skkn PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP

Nói đến phương pháp toạ độ, mọi người thường hay nghĩ đến các bài toán về khảo sát hàm số, vẽ đồ thị cũng như các bài toán của hình học giải tích.. Tuy nhiên sẽ không có nhiều người nghĩ

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI

TOÁN SƠ CẤP

Năm học 2010-2011

1

LỜI MỞ ĐẦU

Trong chương trình giáo dục toán học ở trường phổ thông trung học, phương pháp toạ độ chiếm một vị trí quan trọng Nói đến phương pháp toạ độ, mọi người thường hay nghĩ đến các bài toán về khảo sát hàm số, vẽ đồ thị cũng như các bài toán của hình học giải tích Tuy nhiên sẽ không có nhiều người nghĩ rằng phương pháp toạ độ còn cho ta những lời giải hay đối với các bài toán sơ cấp: Giải phương trình - giải bất phương trình - chứng minh bất đẳng thức - tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Thậm chí phương pháp toạ độ còn giúp ta giải quyết các bài toán số học - Suy luận logíc - Hình học tổ hợp - Hình học thuần tuý, mà là những đối tượng “xa vời” với phương pháp toạ độ

Cùng với các phương pháp khác, phương pháp toạ độ là một trong những phương pháp hữu hiệu để giải nhiều bài toán sơ cấp Phương pháp toạ độ dùng để giải quyết các bài toán chứa trong nó “Cái hồn hình học” mà thoạt nhiên ta chưa nhìn thấy nó Do đó chúng ta cũng nên đưa phương pháp toạ độ vào giải các bài toán sơ cấp trong chương trình phổ thông trung học, nhằm trang bị thêm phương pháp giải bài tập và ứng dụng của phương pháp toạ độ Đó cũng chính là nhận thức

và ý tưởng của tôi khi chọn đề tài này

“PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP.”

Do điều kiện thời gian, trong đề tài này tôi mới chỉ đưa ra: Phương pháp toạ

độ với bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số - thông qua một vài ví

dụ Hy vọng rằng: Phương pháp toạ độ sẽ đem lại cho các bạn sự thoải mái - trong sáng - và lý thú

Dĩ nhiên, trong quá trình nghiên cứu cũng không tránh khỏi những khuyết điểm Mong các bạn đồng nghiệp góp ý và bổ sung

NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI

Để giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phương pháp toạ độ, người ta thường sử dụng các tính chất sau:

- Trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm A và B cho trước thì đường thẳng nối AB là đường thẳng có độ dài ngắn nhất

- Cho điểm M ở ngoài một đường thẳng d ( hoặc mặt phẳng (P)) cho trước Khi đó, độ dài đường vuông góc kẻ từ M xuống d ( xuống (P)) ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ M xuống đường thẳng (mặt phẳng) ấy

- Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn, thì tam giác đều có chu vi

và diện tích lớn nhất

Nếu bằng một phép biến đổi nào đó, bài toán có thể quy về các sự kiện hình học nói trên, thì nên dùng phương pháp toạ độ để giải

Người ta sử dụng hai bất đẳng thức sau:

1 u vr r+ ≤ +ur vr

2 .u v u vr r≤ r r

phương, cùng chiều hoặc là có một trong hai vectơ là vectơ không)

Ngoài ra còn chú ý một số kết quả sau (tự chứng minh) :

0

M AB

Max M M

D

Min f x

x D

α

=



 ∈

x D

α

≥



 ∈

x D

α

≤



 ∈

3

M 0

B

SAU ĐÂY LÀ MỘT VÀI VÍ DỤ MINH HOẠ

1.1 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

f(x,y) = cos2x + cos2y

2}.

Lời giải:

Đặt u = sinx; v = siny Khi đó ta có:

cos2x + cos2y = 2 - 2(u2 + v2)

2

u ≤ v ≤ u v+ = }

Lúc đó ta có mối liên hệ:

( , )

D

Max f x y = 2 - 2 1 ( , )

D

Min F u v (1)

( , )

D

Min f x y = 2 - 2 1 ( , )

D

Max F u v (2)

Vẽ hệ trục Ouv

2; 1) & B(1;

-1

2).

Nếu M(u; v) ∈ D1 thì u2 + v2 = OM2

M AB

1

( , )

D

Min F u v = 2 2 1

8

M AB

u

v

A

B

H

1 -1 -1/2

-1/2

1

1/2 1/2

Theo (1) ta có: Max f x y = 7 D ( , )

4; Min f x y = - 1 D ( , )

2.

1.2 Ví dụ 2: Tìm GTLN & NN của hàm số: f(x, y) = x2 + y2 trên miền:

D =

2 0

x y

x y



 + + ≥



 − + ≤



Lời giải:

Vẽ hệ trục Oxy

Dễ thấy các điểm (x; y) thoả mãn hệ trên chính là toàn tam giác ABC

Ta có:

( , )

D

M D

Max OM

( , )

D

M D

MinOM

4 16 16

Tóm lại: Max f x y = 20 D ( , )

( , )

D

Min f x y = 16

1.3 Ví dụ 3:Tìm GTNN của hàm số:

f(x, y, z, t) = z2 + t2 - 2xz - 2yt - z

Trên miền D = { (x, y, z, t): x2+ y2 = 1; z2- t + 3 = 0}

5

x

x

C B

-8 -4 -2

-2 2 4

Lời giải:

Với (x, y, z, t) ∈ D, ta có:

f(x, y, z, t) = (x - z)2 + (y - t)2 - x2 - y2 - 3 =(x - z)2 + (y - t)2 - 4 (1)

Ta có: (x - z)2 + (y - t)2 = MN2

Rõ ràng: MinMN2 = M0N02 = 4 Trong đó M0(0; 1) và N0(0; 3)

Từ (1) suy ra: f(x, y, z, t) ≥ 0 ∀(x, y, z, t) ∈ D

Mặt khác, khi x = 0, y = 1, z = 0, t = 3 thì f(x, y, z, t) = 0, mà (0, 1, 0, 3 )∈D

Vậy Min f x y z t = 0 D ( , , , )

1.4 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Lời giải:

Ta viết lại f(x) dưới dạng: f(x) =

2;

3

3

1

2); C(x ; 0)

u v

-1

1

3 N 0

M 0

M(x,y) N(z,t)

O

Trong đó AB =

2

Như vậy, nếu đặt x0 = OC0 thì f(x0) = 2

Vậy : Min f x x R ( )

1.5 Ví dụ 5: Tìm GTLN & GTNN của hàm số:

f(x, y) = 4x + 3y Trên miền: D = {(x, y): x2 + y2 + 16 = 8x + 6y}

Lời giải:

Nếu (x, y) ∈ D, ta có: x2 + y2 = 8x + 6y ⇔ (x - 4)2 + (y - 3)2 = 9

f(x, y) = 4x + 3y =

2 2

2 2 2

với M(x; y) nằm trên đường tròn trên

M D

MinOM

M D

Max OM

7

y

x

A

B

2

3 2

1 2 1

2

−

.

.

.

.

y

x

O

M(x,y)

O 1

4 3

Vậy: Max f x y = 8 + 1 D ( , )

2 = 40,

( , )

D

Min f x y = 8 + 1

2 = 10

1.6 Ví dụ 6: Tìm GTLN & GTNN của hàm số:

f(x) = sinx+ 2 sin− 2 x +sinx 2 sin− 2x với x ∈ R

Lời giải:

Gọi m là giá trị tuỳ ý của hàm số f(x) Điều đó có nghĩa là phương trình sau (ẩn x)

có nghiệm:

2 2

2 (3)

u v u v m

v u



 + =



− ≤ ≤



 ≤ ≤



Xét hệ trục Ouv:

Dễ thấy (3), (4), (5) biểu diễn cung »AB nhỏ, ở đây A(1; -1); B(1; 1)

Từ (2) ta có:

2

2

u v

O

y

x

B

A

(u + v) = -1 - 2m+3 loại (vì không cắt cung »AB )

tức là 0 ≤ -1 + 2m+3 ≤ 2

⇔ 1 ≤ 2m+3 ≤ 3

⇔ - 1 ≤ m ≤ 3

Vậy Max f x x R ( )

1.7 Ví dụ 7: Tìm GTLN & GTNN của hàm số

2

x

Lời giải:

2 (4)



+ =





Xét hệ trục Ouv:

nhất AB của đường tròn tâm O báb kính 2

9

u

v

O

A

B

-2

-2

Đường thẳng u+2 2v m= qua A( 2 ; 0) có dạng: u+2 2v= 2.

2 4

+

Vậy Max f x[ ]0;2 ( ) 3 2= = 3 và

[ ] 0;2 ( ) 2

Min f x = .

1.8 Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f(x) = x2 −2px+2p2 + x2 −2qx+2q2 (p, q là hai số cho trước)

Lời giải

Xét p + >q 0:

Trên mặt phẳng toạ độ xét điểm A(x - p; p ) & B(x - q; q ) Khi đó:

Vậy ta luôn có f(x) ≥ (q q− )2 +(p + q)2 (1)

Ta có: OA (uuur= −x p p; ); BO (uuur= −q x q; )

y

y =

y =

-A

B

mà A, O, B thẳng hàng ⇔ x p p x q p p q

+

− = ⇔ =

Do AB không đổi với mọi vị trí của A, B nên ta có:

q p p q

Tóm lại, với mọi trường hợp ta đều có:

x R

1.9 Ví dụ 9: Tìm GTLN & GTNN của hàm số:

f(x, y) = x - y Trên miền:

D =

2 2

2 2

x y



 + − ≤



− + ≤





Lời giải:

Miền xác định D cần lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f(x, y) được biểu diễn bởi miền gạch chéo sau:

11

x

y

A

2 -2

4 3

6

Chú ý rằng:

Oy

Gọi (α) là một giá trị tuỳ ý của f(x, y) trên D

2 2

2 2

x y

x y

α

− =



 − + − ≥



− + ≤





x y

− + =



 + − =





Đường tròn (x - 6)2 + (y - 3)2 = 25 cắt trục hoành tại B(2; 0) & C(10; 0)

x - y = - 4 - 5 & x - y = 2 là hai vị trí giới hạn mà đường thẳng x - y = α cắt miền D

D

Min f x y = − −

1.10 Ví dụ 10: Cho a, b , c, h là bốn số dương cho trước; x, y, z là ba số thực thay

đổi sao cho ax + by + cz = k (1) ( k là số cố định cho trước)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f(x, y, z) = a h2 +x2 +b h2 +y2 +c h2 +z2 với (x, y, z) thoả mãn điều kiện (1)

Lời giải:

Xét hệ trục Ouv: A(ah, ax); B((a + b)h; ax + by); C((a + b + c)h; ax + by + cz)

Ta có: OA = a h2 +x2 ; AB = b h2 +y2 ; BC = c h2 +z2

Vậy f(x, y, z) = OA + OB + OC (2) & OA + AB + BC là độ dài đường gấp khúc OABC nối hai điểm cố định O(0; 0) & C((a+b+c)h; k)

Ta có: OC = k2 +h a b c2( + + )2

Từ (2) suy ra: f(x, y, z) ≥ OC = k2 +h a b c2( + + )2 (3)

ah ah bh ah bh ch

k

x y z

a b c

⇔ = = =

+ +

a b c a b c a b c

Từ (3) và (4) ta có: Minf(x, y, z) = k2 + + +(a b c h)2 2

1.11 Ví dụ 11: Cho xi, yj (i = 1,2, , n) là 2n số thực thoả mãn:

1 1

1

i i

∑ ∑

1

n

i i i

∑

Lời giải:

Trong mặt phẳng xét hệ tọ độ Oxy:

1 1

;

k k

i i

13

ax + by

A

B O

u

ax + by + cz = k

(a+b+c)h

ax

ah

(a+b)h

v

C

Như vậy điểm

1 1

;

n n

i i

Dễ thấy:

2 2 1

1 1 1 1

Từ đó suy ra:

A = OM1 + M1M2 + M2M3 + + Mn-1Mn

2

Dấu bằng sảy ra trong (1) ⇔ O, M1, M2, , Mn thẳng hàng & Mn≡ H

1 2

n

y

tg

⇔ x1 = x2 = = xn = y1 = y2 = = yn = 1

2n

y

x

O

H

15

KẾT LUẬN Bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số và loại toán khá phức tạp trong chương trình THPT Cách giải rất phong phú - đa dạng Mặt khác, phương pháp toạ độ cũng là phương pháp mới đối với học sinh - có phần trừu tượng Khi vận dụng phương pháp toạ độ, học sinh cần nắm vững kiến thức toạ độ

Có tư duy lôgic - khéo léo Vận dụng được phương pháp này sẽ giúp học sinh phát triển tư duy - ý thức rèn luyện kiến thức và tạo sự say mê học tập, hứng thú trong học tập

Thông qua một vài ví dụ trên, nhằm giúp học sinh thấy được ý nghĩa và phương pháp vận dụng vào bài toán, giúp học sinh phần nào tự tin và ý thức hơn

về phương pháp (kiến thức) toạ độ, mà có những ví dụ với phương pháp sơ cấp đơn thuần không giải được hoặc phức tạp - Nhưng đối với phương pháp toạ độ thì lời giải lại đơn giản, ngắn gọn và dễ hiểu

Do điều kiện thời gian cũng như tinh thần học hỏi, tôi cũng chỉ đưa ra một

số ví dụ đơn giản trên, nhằm đạt được một số yêu cầu nào đó mà thôi Mong sự đóng góp chân tình của các bạn đồng nghiệp, nhằm hoàn thiện, thường xuyên có tư tưởng cũng như suy nghĩ đến phương pháp này mà trước kia ta ít nghĩ tới

Móng Cái, ngày tháng năm 2006

Người viết

Nguyễn Duy Bình