Bài tập Hình học 12 - Khối đa diện (bổ sung) hay

Thể tích của khối lăng trụ: V S= đáy.h với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ * Bổ sung • Diện tích xung quanh của hình lăng trụ hình chĩp bằng tổng diện tích c

1 Hai đường thẳng song song

4 Chứng minh quan hệ song song

a) Chứng minh hai đường thẳng song song

Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

• Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)

• Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba

• Áp dụng các định lí về giao tuyến song song

b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh d P ( )P , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d′ nào đó nằm trong (P)

c) Chứng minh hai mặt phẳng song song

Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia

CHƯƠNG 0

ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11

I QUAN HỆ SONG SONG

1 Hai đường thẳng vuông góc

4 Chứng minh quan hệ vuông góc

a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh d a⊥ , ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

• Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …)

b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

• Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P)

• Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P)

• Chứng minh d // a và a ⊥ (P)

• Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q)

• Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P)

c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

• Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q)

d) Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H) trên (Q), ϕ = ·(( ),( )P Q Khi đó: S′ = S.cosϕ )

2 Khoảng cách

a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông

góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng)

b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một

điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng

c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì

trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:

• Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

• Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia

và song song với đường thẳng thứ nhất

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

III GÓC – KHOẢNG CÁCH

1 Hệ thức lượng trong tam giác

a) Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH

• AB2+AC2=BC2 • AB2=BC BH AC , 2=BC CH • 1 2 12 12

AH = AB + AC

• AB BC= sinC BC= cosB AC= tanC AC= cotB

b) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma , m b , m c ; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p

b A

a

2sinsin

1.2

2

1sin.2

1sin2

b) Hình vuông: S = a 2 (a: cạnh hình vuông)

c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)

d) Hình bình hành: S = đáy × cao = AB AD sinBAD. . ·

= (a, b: hai đáy, h: chiều cao)

g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: 1

2

S= AC BD

IV Nhắc lại một số công thức trong Hình học phẳng

V = S h với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chĩp

3 Thể tích của khối lăng trụ:

V S= đáy.h với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ

* Bổ sung

• Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chĩp) bằng tổng diện tích các mặt bên

• Diện tích tồn phần của hình lăng trụ (hình chĩp) bằng tổng diện tích xung quanh với

a

Bài 2 Cho khối chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng a, SB = a 3 và SA

vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD theo a

HD:

3

23

a

Bài 3 Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA ⊥ (ABC) và SA = 3a, tam giác ABC cĩ AB = BC = 2a,

gĩc · ABC=1200 Tính thể tích khối chĩp S.ABC

HD:

3

34

a

Bài 6 Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuơng cân tại B nội tiếp trong một đường

trịn (C) tâm I bán kính a 2 Trên đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng (P) tại I, lấy một điểm S và trên đường trịn (C) lấy một điểm M sao cho diện tích của hai tam giác SAC và SBM đều bằng a2 2 Tính thể tích của khối tứ diện SABM theo a

HD: 2 3

3

V = a

Bài 7 Cho khối chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, cạnh AB = a, BC = 2a,

SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) và SA = a 2 Gọi A′ và B′ lần lượt là trung điểm của SA và SB Mặt phẳng (CA′B′) chia khối chĩp S.ABC thành hai khối đa diện Tính thể tích của hai khối đa diện đĩ

Bài 8 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với AC = a biết SA

vuơng gĩc với đáy ABC và SB hợp với đáy một gĩc 60 0

1) Chứng minh các mặt bên của hình chĩp là các tam giác vuơng

2) Tính thể tích khối chĩp S.ABC

HD:

3

624

a

Bài 9 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuơng gĩc với

đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một gĩc 0

60 Tính thể tích khối chĩp S.ABC

HD:

3

38

a

Bài 10 Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cĩ cạnh a và SA vuơng gĩc đáy

ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một gĩc 60 0

Bài 11 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với BA = BC = a,

biết SA vuơng gĩc với đáy ABC và SB hợp với mặt bên SAB một gĩc 30 Tính thể tích 0khối chĩp S.ABC

HD:

3

26

a

Bài 12 Cho hình chĩp SABC cĩ SA vuơng gĩc với đáy ABC và SA = h, biết rằng tam giác

ABC đều và mặt bên SBC hợp với đáy ABC một gĩc 30 Tính thể tích khối chĩp SABC 0

HD:

3

33

h

Bài 13 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC vuơng tại A và SB vuơng gĩc với đáy ABC biết

SB = a, SC hợp với mặt bên SAB một gĩc 30 và mặt bên SAC hợp với đáy ABC một 0gĩc 60 Chứng minh rằng 0 SC2 =SB2+AB2+AC2 Tính thể tích khối chĩp S.ABC

HD:

3

327

Bài 15 Cho khối chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng, biết SA ⊥(ABCD), SC = a và

SC hợp với đáy một gĩc 60 Tính thể tích khối chĩp S.ABCD 0

HD:

3

348

a

Bài 18 Cho khối chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B, biết AB = BC

= a, AD = 2a, SA ⊥(ABCD) và mặt bên SCD hợp với đáy một gĩc 60 Tính thể tích 0khối chĩp SABCD

HD:

3

62

a

Bài 19 Cho khối chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường

trịn đường kính AB = 2R, biết mặt bên SBC hợp với đáy ABCD một gĩc 45 Tính thể 0tích khối chĩp SABCD

HD:

3

34

R

V =

Bài 20 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cĩ cạnh a Mặt bên SAB là tam

giác đều nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy ABCD

1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chĩp trùng với trung điểm cạnh AB

2) Tính thể tích khối chĩp SABCD

HD: 2)

3

36

a

Bài 21 Cho tứ diện ABCD cĩ ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuơng cân tại D, mặt

phẳng (ABC) vuơng gĩc với mặt phẳng (BCD) và AD hợp với mặt (BCD) một gĩc 60 0Tính thể tích tứ diện ABCD

HD:

3

39

a

Bài 22 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B, cĩ BC = a Mặt bên

SAC vuơng gĩc với đáy, các mặt bên cịn lại đều tạo với mặt đáy một gĩc 45 0

1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chĩp trùng với trung điểm cạnh AC

Bài 23 Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và

nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với (ABC)

1) Chứng minh chân đường cao của chĩp là trung điểm của BC

2) Tính thể tích khối chĩp SABC

HD: 2)

3

324

a

Bài 24 Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABC vuơng cân tại A với AB = AC = a, biết tam giác

SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với (ABC), mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng (ABC) một gĩc 45 Tính thể tích của khối chĩp SABC 0

Bài 25 Cho hình chĩp SABC cĩ · BAC= 90 ;0 · ABC= 300; SBC là tam giác đều cạnh a và

(SAB) ⊥(ABC) Tính thể tích khối chĩp SABC

HD:

3

224

a

Bài 26 Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABC là tam giác đều; tam giác SBC cĩ đường cao SH

= h và (SBC) ⊥(ABC) Cho biết SB hợp với mặt đáy ABC một gĩc 30 Tính thể tích 0khối chĩp SABC

Bài 27 Cho tứ diện ABCD cĩ ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt

phẳng vuơng gĩc với nhau, biết AD = a Tính thể tích tứ diện ABCD

HD:

3

636

a

Bài 28 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng Mặt bên SAB là tam giác đều

cĩ đường cao SH = h, nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy ABCD

1) Chứng minh rằng chân đường cao của khối chĩp trùng với trung điểm cạnh AB

2) Tính thể tích khối chĩp SABCD

HD: 2)

3

49

a

V =

Bài 29 Cho hình chĩp SABCD cĩ ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a nằm

trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy ABCD, mặt bên SAC hợp với đáy ABCD một gĩc

0

30 Tính thể tích khối chĩp SABCD

HD:

3

34

a

Bài 30 Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật; AB = 2a, BC = 4a, mặt bên

SAB vuơng gĩc với đáy ABCD, hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một gĩc 30 Tính thể tích khối chĩp SABCD 0

Bài 31 Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác

SAD vuơng cân tại S, nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy ABCD Tính thể tích khối chĩp SABCD

HD:

3

512

a

Bài 32 Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D; AD = CD =

a; AB = 2a; tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với (ABCD) Tính thể

tích khối chĩp SABCD

HD:

3

32

a

Bài 36 Cho hình chĩp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Chứng

minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chĩp là tâm của tam giác đều ABC Tính thể tích khối chĩp đều SABC

HD:

3

1112

a

Bài 37 Cho hình chĩp đều SABC cĩ cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một gĩc 0

60 Tính thể tích khối chĩp

HD:

3

316

a

V =

Bài 38 Cho hình chĩp tam giác đều SABC cĩ cạnh bên a, gĩc ở đáy của mặt bên là 0

45 1) Tính chiều cao SH của chĩp SABC 2) Tính thể tích khối chĩp SABC

Bài 40 Cho hình chĩp tam giác đều cĩ đường cao bằng h hợp với một mặt bên một gĩc 0

30 Tính thể tích khối chĩp

HD:

3

33

h

Bài 42 Cho hình chĩp tứ giác đều SABCD cĩ cạnh đáy a và · ASB=600

1) Tính diện tích xung quanh của hình chĩp đều SABCD

2) Tính thể tích khối chĩp S.ABCD

HD: 1)

2

33

a

3

26

HD:

3

312

a

Bài 46 Cho hình chĩp SABCD cĩ tất cả các cạnh bằng nhau Chứng minh rằng SABCD là

hình chĩp tứ giác đều Tính độ dài cạnh của hình chĩp này khi thể tích của nĩ bằng

1.2 KHỐI LĂNG TRỤ

Bài 1 Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu

vuơng gĩc của A′ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB Mặt bên (AA′C′C) tạo với đáy một gĩc 45 Tính thể tích của khối lăng trụ này 0

HD:

3

316

a

V =

Bài 2 Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ cĩ ttất cả các cạnh đáy đều bằng a Gĩc tạo bởi

cạnh bên và mặt đáy bằng 60 Hình chiếu của đỉnh A trên mặt đáy (A′B′C′) trùng với 0trung điểm H của cạnh B′C′ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a

HD: 3 3 3

8

V = a

Bài 3 Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA′ = 2a,

đường thẳng AA′ tạo với mặt phẳng (ABC) một gĩc 0

60 Tính thể tích khối lăng trụ này

HD:

3

32

a

Bài 5 Cho hình hộp đứng cĩ đáy là hình thoi cạnh a và cĩ gĩc nhọn bằng 600

Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ Tính thể tích khối hộp

HD:

3

62

a

V =

Bài 6 Cho lăng trụ đứng cĩ đáy là tam giác đều, biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng

a Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ

HD:

3

2

334

a

V = ; S= a

Bài 7 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A,

biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B cĩ đường chéo là 5a Tính thể tích

của khối lăng trụ

HD: V =24a3

Bài 8 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với

BA = BC = a, biết A'B hợp với đáy ABC một gĩc 60 Tính thể tích của khối lăng trụ 0

HD:

3

32

a

Bài 9 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A với AC

= a , · ACB=600, biết BC' hợp với (AA'C'C) một gĩc 30 Tính AC' và thể tích lăng trụ 0

HD: a3 6

Bài 10 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a và

· BAD=600, biết AB' hợp với đáy (ABCD) một gĩc 30 Tính thể tích của hình hộp 0

HD:

3

32

a

V =

Bài 11 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cĩ đáy ABC vuơng cân tại B, biết A'C = a và A'C

hợp với mặt bên (AA'B'B) một gĩc 30 Tính thể tích khối lăng trụ 0

HD:

3

216

a

Bài 12 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cĩ đáy ABC vuơng tại B biết BB' = AB = a và B'C

hợp với đáy (ABC) một gĩc 30 Tính thể tích khối lăng trụ 0

HD:

3

32

a

Bài 13 Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết AB' hợp

với mặt bên (BCC'B') một gĩc 30 Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ 0

HD:

3

33

ACB= và BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một gĩc 30 Tính thể tích khối lăng trụ 0

và diện tích tam giác ABC'

Bài 15 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cĩ khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC)

bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một gĩc 30 Tính thể tích của khối lăng trụ 0

HD:

3

329

a

Bài 16 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' cĩ đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp

với (ABCD) một gĩc 30 và hợp với (ABB'A') một gĩc 0 45 Tính thể tích của khối hộp 0chữ nhật

HD:

3

28

a

Bài 17 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình vuơng Gọi O là tâm của

ABCD và OA' = a Tính thể tích của khối hộp khi:

1) ABCD.A'B'C'D' là khối lập phương

2) OA' hợp với đáy ABCD một gĩc 60 0

3) A'B hợp với (AA'CC') một gĩc 30 0

Bài 18 Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình vuơng và BD' = a Tính thể

tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) BD' hợp với đáy ABCD một gĩc 60 0

2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một gĩc 30 0

HD: 1)

3

316

a

3

28

a

V =

Bài 19 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với

BA = BC = a, biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một gĩc 60 Tính thể tích khối lăng trụ 0

HD:

3

32

a

Bài 20 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' cĩ cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp

với đáy (ABCD) một gĩc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' 0

HD:

3

62

a

Bài 21 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' cĩ AA' = 2a; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy

(ABCD) một gĩc 60 và A'C hợp với đáy (ABCD) một gĩc 0 30 Tính thể tích khối hộp 0chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

Bài 22 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' cĩ AA' = a; đường chéo A'C hợp với đáy

ABCD một gĩc 30 và mặt bên A'BC hợp với đáy ABCD một gĩc 0 60 Tính thể tích 0khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

Bài 23 Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình vuơng và cạnh bên bằng a;

mặt bên ABC'D' hợp với đáy một gĩc 30 Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' 0

HD: V =3a3

Bài 24 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B và AC = 2a;

mặt bên A'BC hợp với đáy ABC một gĩc 45 Tính thể tích của khối lăng trụ 0

HD: V a= 3 2

Bài 25 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a

và · BAC=1200; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một gĩc 45 Tính thể tích khối 0lăng trụ ABC.A'B'C'

HD:

3

38

a

Bài 26 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B và BB' = AB =

h; mặt phẳng (B'AC) hợp với đáy ABC một gĩc 60 Tính thể tích của khối lăng trụ 0

HD:

3

24

h

Bài 27 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều; cạnh bên AA' = a Tính

thể tích khối lăng trụ trong các trường hợp sau đây: