Dao động tử biến dạng R(Q luận văn thạc sĩ vật lý lý thuyết

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau Đại Học, Khoa Vật Lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt ch

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • •

•

PHẠM THỊ HÒNG LÊ

DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG R(Q) Chuyên ngành: Yật lí lí thuyết và Vật lí Toán Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC Sĩ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngưòi hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan

HÀ NỘI, 2013

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Hà

Loan, người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến

LỜI CẲM ƠN

thức nền tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng Cô

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau Đại Học, Khoa Vật Lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả

Phạm Thị Hồng Lê

Tên tôi là: Phạm Thị Hằng Lê, học viên cao học khóa 2011 -

2013 chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan đề tài: “Dao động tử biến dạng R(q)”, là kết

quả nghiên cứu và thu thập của riêng tôi Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác Neu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả

Phạm Thị Hồng Lê

MỤC LỤC

MỠ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc luận văn 2

NỘI DUNG 3

Chưong 1: Dao động tử biến dạng 3

1.1Dao động tử Boson biến dạng 3

1.1.1 Dao động tử Boson 3

1.1.2 Dao động tử Boson biến dạng q 8

1.2Dao động tử Fermion biến dạng 17

1.2.1 Dao động tử Fermion 17

1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q 18

1.3Dao động tử Paraboson biến dạng 22

1.3.1 Dao động tử Paraboson 22

1.3.2 Dao động tử Paraboson biến dạng q 27

1.4Dao động tử biến dạng R 28

Chương 2: Phân bố thống kê của các dao động tử biến dạng 32

2.1Định nghĩa về thống kê của dao động tử 32

2.2Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng 33

2.3Phân bố thống kê của dao động tử Fermion biến dạng 34

2.4Phân bố thống kê của dao động tử Paraboson biến dạng 35

2.5Phân bố thống kê của dao động tử biến dạng R 37

Chương 3: Dao động tử biến dạng R(q) 39

3.1 Dao động tử biến dạng R(q) 39

3.2 Phân bố thống kê của dao động tử biến dạng R(q) 43

KẾT LUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

MỜ ĐÀU

1 Lí do chọn đề tài

Vật lý học được xem là ngành khoa học cơ bản chi phối tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác, là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những quy luật đơn giản nhất và tống quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên cứu những tính chất, cấu trúc của vật chất và những quy luật của sự vận động của vật chất Nhìn vào lịch sử vật lý, ta thấy rằng các nhà khoa học đã nhiều lần biến dạng các quy luật vật lý cơ bản để tạo nên các lý thuyết mới đáp ứng nhu cầu nghiên cứu

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu đại số biến dạng q đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý Bởi cấu trúc toán học mới của chúng liên quan đến những vấn đề đa dạng trong vật lý lý thuyết như lý thuyết tán xạ ngược lượng tử, mẫu hòa tan chính xác trong cơ học thống kê, lý thuyết trường

Comfomal hữu tỉ, lý thuyết trường hai chiều với thống kê phân số Đặc biệt người ta thấy nghiên cứu biến dạng lượng tử tỏ ra rất hữu hiệu khi nghiên cứu quang lượng tử, sự rung động của hạt nhân nguyên tử, vật lý của vật chất đông đặc

Bên cạnh đó biến dạng R cũng được quan tâm Đại so Heisenberg biến dạng R đã mô tả được những hạt có Spin cao Biến dạng R(q) là biến dạng tổ họp của biến dạng R và biến dạng q

Lý thuyết nhóm đối xứng là vấn đề cơ bản trong vật lý lý thuyết Sự hiểu biết về nhóm Lie và đại số của nhóm Lie đã trở nên cần thiết, là công cụ chủ yếu của vật lý lý thuyết hiện đại Gần đây trong đại số Lie người ta quan tâm đến biến dạng đại số Lie Đặc biệt là biến dạng pha trộn giữa biến dạng R và biến dạng q

Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài: “Dao động tử biến dạng R(q)”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu dao động lượng tử biến dạng q, biến dạng R và biến dạng R(q)

3 Nhiệm vụ nghiên cửu

- Nghiên cứu các dao động tử biến dạng

- Nghiên cứu dao động biến dạng R(q)

4 Đối tưọng và phạm vi nghiên cún

Nghiên cứu dao động lượng tử, biểu diễn của dao động lượng tử và tính thống kê của các dao động lượng tử biến dạng R(q)

5 Phưoìig pháp nghiên cún

- Sử dụng các phương pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán

- Sử dụng các phương pháp của lí thuyết nhóm đối xứng

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Dao động tử biến dạng

Chương 2: Thống kê của các dao động tử biến dạng

Chương 3: Dao động tử biến dạng R(q)

(1.1.2)

NỘI DƯNG

CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG

Trong chương này, chúng tôi sẽ viết tổng quan về các dao động tử

lượng tử, dao động boson biến dạng, dao động tử fecmion biến dạng, dao động

tử Paraboson biến dạng và dao động tử biến dạng R

1.1 Dao động tử boson biến dạng

1.1.1 Dao động tử boson

Dao động tử boson đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức giao hoán:

Toán tử số dao động tử N được biếu diễn theo các toán tử hủy

dao động tử a và toán tử sinh dao động tử a+ có dạng:

N = afa

trong đó: a: là toán tử hủy dao động tử

a+ : là toán tử sinh dao động tử Kết hợp (1.1.1) với (1.1.2) ta

có:

|j,aj= I a,a_

+

=

a aa-aa a = (a+a - aa+)a

= -(aa+ - a+a)a

= -a

|ỉ,a+ = [+a,a+

+ + + +

= a aa -a a a

1°

)

n =

ĨĨ !

= a+(aa+ - a+a)

= a+ |,a+]

= a Như vậy:

N,a =-a, TN,a*] = a+ Không gian Fock là không gian mà vector cơ sở của nó là những trạng thái với số hạt xác định Trong không gian Fock, trạng thái chân không |0) được định nghĩa là trạng thái thỏa mãn điều kiện:

Đưa vào cơ sở của không gian Fock |n) là trạng thái riêng của toán tử số dao động tử ứng với trị riêng n:

|0) n=0, 1, 2,

Ta chứng minh:

N|n) = n|n)

Thật vậy:

N|n) = 3*3111}

»

n |0)

= a + a

4* _ +

a a a

yịrĩị

J_

'Jn\ a a, a+ Ị +

+- + ln\

ana |0) Vn~!

= n ny.

Bây giờ, ta hãy chứng minh rằng:

n-l

a, a = n a

Với n = 1:

]=1

a,a Với n = 2:

a, a = a + 1 a,a + J + [a,a + Ja +

= 2a +

Nhận thấy (1.1.6) đúng với n = 1, 2.

Dùng phương pháp quy nạp, giả sử biếu thức (1.1.6) đúng vói n = k, tóc là:

= k cì

a, a

Ta phải chứng minh biếu thức (1.1.6) đúng vói n = k +1

J _ r ' 1 ■ k

+ 1 a,a J

r + k+1l •f

k

a a, a

4 k _ l

_ +• 1 + , _H

a

= a k a + a

= k+1 a H

Vậy phương trình (1.1.6) đúng vói n = k +1 Suy ra (1.1.6) đúng với mọi n Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng p liên hệ với các toán tử hủy, sinh dao động a, a + như sau:

1 0

(1.1.8)

Q = ! h

2rn0)

mho) +

P = iJ——— a -a

và

chúng

thỏa

mãn hệ

thức

giao

hoán:

Q,p =ih

Thật

vậy:

ih Q,p = —^ a+ + a ,

a+ - a = _T

[a’a*]~[a+’a]

2

-= ih^a,a+]

= ih T

oán

tử

Hamil

tonian

mô tả

dao

a 1 + a ,

động

tử

điều

hòa

được

biểu

diễn

theo

các

toán

tử

sinh,

hủy

dao

động

tử a“,

a như

sau:

H = —PI

+

-m

©2

Q2

2

m

2

2

= — a

-a +— -a

I

2

hco

+ _

+ _

hco +

_+

-a -f

——

a +a

a +a

hco +

+_ + _

+_L I + + I + I

+ I