KL: Vậy có hai cặp M, N như trên thoả mãn.
Trang 1ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4 THÁNG 6/2014
MÔN TOÁN THỜI GIAN: 180 PHÚT
I
(2,0) 1(1,0)
Làm đúng, đủ các bước theo Sơ đồ khảo sát hàm số cho điểm tối đa
TXĐ: D R\ 1
2
3
( 1)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1), (1; ) Giới hạn:
Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng khi x 1 ,x 1
Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang khi x
Bảng biên thiên:
t - 1 +
y - +
y'
1 +
- 1
Đồ thị:
0,25
0,25
0,25
0,25
x
y
f x ( ) = x+2 x-1
1 4
-2
5/2
Trang 22(1,0) Gọi I(1; 1), đồ thị hàm số đã cho là (C)
Phép tịnh tiến hệ trục Oxy IXY theo OI = (1; 1): 1
1
y Y
X
Đường thẳng y = - x + 2 trở thành 1+Y = - (1 + X) + 2
Y = - X Trong hệ trục IXY mỗi M(X; Y) (C) Y 3
X , với X 0 và hiển nhiên
0
Y
Mặt khác M(X; Y) và M'(- Y; - X) đối xứng với nhau qua đường thẳng
Y = - X Suy ra đpcm
0,25
0,25
0,25
0,25
II
(2,0) 1(1,0) Ta có
2
x c x x và c os4 x 1 2sin 2 2 x
Do đó 1 3sin 22 x 2sin 2 x 3 m
2
Suy ra f t 3 t2 2 t 3 m t , 0;1
Ta có bảng biến thiên
Từ đó phương trình đã cho có nghiệm trên 0; 2 10
0,25
0,25
0,25
0.25
(2)Xác định và liên tục với mọi x thuộc D=R
Ta có
2
2
2
1
x
x
Vậy f(x ) là hàm đồng biến trên D đo đó (2) f x( ) f(0) x 0, Pt (1) Có nghiệm duy nhất x=0
0,25
0,50 0,25
Trang 3Câu Phần Nội dung Điểm
III
2
0( sin cos )
x
( sinx x cos )x xcosx
Suy ra:
3
2 0
cos
( sin cos ) cos
Đặt
:
2
2
x x
=
=
3
2 0
0
x
KL: Vậy 3 3
I
0,25
0,25
0,25
0,25
IV
(1,0)
S
M
A H D
O
B C
* Tính thể tích của khối tứ diên SAMC:
+ Gọi V, V1, V2 lần lượt là thể tích của khối tứ diện SAMC, khối chóp S.ACD, M.ACD , ta có: V = V1 - V2
+ SA (ABCD) nên SA là chiều cao của khối chóp S.ACD
Vậy V1 =
3
a
Gọi H là trung điểm của AD thì MH//SA nên MH (ABCD)
2SA a 2
0,25
Trang 4V2 =
3
a
Vậy V = 3 3 3 3 3 3
Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC:
Ta có: MO là đường trung bình của tam giác SBD nên:
MO = 1
3
2 SA AD 2 a a a và MO//SB nên góc giữa SB và AC
là góc giữa OM và AC
a
2 2
Trong tam giác OAM có:
2
2 2
1 2
cos
2
a
a a
AOM
a
2 2
0,25
0,25
0,25
V
(1,0) P= 2010 ( ab + ac ) +3(ac+ bc )-1997ab
=2010a(b+c)+ 3c(a+b) -1997ab
2010 b c 2(b c) 3( c 2 ) 1997c ab
Vậy max P = 2013 khi a=1; b=0; c=1
0,25 0,25 0,25 0,25
VIa
(2,0)
1(1,0)
+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R 1,R' 3, đường
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM
Khi đó ta có:
MA MB IA IH I A I H 1 d I d( ; ) 2 4[9 d I d( '; ) ]2 ,
IA IH
9
4 d I d ( '; ) d I d ( ; ) 35 4 a b 35
2 2
2 2
36
a b
a b
6
a b
Kiểm tra điều kiện IA IH rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 5(2;1;1); (2 ; 1; 4); 0
1
2
Vậy hình chiếu H của A trên là (2; ; 1 3 )
H
(P) là một mặt phẳng nào đó qua AK là khoảng cách từ A đến mp(P)
Ta luôn có AK AH , AK lớn nhất K H
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) lớn nhất khi (P) qua H và AH
Ta có
(1; ; )
AH
pt mặt phẳng (P) 2x+3y-7z-16 = 0
0,25
0,25
0,25
VII.a
(1,0)
Đặt z = a + bi với a,b : R ta có 5(a-bi + i)=(2-i)(a+bi+1)
(3a –b-2)+(a-7b+6)i = 0
0,25 0,25 0,25 0,25
VIb
(2,0)
1(1,0)
+ Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận
( 1; 2)
HK làm vtpt và AC đi qua K nên
(AC) :x 2y 4 0. Ta cũng dễ có:
(BK) : 2x y 2 0 + Do A AC B, BK nên giả sử (2 4; ), ( ; 2 2 )
A a a B b b Mặt khác M(3; 1)là
trung điểm của AB nên ta có hệ:
Suy ra: A(4; 4), (2;B 2)
+ Suy ra: AB ( 2; 6) , suy ra: (AB) : 3x y 8 0
+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận HA (3; 4) , suy ra:
(BC) : 3x 4y 2 0
KL: Vậy : (AC) :x 2y 4 0, (AB) : 3x y 8 0, (BC) : 3x 4y 2 0
0,25
0,5
0,25
2(1,0) + M N, ( ), (d1 d2) nên ta giả sử
+ MN song song mp(P) nên: n MN P 0
1
t
+ Ta có:
1
1
23 14 2
3 2
t MN
t
+ Suy ra: ( 23 ; 9 ; 5 ), ( 18 ; 25 ; 11 )
+ Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trên không có trường hợp nào M ( ).P
0,25
0,25
0,25
0,25
M H
K
A
Trang 6KL: Vậy có hai cặp M, N như trên thoả mãn
VII.b
(1,0)
Có A63 120 số có ba chữ số khác nhau lập từ các chữ số {1;2;3;4;5;6}
Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng của các chữ số của nó chia hết cho 3 Trong tập hợp {1;2;3;4;5;6} có 8 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3 là
(1;2;3),(1;2;6) ,(1;3;5),(1;5;6) ,(2;3;4),(2;4;6) ,(3;4;5),(4;5;6) Mỗi bộ lập được 3! Số
Vậy có 8 3! = 48 số chia hết cho 3
0,25 0,25 0,25 0,25
