Lý thuyết thế vị ứng dụng trong trọng lực học và từ trường 5

Luận án thạc sĩ toán học -ngành Toán Giải Tích-Chuyên đề :Lý thuyết thế vị ứng dụng trong trọng lực học và từ trường

£U!-IL olin tlilfe !Ij 50 g rbL 'dfJ1J-idr1lJuin

Phlldng philp thuijn Xu1t phat tu mo hlnh ban diu cua v~t th~ ngu6n duQc

xay dlfng dlfa tren cac ki€n thuc v€ dia ch1t va dia v~t 1;', cac tinh roan cua di

thu'ong sinh ra duQc so sanh voi di thuong nh~n duQc do do d(;lc.Khi d6, cac tham

s6 cua mo hlnh m§u duQc di€u chlnh d~ tang dQ trllllg khit gilia hai ki~u dil' li~u

thlfc t€ va dil' li~u cua mo hlnh Vi~c tinh roan va so sanh nhhu v~y duQc l~p dil~p l(;licho d€n khi sai s6 gilia hai lo(;lidli li~u Ia ch1p nh~n duQc

Phlldng philp ngll(lc MQt ho~c nhi€u tham s6 v~t th~ ngu6n duQc tinh roan

trlfc ti€p tU dil' li~u di thuong nh~n duQc do do d(;lc Trong phuong phap nay, vi~c

don gian h6a cac gia thuy€t lien quail Wi ngu6n la di€u khong th~ tranh khoi

Ngoai fa, trong qua trlnh xu 1;' dli li~u nh~n duQc do do d(;lc,nguoi ta con

chu trQng d€n nhling phuong phap nh~m chufin h6a dli li~u bi nhi€u do do d(;lc

ho~c tlm cach lam n6i b~t cac d~c di~m rieng cua ngu6n thong qua d~c tIling naod6 cua dli li~u, qua d6 ta c6 th~ tlm cach gioi h(;ln,don gian h6a mQt s6 gia thuy€t

lien quail d€n ngu6n khao sat Hon nlia, cac dli ki~n c6 san v€ dia ch1t ho~c cac

J2t,tP" oiU, thLJ£ uj 51 g"4,, 7f)om (JlJ"U,

dli ki~n khac nhu' cac diI ki~n v~ phan x~, khuc x~ hay nhi€u x~ cua cac song diacha'n dff du'Qcnghien CUllva ki~m nghi<$mtru'ac do co th~ dung mQt cach hii'uichtrong vi~c xay dvng mo hinh m§u ban d~u cho phu'dng phap thu~n Ngoai fa, chu

yr~ng nghi~m cua bai toan trong ca hai phu'dng phap thu'ong la khong duy nha't,

do do cac thong tin dQcl~p them vaG co th~ hii'uich trong vi~c lam gia~mbot du'Qcsf) Iu'Qngnghi~m co th~ co va nha't la tim ra lOp nghi<$mco dQ tin c~y caD trong

thvc te'.

Trong cac ph~n tie'p thea, chung ta se khao sat cac cach tie'p c~n neu tren

trong vi~c xac dinh ngu6n tu di thu'ong cua tru'ong ha'p d§n va tu truong.

2.1 Phu'ong phap thu~n

2.1.1 Cae mo hinh tru'ong ha'p dfin

The' ha'p d§n U va tru'ong ha'p d§n g t~i di~m P gay ra boi mQt v~t th~ vaim~t dQ p du'Qctinh theo cong thuc

U(P) =YfP dv ,

R r

g(P) = VU = -y fp-;dv ,

R r

vai r la khoang cach tu di~m P tai thanh ph~n cua v~t th~ dv, y la h~ng sf)ha'p

d§n, trong do h~ tn,lc tQa dQduQcxac dinh nhu trong hinh 2.1.

Chu ydng, ngu'oi ta chI co th~ do duQc thanh ph~n th&ngdung cua truongIvc ha'p d§n (thanh ph~n theo huang tn,lc z) ma ta ky hi<$ula g Vai h~ tn,lc tQa dQ

J2tll)/IlluYllhf!£ uj 52 q"&l 7(Jtffl1rnltml

trong do r = )(X-X,)2 + (y-yf + (Z-Z,)2 ma ta vi€t l';li du'oi d';lng t6ng quat

g(X, y, z) = f f fp(x', y', z')\jf(x-x',y-y', z-z')dx'dy'dz',

Hinh 2.1 M()t v(lt thi 3 chi~u vai m(lt d()p,x', y', z') va hinh d(lng tuy y dur;cquan sat t(li

Ham \jf(x, y, z) du'Qc gQi la ham Green Trang (2.1), ham Green chI don gilm

la Ilfc ha"p d§:n t';li di€m (x, y, z) cua cha"t di€m d~t t';li di€m (x', y', z') Phu'ong

phap thu~n nh5m tinh loan cae gia tri g(x,y,z) tu (2.1) r6i so sanh voi dfi'li~u thlfct€ Trang thlfc t€, cae tinh loan trd thanh phuc t';lP khi ta tlm each xa"pXl hlnhd';lng phuc t';lp cua ngu6n b5ng cae d';lng ngu6n don gian ChAng h';ln, ngu'oi tachia ngu6n sinh ra tru'ong ha"pd§:nthanh N ngu6n don gian d€ co th€ chuy€n

£'t/1t ,Jillt lhf!£ uj 53 q Fbt '7{)oai (Jlhmlt

m~t dQ ddn vi

Ta khao sat mQt s6 vi dl;1ddn gian sail

2.1.1.1 Xffp Xlv~t th~ ba ehi~u

Cae kho1 hinh ehfi' nh~t

MQt t~p hQp cac kh6i chITnh~t cho ta mQt cach ddn gian d~ xa'p Xl mQt kh6iv~t th~ nhu' trong hlnh 2.2

P(x.y.z)

.

z

Hinh 2.2 Xap xl mQt v~t thi 3 ehiJu bang mQt t~p hrJpcae khoi ehl1 nh~t.

Ne'u m6i kh6i chITnh~t la du nho, phan b6 m~t dQlIen tung kh6i co th~ du'Qcxem nhu' la kh6ng d6i B~ng nguyen ly ch6ng cha't, dQ di thu'ong cua tru'ong h!cha'p dlin cua v~t th~ t~i ba't ky di~m nao co th~ du'Qcxa'p Xl b~ng t6ng cua cac dithu'ong sinh ra bdi cac ngu6n nho

Ch~ng h~n, mQt kh6i chITnh~t voi m~t dQ d€u p va cac chi€u du'QcgiOih~nbdi Xl::; X ::;X2,y \ ::;y ::;Y2,z\ ::;Z ::;Z2, co di thu'ong trQng h!c t~i g6c tQa dQcho

J2111P'L tJm'L thf!£ u) 54 g"&L 7(;tJ-id f1lJullL

VOl ijk =\j Xi + Yj +Zk ' ~ijk =(-I)i (-I)j (-1)k.

D~ng thuc (2.3) co th~ duQc su dl,mg d~ tinh toan m6i \Vmntrong (2.2) va

b~ng cach la'y t6ng, ta nh?n duQcdi thuong trong Ivc cua V?t th~ voi hlnh d:,lllgva

m?t dQ ba't ky.

Ch6ng cae ban mong

M~c dli v~ m~t ly thuy€t phuong phap xa'p Xl b~ng cac kh6i chfi' nh?t la

tuong d6i don gian, tuy nhien trong mQt s6truong hQp, cac v~t th~ dia cha't khang

th~ chia duQc thanh cac kh6i hlnh chfi' nh?t Phuong phap xa'p Xl khac duQc d~ xua't boi Talwani va Ewing (xem [1]) b~ng cach xa'p Xl V?t th~ ngu6n boi mQt lOp

cac phi€n mong, trong do m6i phi€n mong co hlnh d:;lllgla mQtda giac (hlnh 2.3)

Cac duong bien da giac cua cac phi€n mong co th~ nh?n duQc tit cac phep

do vIStrong ban d6 dia hlnh Tit do, phuong phap thuong duQc ap d\lng trong vi~c

tinh toan dQ di thuong cua tn/ng Ivc dva tren cac d~c di~m cua phep do vISdia

hlnh ho~c phuong phap do chi~u sau No d~n Wi nhi~u thu?t toan khac nhau trong

vi~c hi~u chlnh cac phep do trQngtruong

Xet (2.1) voi di~m quail sat t(;lig6c tQa dQ

g(X, y, z) = ypfz'dz' f f dx'dy'

J2l1lpL tJillL Ihf!R uj 55 qI'lbL 'dfJoai f/lIuirL

Hinh 2.3 Xap xl mQtv~t thi 3 ehiiu bang mQteh6ng cae phie'n mongo

M6i phie'n mong dli(/exap xl biJimQtda giae.

Tich phan theo x', y' bi€u di€n cho tich phan m~t tren mQt hit mong donn~m ngang cua v~t th€ Cu5i cling, ta se xem xet v~t th€ la mQt ch6ng cua cae

lat mong va thay the'tich phan theo z cho t6ng cua cae tich phan m~t tren cae latmongo

Tnfoc he't, ta xem xet tich phan m~t tren mQt lat mong don Nhu trong hlnh2.3, tich phan m~t b~ng vdi tich phan l~p Iffy xung quanh chu vi cua lat mongoCh~ng h(;ln,xet tich phan cua ham f(x,y) theo x va y Dt!a vao hlnh 2.3, tich phan

theo bie'n x cho ta ham duoi dffu tich phan moi la F(x,y), voi x duQc Iffy tii' c~n

l,(y) de'n hey)

J2tltPl Ml'llnf!£ uj 56 g,4,l 7I{}omr1lJUYl

Chli Y ding, 11 va h la cac ham cua y va bi~u di~n hai du'ong baa quanh

cua chu vi cua phi~n mongo Tich phan kep du'Qc chuy~n thanh tich ph an du'ong

dQctheo chu vi cua lat mong theo chi€u kim d6ng h6,

J2tltPL milt fhLfe uJ 57 g "Lilt 'j(j(Jm rrlJun't

Phep do dQ di thuong cua trQng h,tccua nhung v~t th~ vai hlnh d~ng tuy y co

th~ duQc ma hlnh hoa, di~u chinh tham s6 m~t dQ dIng nhu hit%uchinh cac dinh

cua da giac bien b~ng phuong phap thiYsai Ne'u dQdi thuong cua trQng h,tcduQc

gay ra bdi cac d~c tinh dia hlnh hay dQ sau da bie't thl phep thiYsai la don gian.Phuong phap nay d~c bit%tco hit%uqua trong nhung ling dt;mgbdi cac da giac latcat co th~ duQc xay dl,1'ngdon gian b~ng ban d6 duong muc s6 hoa trong phep do

ve dia hlnh hay phep do chi~u sau

2.1.1.2 Xa'P Xlv~t th(f hai chi~u

Cac ca'u truc dia ly thuong co chi~u dai IOnhon so vai chi~u rQng cua chung

Ch~ng h~n cac khu vl,1'cbi gay, nUt, dUt do~n, ne'p 16i thuong la duong theo huang n~m ngang Khi do, ne'u dQ di thuong la tuye'n tinh, ta co th~ xem xet cac

ngu6n ha'p dftn ho~c ngu6n tu nhu mQtduong co huang khang thay d6i va v~t th~Wcdo duQcxem la nhu la hai chi~u vai phan b6 m~t dQd~ng rex, y, z) = rex, z)

"£'uj.JL mUL 1luJ-e uj 58 g uin 7/(Joid(f{J,mL

Cac ngu6n hai chi~u Ia d~ hlnh dung va d~ thie't I~p mo hlnh hdn cac ngu6n

3 chi~u tu'dng ung m6i khi di~u ki~n dia chfft cho phep MQt chum cac hlnh tn,lsong song se t:;w nen mQt d:;mg ddn gian cua mo hlnh hai chi~u Khi do, dQ dithu'ong co th€ du'Qcxffp xi b~ng (2.2), vdi \I1mnIa h!c hffp d~n t(;lidi€m m gay raboi hlnh tn,l n vdi m~t dQddn vi B~ng thuc (1.50) cho ta the' hffp d~n~cua v~t th€hai chi~u vdi m~t dQkh6i p(x,z)

B€ ddn gian, ta chuy€n di€m quail sat tOig6c tQa dQva xem phan b6 m~t dQ

Ia h~ng Khi do, phu'dng th~ng dung cua tru'ong hffp d~n du'Qccho boi

J2ttt/-1l tJall Inf!£ uj 59 g ~L 7IfJO-idr1lhiuL

~~D

x

.- - - - -;:;:

Hinh 2.4 Xap xl vQtthi hai chi~u bang da gidc N dink.

Dung duong th~ng bi€u di6n x' theo z', ta duQc

(2.11 )

vai rn va en du'Qcxac dinh nhu' trong hlnh 2.4

Lvc hap d~n cua v~t th€ hai chi€u do d6 phV thuQc VaGvi tri ~ua N dinhcua da giac N€u ta tu'dng tu'Qngc6 N du'ong th£ng ve tu di€m quail sat Wi m6idinh cua da giac thllvc hap d~n phv thuQc VaG chi€u dai cua m6i du'ong nay vag6c t~o bdi giua chung vai m~t ph£ng chua mi€n da giac (hlnh 2.4)

2.1.2 Cae mo hlnh tli trtiCing

Tu tru'ong cua mQtngu6n tUdu'Qccho bdi

vai F la vec to don vi trong hu'ang cua mi€n tru'ong

Tu'ong tv nhu' ly lu~n v€ cac ngu6n hap d~n 3 chi€u, mQt s6 thu~t toan du'Qckhao sat nh5m tinh toan mQtthanh phfin cua B tu (2.12) ho~c dQdi thu'ong tru'ongtO~lllphfin cho mQt ngu6n tu c6 hlnh d~ng va phan b6 tu cho tru'ac b5ng phu'ongphap thu~n

J2LLijPLomL lnf!£ uj 61 q ~L ']{)oOi rnJuin

B~ng cach xem me)tngu6n tu nhu' la me)tt~p cac lu'ong qI'c tu hay tu tich, ta nh~n du'Qcnhi~u cach khac nhau d~ nh~n du'Qccac ma hlnh xa'p Xlcho ngu6n tu.

Volume of l'-tagnctizalion Vohtll'\C and Sur'facc Charge

Hinh 2.5: Bon dt;mgphan b6' cua sf! tu h6a.

f)£ng thlic (2.12) ho~c (2.13) co th~ tinh toan tu'ong minh cho nhITngv~t th~

co hlnh dang don gian va co th~ dung cho phu'ong phap thu~n Khi do, me)tngu6n

tu co th~ du'Qcchia thanh N ph~n don gian va khi do cac tinh toan du'Qcthvc hi~ntu'ong tv nhu' d6i voi (2.2) Ba thanh ph~n cua tu tru'ong trd thanh

"!!.llt/-I'LlJillL /},f!R uj 62 q v4n 7IJoa1 (],lJUYL

Nhu' da d~ c~p trong cac ph~n tru'ac, tich phan kh6i cua (2.12) co the du'QCchuyen thanh t6ng cua tich phan ffi~t va tich phan kh6i b~ng cach ap dl,mg h<%thlic vec to V.(~A) = V~.A+~V.A va ap dl,mgdinh ly Divergence The'tu co

toan hi<%uqua, ffiQt so' trong cac thu~t toan do se du'Qc d~ c~p d ph~n sau

M~t khac, Dinh ly Biot - Savart cho tha"ytu tru'ong cua ffiQtvong di<%nnhoxua't hi<%nt~i nhii'ng khoang cach nhu' tru'ong cua ffiQtc~p lu'ong c1,1'c.Tu do, ffiQtphan b6 cua cac c~p lu'ong c1,1'cco the du'QCxeffi nhu' la cac thanh ph~n kh6i cua

,I2,'tPL min fhf!l! uj 63 g,d,L 7J()oii1(llJuin

thay the- bdi mQt kh6i r6ng eo cimg hinh d.~lllgmang dong di~n tich tren b€ m~teua no (hinh 2.7)

Is

Hinh 2.6 Dong Luan chuyin gay ra d(J tit h6a cila vi,lt thi tit d8ng nhat LatUdng dudng

wJi dong di~n tren b~ m(it cila vi,lt thi.

1\

Hinh 2.7 Dong Luan chuyin gay ra d(J tit h6a cila vi,lt thi tit d8ng nhat LatUdng dudng

wJi dong di~n tren b~ m(it cila vi,lt thi.

2.1.2.1 Xffp xi mo blob ba ebi~u

Cae e~p h.tong et.fe

MQt ngu6n tu ba ehi€u eo th€ duQe xa'p Xl bdi mQt t~p eae thanh phftn nhohall, eo dC;lngdon gian Cae luong eve tu Ia mQt vi d\l don gian nha't Tu truongeua mQte~p luong eve tu, duQeeho bdi (1.69)

.l2uqlL luilL tj,1f£ ilj 64 I'd,,&t 7IfJom (/(JUUL

luBng clfc tOi di~rn quail sat

M~c dli tinh toan trong thlfc t€ co dai chut phuc t.W, tu tru'ong cua rnQtv~tth~ co th~ du'<;1ctinh b~ng cach chia v~t th~ thanh nhung thanh phftn nho, vai ghl

sa la cac thanh phftn nho nay cach nhau rnQtkhmlng nhu' rnQtIu'Bngclfc sa dl;lng(2.18), ta suy ra tu truong cua rn6i c~p Iu'Bngclfc Tu tru'ong cua ngu6n.tu ban dftub~ng t6ng cac tu truong cua ta't Celcac luBng clfc Marnen Iu'Bngclfc rn cua rn6ithanh phftn du'<;1ccho bdi tich cua dQtu hoa va th~ tich cua thanh phftn do.

xa'p Xlb~ng hinh hQp chii' nh~t

Chung ta cling co th~ xa'p XlrnQtngu6n tu ba chi~u bdi rnQtt~p cac hlnh hQpchITnh~t Tu truong cua rn6i hlnh hQpchITnh~t du'<;1ccho bdi Bhattacharyya (xern

[1]) M6i hlnh hQp chITnh~t du'<;1cdinh hu'ang song song vai cac trl;lc x, y, z giOi

hqn bdi Xl ~ X ~ X2, Yl ~ Y ~ Y2, Zl ~ Z<00, va co dQtu hoa

M = M(iMx + ]My + kMz).

N€u dQ di thu'ong gay ra bdi hlnh hQp du'<;1cquail sat tqi rnQt tru'ong dia

phuong dinh huang song song vai F = (Fx, Fy, Fz)' thl dQ di thu'ong tru'ong toan

phftn quail sat tqi g6c tQa dQ du<;1ccho bdi

[a2310g (

r-X'J

+ 0,13I

(

r - y ,J

,J21l1!lL Ifflt'L litf!£ uj 65 g ~L ';J600i rJlhiu'L

vOi

r2 = X.2 + y.2 + Z~.

D£ng thuc (2.19) cho ta gia tri di thu'ong tru'ong to~mph~n cua mQtkh6i hlnh

hQp chITnh~t voi Zl::;;Z < 00.Ne'u tinh toan nay du'c)cthljc hi~n hai l~n, mQt l~n

cho Zl=Ztva M =Mo va mQt l~n cho Z\=Zbva M =-Mo thl theo nguyen 1'1ch6ng

chat, t6ng cua hai l~n tinh nay se cho ta tu tru'ongcua kh6i hlnh hQpchITnh~t voi

dQtu hoa Mo, co hai day la Zt va Zb

B~ng cach chia ngu6n tu thanh mQtt~p cac hlnh hQpchITnh~t, (2.19) co th~du'c)csa dl,mg l~p di l~p l~i nh~m di€u chlnh mo hlnh cho cac ngu6n tu co hlnh

d~ng tuy y Cac kh6i hlnh hQp chITnh~t cling du'c)cdung trong phu'dng phap

nghich d~ tinh trljc tie'p vec td M tu dQ di thu'ong tru'ong toan ph~n do d~c du'c)c

Ch6ng cae ban mong

Talwani (xem [1]) dff sa dl,mgtich phan bQi (2.12) d~ du'a ra thu~t toan tinh

toan tU tru'ong sinh bdi ngu6n tu co hlnh d~ng tuy '1. Phu'dng phap nay tu'dng tlj

nhu' phu'dng phap cua Talwani va Ewing trong tinh toan dQ di thu'ong tru'ong hapd§n cua ngu6n ba chi€u dff d€ c~p d ph~n tren Ngu6n tu du'c)cxap Xlbdi ch6ngcac ban mong, m6i ban mong l~i du'c)cxap Xlbdi mQt da giac Tu do tich phan bQi(2.12) du'c)cchuy~n thanh tich phan theo x, y va t6ng theo z

Plouff md rQng phu'dng phap cua Talwani (xem [1]) b~ng cach thay the'ch6ng vo h~n cac ban mong bdi mQt t~ng hU'uh~n cac ban mong voi dQ day nho

Phu'dng phap nay bi~u di~n mQtcach chinh xac hdn mo hlnh cua ngu6n tu Ngoai

fa, ngu'oi ta con dung phu'dng phap xap Xl cua Talwani va Plouff cho bai toan

J2I1ijl'L mi1L fJ,f!£ ill 66 g,4,L '7{)oai rmullL

nguejc tinh ba thanh phc1ncua dQtll hoa tn!c tie'p tll dQ di thuong truong loan phc1n

do d~c duejc

Cae kh6i da di~n

Ne'u dQ tll hoa la d~u, mQt ngu6n tll co th~ duejc ma hlnh bdi cac tU tichlIen b~ m~t cua ngu6n tll Dt!a vao d~c di~m nay, Bott, Barnett, Hanssen va

Wang (xem [1]), dua ra phuong phap xa'"pXl ngu6n tll bdi mQt kh6i da di~n mam6i m~t cua no la mQt da giac ph~ng (hlnh 2.8)

y

z

nhu mQt khat da di?n v6'i eae mijt Laeae da giae phdng.

Phuong trlnh (2.17) cho ta the' tll sinh bdi mQt ngu6n tll co dQ tll hoa d6ngnha't, voi tll truong duejc cho bdi

J2JltP' ImlL tltf!£ £lj 67 g nil, 7{;oiii r1lJuU,

vai Sj la mi[ttthli i, n)a vec to phap tuy€n hu'ang ra ng oai tu'ong ling

(a)

1\

-/~

Alca AlJCD '" Arca ABP' + Area BCP'

+ Arcoil COP' - Area A DP'

Hinh 2.9. (a) M{it thz1 i cila kh5i da di?n trong h? tr1;lctf,JadQ x, y, z.

Gia su mi[ttthli i la mQt da giac Kj dlnh (hlnh 2.9) Ta quy u'ac dug cacdlnh cua ba't ky mi[ttda giac nao d~u du'Qcxet theo chi~u kim d6ng h6 khi nhln tli

ngoai ngu6n tU Tli P h(;l du'ong vuong goc vai mi[tt ph~ng chlia da giac, ca:t mi[tt

ph~ng nay t(;liPi', gQi Iij la vec to don vi tli dlnh j tai dlnh j+ 1, Pij la vec to

don vi tU diem P/ vuong goc vai c(;lnhj Xet Kj tam giac sao cho mQi tam giaccling co mQt dlnh la P/ va c(;lnhdO'idi~n dlnh nay la mQt c(;lnhcua da giac bien

Khi do, di~n tich cua Kj mi[tt cua khO'i da di~n b~ng vai t6ng di~n tich cua Kj tam

giac vai trQng sO'di[ttb~ng + 1 hoi[tc -1 tliy theo vec td Iij co hu'ang trai hay phaikhi quail sat t(;lidiem P/ Tli do, tich phan trong (2.21) co the du'QCthay th€ b~ngt6ng cua cac tich phan la'y tren Kj tam giac,

f~dsr2

Sj

= IK- Ilij~ij ,

j=1

(2.22)

trong do Ilij=1 n€u Ijj x Pjj la cling chi~u vai nt r'IJ11 =-1 n€u f1JxP la ngu'oc1J .

chi~u vai nt Ilij=0 n€u Ijj x Pjj = 0, va ~jj la tich phan tren mi~n tam giac t(;lO

bdi dlnh Pi' va c(;lnhthli j cua da giac bien

J!.tUpL IJmL thf!£ nj 68 g ~L ,,;/6oai (J{J;,mt

ChQn g6c tQa dQ t<;tidi~m Pi, tn;lc tQa dQ moi u,v va w song song voi Pij , Ijj

va n( hinh 2.10) Trang h<%trt;lctQa dQ moi nay, cac dlnh cua mi€n tam giac co

tQa dQ la (0, 0, di), (uij, Vij,dj) va (Ujj,Vj,j+l,dj) voi dj 1a khmlng cach tli' P tOi Pj'.Tich phan la'y tren mi€n tam giac trd thanh

1 r + V

]

[

trong do E la mQts6 nho tuyy.

2.1.2.2 Xa'pXlmo hinh hai chi~u

Nguoi ta sU'd\lng khai ni~m b€ m~t tiI' tich d~ xay d1!ng mQt s6 thu?t toancho ma hlnh V?t th~ hai chi€u va thay the' cac d(;lng thie't di~n c~t ngang cua V?t

th~ bdi cac da giac N-dlnh Ne'u V?t th~ la tiI'hoa d€u, dQtiI'hoa co th~ duQcthaythe' bdi cac tUtich tren b€ m~t cua no (hlnh 2.11)

CB

-~~~\ ~

Hinh 2.11 Xdp xl cila mQt vt;'itthi hai chiiu v6'i cae ddi h?p va hc;m tit tich.

Khi do, bai toan duQc chuy~n thanh vi~c tinh toan l1!ctiI' cua N dai ph~ng tiI'tich, md rQng va h(;lntheo huang +y va -yo TiI' truong cua mQt V?t tiI' d€u vai th~tich R va b€ m~t S duQc cho bdi (2.20),

J2tttJn olin tJlf!£ u] 70 g r&L 'Jf5oO1 (j{JUUL

(a)

(b)

,.

Hinh 2.12 (a) Ddi ndm ngang miJ r(3ng va hc;mrhea trl!c y.

(b) thanh v~t thi dili va hc;mrhea trl!c y cdt m(it phdng x,z t(li (x' , z')

X6t mQt dai hyp phing, n~m ngang vai m~t dQb~ m~t la a, md rQng vo h(;ln

theo huang +y va -y, co dQrQng cua dai tit (Xl, z') tai (X2, z') (hlnh 2.12a) MQt

thanh ph~n dx cua dai hyp c~t m~t phing X, z t(;li(x', z') va Wong duong vaithanh v~t th~ dai vo h(;lndQc theo trl;lc y co kh6i lu<;jngtren don vi chi~u daiA=adx (hlnh 2.12b) Nhu dff d~ c~p d ph~n truac, thanh v~t th~ co truong hfipd~n quail sat t(;lig6c tQadQla

r

J!.llijn 'Jan tnLfl! uJ 71 g P4.n 7!6oiL1rnJuiI"

-Vec to s luon c6 huang song song vai dai h(fp tITc(;tnh 1 tai c(;tnh2 -Vec to n

vuong g6c vai diE h(fp va du<;5cdinh huang

£llIpl (WI flu.a uj 72 g ~I '7()tJiti rnluitrl

Thanh ph~n theo huang x va z duQccho boi

N

B = I(rn\x+ kB\z)'

i=\

(2.29)

J2tLlpL tJiUL thLJ-eu] 73 q P4n '7{JoOi (](J,iYL

vai B1x va BIz la cac thanh ph~n cua B gay ra bdi m~t 1 Tru'ong toan ph~n du'Qctinh bdi

N

~T = I(FxBlx +FzBlz)'

1=1

(2.30)

vai Fx va Fz la thanh ph~n theo hu'ang x, z cua tru'ong xung quanb, khang bi

nhi~u lo<;ln.Ma hlnh hai chi~u d~ dang xay dvng hdn nhi~u so vai ma hlnh bachi~u, chung thu'ong du'QCsa dl;lngm6i khi di~u ki~n dia v~t ly cho phep

2.2 Phuong phap nghjch

Trong ph~n tru'ac, ta co cac quail h~ giua ngu6n va tru'ong the' sinh ra bdingu6n Vdi R la vung chua ngu6n, rex, y, z) la di~m quail sat d~t ngoai R,

Q (x', y', z') la di~m la"ytich phan n~m trong R, r la vec td du'Qc dinh hu'ang tu

Q Wi P Ta co tru'ong ha"pd~n theo phu'dng th~ng dung

.l2tltPl lfflfil tJllJP ilj 74 q ~l '7fJLJmf'J1Jtml

trong d6, p(Q) va M(Q) l~n luQt la phan b6 m~t de)va de)tli'h6a cua ngu6n Vec

to don vi F la huang cua tli'truong khong bi nhi~u, vec to don vi k duQc dinh

huang th~ng dung H~ so"y va Cm la cac h~ng so"dfi d~ c~p trong chuang 1

va khong gian tli' dang xet khong qua IOn Trong nhfi'ng truong hQp nay, trong(2.32) va (2.33), ta c6 th€ d~t M(Q)=M(Q) M va chuy€n vec to don vi vao trongda"ungo~c Cac phuong trlnh tli'(2.31) de-n(2.33) c6 dc.lUgt6ng quat

Phuong trlnh (2.35) th€ hi~n ra slj khac nhau cua phuong phap thu~n vaphuong phap nghich Phep tinh loan thu~n nh~m ml;lcdich tinh loan fer) tli' cacham s(Q), \V(P,Q) va vung ngu6n R cho truac Gia tri fer) duQc hoan loan duQCxac dinh tU cac thong tin v~ ham s(Q), \V(P,Q) va vung ngu6n R N6i khac di,phuong phap thu~n c6 duy nha"t nghi~m Tuy nhien, c~n chu y r~ng m~c du phudng phap thu~n luau cho duy nha"tnghi~m v~ m~t loan hQC,nhung mo hlnh

cac ngu6n tli'hay ngu6n ha"pd~n xay dljng theo phuong phap thu~n thl khong duynha"t.NguQc IC;li,trong phuong phap nghich, ham fer) cho truac boi cac phep do

J2tl4rl luin flute uj 75 q v&l 7f5om rn.Juirl

d(,lctrong tht!c te', tu do ta tlm s(Q) hay R BfLitmln xac dinh s(Q) la bili loan

ngl1(Jctuytn tinh, trong khi bai toan xac dinh R la bili loan ngl1(Jcphi tuytn.

Xet bai toan tuye'n tinh D~ng thuc (2.35) co th€ vie't l(,lidu'ai d(,lng matr~n

N

fj =:L>j\Vjj ,

j=l

Khi L>N, ngu'oi ta dung phu'ong phap blnh phu'ong t6i thi€u d€ tlm N gia

tri cua Sj' Di~u nay khong don ghln do kho khan d:1u tien g~p phai la nghi~m cua

bai toan thu'ong khong duy nhc1t.Ngay ca khi ta bie't f(P) chinh xac, ta clIngkhong th€ xac dinh nghi~m s(Q) mQt cach duy nhc1t.St! duy nhc1tcua bai toan co

th€ du'Qc xac dinh bdi st! t6n t(,lihay khong nghi~m khong t:1m thu'ong a(Q) trong

Ja(Q)\V(P,Q)dv = O

R

Khi phu'ong trlnh nay co nghi~m khong t:1mthu'ong, thl nghi~m s(Q), ne'u

co, la khong duy nhc1t.Lop tc1tca a(Q) du'QcgQi la nhan cua \V(P,Q) va vung

2.2.1 Bai tmin ngu'Qctuye'n tinh

Theo (2.35), tru'ong hc1pd~n hay ttt tru'ong la phl;! thuQc tuye'n tinh vao m~t

""21tiJ-fILmYL thf!£ Ill 76 g ~L 76o.iti fllJuirL

dQ hay dQ tu h6a va do d6, bai tmln xac dinh phan b6 m~t dQ hay dQtu h6a tu dfi'ki~n cua tnI'ong ha'p d~n hay tu tru'ong sinh ra boi ngu6n du'<jcgQi Ia bai toan

ngu'<jctuye'n tinh

Phu'dng trlnh (2.4) ma ta thanh ph~n theo phu'dng th~ng dung cua tru'ong ha'pd~n cua mQt v~t th€ voi m~t dQ d€u Ne'u hlnh d(;lngcua v~t th€ du'<jcbie't thl tichphan trong (2.4) c6 th€ du'<jctinh boi phu'dng phap tie'n 0 ph~n tru'oc DQ dithu'ong ha'p d~n du'<jcdo t(;liN di€m roi nhau la

gi = P\Vj i =I,2, ,N ,trong d6 h~ng sO'P c6 th€ du'<jcxac dinh boi phep h6i guy tuye'n tinh ddn gian.(xem [1])

Chung ta c6 th€ xet bai toan phuc t(;lphdn b~ng cach chia v~t th€ thanh cacph~n nho hdn va sa dl:mg phu'dng phap blnh phu'dng t6i thi€u d€ tinh toan phan b6

m~t dQ cua tung ph~n Cach tie'p c~n nay cling du'<jcxem xet trong ph~n sau cho

tru'ong tu tru'ong

2.2.1.1 D{)tit' hoa cua m{)t tfing

Trong mQt s6ma hlnh tlm dQ tu h6a cua day bi€n b~ng phu'dng phap ngu'<jc,Bot, Bott va Hutton, Emilia va Bodvarsson (xem [1]) gia dinh r~ng dQ tu h6a lahai chi€u, trong d6 ma hlnh ngu6n tu nay baa g6m mQt day cac a da giac (hlnh2.13), voi cac a du'QCs~p xe'p l(;lisaD cho dinh cua m6i a tu'dng ung voi dinh cua