Định lý KKM - FAN, các kết quả tương đương và áp dụng3_2

Luận văn thạc sĩ toán học: Định lý KKM - FAN, các kết quả tương đương và áp dụng

Chuong 1

Kiến thức chuẩn bị về giải tích lôi và

đa trị

1.1 Anh xa da tri

Định nghĩa 1.1 Giả sử X và Y là hai tập, ánh xạ đa trị #' từ tập X vào tập Y, ký hiệu

là F: X ~— Y, là một qui luật cho tương ứng mỗi điểm z € X với một tập F(z) C Y

Đồ thị của Ƒ là tập con của X x Y, ký hiệu là grƑ, định nghĩa bởi

grF`:= {(œ,u)€ X xY :ụ< F(ø)}

Miền hiệu quả của Ƒ là tập con của X, ký hiệu là dơmƑ, xác định bởi

domF := {x € X : F(z) # 0}

Anh xa ngược của Ƒ` là ánh xạ Ƒ~!; Y ~ X được xác định như sau:

ze Fy) ey € F(x) ( (x,y) € grF)

Định nghĩa 1.2 Ánh xạ đa trị P được gọi là đóng nếu grƑ' đóng, lỗi nếu grƑ lôi Cần phân biệt với ánh xạ đa trị Ƒ' có ảnh đóng (có giá trị đóng), có ảnh lôi (có giá trị lồi), tức là #{z) đóng với mọi x, F(z) lỗi với mọi x

Ánh xạ đa tri F’ được gọi là đóng tại z € dơm" nếu V{z„} — z, Vụu € F(zn) : Ua —

wy € F(z)

Anh xa da tri F duge goi lA compact néu F(X) là tập con compact cia Y

Dinh nghia 1.3 Tap con B ctia Y dugec goi lA compact mé (compact dong) néu VD C

Y : D compact, BN D 1a tap md (dng) trong D

3

1.1.1 Tính nửa liên tục (semicontinuity)

Định nghĩa 1.4 Giả sử X và Y là hai không gian tôpô, F: X ~— Y

()

()

F được gọi là nửa liên tục trên (usc) tại z € dơmƑ nếu với mọi lân cận U của F(x), tn tai lan can N cia x sao cho F(N) CU F dugc gọi là usc nếu nó usc tai moi diém ctia domF

Ta có định nghĩa tương đương:

F dude goi la usc néu F(A) := {2 € X : F(x) NA F 0} đóng trong X với mỗi

tập con đóng A của Y

Từ đây về sau, các khái niệm khác cũng được định nghĩa trên một điểm, rồi định nghĩa cho toàn miễn hiệu quả giống như trên nên ta sẽ không nhắc lại

Ƒ được gọi là nửa liên tục dưới (Isc) tai z € domF néu vdi moi tap con mở của

Y thỏa Ưn Ƒ(z) ¥ Ú, tồn tại lân cận Ấ của z sao cho: Va! € N,U A F(a’) # 0

Ta có các định nghĩa tương đương:

- F được gọi là lsc nếu F*(A) := {a € X : F(z) C A} đóng trong X với mỗi tập con đóng 4 của Y

- # được gọi la Isc tai x € domF néu Vy € F(x), V{an} C domF : tp, > x, Ayn €

F(2n), Yn > Y-

Ƒ` được gọi là liên tục tại z nếu nó vita usc vita Isc tai x

Nhận xét 1.1 Nếu #' là ánh xạ đơn trị thì khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới trùng với khái niệm liên tục

Mệnh đề 1.1 Cho Ƒ: X ~ Y Khi đó,

()

()

nếu #` có ảnh đóng và usc thì Ƒ' đóng;

nếu # đóng và Ƒ'{4) compact với mọi A C domF: A compact, thi F 1a usc

Chứng minh Xem [I].

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị về giải tích lỗi và đa trị 7

Định nghĩa 1.5 Cho `: X ~ Y

(¡)_#' được gọi là nửa liên tục trên theo hướng (uhc) tại zo nếu với mỗi z € X, ánh

xa t > Ƒ(fz+(1— #)zo) là usc tại 0* Hoặc phát biểu tương đương: #` được gọi là uhc tại zo nếu với mỗi z € X và mỗi lân cận V của Ô trong Y, tổn tại

6 € (0,1) sao cho F (ta + (1 —t)a9) C F(zo) + V, với t € |0, ð]

Néu F la anh xa don tri, ta nói F 1a lién tuc theo huéng

(vi) Ƒ' được gọi là nửa liên tục dưới theo hướng (lhc) tại zo nếu với mỗi z € X, ánh

xa t > F (tx + (1 —t)ao) là Isc tai 0*

Định nghĩa 1.6 Cho X và Y là các không gian Banach, K Cc X,K 40, L(X,Y) la không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y,7': K ~— L(X,Y)

(¡) 7 được gọi là nửa liên tục trên theo hướng mở rộng (guhc) tại zo € K nếu với

mỗi z € , ánh xạ ¿ — (T (z +(1— #)zo),# — #o) 1a usc tai OF

() 7 được gọi là nửa liên tục dưới theo hướng mở rộng (glhc) tại z € K nếu với mỗi z € /{, ánh xạ £ — (T'(fz + (1— #)zo),# — #o) là lsc tại 0*

1.1.3 Tính đơn điệu

Định nghĩa 1.7 Cho X và Y là các không gian Banach, Ú # K C X,T7: K ~ L(X,Y),C: K ~ Y có ảnh lỗi đóng, imtC(+) # Ú và ƒ: K x K —¬ Y

() 7 được gọi là C-giả đơn điệu trên K nếu, Vz, € K,

3s € T{(z), (s, — +) £ —intC(z) > Vt € T9), (ft, — #) ¢ —intC(z)

() 7 được gọi là C-giả đơn điệu yếu trên K néu “Vt” trong (i) được thay bằng “dt” (2) (7, ƒ) được gọi là C-giả đơn điệu trên K nếu, Vz, € K,

3s € T(z), (s,—#)+ƒ(u, z) ¢ —intC(x) = Vt € T(y), (t,y—a)+f(y, x) £ —intC(z) () (T, ƒ) được gọi là C-giả đơn điệu yếu trên K néu “Vt” trong (#2) được thay bằng

Hat"

Chương I Kiến thức chuẩn bị về giải tích lỗi và đa trị 8

1.2 Tập lối và hàm lồi

Định nghĩa 1.8 Cho X là một không gian tuyến tính, tập K C X là lỗi nếu, Vz, € K,Vi € [0,1],tz + (1— £)ụ e K

Với K # 0, bao lồi của K, ký hiệu là eo(K), là tập tất cả các tổ hợp lỗi hữu hạn của

1 Bao lỗi của XX là tập lỗi nhỏ nhất trong X chứa X

Định nghĩa 1.9 Cho X là không gian vector tôpô, £ K C X, AC X va A li, ƒ:K—=RUf{+o},g: Kx K— RU{+œ} và ý: K x A> RU {+00}

(i) f dude goi la lỗi nếu, Vz, € K, Vt € [0, 1], ƒ (fz + (1— 9w) < tƒ(z)+(1—£)ƒ0)

ƒ được gọi là lõm nếu —ƒ lỗi

() ƒ được gọi là tựa lồi (lõm) nếu, VÀ € (—oœ, +œ), {2€ K: ƒ(z) < A} (œe€ K: ƒ(z) > A}) là tập lôi

(2) ø được gọi là tựa lỗi (lõm) chéo theo biến y nếu, V{w\, ,„} C K,Vụ' €

co{U1,.-., a}, ta có g(0*,0°) < max 9(y", ys) (9(y",y") = min g(y", 9:))- tín iain

(iv) g được gọi là +-tựa lỗi (lõm) chéo theo biến ¿ với + € (—00, +00) néu, V{yi, ., Yn}

CK, Wy" € co{t, , „}, ta có ý < max g(y*, ys) (y > min g(y", y:))

(v) ¿ được gọi là +-tựa lỗi (lõm) mở rộng với y € (—99, +00) né&u, V{yi, -, Yn} C lÂy SỈ iu» ony ty WE KK saocho Vi tii yc Ry PEAT yp: mg Bah Va" SOL Thy mig Bi

ta có + < max ¢(a", yi;) (y > min y(z*, yi,))

4=l1,k j=Lk

Nhận xét 1.2 Nếu ø là hàm tựa lỗi (lõm) chéo theo biến g thì ø là hàm +-tựa lôi (lõm) chéo theo # với + = inf ø(+, #) (+ = sup g(z, #))

z+eK „cK

Nhận xét 1.3 Khi X = Y và A = K, nếu ¿ là hàm +-tựa lỗi (lõm) chéo theo z thì ¿

là hàm +-tựa lồi (lõm) mở rộng theo y

Định nghĩa 1.10 Cho X và Y là các không gian vector, `: X ~— Y được gọi là lỗi nếu, Vz, z¿ € X, VÀ € [0, 1],AF() + (1— À)Ƒ(s) C Ƒ(Azi + (1— À)Z2)