Lý thuyết thế vị ứng dụng trong trọng lực học và từ trường 4

Luận án thạc sĩ toán học -ngành Toán Giải Tích-Chuyên đề :Lý thuyết thế vị ứng dụng trong trọng lực học và từ trường

J2tltP'l IWI f n£f£ uj 3 g ~L 7f)oiLi r1l.JuYL

Ch1idng 1

LY THUYET THE vJ CHO TRUONG TRONG LVC

vA TUTRUONG

Ne)i dung chinh cua chu'ang nay nh~m giOi thit$u cae tru'ong trQng Ilfc, tli

tru'ong cling nhu' cae tinh ch§t din ban cua no

Tru'oc he't, ta khao sat me)t s6 khai nit$m t6ng quat lien quail toi cae tru'ong

1.1 Cae khai ni~m t6ng quat

1.1.1 Truong

Tru'ong Ia ham theo cae bie'n khang gian va thai gian, nghla la ling voi m6i

di~m trong khang gian va t~i me)tthai di~m xac dinh, ta lien ke't voi me)tgia tri

hay me)t vectd trong khang gian Chung ta se d€ c~p Wi hai lo~i tru'ong chinh

- Truang v9-t ch{{t, ma ta cae d~c di6m v~t ly t~i nhii'ng di6m cua v~t ch§t 0nhii'ng thai di6m xac dinh Vi dl) : M~t de), de)x6p, de) tli hoa, nhit$t de) Ia

nhii'ng tru'ong v~t ch§t

- Truang 11!c,ma ta cae Ilfc tac dl)ng t~i nhii'ng di6m cua khang gian 0 thai

di6m xac dinh Vi dl) : TrQng tru'ong cua trai d§t, tli tru'ong earn ling gay ra boidong dit$n la cae tru'ong Ilfc

Tru'ong cling co th6 chia ra thanh hai lo~i la truirng va huang va truang vec

ta.

- Truang va huang, la tru'ong g6m cae ham don F(x,y,z,t) theo bie'n khang gian

va thai gian

J2tltpL milL thf!£ nj 4 q F4n 7(}o.id rnJuiFL

Tntifng vec ta, 1a tru'ong ma m6i ham g6m ba thanh ph~n F(x,y,z,t) =

(F,(x,y,z,t), Fix,y,z,t), F3(x,y,z,t)) theo bie'n khong gian va thai gian, 1a bathanh ph~n cua tru'ong theo ba hu'ang tnjc giao

NQi dung 1u~n van t~p trung nghien cUu chu ye'u hai tru'ong : tru'ong trQngtru'ong (hay trQng tru'ong) va tu tru'ong Ca hai d€u 1acac tru'ong vec te, tuy nhien

trong cac phep do d<;lcv~t 1y thl chung ta n6i chung chI do du'Qc mQt thanh ph~ncua cac tru'ong nay va chung 1a cac tru'ong vo hu'ang

MQt tru'ong vec to du'Qcd~c tru'ng boi cac du'ong d~c tru'ng, d6 Ia cac du'ongtie'p xuc vai tru'ong dang xet t<;limQi di€m Ne'u tru'ong vec to F 1a lien t~ cacdu'ongd~c tru'ng cua n6 du'Qcmo ta boi tich phan cua phu'ong trlnh vi phan

gia sli' h<;ltthli', du'Oi tac dQng cua tru'ong 11jc F, chuy€n dQng tu di€m Po t<;lithai

di€m to theo mQt quy d<;loxac dinh de'n di€m P t<;lithai di€m t Luc d6 cong cua

11jc F sinh ra trong qua trlnh chuy€n doi tren chinh b~ng dQ bie'n thien nang

1u'Qngcua h<;ltthli' trong qua trlnh d6, xac dinh boi

W(P, Po) = fF.~d1:= fF.ds

(1.2)

JltlijflL lWL fJ,f!£ uj 5 g ~L 760lii rI{JUYL

N6i chung, cong d€ dich chuy€n h~t thii' tli' di€m Po de'n di€m P (P:;t:Po)phl;l thuQc vaa du'ong di (guy d~a dich chuy€n cua h~t thii').

M9t truo'ng vec tcJgri fa truiJng baa roan (truiJng the) ne'u cong khong phl;l thu9c vaa quy dC;1O cua hC;ltthit, tzlc fa mri quy dC;1O co cung diim ddu va diim CUOl thi co cong bang nhau.

Hinh 1.2: Ht;[tthi:cdick chuyin tit Po tai diim P, sau do dick chuyin them

mtlt dot;[nL1xsong song vai trl;lc Ox.

,£lll!lL (MIL th-f!£ uj 6 g I'fin 7/f5oa1rmuuL

Quy u'ac vr: da"ucua the'vo hu'ang fjJnhu'sau :

Ne'u h<::ltthli' cling lo<::lihut nhau (vi d1,1nhu' tru'ong ha"p d~n) thl fjJmang da"u du'ong va the' ha"pd~n chinh b~ng cong thljc hit%nbdi tru'ong F va ta c6 F =Vrp.

Ne'u h<::ltthli' cling lo<::lidfiy l~n nhau (vi d1,1nhu'tru'ong nnh dit%n) thl the' ha"p

J2tl-'PL tuUL {hf!£ uj 7 g ~L ";/{JtJiJi(/{JuUL

d~n chinh bttng cong sinh ra d~ ch6ng l'.licong cua tru'ongva F = -vrjJ.

Tu dinh nghIa tren, d~ tha'y the" rjJcua ham F khong ddn tri, ta co th~ cQng

vao rjJhttng s6 tuy y ma khong lam thay d6i ke"tqua F = VrjJ Do dota se Omcach

them vao rjJhttng s6 saD cho rjJ=0 t'.li 00 Luc do, the" ha'p d~n rjJt'.li di~m P co

va do do, ring v6i m6i gia tri cua hling srI C, ta co mf)t mi;itdang the:

M~t d~ng the"cua mQttru'ong vec td F co cac tinh cha't

+ Hai m~t d~ng the"ba'tky khong ctit nhau

+ Cong cua tru'ong h,tc dich chuy~n h'.lt thli' d9C theo m~t d~ng the" la bttngkhong

1.1.4 Cae eong thue Green

1.1.4.1 Cong thue Green thu nha't

Cho mi~n bi ch~n R, vai bien la m~t trdn S, hai ham D, v E C2(R)n C1(R).

J2JltPLomL tltf!£ ui 8 go~L 7{;001 rmuuL

nen fV.Adv = fv.(VVU)dv = [ VV.VU + Vv2u ]dv

C6ng thue (1.6) dude gQila cong thac Green tha nhdt, dung cho mQiham U,

V thoa man cac di€u ki~n da n6i atren

C6 nhi€u ke"tqua thu vi khac du<;lcsuy ra tu c6ng thuc Green thu nha't, khi tathem mQt s6 di€u ki~n eho cac ham U, V Ch£ng h~n

Ne"uU la ham di€u boa, kha vi lien tl;lctrong mi€n R, va vdi V = 1 thl VIV2U=O,VV=O,nen phuong trlnh (1.6) tro thanh

fo~ ds=0

san

(1.7)

Do d6 d~o ham theo huang phap tuye"nngoai cua ham di€u boa d~t gia tri

trung blob b~ng 0 tren ba't ky baa d6ng cua mQt mi€n ma ham la di€u boa va kha

vi lien wc trong mi€n d6 Ngu<;lcl~i, ne"u ham U kha vi lien tl;lc tren mi€n R va

J2tlLjJL MUL thf!£ n) 9 goP4n 'dfJlJiJi (J(J,iLn

fall ds = 0 thl U la ham di€u hoa tren R (xem [3])

Hinh 1.3: Mr;itS Labaa cua mi~n R. IiLa vec trYphdp tuyen d(Jn vi

Vay fall ds = 0 la adu kien can va au at ham U la aiJu hoa tren miJn R.

Cong thuc (1.7) cling cfip di€u ki<$nbien quail trQng cho rfit nhi€u bai roan

d~a v~t 1y.Gia sa, tru'ong vec td F co the"vo hu'angU Do ~~ =F.~ tren b€ m~t

S cua mi€n R, U 1a ham di€u hoa tren mi€n R, ta co

fF.~ds= 0 s

M~t khac U lien tl,lC,U =0 tren S, lien U =0 tren toan bQR.

V(7y, ne'u V fa ham ddu hoa, khd vi lien tl;lctrang R va V=O tren bien S thi V=O tren toan b9 mi~n R.

H~ qua (Dinh ly Stokes)

Ne'u Vj, V2 fa hai ham di~u hoa tren mi~n R va bang nhau tC;lim9i diim tren bien S thi Vi=V2 tren toan b9 mi~n R

Th?t v?y, theo gia thuy€t VIis = V21s' lien U=U1 - U2 tri~t tieu tren bien

S Ap dl,lng k€t qua lieu tren, ta suy ra U =0 tren toan bQ R, hay V1IR= U2IR'

V?y mQt ham di~u hoa kha vi lien tl,lctren mi~n R la duy nha't va du'QChoantoan xac d~nhbdi cac gia tr~tren bien

1.1.4.2 Cong thuc Green thO'hai

Hoan d6i vai tro cua hai ham U, V trong d~ng thuc (1.6), ta du'Qc

fUV2Vdv+ fVV.VUdv= fuo~ ds.

Tru hai v€ d~ng thuc tren cho (1.6), ta du'Qccong thuc Green thu hai

J211LpLomL f},LJR ul 11 q ~L 7fJoai f/lJuin

f(u'12v-V'12U)dv= f( ua~ -va1! )

1.1.4.3 Cong thU'c Green thU'ba

Xet ham v =.! voi r la khoang cach tu diem P toi diem Q trong mi€n R

Hinh 1.4: Diim P nlim phia trang b~ m(it S nhung no bi la(,litrit khoi miin R.

C6e dO La g6e kMi zmg vai thiJnh pMn dS t~i diEm P [~ ~1f,;t ~Ii 1 Xel rich philn tren G, BAng each dung cae he !hue lJ!.2)"14 8' -j

J21lf!/iL IHl/iL lhf!£ uj 12 g ~L 7()oa1 r1l.JuYL

Cong thlic (1.14) du'QcgQi Ia cong thac Green tha ba.

MQt ht$ qua quail trQng cua cong thlic Green thli ba Ia khi U Ia ham di€u

hoa, cong thlic (1.14) trd thanh

1.1.4.4 Dinh If Gauss v~ ghi tri trung binh

Xet cong thlic Green thli ba vdi U Ia ham di€u hoa, bien S Ia m~t c~u, di~mPIa ttim m~t c~u, a Ia ban kinh cua hlnh c~u Cong thlic (1.15) cho

1

U(P) = - .o;-ds - - U(-2)dS

trang mi~n gi6'i hqn bIJimc;itcdu.

H~ thuc (1.16) duQcgQila djnh Iy Gauss v€ gia trj trung blnh

Tli djnh I;' Gauss, ta suy ra cach chung minh cho nguyen I;' qic dC;li:

"Ntu ham U ddu hoa trang mdn dong bi chc;inR, thi U dqt gid tri l6'nnh6t va

nh6 nhat tren bien cua R".

Th?t V?y, ke't qua hi€n nhien dung khi U=const tren R

~

R

-,-Hinh 1.5 MiJn R chua tl)pI g6m cac dilm ma t(,Iido ham U d(,ItgiGtrj

lCInnhtlt Dilm Po Ladilm bien cua I Bat kY hinh c&utam Po naG

dJu chua dilm thuQcI va nhilng dilm thuQcR nhung kh6ng thuQcI.

Truong hQp con IC;liduQc chung minh biing phan chung nhu sail : Gia sa I

la t?P hQp cac di€m cua R ma tC;linhung di€m d6 ham U dC;ltgia trj IOnnhfit la M

(hlnh 1.5)

,J2WpIL tJWL lh f!£ nj 14 g r-&L 7f)tJfti {JlhmL

tl)c Gia sii'dng L chua it nha"tla mQtdi€m trong cua R Luc do, ta suy ra L coit

nha"t mQt di€m bien la di€m trong cua R, ma ta g<;>ila di€m Po Do do, t6n t~i

hlnh c~u tam Po n~m trong R Hlnh c~u nay chua nhfi'ng di€m thuQc L thl U co gia tri b~ng M, nhfi'ngdi€m thuQcR khong thuQcL thl U co gia tri nho~hanM.

Theo dinh ly gia tri trung blnh Gauss va do tinh lien wc cua U, ta suy ra

U(Po)<M Di€u nay dfin tai mati thufin, do PoEL V~y L khong th€ chua cac di€m

(OrjJ,ox orjJBy' oz OrjJ ]

D~i luejng~duejc g<;>ila the'va hu6'ng cua truong F Nguejc l~i, ne'u truong F

co the'vo huang thl F la baa to~m.Nhfi'ngke'tqua nay duejcsuy ra tit mQtke'tquat6ng quat han la dinh ly Helmholtz NQi dung cua dinh ly nay duejcphat bi€u nhusau:

Bjnh Ij MQi truang vec ta F lien t1:fC va bang 0 u;liva q(c d~u co thi du(/c bdu di~n nhu la Gradient cila m(Jttruang va huang va m(Jt Rota (Curl) cila m(Jt

truang vec ta

J2tJtpL lJiUL {ltf!£ uj 15 g rdn '7(joQirmuYL

D(li fu(!ng rjJdu(/c g9i fa the'va huang, A g9i fa the'vec tcJcua truiJng F Chu

yding VrjJva VxA fa tr1;Cc giao theo chudn tich phan.

Chung minh Xet ham

Tu chung minh dinh 1y Helmholtz, ta co th~ suy ra the'vo hu'ang~ va the'

vec td A tnlc tie'p tu tru'ong F Th~t v~y, l!y Divergence cua d~ng thuc

F =V~+ V xA ,

ta du'Qc

V.F =V.(V~ + VxA)

V~y, the'vo huang va the'vec to cua truong F co th~ duQc suy ra b~ng cong

thlic rich phan Iffy tren roan bQ khong gian cua Divergence va Curl tu'ong ling

cua F.

1.1.5.2 H~ qua cua dinh Iy Helmholtz

Truong khong xmiy

dong cha't long do.

Tru'ong ha'p dc1nla mQt tru'ong khong xoay Xet ba't ky m~t S nao n~m trongmi~n ma V'xF=0 La'y tich phan tren m~t S, ta co

baa toan va F=V'~ Tli do, di~u ki<%nV'xF=0 t(;lim6i di~m cua mi~n la di~u ki<%n

du d~ co F =V'~.Han mIa, mQttru'ong co the-vo hu'ang~thl V'xF=V'xV'~= O.

V£;lYdi~u ki~n can va du di tan t(li the'va hucJng tjJcho milt tru(Jng vec ta F la VxF=O t(li mQi diim cua mdn.

Tru'ong Solenoidal

Tru'ong vec to F du'c;fcgQi la tru'ong Solenoidal trong mQt mi~n, ne-u V,F=O

tren toan bQ mi~n

mi~n, ta co

J!.t'{y' ,w, lhLJRul 18 goV&, 7f)oiLi {J'{J,W,

voi S la bien cua mien V

Tu d6 suy fa, n€u Divergence cua F tri~t lieu trong mien, thl cac thanh

ph~n phap tuy€n cua tru'ong se tri~t lieu khi la"ytich phan lIen mQt m~t d6ng kinnam trong mien N6i cach khac, sf)Iu'Qng cac du'ong d~c tIling di vao mien chinh

bang sf) lu'Qngcac du'ong d~c tIling di ra khoi mien d6 va ngu6n cua tru'ong F sekhong nam trong mien

Ch~ng h<:tn,tru'ong ha'p dftn la mQt tru'ong Solenoidal trong mien khong b!chi€m gill bdi v~t (v~t gay lien tru'ong ha"p dftn d6)

Tu d!nh ly Helmholtz, F =V~+ VxA , ta c6

Do V.(V~) =V2~ va V.(VxA)=0, ta suy ra V.F=V2~.

N€u V.F =0 thl V2~=0, nghla la ~ la ham dieu hoa trong mien dang xet.

V<1Y V,F =0 fa diiu ki?n cdn va dll d€ F= VxA.

1.1.5.3 Vi d\l

8~ng thlic (1.23) d6ng vai tro quail trQng trong vi~c giai thich hi~n tu'Qng d!

thu'ong cua trQng h!c va tu tru'ong gay ra bdi mQt d! v~t va mQt sf) ngu6n tu tu'dng

ling 86 tha'y r5 dieu nay, chung ta sa dlJng tu tru'ong nhu'la mQt vi dlJ va dungtru'oc mQtsf)k€t qua du'QCde c~p trong cac ph~n sau

£ltPl oiUl lhfJR uJ 19 g tt&l ';J()o.iJ1 rmuYl

MQt lOp cae phuong trlnh vi phan gQi la phuong trlnh Maxwell ma ta m6ilien h~ v€ khang gian va thai gian cua truang di~n tu va cae ngu6n cua no.Phuong trlnh Maxwell thli nha't ma ta m6i lien h~ giii'a earn ling tu B va dQ tuhoa M (j noi khang co dong di~n

vai J.lola dQ tU th~m cua khang gian

Cuang dQcua tUtruang H lien h~ vai earn ling tUva s1!tUhoa qua cang thlic

vai tich phan la'y tren toan bQ khang gian

Phuong trlnh khac cua Maxwell cho ta earn ling tu B co Divergence tri~ttieu, tlic la V.B=0, di€u nay va d£ng thlic (1.26) cho ta

Thay vao phuong trlnh (1.27), ta ducjc

vai tich phan la'y tren toan bQ khang gian

D£ng thlic (1.29) cho ta cang thlic tinh thC"tu cua tu truang khi biC"tphanph6i tu cua ngu6n tU.Bai toan nay gQila bai toan thu~n nh~m giai thich cae hi~n

J2.tlf/-PLIU11'LIltf!£- uj 20 g nin 7f)oid rmuHL

tuQngdia v~t ly xuttt ph,it tlt tUtruong do duQc

1.2 The'ha'p d~n Newton

1.2.1 Tru'O'ng va the' ha'p d~n

Dinh lu~t Newton cho truong http d~n phat bi€u r~ng : "D(Jtan eila IT!C hap ddn gilla hai v4t ty l~ thu4n vai kh(J'ilu(Jng cila m6i v4t va tY l~ nghjch vai blnh

phuang khodng each gilla chung".

Trang h~ tQa dQ Descartes, hlc tac dQng giii'a mQt h(;ltco kh6i luQng m di;ltt(;lidi€m Q=(x', y', z') va h(;ltco kh6i luQng ma di;ltt(;lidi€m P=(x, y, z) duQc chob(ji

F = y mmo

r2 ' I

vai r = [(X-X')2+ (y_y')2+ (Z-Z')2J2 va y Ia h~ng sO'http d~n Newton

Ne'u ta xet h(;lt ma Ia h(;lt thli' vai kh6i luQng ddn vi, ta duQc gia tri truong

http d~n sinh ra b(ji h(;ltm t(;livi tri di;ltcua h(;ltthli'

Dttu trlt trang d~ng thuc (1.30) la c~n thie't, do quy uac ; duQc dinh huang

tU ngu6n Wi di€m quail sat la nguQcl(;livai truong http d~n

VI g la hlc chia cho kh6i luQngnen no co ddn vi cua gia t6c va con duQcgQi

@Jl1ldn.g1 J2.tjInllljRJ In£: oj eJw-~ ~l{J life oit liL~

J2tltPll lWI fhfJ-l! !IJ 21 gonil", '7()oai (Jljw.,11

la gia t6c hap d~n Chung ta se dung khai ni~m traCinghap d~n hay traCinggia t6cthay the' nhau khi noi v~ g

Tru'ong hap d~n, nhu' d~ c~pCJd~ng thlic (1.30) la traCingkhong xoay do

J2tltP'llJdn /hLJR uj 22 q nin ';JfJo.id~l

1.2.2 The' ha'p dfin cua mQt s6 phan ph6i kh6i lu'(,ing

The' htlp dftn tuan theo nguyen ly ch6ng chtlt :

"The' hap ddn cua m(Jt t~p cae khf'/i lu(/ng la t6ng cua the' hap ddn cua tUng thanh phdn khollu(/ng rieng le".

Do do, lljc tac dl,mglen h~t thu chinh la t6ng hQp lljc cua ttlt ca cac lljc htlp dftn cua ttlt ca cac v~t th€ khac d~t trong khong gian Nguyen ly ch6ng chtlt co th€ duQc ap dl,mg d€ tlm truong htlp dftn cua phan phO'iv~t chtlt lien Wc MQt phan phO'i lien tl;lc cua khO'i luQng m don gian duQc coi la t~p cac vi khO'i

dm=p(x,y,z).dv, voi p(x,y,z) la m~t dQphan bO'

Ap dl;lngnguyen ly chO'ngchtlt, ta duQc

(1.34)

voi V la khO'ibi chie'm giG'boi v~t th€, P la di€m quail sat, Q la di€m ltly tich

phan, r la khoang cach tU P tOi Q M~t dQ p co don vi la kg.m-3 trong h~ SI va

g.cm-3trong h~ CGS

/r

Hinh 1.6: TruCfnghlip ddn tt;lidilm P gay ra biJiphan blf mgt dQ p.

Dgu tien, ta xem xet di€m quail sat n~m ngoai v~t (hlnh 1.6) Ne'u phan bO'

J2WpL offlL ihf!£ uj 23 q P4.J'L7l{;oa1 r1lJW.,L

m~t dQ d6ng d~u, thl tich phan (1.34) la hQi tl,l voi mQi di~m P n~m ngoai v~t(xem [3]) va phep la'y vi phan d6i voi x, y, z co th~ du'a vao trong da'u tich phan

Ch~ng hC;ln,dC;lOham rieng cua U theo bie'n x co dC;lng

Tu'dng t1;t'cho bie'n y va bie'n z Tli do suy ra

2 + - + - _ 0

V~y, the'ha'p d~n la ham di~u hoa tC;lita't Celcac di~m n~m ngoai v~t th~

Xet the' ha'p d~n tC;licac di~m n~m trong v~t th~ Ne'u di~m P n~m trong v~tth~, tich phan (1.34) la tich phan suy rQng Tuy nhien, ta co tich phan (xem [3])

I(P) = fE-dv

rnv

la hQitl,lvoi P n~m trong mi~n V va I(P) la lien Wc tren toan bQmi~n V ne'u n=:;3,

V la mi~n bi ch~n va p la lien tl,lCtUngkhuc

J2tUj1L OR/IL fhLJR 11] 24 g v4n 7{}tffli (J{J,m'L

trong va ngoai vg,t thi khi ham mg,t dQ dil tr{ff1 H{ff1 nila g(P) = VU(P) tc;zi mQi diim P ndm trang vg,t thi (xem [3]).

Do Dinh 19 Helmholtz, ne"ug thoa g(P) = VU(P) va tri<%ttieu t<;liva cvc, thl

+ The" Newton U va gia t6c ha'p d~n g t6n t<;liva lien t\lc trong toan bQ

khang gian ne"uphan b6 m~t dQla lien t\lCtung khuc va bi ch~n.

+ The"ha'p d~n U luau kha vi va d~ng thuc g =VU thoa tren toan khangglan

+ Phuong trlnh Poisson V2U(P) = -47typ(P)ma ta m6i quail h<%giii'a kh6i vathe" tren toan khang gian Phuong trlnh Laplace V2U(P) = 0 chila truong

hQp rieng cua phuong trlnh Poisson t<;linhii'ng di€m n~m ngoai v~t

Philo b6 m~t va philo b6 du'ong

X6t truong va the" ha'p d~n cua v~t th€ co phan ph6i kh6i luQng tren b€ m~t

va tren mQt duong The" ha'p d~n cua phan b6 kh6i luQng tren b€ m~t S t<;lidi€m

J!./ltPL tfflPL Inf!£ UJ 25 q PJbL '7fJoai (/lJUllL

quail sat P kh6ng thuQc b€ mi:it duQc cho bCii

V(P) = Yf-dsa(S)

(1.39)

vai a la m~t dQ b€ mi:it vai don vi kh6i luQng tren don vi di<%ntkh

The' ha'p d~n cua phan b6 kh6i luQng t~p trung dQctheo mQt duBng th£ng t

duQc cho bCii

V(P) = yfA(£) d£ ,

(1.40)

vai A la m~t dQduong vai don vi kh6i luQngtren don vi dQdai

Truong ha'p d~n cua nhung phan b6 nay duQcxac dinh bCiic6ng thuc g= 'lV

Vai di€m P n~m ngoai vo c§u, the'ha'p d~n duQccho bdi (1.39)

v (P) = y fa(S) ds =yaa22]fsin e d8d~