Đáp án đề thi thử đại học môn toán đợt 3 tháng 5 năm 2014

b Tìm các điểm trên đường thẳng d: y 1 mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với C vuông góc với nhau... Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân tại A, SA vuông góc mặt phẳng ABC, SA

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT 3 THÁNG 05/2014

Môn: TOÁN Câu 1: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

3 2

y x  x  (C)

Tập xác định: D

2

y  x  x

' 0

y

  



'' 6 6

y  x

y     x y

(1;3)

I

 là điểm uốn của (C)

lim ; lim

Bảng biến thiên:

'

Hàm số tăng trên khoảng (;0);(2;) và hàm số giảm trên khoảng (0;2)

Hàm số đạt cực đại là 5 khi x0 Hàm số đạt cực tiểu là 1 khi x2

Bảng giá trị:

Đồ thị nhận điểm uốn (1;3)I làm tâm đối xứng, cắt trục Oy tại (0;5)

b) Tìm các điểm trên đường thẳng (d): y 1 mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau

Gọi M( ) :d y 1 M x( M;1)

Phương trình đường thẳng ( ) qua M x( M;1) , có hệ số góc k:

( M) 1

yk xx 

( ) tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau cĩ nghiệm:

3 2

2

M







Thay (2) vào (1) ta được:

3 5 (3 6 )( M) 1

(x 2) 2 x (3x M 1)x 2 0

2

  



0

x    k y  khơng cĩ tiếp tuyến nào của (C) mà vuơng gĩc với (0)

Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuơng gĩc với (C) 

 

 



1 2

(3)có 2 nghiệm phân biệt x ,x khác 2 '( ) '( ) 1

(3) cĩ 2 nghiệm phân biệt x x khác 2 1, 2

5

3 (2) 0

2

M

g

x



 



Theo định lí Viet: 1 2

1 2

2 1

M

x

x x



  







'( ) '( ) 1 (3 6 )(3 6 ) 1

f x f x    x  x x  x   2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

9x x 18x x x( x ) 36x x 1 0

55

27

M

x

19683

M

y

Vậy 55 19765;

27 19683

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: 2

cos 5x.cos xcos 4x.cos 2x3cos x 1

2

2

cos 5x.cos x cos 4x.cos 2x 3cos x 1

cos 6x cos 4x cos 6x cos 2x 1 cos 2x 1

cos 4x 4 cos 2x 5 0 2 cos 2x 4 cos 2x 6 0

cos 2x 1

3

2 cos 2x

2

 







Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình: x33x23x 2 2 2x 13 

x 3x 3x 2 2 2x 1  x 1 2 x 1  2x 1 2 2x 1 (1)

Xét f t( ) t3 2t

2

'( ) 3 2 0,

f t  t    t  f t( ) tăng trên

( 1) ( 2 1) 1 2 1

 3 3 2

0

2

2

x

x



 











 



x  x   x 

Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân

1 2x

2 0

x.e

2x 1





Đặt

2

u x.e du (e 2x.e ) dx e (2 x 1) dx

2(2x 1) (2 x 1)







1

1 1

2x

0

Câu 5 (1,0 điểm) Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân tại A, SA vuông góc mặt phẳng

(ABC), SA = a, diện tích tam giác SBC gấp 2 lần diện tích tam giác ABC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC

Ta có: SABC 1 ABC 1 SBC

ABC

SBC

d[A, (SBC)]

Gọi I là trung điểm BC, J là trung điểm SA

 I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (do ABC vuông tại A)

Vẽ hình chữ nhật AIKJ KI(ABC) nên KI là trục của ABC

Mặt khác: KJSA tại J  KJ là trung trực SAKAKS

Vậy K là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC

K J

I A

B

C S

Ta có ABC 0

SBC

S

0 a 3

AI SA.cos 60

3

2 2 a 21

6

Câu 6 (1,0 điểm) Cho 3 số a, b, c 0;1 thỏa a b c  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2 2

Pa b  c 2abc

Vì a, b, c  [0;1] nên 1 a,1 b,1 c là 3 số không âm

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

3

(1 a)(1 b)(1 c)

    

  (vì a  b c 2)

Lại có: (a b c)   2 a2b2c2 2(ab bc ca)  

2 2 2 2 1

(a b c) (a b c ) 2

(a b c) (a b c 2abc)

27

2 2 2 56 52

27 27

3

a  b c thì 52

27

P

Vậy min 52

27

P

Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn tiếp xúc (1) : 3 x 2 y 3  0

và (2) : 2 x 3 y 15  0 và có tâm nằm trên đường thẳng (d) : x y 0

Gọi I là tâm đường tròn, I nằm trên (d):x y 0 I(a;a)

Đường tròn tiếp xúc (1), (2) d I; ( 1) d I; (2)

a 2 3a 2a 3 2a 3a 15

9 a

2





  

a 2 I(2; 2), R 13

Phương trình đường tròn là 2 2

(x 2)  (y 2) 13

Phương trình đường tròn là

      

Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

x 2 y 3 z x 6 y z 5

  và mặt phẳng (P):x 2y 2z 2   0 Tìm

1 2

Md , Nd sao cho MN//(P) và cách (P) một khoảng bằng 2

(d1) có phương trình tham số là

1

1

x 2 2t

y 3 3t (t )

z 2t

 





 



M d M(2 2 t ;3 3 t ; 2 t ) 

(d2) có phương trình tham số là

2

2

x 6 6t

z 5 5t

 





   



Nd N(6 6 t ; 4 t ; 5 5 t )  

MN(6 t 2 t 4; 4 t 3 t  3; 5 t 2 t 5)

(P) có vectơ pháp tuyến n(1; 2; 2)

MN // (P) MN.n    0 t1 t2 0

MN cách (P) một khoảng bằng 2   12t1 6

3



   



Vậy M(4;0; 2)

N(0; 4;0)



M(2;3; 0) N(6; 0; 5)



Câu 9.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa

z 2i   z 1 3i

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z x y.i ,(x, y )   z x yi

Ta có: z 2i   z 1 3i   x (y 2) i  (x 1) (y 3) i  

x (y 2) (x 1) (y 3) x y 3 0

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng (d) : x y 3 0  

Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): 2 2

9x 25y 225 Tìm tọa độ những điểm M trên elip nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc 0

60

2 2

25 9 

2 2

a 5, b 3, c a b 4

M nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc 0

60 F F1 22 MF12MF222MF MF cos 601 2 0

2 2

Vậy M 5 3 3 3; M 5 3; 3 3 M 5 3 3 3; M 5 3 ; 3 3

Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( ) : 2x y z 2 0

   



(P):4x 2y z 3 0    Viết phương trình hình chiếu của ( ) lên mặt phẳng (P)

( ) qua A(1; 4;0) và có vec tơ chỉ phương u(0; 1;1)

(P) có vec tơ pháp tuyến là n(4; 2;1)

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ( ) và vuông góc với (P), có vec tơ pháp tuyến a

a [u; n] ( 1; 4; 4)

Mặt phẳng (Q) qua A(1; 4;0) và có VTPT a   ( 1; 4; 4) nên có phương trình

(x 1) 4(y 4) 4z 0 x 4y 4z 15 0

Vậy phương trình hình chiếu của ( ) là x 4y 4z 15 0

4x 2y z 3 0



Câu 9.b (1,0 điểm) Cho 2 số phức z1 và z2 là nghiệm phương trình z22z 2 0 Tính z12014z20142 2

z 2z 2 0

2

' 1 i

   

Phương trình có 2 nghiệm phức:

1

2

z 1 i 2 cos i sin

z 1 i 2 cos i sin

       

1

2

1007

2014 2014

2 i



 



