Đánh giá lớp phép biến hình Á bảo giác lên vành khăn bị cắt theo các cung tròn đối xứng quay 4

Luận văn thạc sĩ toán học -chuyên ngành Toán Giải Tích-Chuyên đề :Đánh giá lớp phép biến hình Á bảo giác lên vành khăn bị cắt theo các cung tròn đối xứng quay

Lui)n van Th{lc sy Tolin hQc - Tnt(jng Thui)n 3

Chuang 2

Phep bi€n hlnh m9t-m9t w = j(z) = u(x, y) + iv(x, y) mi~n A cua m~t

ph~ng z leu mi~n B cua m~t ph~ng w dliQc gQi la baa giac trong A n€u t~i mQi di~m Zo cua A, no co hai tlnh cha't:

a) Bao loan goc giii'a hai dliong cong ba't ky qua Zo k~ ca chi~u quay b) Co ht; s6 co dan khong d6i rhea mQi hliang t~i Zo, tuc

Hm I~ wi

~z->o l~zl = a > O.

Nhli v~y n€u chi xet trong Ian c~n cua m9t di~m Zo cua mi~n A,

PBHBG co th~ xem nhli m9t phep d6ng d~ng VIdo Hnh cha't a) cac goc tliong ung trong hai hlnh bAng nhau va do Hnh cha't b) ty s6 giii'a hai c~nh tliong ung xem nhli khong d6i

Theo ynghIa hlnh hQc cua d~o ham ta tha'y n€u j(z) giai rich va co

j'(z) =F0 trong mi~n A thl no baa giac trong A Ngu'Qcl~i n€u j(z) baa

giac trong A nglioi ta cling chung minh dliQCkhi do no giai rich va co j'(z) =F0 trong A.

Theo djnh 19 Riemann, mQi mi~n don lien VOlhon mQt di~m bien d~u c6 th~ bi€n len hlnh trail don vI, VIv~y chung tu'ong dliong b?w giac ydi

nhau Chung ta cling bitt rAng ba't ky mi~n nhi lien D nao ma thanh

phftn bien khong thoai hoa thanh m9t di~m d~u co th~ bi€n baa giac leu

hlnh v~lllh khan r1 < Izi < r2 ([5,ir.2G8]).Ty s6 r2 khong thay d6i qua

rl

PBHBG du'<;jcgQi Ia modUli cua mi~n nhi lien D Nhu' v~y, hai mi~n nhi

lien co cling moduli thl tu'dng du'dng baa giac v8i nhau Trang tru'ong

hIJp mi~n n( n > 3) lien, dinh 19 sail ([5, tr.237]) chi s1/ t6n t<;liva duy

nha"tPBHBG len mi~n chugn Ia hlnh v~lllhkhan voi nhfi'ng nhat cat cung troll d6ng Him t<;lig6c

Dinh If 2.1 M Qt miin n( 3 < n < 00)Zien D tuy y eua m(it phdng w, vdi cae thanh phfm bien C1, C2, , Cn ehria nhiiu hdn mQt dilin, diu co thi biln baa giae don dirfp Zen hinh vanh khan Q < Izi < 1 vdi (n - 2)

nhdt edt eung tron dt5ng tam 0, saD eho bien C1 eua D tLlangring Izl = 1,

bien C2 eua D tLlang ring Izl = Q Nlu them diiu kirfn W1 E C1 eho trUde tLlang ring ditm Z1 eho trUde vdi IZ11= 1 thi phep biln hinh ia duy

nhat.

Cj

1

Hinh 2.1: PBHBG mien n( = 4) lien len mien chuftn.

Cac moduli baa giac hay modUli Riemann cua mi~n n(> 3) lien g6m

(3n - 6) thalli s6: Q, (n - 2) ban kinh cac nhat cat, (n - 2) goc md cac

nhat cat, va (n - 3) goc quay, tinh b~ng radian, thea chi~u du'dng, tu tia

xua"tphat tu g6c qua trung di~m nhat cat thli nhftt de'n tia tu g6c l~n lu'<;jt qua trung di~m cac nhat cat con l<;li.Nhu' v~y, hai mi~n ba"tky se tu'dng

du'dng baa giac v8i nhau ne'u chung co du (3n - 6) c~p moduli tu'dng ling

b~ng nhau

2.3 Dfnh nghia phep bi~n hinh K - abaG giac

PBHKABG du'<;jcdinh nghla bdi nhi~u cach, trang do dinh nghla hlnh hQc du'8i day la dinh nghla t6ng quat nhftt

M(jt sang anh lien tl;lchai chiiu w = f(z) ta miin A Zenmiin B, baa

loan chiiu duang tren bien, du(fc gQi ZamQt PBHKABG neu ten t(li mQt

cflnh cua hlnh chrl nh(lt tuang duang baa giac V(Yita giac cang) bat ky trang A va modun m' cua V' = f(V) Zuonthoa

m

- < m' < K m,

bat ky mitn nhi lien D naa trang A co modun M (tac t) Zf girla ban kinh leJnva ban kinh nho cua hinh vanh khan tuang duang baa giac veJi D) thi D' = f(D) co modun M' thoa

1

MK < M' < MK. (2.2)

PBHKABG co illQt s6 tinh cha't co blm sau:

a) Ne'u K = 1 thl PBHKABG trd thanh PBHBG

bi~t hejp cua PBHKABG vdi PBHBG la PBHKABG

c) Phep bi€n hlnh ngu'ejccua PBHKABG cling la PBHKABG

d) V~ cac tru'ong hejp xay ra d~ng thlic trong (2.1) va (2.2), Grotzsch

([7]) da chi fa:

- Ne'u j(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy, la PBHKABG hlnh chIT

nh~t

V = {x + iyl 0 < x < m, 0 < y < I}

ten hlnh chITnh~t

sao cho cac dinh thich hejp tu'ong ling vdi nhau thl

{

U=I{X

v=y

{

U.

K

x

m=-{::}

- N~u w = j(z) la PBHKABG hlnh vanh khan

(2.3)

(2.4 )

D = {zll < Izi < M}

leu hlnh v~mh khan

D' = {wi 1 < Iwl < M'}

saDcho Izi= 1 tu'ong ung Iwl= 1 thl

M' = M {:} j(z) = alzl z, lal = 1.

(2.5) (2.6)

Giii sa B la mQt mi~n (p + 2) lien (p E N) cho tnidc trong m~t ph~ng phuc w vdi cac bien trong 0"0,0"1, , O"p-l,C1 va bien ngoai C2, chua trong hlnh vanh khan 0 < q < Iwl < 1, vdi max{lwll w E C2} = 1,

min{lwll w E Cd = q, saD cho C1 cling nhu' C2 baa bQc w.2". = 0 va B

bie'n thanh chlnh no bdi phep quay W = e'P w R6 rang vdi p = 1, giii

thie't cu6i cling la hi~n nhien

Ta vie't B = Bo khi cacO"j (j = 0, ,p - 1) la cac cung trOlld6ng tam

0 va C1, C2 la cac du'ong troll d6ng tam O

A la hlnh vanh khan 0 < Q(g) < Izi < 1 bi c~t dQc p cung troll Lo(g), L1(g), , Lp-l(g) d6ng tam 0 saD cho C1, C2 va O"jIftn lu'Qttu'ong

ling vdi Izi= Q(g), Izi = 1 va Lj(g) (j = 0, ,p-1), bon nlia, 9 co Hnh

d6i Kung quay p Iftn

i 2". i2".

D~ng thuc nay hi~n nhien ne'u p = 1

Chu 9ding Hnh d6i Kungquay rfft hay g~p trong ky thu~t va do dinh

19 2.1, cling nguyen 19 d6i Kung, G -I 0

Do (2.7) va Hnh lien t\lC cua z = g(w), mi~n iinh A phiii bie'n thanh

.2".

chinh no bdi phep quay Z = e'P z Bflng mQtphep quay thich hQpmi~n

A, co th~ lam cho cac Lj(g) co d~ng

Lj(g) = {z Ilz,= R(g), o:(g)+ (2j - l)~ ::;argz ::; -o:(g) + (2j + 1)~} (2.8)

vdi Q(g) < R(g) < 1, 0 < o:(g) < 7r, Vg E G, j = 0,1, ,p- 1

p

Nhu' v~y, m6i nhat c~t Lj(g) dell co cling ban kinh R(g) va goc md

(3(g) = 2(11"- a(g)), \/g E G (hlnb 2.2)

p

1

Hinh 2.2: PBHKABG mi~n B ten mi~n chuffn A (ling voi p =2).

B~t

mj = min{lwll w E OJ} (j = 1,2),

Mj = max{Iw II w E OJ} (j = 1,2),

c = min{lwll w E O"j} (j = 0,1, , p - 1),

d = max{lwll w E O"j} (j = 0,1, ,p - 1),

J r'

f-L = sup II -1(> 1),r.

.1=1 J

trong d6 Bj : rj < Iwl < rj la nhG'ngt~p con cua B doi mQt rCiinhau.

Ne"u B khong chua Bj nao thl d~t f-L= l.

Theo gia thie"t da: lieU ve mien B thl m1 = q, M2 = l

GQi 82 la di~n tich trong I cua t~p md do O2 baa bQc,

81 la di~n tich ngoai 2 cua t~p dong do 01 baa bQc,

8 la di~n tich ngoai cua t~p dong gioi h~n bdi m6i O"j,j = 0,1, , p-1,

GQiF Ia lop PBHKABGw = I(z), I = g-l, 9 E G, mien A leD mien

B B~t

m(r, I) = min{lwllw E E(r, In, M(r, I) = max{lwllwE E(r, I)},

IDi~n rich trong cua mQt t~p di~m D Hlc~n ireD dung (sup) cua di~n rich t~p di~m n~m trong D gidi

h~n bdi mQt s6 hii'llh~n da giac

2Di~n rich ngoai cua mQt t~p di~m D la c~n dltoi dung (int) cua di~n rich t~p di~m cht1'aD gioi h~n

bdi ffiQts6 hii'u h;.tnda giac

voi E(r, f) Ia t~p di~m w tu'ong ung voi duong troll Izi= r, Q < r < 1

bCiiw = f(z), f E F GQi S(r, f) la di~n tich trong cua mi€n gioi h:;tn bCiianh cua duong troll Izi = r, Q < r < 1, r =I-R do f thtfc hi~n Voi

R5 rang ps = S+(R, f) - S-(R, f).

Chu y, do (2.7), ta co

i 271" i 271"

tuc ham w = f (z) cling d6i Kung quay p l~n.

M\1Cdich chlnh cua lu~n van nay la thie't l~p cac c~n tren va c~n du'oi

cho Ig(w)1 va cac d:;tilu'(jng Q(g), R(g), (3(g), tuc roan bQ cac modUli baa giac (ne'u K = 1) cua mi€n B (vI cac goc quay '"'O(g)tu ria xua't phat tu g6c qua trung di~m cua Lo(g) de'n ria xua't phat tu g6c qua trung di~m cua Lj(g), Vg E G, luon bftng j27r (j = 1, ,p - 1)) rhea cac d:;tilu(jng

p

la cac danh gia cac d:;tilu'(jng hlnh hQc cua mi€n anh thong thu'ong, cac

danh gia nay con co ynghla quail trQng d ch6 chung cho ta bie't kha Dang

hai mi€n n( > 3) lien ba't ky nQi tie'p trong mQt hlnh vanh khan, d6i Kung quay (n - 2) l~n co th~ bie'n leD nhau bdi mQt PBHKABG hay khong f)~ lam du'(jc di€u nay, tru'oc he't ta tlm cac danh gia cho If(z)l, f E F

va cac d:;ti lu'(jng hlnh hQc lieU tren cua B = f (A) d6i voi lop ham F

rhea cac d:;tilu'(jng d~c tru'ng cua A.

Cac ke't qua du(jc bi~u thi bftng nhii'ng cong thuc don gian ho~c cac ham ph\1 T(p, r, s), R(p, t, s) ma ta se dinh nghla va xac dinh bi~u thuc

giai tich cho chung trong ph~n 3.2 cua chuang 3 MQt s6 c~n trong cac

danh gia d:;ttdu'(jc bdi nhii'ng ham C\1th~ du(jc chi fa MQt s6 c~n t6i u'u rhea nghla khong th€ thay the' chung bftng nhii'ng c~n khac t6t hon chi

ph\1 thuQc vao cling cac d~i lu(jng