Đánh giá lớp phép biến hình Á bảo giác lên vành khăn bị cắt theo các cung tròn đối xứng quay 7

Luận văn thạc sĩ toán học -chuyên ngành Toán Giải Tích-Chuyên đề :Đánh giá lớp phép biến hình Á bảo giác lên vành khăn bị cắt theo các cung tròn đối xứng quay

Lu(m van Th(lc sj Toan h(Jc - Tntclng Thu(1n 28

Chuang 5

cA C DANH GIA LOP HAM G

Trang chu'ang nay, chung toi danh gia cae d£;lilu'cjngd~c tru'ng cha mi~n chuffn cling nhu' moduli cua cae lOp ham G Vi~c danh gia ban kfnh

Q (g), 9 E G, dong m9t vai tro quail trQng trang vi~c danh gia cae d£;li

lu'cjngkhac, VI the' chung Wi b~t dftu voi danh gia nay

Dinh Iy 5.1 VcJicae giG thief va ky hi£lu iJ ehLtdng 2, V9 E G, ta e6

K

(1+ S~~) r' < Q(g) < /i-*,

trong d6 dang thue trai xdy ra khi B = Bo va g(w) = alwIK-1w,w E

1 1

B, Ibl= 1.

(5.1)

Chung minh Ap d\lng b6 d~ 4.1 cha PBHKABG ngu'cjcf =g-l, 9 E G,

ta co

2

> 81 (Q~g))K+ps (doR(g) < 1)

Tli day, suy fa c~n du'oi cua Q(g)

(5.2)

Khi B = Bo va g(w) = alwIK-1w, la! = 1 thl d~ng thuc Kay fa.

7r12 > 7rQ2 (g) {l K .

Q(g) < {l-K.

Tli day, nhd [14, c6ng thuc 2.5], ta co d~ng thuc Kay fa khi B = Bo

Ne'u {l = 1 thl daub gia c~n tfen Ia hi~n nhien va d~ng thuc kh6ng

(5.1) dzt(fc v ief dztcJi d(lng

( P8)

-if

suy ra

Deing thac (5.3) ho(ic (5.4) xdy ra {:} B = Bo va g(w) = alwIK-1w, w E

B, lal = 1.

5.2 Danh gia c~n dtioi ban kinh R(g)

K

M~t khac, ta con co dinh 19 sail:

Dinh Iy 5.2 V6i caegid thiefva ky hi?u iJchztdng 2, \/9 E G va 8 > 0,

ta co cae danh gia:

R(g) >

1f

R(g) >

(82 - p8 81{l KI2 ) If .

(5.5)

(5.6)

Cluing minh Thea (5.2), voi 8 > a

(

1

)

1<

(

1

)

1< -*

Suy fa

<-81 + p8

Vi 81 + p8 = 82 - 8(B), ta co (5.5).

M~it khac, tli (5.7) va (5.1), ta co

2

(

1

)

1<

82 > 81 (1'*)K + p8 R(g) Tli day suy fa (5.6).

Blob Iy 5.3 VJi cae gia thitt va ky hi£1u(J chZlcJng2, 'l/g E G, ta co

1

-x Q(g) < J-L

)

,

RK(p, Iwl,q) < Ig(w)1< RK (p, 1~I,q) - RK (p, 1;I,q

-K

(qK <)RK(p,d,q) < R(g) < RK (p,~,q) - RK (p,~,q)

RK(p,d,q)RK (p,~,q) < Q(g).

(5.7)

D

(5.8)

(5.9)

(5.10)

Cluing minh Ap d\lng bfft d~ng thuc phai cua (4.20) cha PBHKABG

Iwl < t voi t = T [v, Ig(w) I*",q]

Do do, theo dinh nghla cua hai ham sf{ ph\! T(p, r, 8) va R(p, t, 8),

E G va Vw E B, ta co

1

Ig(w)IK = R(p, t, q)

va rhea tinh don di~u (3.11) cua ham R(p, t, s), ta co

R(p, t, q) > R(p, Iwl, q).

Tli do suy ra c~n duoi cua Ig(w) I trong (5.8).

M~t khac, ta nh~n duQc tli ba't d~ng thlic trai cua (4.20), \:/g E G va

\:/w E B,

Tli do tu'dng t1/ nhu' tren, \:/gE G va \:/w E B, ta co

-k

(

.

)

Ke't hcjp voi (5.1), suy ra cac c~n tren cua Ig(w) i trong (5.8).

Tu'ong t1/, nho ba't d~ng thlic (4.22), ta co th~ chi ra cac ba't d~ng thlic (5.9)

f)anh gia c~n du'oi (5.10) d6i voi Q(g) duQc suy ra tr1/c tie'p t11(5.9)

D

H~ qua 5.2 Tit (3.24), ta nh(m du(lc cac danh gia ddn gilln.

v fii cac gill thief va ky hi~u iJ chuang 2, \:/gE G, ta co

4-*lwIK < Ig(w)1 < 4{fQ(g) C~I) K < 4*p-k C~I) K,

( )

( )

K

4_2f,' (q:r < Q(g).

(5.11) (5.12)

(5.13) (5.14)

Tit (3.12) va (3.16), ta thfly rling cac h~ slf chi phl:l thuQc vaa K va p trang (5.11)-(5.14) la tot nh{{t.

Chzl y 1 Truong hcjp cac thanh ph~n bien o-jthoai hoa thanh p di~m

roi r(;lc,hi~n nhien danh gia (5.11) vftn con dung ne'u ta thay cac da'u <

bdi < Nhu' v~y, bAng cach thac tri~n lien t\lC ham z = 9 (w) t(;lip di~m

bien dfi nell, ta thffy (5.11) v~n con dung cho PBHKABG d6i xung quay

p lfin z =g( w) mi~n nhi lien B nQi tie'p tfong hlnh vanh khan q < Iwl < 1

leD hlnh vanh khan Q < Izi < 1

Chu j 2 (5.14) co th~ s~c hon (5.4) khi q -+ 0, C -+ 0 vdi di~u ki~n

d = canst va -" q = canst.

c

H~ qua 5.3 TruiJng hC;p C1, C2 va cac CJjlan ll1c;tla cac dl1(Jng tran

Iwl = Qt, Iwl = 1 va cac nhat cdt tren duiJngtran Iwl = R', ta co cac

, 1

,1

RK (p,R', Q') < R < K (Q~, ' )

Trang (5.15) dling thac traixay ra {::}B = Bo, g(w) = alwIK-1w, w E

1 1

B, Ibl= 1

(5.16)

Chang minh Th~t v~y, khi do q = M1 = Q', C = d = R', J.t = J" S(B) = 7r(1 - Q'2), 81 = 7rQ'2, 8 = O.

Do do, ap d1;lngdinh 19 5.1, ta nh~n du'Qc(5.15), cling vdi di~u ki~n xay fa ding thuc

H~ qua 5.4 Ktt hC;p(5.2) vai (5.9), ta tim l(Ii c(ln dual cila Q(g) co thi sdc h(Jn (5.1) nhu sau

(

1

)

1<

(

1

)

1<

82 > 81 Q(g) + p8 R(g)

(

1

)

1<

( K ( q ) -k)-k

> 81 Q(g) + p8 R p,~, q J.t

Suy ra

Q(g) >

(

82 - p8.R2 (p,~, q) J.t~

) -~

H~ qua 5.5 Tit (5.9) va (5.10), ta nh(m dLt(le,nhiJ (3.12) va (3.17), cae

danh gia sau day ddi vai Ide d{j h{ji I¥ ctla R(g), ~i~i va Q(g) lrong eae

tntiJng h(lp gifJi h(ln

K1f2 1- R(g) < 1- RK(p,d,O) ~ K[l- R(p,d,O)] ~ 1 8

2p n p(l-d)

khi d -+ 1, tlle la R(g) -+ 1 khi d -+ 1.

1 - Q(9) R(g) < 1- RK (P, c'CJ 0)

~ !{

[1- R (p, ~,O)] ~ K1f28

C 2p In p(l-~)

khi ~ -; I, tlic fa ~i:i -; 1 khi ~ -; 1.

1-Q(g) < 1-RK(p,d,0)RK(p,~,0)

2p In p(l-d) 2p In p(l-~) khi d -+ 1 va ~-+ 1

e

FJanh giG (5.19) n6i r2ing Q(g) ddn tdi 1 ntu d -+ 1va :l -+c 1.

5.4 Danh gia g6c md j3(g)

(5.17)

(5.18)

(5.19)

R5 rang ta luan co 0 < {3(g)< 21f, 9 E G, tuy nhien ta mu6n co danh gia

p

t6t hdn trong nhfi'ng tru'ong hejp nao do Mu6n v~y ta dung phu'dng phap

dQ d~li-di~n tich hay con gQi Ia dQ dai Qtc tri do Ahlfors va Beurling [1]

d~ xu'ong nam 1950, giup giiH quye't nhi~u bai toan t6i u'u trong PBHBG

Md rQng phu'dng phap do cho PBHKABG, ta co b6 d~ sau:

B6 d~ 5.1 Trong m(lt phdng z eho hlnh ehil nh~t

D = {z = x + iyl 0 < x < a, 0 < y < b}.

Gia sa ham so' W = j(z) th1!c hi~n mQt PBHKABG hlnh chTl nh(lt D ZenmQt ta giac Gong H cila m(it phdng W saD cho cac dlnh 0, a, a + ib

va ib cila D ztm Zufft tu(jng ang V(ji cac dlnh WI, W2, W3 va W4 cila H GQi r ZahQ cac cung r trong H noi cc;mhWIW2wJi c(;mhW3W4cila H.

GiGsa co ham dQdo p = p(w) > 0 lien tf:lC trong H saD cho

0 < Ip(r) = lp,dW, < 00, V"{ E r

va

0 < SetH)= JJHP2dudv < 00, W = u +iv.

lJ(it

l p = inf l p(r )

fEr

Khi do, ta co

1 a 2

Sp(H) > K blpo Ddng thac (j (5.20) co thl xay ra.

(5.20)

W4

D ,Dx

WI

W3

Hinh 5.1: PBHKABG hlnh chu nh?t D Jen tu giac cong H.

Chang minh *Tru'dng h<jp K = 1

D~t

5x=Dn{zl~z=x}varx=j(5x), O<x<a.

Thea giii thie't, ta co

a

Sp(H) = JJD p21f'(zWdxdy = J dx 1. p21f'(z)12Idyl.

0

Theo ba't d~ng thuc Schwarz I, ta nh~n du'QC\Ix E (0, a)

L pV(zWldyll, Idyl> (L pl!'(z)lIdyl)2,

va do foxIdyl = b > 0 Denco

Do do, d€ y1x E f, ta co

SetH) > i J (l plf'(z)lIdYI) dx= i J (1 pldwl) dx

a 12

0

*Tru'ong hQp K > 1

Xet T/ = h(w) la PBHBG tu giac H leD hlnh chii'nh~t

D' = {'TJ= S + itI 0 < s < a', 0 < t < b'}

sao cho cac dlnh WI, W2, W3 va W4 cua H l~n hiQt tu'ong umg vdi cac dlnh 0, a', a' + ib' va ib' cua D'.

Ap dvng chung minh tren cho anh x~ ngu'Qch-I, ta co

a' Sp(H) > bll~.

M~t khac, anh x~ h0 f la PBHKABG hlnh chii'nh~t D leD hlnh chii' nh~t D' Den co

a' 1 a

-> b' - K b.

IBilt dAng thuc co d~ng

!<g(X))'dx !<h(X))'dx;' Ug(x)h(x)dx ) ,

trong do giii thie't g(x), h(x) lien t\lc teen do~n [Xl, X2]va dAng thuc xiiy fa khi va chi khi g(x) = Ch(x),

X E [Xl, X2], C = canst.

Tli do co (5.20).

f)~ng thuc (j (5,20) co th€ xay fa, ch~ng h~n khi H tIling voi D',

a'

) 2 'b'

P W = va b = b" ~t v~y, 1 0 K b P = K b = a =

B6 d~ 5.2 Trang m(it phang z eho miin

E = {zl rl < Izi < r2, 'PI < arg z < 'P2}.

Gia sit ham sa W = j(z) thl;tehi<fnmQt PBHKABG mi€n E Zen ~Qt

ta giac Gong H cila m(it phang w sao cho cae dlnh Zl = rl ei'P2, Z2 = ei'Pl, Z3 = r2ei<pl va Z4 = r2ei'P2cila E tan Zuqt tuang ring vdi cae dlnh

WI, 'W2, W3va W4cila H GQi r fa hQ cae cung "( trong H m5'i C(mh WIW2

vdi qmh W3W4cila H.

Vai cae ky hi<fup, lp("(), "( E f, lp, Sp(H) nhu trong b6 d€ 5.1, ta co

Sp(H) > ~ 'P2 -r:ll~,In- (5.21)

rI

Dang thric (j (5,21) co thi xay ra.

Z4

!r) A'f) 1/'?2 Z 3

01"\ 1'9, Z2

WI

W2

i In r2

rl ~-!.pi + i In r2

rl

~6x

0 -x

~ -\PI

Hinh 5,2: PBHKABG mi~n E Jen tti' giac cong H.

Chang m inh Qua phep bie"n d6i

z = x + iff = rp2+ i In~ = (rp2 - rp)+ i In ~, z = reirp,

mĩn E se bie"n thanh hlnh chITnh~t

D = {z= x+ iYI 0 < x< 'P2 - 'p" 0 < y < In ~: } ,

d' , d?

Iftn htCjt túong ling vdi Zl, Z2, Z3 va Z4, va cac cling Arp,6x, 1rptúong ling

vdi nhau nhú tfong hlnh 5.2.

Dinh Iy 5.4 V cJieae giG thilt va ky hi<fu iJ ehu(Jng 2, V9 E G, wEB va

0 < q < M1 < C < d < m2 < M2 = 1, ta co eae bat dang thue:

21r- p{3I 2 m2 + p{3 I 2~ + p{3 I 2 m2 < Ks (B)

trong do

(5.22)

(5.23)

fi dudv .

Spa (B) = 2 2' W=ỨlV.

BU +V

Dang thac (j (5.22) co thl xay rạ

Chang minh f)~t

Arp= A n {zI arg z = rp}

va vdi m6i j (j = 0, ,p - 1), d~t

Qlj = {z

Q2j = {z

Q3j = {z

} ,

} ,

R < Izi < 1, ex+ (2j - 1)7r < argz < -a + (2j + 1)7r

} .

Hinh 5.3: PBHKABG mi~n chuffn A len mi~n B ling vdi (p= 2)

bie'n thanh H1j co mQt c~nh tren C1 va mQt c~nh tren c2, Q2j bie'n thanh H2j co mQt qmh n~m tren C1 va mQt c~nh n~m tren O"j,Q3j bie'n thanh H3j co ffiQtqlllh nam tren (J"jva mQt c~nh nam tren c2.

n6i C1 vdi C2, n6i C1 voi O"j,n6i O"jvoi C2 va gia sa co p = p(w) > 0

lien t\1Ctrong B sao cho

0 < lp(1k) = 1 pldwl < 00, 'V1k E fk (k = 1,2,3)

"fk

va

Hkj

£)~t

lkp = inf Ip(1k) (k = 1,2,3).

"fkEfk

D~ dang tha"y rang

'\pEfi -£1+(2j+ 1)~::;<p::;a+(2j+l)~

Tit do, ap dvng b6 d.; 5.2 cho mi.;n Q'j, yiJi p( w) = I~I' wEB, co

1 20: 2

!{ -yllp < Sp(H1j).

In-Q vdi

m2

1

1

fvh

tuc Hi

2'if - p{3 In2 m2 < pK Sp(HI),

In-Q

(5.24)

VI 2po;= 2'if - p{3.

1

A.pEfz (X+(2j-l)~:::;'P:::;-(X+(2j+l)~

(

'if

)

2 -0;

1 P Z2 < Sp(H2j).

-Q

vdi

c

.

J 1

C

l2p = Inf lp(12)= _

I I

idwi = In M '

Ml

tile IiI

p{3

In2~ < pKSp(H2j).

M1-

In-Q

(5.25)

f3 ~ U f(A'P) vdi r3 = U 1'1"

A<pEf3 (X+(2j-l)~:::;'P:::;-(X+(2j+l)~

(

'if

)

2 -0;

1 P Z2 < Sp(H3j).

-R

vdi

mz

l

d

tuc Ia

~InIn- d < pKSp(H3j).

R

pK(Sp(H1j) + Sp(H2j) + Sp(H3j)) = KSpo(B)

(5.26)

ta nh~n duqc (5.22)

Danh gia (5.23) duqc Suy fa tu (5.22) va h~ qua 5.2

Ne'u B = Bo, tuc ml = M1 = q, C = d = r, m2 = M2 = 1 va ne'u

thl

K

t ". (5 22) - 21r - PP1 2 1

+ PP 1 2 r + PP 1 2 1

- 21r - PP1 2~ PP 1 2 RK PP 1 2~

- In -1 n QK + In -R n QK + In -1 n RK

= I{2(21r - pp) In Q + I{2p{3In Q + K2p{3ln R

= 21rK2 In Q = 21rK In QK = 21r!{In q'

K ?

5

J dudv

ve phal ( 22) = K U +v2 2

q<lwl<l

- K J J ~d:2de = K J de J ~~= 27rKln~.

Chl1j 3 Cac bftt dAng thuc (5.22) va (5.23) v~n con dung khi m2 < M1

ho~c C< M1 ho~c m2 < d ne'u ta Iftn Iuqt d~t In :~ = 0 ho~cIn ;1 = 0

di~n Hch cae t~p con cua B khong thoa gia thie't dinh 195.4

H~ qua 5.6 Vlii cae gid thief va ky hi~u iJ chu(Jflg 2, V9 E G, wEB va

27r

thac hiln nhien 0 < {3(g) < -, ta co danh gia cho {3(g), Vg E G:

p

(

2

)] }

K 2 I 1I 415 c

Chu y 4 Khim2 = 1, M1 = q, ta xet

27r

[

J(2In.! In (4~s )

]

27r

[

K2InlIn (4js

)]

- 27r

[

1 - K21n (4~q'J)

]

(

2

)

K2 In 411 s

D~t C = In-1 qd , trong tru'onghQpd = canst, cho q -+ 0, C -+0

q

saG cho ~ = canst, thl C -+ O. V~y 27r> {3(g)> 27r(1 - C), tile c~n

du'dicua {3(g)trong h~ qua 5.6 Ia ffiQtdaub gia s~c, it ra cho tru'onghQp

da neUe