Định lý KKM - FAN, các kết quả tương đương và áp dụng4

Luận văn thạc sĩ toán học: Định lý KKM - FAN, các kết quả tương đương và áp dụng

Chuong 2

Dinh ly KKM-Fan va cac két qua tuong

duong

2.1 Một số khái niệm

Định nghĩa 2.1.1 Cho Y là một tập con lỗi của không gian vector tôpô, Ú # X C

Y Ánh xạ F: X ~ Y được gọi là ánh xạ KKM nếu V{zi,zs, ,#„} C X,

n

co{zi,#s, #n} C F(ø)

=1

Định nghĩa 2.1.2 Cho Y là một tập con lồi của không gian vector tôpô, Ú # X C Y Ánh xạ F : X ~> Y được gọi là ánh xạ KKM-mở rộng nếu, V{z,zs, , Gi} ie Ä,d10iT5ị múa Un} GY sao cho V{Đi,1i, „} C {010a,- ,9n},1 < k < m ta CÓ: c0{Uiy, Yigs + +s Yat C U F(ai;)

Nhận xét 2.1.1 Nếu F la ánh xạ KKM thì F là ánh xạ KKM-mở rộng Chiều ngược lại không đúng

Thật vậy, với bất kỳ {z, #›, , z„} C X, ta lấy {\,9a, , 1ø} C Y thỏa tị = j,i =

1 2 ,r, Khi đó, V{Đu;u:;:‹:› Yas œ _ <k <n, do F la ánh xạ KKM nén co {yi,, Yin, - Yin} C U F(a;,) Vay F la Anh xa KKM-mé rong Sau day,

ta chỉ ra một phản ví dụ để chỉ ra chiêu ngược lại không đúng

Lấy Y = (—oo, +00) ,X = [—2,2],F: X ~ Y xác định bởi

nó: +8)0*9)

9

Chương 2 Định lý KKM-Ean và các kết quả tương đương 10

U Ga) -(- 33): r¢Gta)vre [-2.-2) u (2.3)

eX

Nên F khéng phai la 4nh xa KKM

Khi đó,

Với bất kỳ {z\,za, , #n} C X, ta lấy {1, 9a, , 0a} C [—1, 1] thì V {0u; tạ, - 0á} C

{0103 Ua},1 < & < m, ta có

k COLY iss Yaar + +s Yin} C [—1,1] = () F@) CU F(@,)

Điều này có nghĩa Ƒ là ánh xạ KKM-mở rộng

Mệnh đề 2.1.1 Cho AC Y,g: X x 4A => R Khi đó, hai điều sau là tương đương

() G: A ~ X xác định bởi G() = {z € X, ø(z,) < y}(G(w) = {z € X,g(z.) > +}) là ánh xạ KKM-mổ rộng

() ø(z,.) là ánh xạ +-tựa lõm (lỗi) mở rộng

Chứng minh

(() = ()) Do G là ánh xạ KKM-mở rộng nên V{\, ,1a} CA, 3{zl, ,#n} CX

so cho Vu ) C (trys Ba} VA a" = ep(2u, ,zu} CÚ 0u), nga là 3m € {1, , k} sao cho #* € G(w„) Do đó g(2*,„) < + Suy tạ trút gÏ52 ie " Vậy ø là ánh xạ +-tựa lõm mở rộng theo biến g ie

(() & (#)) Do ø là ánh xạ +-tựa lõm mở rộng theo nên V{, ,„} C A,

=[igauaytÐu° G,ÁC sao Cho VẬT/ uy Uy J € {8jus‹ađ0n} VAG! Si COA anf Die}

Ta có min L0 (7, 1¡„) < +, nghĩa là 3m € {1, ,k} sao cho g(z”,„) < + Do đó,

j=1k

k x” € G(y;,,) Suy ra z* € U G(yi,) Vay G là ánh xạ KKM-mở rộng

j=l Dinh nghia 2.1.3 Cho Y là tập con lỗi của không gian vector tôpô, Ú # X C Y Ánh

xạ F : X ~ Y được gọi là ánh xạ KKM-mở rộng ứng với J{, ở đây Ú AK CY, nếu với bất kỳ {z, ,#„} C X; có {gi, ,na} C K sao cho V{yi,, -, Yi} C {ta, Uu},1 < k < n, ta có: c0{Đi, , ịy} C U Fla)

lệ

Nhận xét 2.1.2 Mọi ánh xạ KKM-mở rộng ứng với K là ánh xạ KKM-mở rộng Mọi ánh xạ KKM-mở rộng là ánh xạ KKM-mở rộng ứng với Y

Chuong 2 Dinh ly KKM-Fan va cac két quả tương đương 1I

Định nghĩa 2.1.4 Cho Y là tập con lôi của không gian vector tôpô Ánh xạ F':Y ~

Y duge goi la SS-16i néu x ¢ coF (x), Va € Y

Định nghĩa 2.1.5 Cho Y là tập con lồi của không gian vector tôpô và J # X C Y Ánh xạ F': X ~> Y được gọi là SS-lổi mở rộng nếu V{zi,zas, ,#m} C X và

#o € c0{#1,#a, , #m}, 37 € {1,2, ,Tmn},z; £ P(&‹)

Nhận xét 2.1.3 Nếu Ƒ là SS-lồi thì ' cũng SS-lồi mở rộng Chiều ngược lại đúng khi X =Y

Định nghĩa 2.1.6 Cho X và Y là hai không gian vector tôpô, ánh xạ `: X ~ Y (2) _Ƒ được gọi là có giá trị đóng truyền trên X nếu Vz€ X, £ F(z) thì 3z'€ X sao cho y ¢ clF(z’)

() F' được gọi là có giá trị mở truyền trên X néu Vaz € X,y € F(x) thi dz’ e X sao cho y € intF(2’)

Nhận xét 2.1.4 Nếu Ƒ có giá trị đóng (mở) thì Ƒ có giá trị đóng (mở) truyền có giá trị mở truyền trên X nếu và chỉ nếu Vz € X, G(z) = Y\F(z) có giá trị đóng truyền trên X

Ménh dé 2.1.2 Cho F: X ~ Y

(i) F cé gid trị đóng truyền nếu và chỉ nếu ƒ1 F(z) = ) clF (2)

(ii) F cé gid trị mé truyén néu va chi néu U F(z) = U imF(z)

Chứng minh Ta chứng minh (2), chứng minh (22) tương tự

(=>) Hiển nhiên ta có: ƒẬ F(z) C [1 đlF(z) Ta cần chứng minh ƒ1 clƑ(z) C

(1) F(z) Lấy y< ƒ clF(x) Giả sử £ í\ F(z), nghĩa là 3z; € X để cho

y € F(ao) Do F' là ánh xạ có giá trị đóng truyền nên Jz’ € X sao cho y £ elF(z'), nghĩa là £ ƒ1 elƑ(z) (mâu thuẩn)

zeX

(<=) Lay bat ky « € X,y ¢ F(x) Khi đó, „ £ ƒ F(z) = Ñ đlF(z) Do đó

dz'€ X :u £ clF(z) Vậy F' là ánh xạ có giá trị đóng truyền n

Chương 2 Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương 12 Định nghĩa 2.1.7 Cho > là quan hệ hai ngôi yếu và > là quan hệ hai ngôi chặt trên

Y

(i) Ta ky hiéu:

Uv(t) = {ye Y:y ea}, Ly(z)={yeY: ary}, U(x) = {ye Y:y>a},L.(z)={yeY: cry}

(2) Quan hệ hai ngôi yếu > được gọi là có phần tử lớn nhất (greatest element) trén

X CY nếu 3z* € X sao cho z* >z z,Vz€ X, nghĩa là ƒ U„() # Ú

z„ecXx

(2) Quan hệ hai ngôi chặt > được gọi là có phần tử cực đại (maximal element) trên

X CY nếu 3z* € X sao cho ¬z > #*,Vz € X, nghĩa là U;(œ*) =

Định nghĩa 2.1.8 Cho X và Y là hai không gian vector tôpô Hàm ở: X x Y — RU{+00} dude goi là +-nửa liên tục dưới truyền ( +-lsc truyền) theo nếu V+ € X, Vụ € Y,ð(z,) > + thì tổn tại z' € X và lân cận (0) của g sao cho $(2',z) > 7, Vz € N(y)

Bổ đề 2.1.1 (Bổ đề KKM) Xét ø tập đóng # của một đơn hình

i=1

thỏa Vz€ AM",zc€ (|J Fj Khi do, ñ lì # 0

(iz.>0)

Chứng minh Xem [15]

Hệ quả 2.1.1 Nếu {Œ;},r„ là họ các tập đóng của R" sao cho V{ii, , in} C

k

Tyrese n}, ta có co{e,, ,e„} C U Ci, voi {ee};—rx là cơ sở trực giao chuẩn tắc

âm

n

của R" Khi đó, {1 Œ¡ # 0

¡=1

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Bổ đề KKM ở trên

2.2 Dinh ly KKM-Fan

Định lý KKM-Ean được Fan phát biểu năm 1984 như sau

Chuong 2 Dinh ly KKM-Fan va cdc két quả tương đương 13

Định lý 2.2.1 (Định lý KKM-Fan) Cho Y là tập con lồi khác rỗng của một không gian vector topo, 04 X CY Anh xa F: X ~ Y thỏa:

(i) Va € X, F(x) đóng;

(ii) F la 4nh xa KKM

Khi dé, véi méi tap Xo, 0 A Xo C X thda Xo C Œ, với C là một tập con lôi compact của Y, ta có (] F(x) 4 0 Hon nita, néu 3X9 C X sao cho f) F(x) compact thi

() F(t) 40

zeX

Trước khi chứng minh định lý này ta xét bổ đề sau

Bổ để 2.2.1 Cho Y là không gian vector tôpô, Ú # X C Y Ánh xạ F': X ~ Y thỏa:

(i) Vz € X, F(x) déng;

(it) F la 4nh xa KKM;

(2) tổn tại zo € X sao cho F(a) compact

Khi đó, (1 F(+z) z 0

EX

Chứng minh Giả sử {e¡, c›, , e„} là cơ sở chuẩn tắc của R“ Lấy bất kỳ {zì, #›, #„}

C X Lập ánh xạ ƒ : co{et,€a, ,en} — €0{#1,#a, ,#n„} C X xác định bởi

Vi = (h, ,fn) € cof{er,€2, -,en} f(t) = D> tia

i=l Dat F = f-'(F(xi)) = {x € cofer, ,en} : f(z) € F(xi)} Khi đó, do F có giá

k

trị đóng nên lu 1a là họ các tập đóng Ta cũng được co{e,, ,e„} C F;,

j=1

k

Thật vậy, giả sử 3z = SA, ¢ UR, (s 20,Vj= LE = = -1), nghia la x ¢

Rigsa'— Ts Be Khi đó z £ ƒ"1(F (a,,)), 4) < TE sc ea ki Vi vay f(x) ¢ Ũ F(z,) Nói cách khác ƒ(Ax, ,À, = Fists ¢ Ủ F(z¡,), tức là

jal j=l

co{xi,, , 24} # U F(a;,) (mâu thuẫn với giả thiết F la 4nh xa KKM) Nhu vay, theo Hệ quả 2.1.1 ta được ne # 0, hay A F(z;) # 0, nghia la ho {F(2)},¢ có tính

Chuong 2 Dinh ly KKM-Fan va các kết quả tương đương 14

giao hitu han Ma F(x) compact va () F(x) C F(xo) nén suy ra, () F(x) #0 O

Chứng minh Định lý 2.2.1 Xét bất kỳ {zi,za¿ ,z„} C X Đặt Xị = XạU {]yBtassa #„} và K = co(CU{zi,za, ,#„}), khi đó K là tập con lỗi compact của Y Lập ánh xạ G : Xị — 3Ÿ xác định bởi G(z) = F(z)nK Khi đó, G

có giá trị compact và G là ánh xạ KKM Thật vậy, với {z\, ,z„} C Xi, giả sử

3z = 3À, ¢ Uae ( >0.Vi =Tyn DAS = 3) Suy ra z ý F(z,)n1#, Ví = 1,n

Do dé z € F(x), Wi = In (vì z€ K), tức là z # U F(z;) (mau thudn voi gid thiét F

t=1

la Anh xa KKM)

Như vậy, theo Bổ đề 2.2.1 ta được ƒ\ G(z) # 0 Mặt khác,

EX,

() Gla) (n re) n (ñ») -ñữ wa( Ar F(a )) c< ƒ] Fứ)

Vì vậy

() F@) 40

2EXo

Hơn nữa, nếu 3X C X sao cho ƒ1_ Ƒ(z) compact, thi F(2;) nÍ ñ 7 (2) compact

Vi € {1,2, ,n} va theo trên thì Ẫ (r =)n( ñ F(x )) # 0 Do đó nó có tính

giao hữu hạn trên X Ta suy ra () (re na ( ñ F(x))) #0 Vậy

() F(x) 40

EX

n

Năm 1992, Tian đã mở rộng định lý trên bằng cánh giảm nhẹ điều kiện đóng và KKM của ánh xạ Ƒ, thay vào đó bằng điều kiện đóng truyền và liên lục truyền Định lý 2.2.2 Cho Y là tập lỗi trong không gian vector tôpô, Ú # X C Y Giả sử ánh

xạ F': X ~ Y thỏa:

(i) Ƒ có giá trị đóng truyền trên X;

(ti) clF : X ~ Y la nh xa KKM;

Chương 2 Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương 16

Chứng minh Từ (), ta được ƒ] clƑ(z) C Xo That vậy, lấy y€ ƒ\ elF(z), giả sử

y € Xo, ttc lA y € Y\Xo Theo (#2) thi dz € Xo: y ¢ clF (x) Suy ray ¢ f) clF(x)

z€Xo (mâu thuẩn) Do Xạ chứa trong tập con lỗi compact của Y nên ƒ1 clƑ(z) compact

zcXo

Như vậy áp dụng Định lý 2.2.2 ta được

() Fla) 40

„cXx

Khi đó

ay € () F(z) = (} ad) C (1 eF@) € Xe C X

Sau đây là một số kết quả liên quan đến ánh xạ KKM-mở rộng

Bổ đề 2.2.2 Cho Y là một không gian vector top6 va 0 # X CY Giả sử ánh xạ F:X ~Y co anh đóng hữu hạn (nghĩa là với 7 là không gian con hữu hạn chiều trong Y thì (+z)f\L đóng trong L) Khi đó, {F(z): z X} có tính giao hữu hạn (nghĩa là giao của bất kỳ hữu hạn tập trong họ là khác rỗng) nếu và chỉ nếu # là ánh xạ KKM-mở rộng

Chứng minh Xem [7]

Định lý 2.2.4 Cho Y là không gian vector tôpô và # X C Y Giả sử ánh xạ F: X ~ Y có ảnh đóng và tổn tai zo € X sao cho Ƒ(zo) compact Khi đó, ñ\ fŒ) # 0 nếu và chỉ nếu #' là ánh xạ KKM-mở rộng

rex

Chứng minh Định lý 2.2.4

(=) Vz € X, do F(x) đóng nên Ƒ'(z) đóng hữu hạn Vì ƒ1 Ƒ(z) # nên {Ƒ(z):z€ X}

có tính giao hữu hạn Theo Bổ đề 2.2.2 thì #' là ánh xe KKM-mỗ rộng

(<) Do F la ánh xạ KKM-mở rộng nên theo Bổ đề 2.2.2 thì {F(+): € X} có tính giao hữu hạn Do đó {F(z)n F(øo) : z€ X} cũng có tính giao hữu hạn Mà Ƒ(zo) compact nên {Ƒ(z)1 P(o) : z € X} là họ các tập compact trong Ƒ'(zo) Theo tính chất của các tập compact thì Ø # ƒ1 {F(z)n FŒœa)} = F(o)ñ ( ñ F(a) =

+eX

Chương 2 Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương 1

Định lý 2.2.5 Cho Y là không gian vector tôpô và # X C Y Giả sử ánh xa F:X ~Y có giá trị đóng truyền và clƑ': X ~ Y xác định bởi clF(x) = el(F(z)) sao cho Sx € X để elƑ(zo) compact Khi đó, elƑ' là ánh xạ KKM-mở rộng nếu và chỉ nếu 1) F(z) 490

zcX

Chứng minh Theo giả thiết ta được cÙƑ' có ảnh đóng và có ít nhất một ảnh compact nên theo Định lý 2.2.4 thì : elƑ' là ánh xạ KKM-mở rộng nếu và chỉ nếu ƒẬ clF(z) 4

xeX

Ú Do F cé giá trị đóng truyền nên theo Mệnh đề 2.1.2 :

(f0) = {1 F(a)

Nhu vay, clF la anh xa KKM-mé rong néu va chi néu () F(x) 40 ao

rex

Nhận xét 2.2.1 Trong [4], Ansari - Lin - Yao đã phát biểu và chứng minh điều kiện

đủ của định lý trên bằng cách sử dụng Bổ đề 2.2.2 Ở đây, ta phát biểu lại Định lý 2.2.5 với điều kiện cần và đủ, đồng thời sử dụng trực tiếp Định lý 2.2.4 để chứng minh Do vậy, Định lý 2.2.5 có thể xem là hệ quả của Định lý 2.2.4

Định lý 2.2.6 Cho Y là không gian vector tôpô và # X C Y Giả sử ánh xạ

`: X ~¬ Y có giá trị đóng truyền sao cho # : X ~ Y là ánh xạ KKM-mởổ rộng ứng với K Nếu £øK là compact thi () F(x) £0 O day, @K = cok = cl(coK) và

zcX

F(a) = F(a) = clF(z)

Chứng minh Ta định nghĩa hàm G(z) := cK N F(z), Vz € X Ta xét {a1, , i

X Do Ƒ là ánh xạ KKM-mở rộng ứng với K nén cé {y1, ,yn} C K sao cho

k

VY Yaad C {yee Yah l Sk <n, co{yi,, ,¥i} C U F(ai,) Ta cũng thấy

j=l rằng: co{0,, ,„} C eøK Do đó

k 60{Ui Ya COOK N U (G5):

j=l

Vi vay

k

Cola Vi, + C U Ga)

j=l

Chương 2 Định lý KKM-Ean và các kết quả tương đương 18

Vậy ỚŒ : X ~> Y là ánh xạ KKM-mở rộng ứng với K Do đó G cũng là ánh xạ KKM-nmở rộng Hơn nữa G(z) đóng, Vz € X Do vậy, theo Bổ đề 2.2.2 ta được họ {G(z):z € X} có tính giao hữu hạn Hơn nữa, G(z) compact, Vz € X Ta suy ra

aK N() F(a) = () @K F(a) =) Gla) 40

Do đó

n7øz

z„cX

Do Ƒ có giá trị đóng truyền nên suy ra ñ F(t) #0 Q

ze

2.3 Các kết quả tương đương

Năm 1987, Tarafdar đã phát biểu và chứng minh định lý điểm bất động một cách độc lập và chỉ ra mối quan hệ tương đương giữa định lý này với Định lý KKM-Fan Định lý 2.3.1 Cho X là tập con lồi khác rỗng của không gian vector tôpô Giả sử ánh xạ ƒ: X ~» X thỏa:

(i) Va € X, f(x) là lôi, khác rỗng;

() Vụ € X,ƒ }(u) = {+ € X :€ ƒ(z)} chứa một tập con mở Ó„ của X (Ó, có thể rỗng);

(iti) UY O, = X;

z„cX

(tv) tổn tại tập con X: lỗi compact của X va ton tai tap Xp sao cho # Xạ C Xị C X

và D= ƒẬ OS compact ( D có thể rỗng)

seXo

Khi đó, tồn tại zọ € X sao cho #o € ƒ(#o)

Để chứng minh định lý này ta dùng bổ đề sau

Bổ để 2.3.1 ( Dạng tổng quát của định lý điểm bất động Browder) Cho X là tập con lồi, compact, khác rỗng của một không gian vector tôpô Giả sử ánh xạ ƒ: X + X thỏa:

Chương 2 Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương 19 (i) Va € X, ƒ(z) lôi, khác rỗng;

() Vụ X, ƒ-!{(u) = {z € X :€ ƒ(z)} chứa một tập con mở ÓØ, của X (Ở, có thể rỗng),

(iit) U Oy =X

yex

Khi đó, tồn tai xo € X sao cho zo € f (zo)

Chứng minh Xem [28]

Chứng minh Định lý 2.3.1

Trudng hop D = Ú Khi d6, Vz € Xi, f(z) X1 # Ú Thật vậy, giả sử 3zo € Xi,ƒf(zo)nXị = 0 Khi đó, Vz € Xi,# ¢ f(xo) Suy ra zo ¢ fo'(z) D Oz Do do, zoe f) OFC f] OF = D (mau thuén véi D # 0) Tà sa ~ ni

rEX, zeXo

xác định bởi ø(z) = ƒ() Xi thì ø(z) lỗi, khác rỗng Ta được, Vụ € Ấn,

Øø }{(u) ={z€ Xi:0€ g(z)} = {z€ Xì:u€ ƒ() JAX} = fF Y)NX DO,NX, = O}

mở trong Xị Do ƒ1 Ó$ = nên UYU O, = X Suy ra U Ox = X Do vay,

U Ø}= U (O¿nX;) = Xi Áp dụng Bổ đề 2.3.1 cho X; và ø(z), tồn tại vo € X sao cho og ông C ƒ()

Trường hợp D # 0 Giả sử phản chứng ƒ không có điểm bất động Khi đó,

(1) Of A 0 That vay, néu OF = @ thi ¢ OS Suy raz € O, C ƒ *!{z), tức là

x € f(x) (mau thuan)

(2) V6i {X15 9) 05 te POX thitgetoa, ra yt, pe N82 Thật vậy, giả sử tổn tai

mi = km ¢ Ủ Œ (A 20 Wi=Tn, A= 1) Suy tax € Oz, C f(a), Vi =

In Vi vay a © f(a st <i ro) (mâu thuẩn)

(3) Dat F(z) = OS Khi đó, a CX, K = co(X, U {x4, 22, ,2n}) thi a F(x) # Ú Thật vậy, giả sử a F(x) =@ Ta " rõ ràng K lồi va compact

Ta định nghĩa ánh xạ h: K ~ K St _M bởi h(u) = {z€ K: # F(z)} Khi đó, h(u) # ,Vụ € K Với z € K,

A(a)={yeK: ce hy} = {ye K:y ¢ F(a)} = (F(ø))°nK =O,n K =Ô,