toán còn phương pháp véc tơ thì học sinh rất ngại dùng.Điều đó là rất đáng tiếc vì phương pháp véc tơ dùng giải các bài

Sở giáo dục và đào tạo Hà TĩNH

HèNH GIẢI TÍCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

CƠ HỌC VÀ ĐIỆN XOAY CHIỀU

NĂM HọC 2011-2012

Sở giáo dục và đào tạo Hà TĩNH

- -SỬ DỤNG PHẫP TOÁN VẫC TƠ VÀ

HèNH GIẢI TÍCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

CƠ HỌC VÀ ĐIỆN XOAY CHIỀU

Bộ MÔN: VậT Lý

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Giỏo viờn thực hiện : LÊ MINH ĐứC

Đơn vị cụng tỏc: trờng thpt nghèn

NĂM HọC 2011-2012

MỞ ĐẦU

Trong các đại lượng vật lý, các đại lượng véc tơ chiếm một số lượng khánhiều như: véc tơ độ dời, vận tốc, gia tốc, lực, động lượng, cường độ điệntrường, cảm ứng từ, véc tơ biểu diễn dao động điều hoà Khi học vật lý việcgiải các bài toán là việc làm hết sức quan trọng trong việc hiểu rõ bản chất vật

lý của các hiện tượng Đa số học sinh thường dùng phương pháp đại số đểgiải quyết các bài toán còn phương pháp véc tơ thì học sinh rất ngại dùng.Điều đó là rất đáng tiếc vì phương pháp véc tơ dùng giải các bài toán trongnhiều trường hợp rất hay và ngắn gọn Có nhiều bài toán khi giải bằngphương pháp đại số rất dài dòng và phức tạp còn khi giải bằng phương pháp

sử dụng các phép toán véc tơ thì tỏ ra rất hiệu quả

Trong các tài liệu hiện có, các tác giả thường đề cập đến hai phương pháp,phương pháp véc tơ buộc và phương pháp véc tơ trượt Hai phương pháp đó

là kết quả của việc vận dụng hai quy tắc cộng véc tơ trong hình học: quy tắchình bình hành và quy tắc đa giác Trong hội nghị giảng dạy vật lý toàn quốc,

Hà Nội, 09-11/11/2010, tác giả Chu Văn Biên, Đại học Hồng Đức đã trìnhbày tham luận về việc sử dụng véc tơ trượt giải một số bài toán điện xoaychiều Theo tôi, sử dụng kiến thức véc tơ như vậy là chưa phát huy hết nhữngtiện lợi mà nó mang lại khi giải bài tập vật lý Trên cơ sở đó, tôi đã mạnh dạn

đề xuất nghiên cứu và triển khai đề tài:

‘‘ Sử dụng phép toán véc tơ và hình giải tích giải một số bài toán cơ học và điện xoay chiều’’

Nội dung nghiên cứu được trình bày theo cấu trúc sau:

Phần 1: Nhắc lại một số kiến thức về véc tơ

Phần 2: Sử dụng véc tơ trong một số bài toán cơ học Áp dụng giải cácbài toán ném xiên

Phần 3: Sử dụng véc tơ trong một số bài toán điện xoay chiều

Kết luận.

PHẦN I: VÉC TƠ – CÁC PHÉP TOÁN VỀ VÉC TƠ

1.1 Véc tơ

Véc tơ là một đoạn thẳng có:

+ Một đầu được xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn

+ Hướng từ gốc đến ngọn gọi là hướng của véctơ

+ Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véctơ (Mô đun)

Véctơ có gốc A, ngọn B được kí hiệu là uuurAB; độ dài của uuurAB kí hiệu là uuurAB

Một véc tơ còn có kí hiệu bởi một chữ cái in thường phía trên có mũi tên như:a,b,cr r r

+ Khi đó véctơ OB gọi là véctơ tổng hợp của hai véctơ a ; b: OB=a+b

Hệ thức Chasles (Qui tắc ba điểm):

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn luôn có: AB+BC=AC

(Hệ thức Chasles có thể mở rộng cho n điểm liên tiếp)

Phép cộng hai véctơ đồng qui (Qui tắc hình bình hành): AB+AD=AC(với ABCD là hình bình hành)

Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm O, A, B bất kì ta có: AB=OB−OA

1.2.3 Tích vô hướng

Định nghĩa: a.br r= a b cos(a,b)r r r r

Tính chất: ar⊥ ⇔br a.b 0r r =

a.b b.ar r r r=(a b)(c d) a.c a.d b.c b.dr r r r+ + =r r r r r r r r+ + +

c r

b r

a r

PHẦN II: SỬ DỤNG VÉC TƠ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ HỌC

Trong chương trình vật lý lớp 10, phần cơ học, bài toán ném xiên làmột trong những dạng bài toán khó nhất Phương pháp giải thông thường như

đã được giới thiệu trong sách giáo khoa là xét chuyển động theo hai phươngvuông góc Đây là một cách làm tổng quát mà về nguyên tắc có thể giải đượctất cả các bài toán Nhưng đối với một số bài toán thì cách giải này tỏ ra quảphức tạp và dài dòng Trong phần này chúng tôi xin giới thiệu một cách giảimới là sử dụng các tích véctơ (cả tích vô hướng và hữu hướng) Với phươngpháp giải mới này, lời giải của các bài toán trên sẽ trở nên đơn giản và ngắngọn

1.1 Một số bài toán cơ bản

Bài toán 1: Một hòn đá được ném từ điểm O trên mặt đất với vận tốc ban đầu

hướng tới điểm A Hai điểm O và A cùng nằm trong một mặt phẳng thẳngđứng và điểm A cách mặt đất một khoảng AH = h Một giây sau khi ném hòn

đá rơi trúng điểm H Bỏ qua sức cản không khí, lấy g= 10m/s2 Tìm h?

cos

2 0

0

gt t v

y

t v

x

α α

0

0

g v

y

L OH v

=

= +

=

0 2

.

2 2 0

2 2 0

g h L

h v y

L h L

L v

2 2

m

gt

Bài toán 2: Một hòn đá được ném từ điểm O trên mặt đất, sau 1s nó đến điểm

B Biết rằng vận tốc tại B vuông góc với vận tốc ban đầu Hãy xác địnhkhoảng cách OB Bỏ qua sức cản không khí, lấy g = 10m/s2

Các phương trình chuyển động của hòn đá là:

cos

2 0

0

gt t v

y

t v

x

α α

Khi t = 1s thì:

0 0

2 x y v g v g

Gọi vận tốc của hòn đá tai B là vuurt

, vuurt hợp với phương ngang một góc là β,

ta có: v x =v0 cosα và v y =v0 −gt =v0 −g

Do vận tốc tại B vuông góc với vận tốc ban đầu nên

α

α α

β

cos

sin cot

0

0

v

v g v

v g tg

) ( ) (

2 0

0

t g t V r t r t

s =  − =  +  V V g t t V V t t

2 2

) (0 + 0 +  ⋅ = 0 + 

=

⇒ s t V V t t

2 )

2

m

t g t

v 0 + 

t

g. 

Bài toán 3: Chú chuột Jerry đang ở đầu một nóc nhà (điểm B) còn mèo Tom

ở dưới đất (điểm A) Tom định dùng súng cao su bắn vào Jerry nhưng Jerryphát hiện ra và quyết định bắn trả lại Hai viên đạn bắn ra đồng thời, hai viênđạn va vào nhau ở chính giữa đoạn AB Tính độ cao H của nóc nhà Biết góchợp bởi AB với phương ngang là ϕ= 300, vận tốc viên đạn từ súng của Tom

là 7m/s còn Jerry bắn theo phương ngang Bỏ qua sức cản không khí, lấy g =10m/s2.[3]

Giải:

- Phương pháp tọa độ:

Chọn hệ trục xOy như hình vẽ

Gọi α là góc bắn của Tom

Các phương trình chuyển động của đạn do Tom bắn là:

cos

2 1

1

1 1

gt t v

y

t v

x

α α

Các phương trình chuyển động của đạn do Jerry bắn là:

2 2

2

gt H y

t v tg

H t v L x

sin

2

cos

2 2

2 1

1

2 1

1

gt H y

gt t v

y

tg

H x

t v

2 1 4

tg

H t

tg g

tg v

) 4 1 (

4 2

2 2

+

=

ϕ ϕ

y

x

Hϕ

yα

1

LO

B

2 2

2

2 ( )

( )

(vt =H + OK =H + AB ϕ

ϕ

2

2 2

tg v

)41(

4

2

2 2

+

=

ϕϕ

Bài toán 4: Từ độ cao h, hai vật được ném theo phương ngang với vận tốc

đầu lần lượt là vuur01

và vuuur02

Sau bao lâu thì vận tốc của hai vật có phươngvuông góc với nhau?

Giải:

- Phương pháp đại số thông thường:

Gọi góc hợp bởi vector vận tốc của hai vật sau thời gian t với phương nganglần lượt là α và β, ta có:

Nghiệm bài toán chỉ được chấp nhận khi t 2h

- Khi vật chạm đất: rr r⊥ghay r.g 0r r=

2 2 0

Gọi thời gian phải tìm là t, khi đó vận tốc của vật là: v vr uur r= 0 +gt

Ta có: vr⊥vuur0 ⇒v.vr uur0 =0 ⇒(vuur r uur0 +gt).v0 =0

1.2 Một số bài toán nâng cao

Trong phần này tôi đề cập đến một số bài toán phải dùng đến phép tínhtích hữu hướng của hai véc tơ Với kiến thức này, học sinh lớp 10 chưa đượchọc nhưng ta có thể đưa vào bồi dưỡng những học sinh khá, giỏi sau khi đã bổtúc phép toán này

Bài toán 1: Chứng minh rằng từ một độ cao nào đó so với mặt đất thì khi đạt

đến tầm xa cực đại, vận tốc ban đầu và vận tốc ngay trước lúc chạm đất cóphương vuông góc với nhau

Giải:

Gọi vận tốc ban đầu và vận tốc ngay trước lúc chạm đất lần lượt là v , vuur r0

.Với: v vr uur r= 0 +gt( t là thời gian chuyển động của vật)

Ta có: vuur r0 ∧v  = vuur0 ∧(vuur r0 +gt)  = vuur uur0 ∧v0  + vuur r0 ∧gt

Vì: vuur uur0 ∧v0 =0 nên: vuur r0 ∧v  = vuur r0 ∧gt=v g.t.cos0 α

Mặt khác vì tầm bay xa của vật L v cos t= o α nên ta suy ra vuur r0 ∧v =gL

Công thức này có thể áp dụng cho nhiều bài toán với cách giải khá đẹp như bài toán quen thuộc sau.

Bài toán 2: Một vật được ném từ mặt đất với vận tốc vuur0

hợp với phương nằmngang một góc α Tìm tầm xa đạt được, và với góc ném nào thì tầm xa cựcđại?

v

L sin 2

g

= α Vậy LMax khi sin 2α = ⇔ α =1 450

Bài toán 3: Một vật được ném từ mặt đất với vận tốc vuur0

hợp với phương nằmngang một góc α Đến thời điểm t thì vận tốc của vật là vr và lệch so với banđầu một góc ϕ Tìm t?

Giải:

Ta có: v vr uur r= 0 +gt

Mà: vuur r0 ∧v  = vuur0 ∧(vuur r0+gt)  = vuur r0 ∧gt ⇒v vsin0 ϕ =v gt cos0 α

vsin t

gcos

ϕ

⇒ =

αNhư vậy, sau khi phân tích một số ví dụ cụ thể, sử dụng phương phápvéc tơ trong các bài toán ném xiên Chúng tỏ ra hữu hiệu và ngắn gọn so với

phương pháp tọa độ quen thuộc Trong phần sau tôi sẽ đề cập đến một cáchkhác trong việc sử dụng các kiến thức về véc tơ để giải các bài toán vật lý, ởđây tôi trình bày thông qua giải các bài toán điện xoay chiều.

PHẦN III: SỬ DỤNG GIẢN ĐỒ VECTOR TRONG MỘT SỐ

BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU

Đa số học sinh thường dùng phương pháp đại số để giải các bài toán điệnxoay chiều còn phương pháp giản đồ véc tơ thì học sinh rất ngại dùng Điều

đó là thật đáng tiếc vì phương pháp giản đồ véc tơ dùng giải các bài toán rấthay và ngắn gọn đặc biệt là các bài toán liên quan đến độ lệch pha và bài toánhộp đen Có nhiều bài toán khi giải bằng phương pháp đại số rất dài dòng vàphức tạp còn khi giải bằng phương pháp giản đồ véc tơ thì tỏ ra rất hiệu quả.Khi giải bài toán điện bằng phương pháp giản đồ véc tơ có thể chia thành haiphương pháp: phương pháp véc tơ buộc và phương pháp véc tơ trượt Trongquá trình giảng dạy, tôi đã cố gắng đưa phương pháp này vào trong các tiếthọc, nhất là các tiết bài tập Tôi thấy, học sinh rất hứng thú và nắm bắt khánhanh trong việc giải các bài tập, nhất là các bài tập trắc nghiệm

2.1 Phương pháp giản đồ véc tơ

- Đối với phương pháp véc tơ buộc chúng ta chỉ cần vẽ giản đồ như trình bày trong SGK

- Đối với phương pháp véc tơ trượt ta làm như sau:

*Chọn trục ngang là trục dòng điện

*Chọn điểm đầu mạch (A) làm gốc

*Vẽ lần lượt các véc-tơ biểu diễn các điện áp, lần lượt

từ A sang B nối đuôi nhau theo nguyên tắc:

+ L – lên; + C – xuống; + R – ngang

Độ dài các véc-tơ tỉ lệ với các giá trị hiệu dụng tương

ứng.

*Nối các điểm trên giản đồ có liên quan đến dữ kiện của bài toán.

*Biểu diễn các số liệu lên giản đồ

*Dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác để tìm các điện áp hoặc góc chưabiết

2.2 Một số bài toán cơ bản

Bài toán 1: (CĐ-2010) Đặt điện áp u = 200 2 cos100πt (V) vào hai đầuđoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp Đoạn AM gồmcuộn cảm thuần L mắc nối tiếp với điện trở thuần R, đoạn MB chỉ có tụ điện

C Biết điện áp giữa hai đầu đoạn mạch AM và điện áp giữa hai đầu đoạnmạch MB có giá trị hiệu dụng bằng nhau nhưng lệch pha nhau 2π/3 Điện áphiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch AM bằng

trong mạch lệch pha π/6 so với điện áp hai đầu đoạn mạch và lệch pha π/3 sovới điện áp hai đầu cuộn dây Cường độ hiệu dụng dòng qua mạch bằng

A 3√3 (A) B 3 (A) C 4 (A) D √2 (A)

Hướng dẫn: Vẽ mạch điện và vẽ giản đồ véc-tơ

áp trên đoạn MB lệch pha so với điện áp hai đầu đoạn mạch là π/2 Công suấttiêu thụ toàn mạch là:

A 150 W B 20 W C 90 W D 100 W

Hướng dẫn: Vẽ mạch điện và vẽ giản đồ véc-tơ

Ta có: ϕ = ·MBF( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

2.3 Một số bài toán nâng cao

Bài toán 1: Cho mạch điện xoay chiều AB gồm hai đoạn AN và NB mắc nối

tiếp nhau Đoạn mạch AN gồm tụ điện có dung kháng 100Ω mắc nối tiếp vớicuộn cảm thuần có cảm kháng 200Ω Đoạn mạch NB là hộp kín X chứa haitrong ba phần tử ( điện trở thuần, cuộn cảm thuần, tụ điện) mắc nối tiếp Mắchai đầu đoạn mạch AB vào nguồn điện xoay chiều có u 200cos100 t(V)= πthì cường độ hiệu dụng đo được trong mạch là 2 2A Biết hệ số công suấttoàn mạch bằng 1 Tổng trở của hộp kín X có giá trị là bao nhiêu?[2]

Giải:

Vẽ mạch điện và vẽ giản đồ véc-tơ

Theo bài ra: cosϕ =1 tức là uAB cùng pha với i

Vậy UurNB

phải xiên góc và trễ pha so với i (vì UL>UC), nên X phải chứa R0 và

C0 Dựa vào giản đồ ta có:

Bài toán 2: (Trích đề thi chọn giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh năm học

2011-2012) Đặt điện áp xoay chiều u 100 2cos100 t(V)= π vào hai đầu đoạn mạchgồm cuộn dây có điện trở thuần R 20 3= Ω và độ tự cảm L mắc nối tiếp với

tụ điện có điện dung C thay đổi được Khi cho C=C1 thì điện áp hiệu dụng haiđầu cuộn dây Ud=100V và điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện UC=100V

Từ giản đồ: U U= MB =Ud =UC ⇒ ∆MNB là tam giác đều ⇒MNB 60· = 0

Bài toán 3: Trên đoạn mạch xoay chiều không phân nhánh có bốn điểm theo

đúng thứ tự A, M, N và B Giữa hai điểm A và M chỉ có điện trở thuần, giữahai điểm M và N chỉ có tụ điện, giữa hai điểm N và B chỉ có cuộn cảm Đặtvào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều 120V – 50 Hz thì uMB và uAM

lệch pha nhau π/3, uAB vàuMB lệch pha nhau π/6 Điện áp hiệu dụng trên R là:

Bài toán 4: Trên đoạn mạch xoay chiều không phân nhánh có bốn điểm theo

đúng thứ tự A, M, N và B Giữa hai điểm A và M chỉ có điện trở thuần, giữahai điểm M và N chỉ có cuộn dây, giữa 2 điểm N và B chỉ có tụ điện Đặt vàohai đầu đoạn mạch một điện áp 175 V – 50 Hz thì điện áp hiệu dụng trên đoạn

AM là 25 (V), trên đoạn MN là 25 (V) và trên đoạn NB là 175 (V) Hệ sốcông suất của toàn mạch là

KẾT LUẬN

Rèn luyện kĩ năng tính toán, giảm thời gian làm bài nhưng không làmmất đi ý nghĩa vật lí của bài toán, đó luôn luôn là mục tiêu được giáo viên vàhọc sinh hướng tới Do vậy trong quá trình giảng dạy người giáo viên cầnhình thành cho học sinh các phương pháp khác nhau khi tiếp cận và giải quyếtcác bài toán

So sánh lời giải các bài toán trên bằng hai phương pháp thì rõ ràng việc

sử dụng phương pháp véctơ để giải các bài tập làm cho lời giải gọn gàng hơnnhiều so với phương pháp toạ độ truyền thống Việc sử dụng véctơ còn làmcho bài toán trở nên trực quan hơn mà vẫn không làm giảm đi ý nghĩa vật lí.Cũng cần nhấn mạnh rằng các phương trình toạ độ chỉ là kết quả của cácphương trình véctơ khi ta chiếu lên các trục toạ độ được chọn Mặt khác các

phương trình toạ độ thường chứa các giá trị đại số của các đại lượng vật lí nênhọc sinh thường mắc sai lầm, nhất là về dấu của các đại lượng Hơn nữa, khigiải với phương pháp này cũng giúp cho học sinh nắm vững cơ sở lý thuyếtcủa việc giải toán trên máy tính Casio, giúp cho việc giải toán nhanh và chokết quả chính xác hơn ( Phạm Xuân Linh, “ Sử dụng máy tính bỏ túi Casio fx

- 570ES để giải nhanh một số bài toán về các đại lượng vectơ trong chươngtrình Vật lý phổ thông ’’)

Trong các năm học vừa qua, tác giả đã chú tâm thực hiện việc hìnhthành phương pháp này cho một số lớp học sinh và thấy kết quả rất tốt, họcsinh hứng thú hơn, giải bài tập nhanh hơn so với một số lớp đối chứng khôngthực hiện việc hình thành phương pháp này

Do thời gian nghiên cứu còn ít, năng lực còn nhiều hạn chế nên đề tàichắc còn nhiều khiếm khuyết Tác giả rất mong muốn nhận được nhiều góp ýchân thành từ các đồng nghiệp, các bạn đọc và các em học sinh để đề tài đượchoàn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học vật lý

Xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Chu Văn Biên, Phương pháp véc tơ trượt - một phương pháp hiệu quả

giải các bài toán điện xoay chiều RLC không phân nhánh Hội nghị Giảng

dạy vật lí toàn quốc, Hà Nội, 09-11/11/201

[2] Nguyễn Anh Vinh, (2011), Hướng dẫn ôn tập và phương pháp giải

nhanh bài tập trắc nghiệm vật lý 12 NXB ĐHSP.

[3] Thuvienvatly.com