SKKN – một số sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm – tích phân trường THPT trần văn bảo nam định

Trong thực tế, đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 TÊN SÁNG KIẾN:

Một số sai lầm thường gặp khi giải toán Nguyên hàm – Tích phân

2 LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN:

Giảng dạy Nguyên hàm - Tích phân trong chương trình lớp 12 THPT

3 THỜI GIAN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN:

Từ ngày: 30/11/2008 đến ngày: 01/06/2011

4 TÁC GIẢ:

Họ và tên: PHẠM THỊ THANH HUYỀN Năm sinh: 1982

Trình độ chuyên môn: Đại học Sư phạm Chức vụ: Giáo viên

Nơi làm việc: Trường THPT Trần Văn Bảo Địa chỉ liên hệ: Đội 8 – Nam Toàn – Nam Trực – Nam Định Điện thoại: 0979111599

5 ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN:

Tên đơn vị: Trường THPT Trần Văn Bảo Địa chỉ liên hệ: Hồng Quang – Nam Trực – Nam Định Điện thoại: 03503926668

PHẦN I: ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép

biến đổi Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về " hình và số." Theo quan điểm chính thống, toán học là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác Có thể nói rằng không có toán học, sẽ không có ngành khoa học nào cả Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là " ngôn ngữ của vũ trụ" Môn Toán được chia

thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có phân môn: Giải tích toán học còn gọi đơn giản

là Giải tích Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm: giới hạn, đạo hàm,

nguyên hàm, tích phân Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn"; Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn là tính chất "tĩnh" như

trong Đại số Chính vì vậy mà phần lớn học sinh THPT rất lúng túng và gặp khó khăn

khi học Giải tích nói chung và Nguyên hàm, Tích phân nói riêng Bên cạnh đó, trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm, bài toán liên quan đến tích phân hầu như không thể thiếu

Trong thực tế, đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc những sai lầm dẫn đến lời giải sai Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức về Nguyên hàm – Tích phân, biết phân loại được một số dạng toán tính tích phân, nắm được phương pháp giải cho một số dạng bài tập, từ đó giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toán Nguyên hàm – Tích phân nói riêng , đạt kết quả cao trong quá trình học tập môn Toán nói chung, và học sinh phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

qua các bài tập nhỏ, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số sai lầm thường gặp khi giải toán Nguyên hàm – Tích phân”.

PHẦN II: THỰC TRẠNG

Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” thường gặp phải những khó khăn sau:

- Không nắm vững định nghĩa Nguyên hàm, Tích phân

- Không nắm vững phương pháp đổi biến số

- Không nắm vững phương pháp nguyên hàm ( tích phân ) từng phần

- Không nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay

PHẦN III: CÁC GIẢI PHÁP CỦA SÁNG KIẾN

I Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện

một số giải pháp như sau:

1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó

- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí

- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng

- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải

2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh,

- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề

- Phương pháp: phương pháp giải toán

3 Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )

- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh

- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng (ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang cong)

4 Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá

- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 6 mức độ nhận thức: nhận biết

- thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá

- Giáo viên đánh giá học sinh

- Học sinh đánh giá học sinh

5 Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng

loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập

6 Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Hệ thống kiến thức cơ bản

- Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao

- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo

II Ví dụ minh họa:

1 Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa

1.1 Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm

a, Ví dụ 1: chứng minh rằng ( ) (1 ) 

F x x e là một nguyên hàm của hàm

( ) 

f x xe trên R Từ đó hãy tìm nguyên hàm của hàm ( ) ( 1) 

*Một học sinh đã giải như sau:

F’(x) = -e - x + (1+x)e- x =f(x) với mọi x =>F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên R

g x dx x e dx x xe dx x e dx x x e x c e x c

 x e x e x  xe x

* Phân tích:học sinh viết chung hằng số c cho mọi phép tính nguyên hàm

* Lời giải đúng:

g x dx x e dx x xe dx x e dx x x e x c e x c



xe x c với c = c1 – c2

b, Ví dụ 2: Tính cot xdx

*Một học sinh đã giải như sau:

cos cot

sin

x Đặt

2

cos 1













x

u

x

2

* Phân tích: học sinh viết chung hằng số c cho mọi phép tính nguyên hàm

* Lời giải đúng:

sinx cos

x 1.2.Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản

Ví dụ 3: tính I 2x 1 dx 3

*Một học sinh đã giải như sau:    

4

3 2x 1

4



* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:

Học sinh vận dụng công thức

n 1

n x

n 1





 với n ≠ – 1

* Lời giải đúng:

4 4



1.3.Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân

Ví dụ 4: tính tích phân

 

2

2 2

dx I

x 1









*Một học sinh đã giải như sau:

   

2



* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: hàm số

 2

1 y

x 1



 không xác định tại x   1  2;2

* Lời giải đúng: Hàm số

 2

1 y

x 1



 không xác định tại x   1  2;2suy ra hàm không liên tục trên 2;2 , do đó tích phân trên không tồn tại

* Chú ý đối với học sinh: khi tính tích phân

b

f (x)dx

 cần chú ý kiểm tra xem hàm số

y = f(x) có liên tục trên đoạn [a, b] không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp được học để tính tích phân đã cho, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại

1.4 Sai lầm khi biến đổi hàm số

Ví dụ 5: Tính tích phân

4 2 0

I x  6x 9dx

*Một học sinh đã giải như sau:

4



* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:

Phép biến đổi (x 3)  2   x 3; x [0,4]  là không tương đương

* Lời giải đúng:

 

4

3 2

x 3



* Chú ý đối với học sinh: 2nf x 2n f x  ( n ≥ 1, n nguyên)

   

2n 2n

     , ta phải xét dấu hàm số f(x) trên đoan [a, b] rồi dùng tính chất để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

1.5.

Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến

Ví dụ 6: Tính tích phân

1 2 0

I1 x dx

*Một học sinh đã giải như sau:

Đặt x = sint suy ra dx = costdt

1

0



 I  t t dtc t dt c t dt  t  t  

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: học sinh đổi biến nhưng không đổi cận

* Lời giải đúng: Đặt x = sint suy ra dx = cost.dt

Đổi cận: x 0 t 0;x 1 t

2



2 2 2 2

0



 I   t t dtc t dt c t dt t  t 



* Chú ý đối với học sinh:

Khi gặp tích phân dạng

b

2 2 a

I c  x dx, nếu tích phân tồn tại thì thông thường ta

tính tích phân bằng cách đặt x = c.sint( hoặc x = c.cost) đổi cận, chuyển về tính tích phân theo t

Ví dụ 7: Tính tích phân

1 3 4

2 0

x

1 x







*Một học sinh đã giải như sau:

Đặt x = sint suy ra dx = costdt Đổi cân: x 0 t 0;x 1 t arcsin1

3 2

cos t

1 cos t



Đến đây học sinh thường rất lúng túng vì số lẻ, do đó các em không tìm ra được đáp số

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức 1 x 2

thông thường ta đặt x = sint ( hoặc x = cost); nhưng đối với ví dụ 7, nếu làm theo cách này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận Cụ thể khi x = 1/4 ta không tìm chính xác được t

* Lời giải đúng:

Đặt t = t 1 x 2  t2  1 x2 2tdt2xdx xdxtdt

Đổi cận: x 0 t 1;x 1 t 15

2

* Chú ý đối với học sinh: khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức 1 x 2, nếu cân của tích phân là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì ta mới tính tích phân bằng cách đặt x =sint( hoặc x = cost) còn nếu không thì ta phải tìm phương pháp khác

1.6

Sai lầm vì dùng công thức không có trong sách giáo khoa

Ví dụ 8: Tính tích phân

0 2 1

1

x 2x 2





 



*Một học sinh đã giải như sau:

0

I dx dx arctan(x 1) arctan 0 arctan( 1)

4



* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: SGK hiện hành không cung cấp công thức

2

1

dx arctan x c



* Lời giải đúng:

x 2x 2 (x 1) 1

2

1

dx dt (1 tan t)dt cos t

    Đổi cận: x 0 t ;x 1 t 0

4



1

I (1 tan t)dt dt t

4

1 tan t



* Chú ý đối với học sinh: khi gặp tích phân dạng

b

2 2 a

1





 , thì ta tính tích phân bằng

cách đặt x = c.tant (hoặc x = c.cott) Chú ý công thức 2 2

1 tan t ;1 cot t

cos t sin t

1.7.

Hiểu sai bản chất công thức

Ví dụ 9: Tính tích phân

2 x 0

Ixe dx

*Một học sinh đã giải như sau: Đặt u xx u ' 1x

v' e v e



2

0

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: học sinh hiểu sai bản chất công thức lấy tích phân từng

phần

* Lời giải đúng: Đặt u x x du dxx

dv e dx v e



   

2

0

1.8.Sử dụng sai công thức

Ví dụ 10.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 9 – x2; y = 0; x = 1; x = 4

*Một học sinh đã giải như sau: diện tích hình phẳng cần tìm là

4

2

x

S (9 x )dx (9x ) 6

3

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: học sinh vận dụng sai công thức tính diện tích hình

phẳng

* Lời giải đúng: diện tích hình phẳng cần tìm là

S 9 x dx 9 x dx 9 x dx (9 x )dx (x 9)dx 9x 9x

2.Một số bài tập tương tự

 

5

2 0

dx 1/

x 4

1

2 0

2 / x x 1 dx

2

4 0

dx

3 /

cos x





3 1

x e x

x





5

2

0

dx

5 /

x  3x 2



0

6 / 1 sin 2xdx







2

2 2 1

2

1

7 / x 2.dx

x

 

0

8 / x  2x x.dx

3

6

9 / tan x cot x 2.dx







4

x 16

x





2 0

2x 2x 3

x 1

 





1

8 0

x dx

12 /

1 x



2

x dx

13 /

1 x



2

2

dx

14 /

x 1 x



PHẦN IV HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI

1 Học sinh tự làm:

Ban đầu, học sinh gặp những khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích

phân đã nêu Chẳng hạn với bài tập: Tính tích phân 

 

2 2

2

) 1

(x

dx

đa số học sinh tính ra đáp số bằng 34 ! Qua một số năm giảng dạy tôi đã thống kê được số liệu như sau:

7

2

37

29

3

11

12A (47HS) Năm 2008 - 2009 12D (42 HS)Năm 2008 -2009

HS giải đúng HS giải sai HS không giải được

2 3 0

34

31

28

26

12D Năm 2010 - 2011 12E Năm 2010 - 2011 12H Năm 2010 - 2011

HS giải đúng HS giải sai HS không giải được

2 Học sinh làm sau khi được giáo viên hướng dẫn:

Trước kết quả thực tế của học sinh, bản thân tôi rất trăn trở suy nghĩ: làm thế nào

để học sinh đạt kết quả tốt khi giải loại toán này? Tôi bắt đầu hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân, cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở tôi đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận, trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các

em đến lời giải đúng Qua nghiên cứu, ứng dụng SKKN này vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả học sinh đạt được rất khả quan Chẳng hạn:

Bài 1: Tính tích phân

 

1

2 0

dx I

9x 31







45

38

12A (47HS) Năm 2008 - 2009 12D (42 HS) Năm 2008 - 2009

HS giải đúng HS giải sai HS không giải được

40 39 40

12D(48HS)

Năm 2010-2011

12E(49 HS) Năm 2010-2011

12H(54HS) Năm 2010-2011

HS giải đúng HS giải sai HS không giải được

Bài 2:( đề thi đại học khối B – 2009) Tính tích phân

 

3

2 1

3 ln x

x 1









Qua tìm gặp trao đổi với học sinh 12A, 12D năm 2008 – 2009 sau khi đi thi về tôi thống

kê được số liệu như sau:

27

HS giải đúng

HS giải sai

HS không giải được

Bài 3: Đề thi đại học khối A – 2011 Tính tích phân 4

0

x sin x (x 1)cos x

x sin x cos x









Qua tìm gặp trao đổi với học sinh 12D, 12E, 12H năm 2010 – 2011 sau khi đi thi về tôi

32 18

10

HS giải đúng

HS giải sai

HS không giải được

PHẦN V ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ

Bài viết SKKN này của tôi nhằm cung cấp tới các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức nhất định về nguyên hàm, tích phân và những kiến thức liên quan, học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán Đồng thời, qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình; học sinh có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làm toán Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của nguyên hàm, tích phân nói riêng.Nói riêng, với học sinh thì những kiến thức về nguyên hàm, tích phân cũng là tương đối khó, nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống Các em thường quen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học Đó là chưa kể sách giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng và thậm chí mang tính hàn lâm ; những nội dung này học sinh sẽ được tiếp cận thêm khi có cơ hội học sâu hơn (chủ yếu ở bậc Đại học)

Ở cấp độ trường trung học phổ thông Trần Văn Bảo, SKKN có thể áp dụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ; giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa,

định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học, giúp các em tránh khỏi lúng túng trước một bài toán đặt ra và không mắc phải những sai lầm thường gặp

Bản thân tôi là một giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp 12 chưa nhiều năm song với thực tế trên lớp tôi đã đi sâu nghiên cứu về lĩnh vực này Khi áp dụng SKKN này vào giảng dạy tôi nhận thấy kết quả nhận biết của các em tăng lên rõ rệt, các em không còn nỗi lo sợ khi làm toán tích phân mà ngược lại còn rất hứng thú đối với loại toán này Một chút kinh nghiệm nhỏ bé tôi muốn trao đổi với các thầy cô cùng giảng dạy bộ môn Toán; Mong đón nhận ở các thầy cô lời góp ý, bổ xung để cho bản SKKN được hoàn thiện, áp dụng rộng rãi hơn đối với các trường THPT

Polya đã viết "con người phải biết học những sai lầm và những thiếu sót của mình" Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy

Hiện nay trường THPT Trần Văn Bảo đã có một số đầu sách tham khảo, tuy nhiên

số lượng và chất lượng của những sách này còn hạn chế Vì vậy trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách chuẩn kiến thức kỹ năng, tài liệu tự chọn, các loại sách viết về những sai lầm phổ biến khi giải toán để học sinh có thể tự tìm tòi, nghiên cứu qua

đó các em có thể tránh được những sai lầm khi giải toán

TÁC GIẢ

Phạm Thị Thanh Huyền

Trường THPT Trần Văn Bảo

(xác nhận, đánh giá, xếp loại)