SKKN Xác định công thức tổng quát của dãy số

ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng toán khó

ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy

số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết

Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát của dãy số “ và kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai phân “ qua một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã được học

Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệm tham khảo

Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống

của ‘ Lý thuyết phương trình sai phân “ Tuy nhiên những vấn đề áp

dụng kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt

và giới hạn trong trường số thực

Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình bày trong đề tài

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI

TOÁN VỀ DÃY SỐ

A PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT

Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng

*

trong đó a,b,α là các hằng số ,a # 0 và f là biểu thức của n cho trước n

Dạng 1

Tìm u thoả mãn điều kiện n

u =α a u + +b u = (1.1) trong đó , ,a b α cho trước n N∈ *

Phương pháp giải

Giải phương trình đặc trưng aλ + =b 0 để tìm λ Khi đó n

n

u =qλ (q

là hằng số ) , trong đó q được xác định khi biết u1 =α

Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu

tiên bằng 1 và công bội bằng 2

Bài giải Ta có

u + = u u = (1.2) Phương trình đặc trưng có nghiệm λ =2 Vậy 2n

n

u =c Từ u1 =1suy ra 1

2

c= Do đó 2n 1

n

Dạng 2

Tìm u thoả mãn điều kiện n

*

u =α au + +bu = f n N∈ (2 1)

trong đó f là đa thức theo n n

Phương pháp giải

Giải phương trình đặc trưng aλ + =b 0 ta tìm được λ Ta có

u = +u u Trong đó 0

n

u là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và

*

n

u là nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậy

n

u =qλ q là hằng số sẽ được xác định sau

Ta xác định *

n

u như sau :

1) Nếu #1λ thì *

n

u là đa thức cùng bậc với f n

2) Nếu λ =1 thì u*n =n g n với g là đa thức cùng bậc với n f n

Thay *

n

u vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của

*

n

u

Bài toán 2: Tìm u thoả mãn điều kiện n

*

Bài giải Phương trình đặc trưng λ − =1 0 có nghiệm λ =1 Ta có

u = +u u trong đó 0 1n , * ( )

n

u và phương trình

(2.2) ta được

(n+1) (a n+ +1) b =n an b( + +) 2n (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau

+ = =

 + =  = −

Do đó u n =n n( −1)

Ta có u n = + = +u n0 u n* c n n( −1) Vì u1 =2 nên 2= +c 1 1 1( − ⇔ =) c 2 Vậy u n = +2 n n( −1 ,) hay u n = − +n2 n 2

Dạng 3

Tìm u thoả mãn điều kiện n

*

u =α a u + +bu =vµ n N∈ (3.1) trong đó f là đa thức theo n n

Phương pháp giải

Giải phương trình đặc trưng aλ + =b 0 ta tìm được λ Ta có

u = +u u Trong đó 0 n

n

u =cλ , c là hằng số chưa được xác định , *

n

u được

xác định như sau :

1) Nếu #λ µ thì * n

n

2) Nếu λ µ= thì * n

n

u =A nµ

Thay *

n

u vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số

của *

n

u Biết u từ hệ thức 1, 0 *

u = +u u , tính được c

Bài toán 3: Tìm u thoả mãn điều kiện n

*

u = u + = u + n N∈ (3.2)

Bài giải Phương trình đặc trưng λ − =3 0 có nghiệm λ =3 Ta có

u = +u u trong đó 0 3 ,n * 2n

Thay * 2n

n

u =a vào phương trình (3.2) , ta thu được

1

a + = a + ⇔ a= a+ ⇔ = −a

Suy ra 2n

n

u = − Do đó 3n 2

n

u =c − n vì u1 =1 nên c=1 Vậy 3n 2n

n

Dạng 4

Tìm u thoả mãn điều kiện n

*

u =α a u + +bu = f + f n N∈ (4.1) Trong đó f là đa thức theo n và 1n 2 n

n

Phương pháp giải

u = +u u +u Trong đó 0

n

u là nghiệm tổng quát của phương

trình thuần nhất au +bu =0, *

u là một nghiệm riêng của phương trình

không thuần nhất a u n+1 +b u n = f1n, *

2n

u là nghiệm riêng bất kỳ của phương

trình không thuần nhất a u n+1+b u n = f2n

Bài toán 4: Tìm u thoả mãn điều kiện n

1 1; 1 2 3.2 ,n

u = u + = u + +n n N∈ (4.2)

Bài giải Phương trình đặc trưng λ − =2 0 có nghiệm λ =2 Ta có

2

Thay *

n

u + = u +n , ta được

a n+ +b n+ + =c an + bn+ c n+

Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình

 − − = ⇔ = −

 + + = −  = −

Vậy * 2

u = − −n n− thay *

2n

u + = u + Ta được

2

A n+ + = An + ⇔ A n+ = An+ ⇔ =A

Vậy

2

3 2 3 2 2

n

Do đó 2n ( 2 2 3) 3 2n 1

n

u =c + − −n n− + n − Ta có u1 =1 nên

1 2= c− + ⇔ =2 3 c 0 Vậy 3 2n 1 2 2 3

n

B PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng

*

trong đó a,b,c, α ,β là các hằng số , a # 0 và f là biểu thức của n cho n

trước

(NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực )

Dạng 1

Tìm u thoả mãn điều kiện n

*

u =α u =β au + +bu +c u − = n N∈ (5.1)

Phương pháp giải

Giải phương trình đặc trưng a.λ2 +b.λ+ =c 0 tìm λ Khi đó

1) Nếu λ λ1, 2 là hai nghiệm thực khác nhau thì 1n 2n

n

u = Aλ +Bλ , trong

đó A và B được xác định khi biết u u 1, 2

2) Nếu λ λ1, 2 là hai nghiệm kép λ1 =λ2 =λ thì ( ) n

n

u = A Bn+ λ , trong

đó A và B được xác định khi biết u u 1, 2

Bài toán 5: Tìm u thoả mãn điều kiện sau n

u = u = u + = u + − u (5.1)

Bài giải Phương trình đặc trưng λ2 −8λ+16 0= có nghiệm kép λ =4

Ta có

( 4) n n

u = A B n+ (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu được hệ phương trình

0 1

3

B

= =

 = + =  =



Vậy (1 3 4) n

n

Dạng 2

Tìm u thoả mãn điều kiện n

1 , 2 , n 1 n n 1 n , 2,

u =α u =β a u + +b u +c u − = f n≥ (6.1)

trong đó a # 0, f là đa thức theo n cho trước n

Phương pháp giải

Giải phương trình đặc trưng a.λ2 +b.λ+ =c 0 để tìm λ Khi đó ta

có u n = +u n0 u n*, trong đó 0

n

u là nghiệm tổng quát của phương trình thuần

nhất a u n+1+b u n +c u n−1 =0 và *

n

u là một nghiệm tuỳ ý của phương trình

n n n n

a u + +b u +c u − = f

Theo dạng 1 ta tìm được 0

n

u , trong đó hệ số A, B chưa được xác định , *

n

u

được xác định như sau :

1) Nếu #1λ thì *

n

u là đa thức cùng bậc với f n

2) Nếu λ =1 là nghiệm đơn thì u*n =n g g ,n n là đa thức cùng bậc với f n

3) Nếu λ =1 là nghiệm kép thì u n* =n g g.2 n, n là đa thức cùng bậc với

n

f ,

Thay *

n

u vào phương trình , đồng nhất các hệ số, tính được các hệ số của *

n

u

Biết u u từ hệ thức 1, 2 0 *

u = +u u tính được A, B

Bài toán 6: Tìm u thoả mãn điều kiện n

u = u = u + − u +u − = +n n≥ (6.2)

Bài giải Phương trình đặc trưng λ2 −2λ+ =1 0 có nghiệm kép λ =1 Ta

u = +u u trong đó 0 ( 1) n , * 2( )

Thay *

n

u vào phương trình (6,2) , ta được

n+ a n+ +b− n a n b+ + −n a n− +b= +n

Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình

( ) ( )

1

1

2

a

 =

 + − + =

 + − + + + = 



6 2

n

n

 ÷

 

Do đó

6 2

n

u = + = +u u A Bn n+  + 

 ÷

 

Mặt khác

1 1

6 2

11

1 1

3 2

B

 + + + =  =

 + +  + ÷= 



Vậy

2

4

n

n

 ÷

 

Dạng 3

Tìm u thoả mãn điều kiện n

u =α u =β au + +bu +c u − =d µ n≥ (7.1)

Phương pháp giải

Giải phương trình đặc trưng a.λ2 +b.λ+ =c 0 để tìm λ Khi đó ta có

u = +u u trong đó 0

n

u được xác định như dạng 1 và hệ số A và B chưa

được xác định, *

n

u được xác định như sau

1) Nếu #λ µ thì * n

n

2) Nếu λ µ= là nghiệm đơn thì * n

n

u =k nµ

3) Nếu λ µ= là nghiệm kép thì * 2 n

n

Thay *

n

u vào phương trình , dùng phương pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ

tính được hệ số k Biết u u từ hệ thức 1, 2 0 *

u = +u u tính được A,B

Bài toán 7: Tìm u thoả mãn điều kiện n

Bài giải Phương trình đặc trưng λ2 −2λ+ =1 0 có nghiệm kép λ =1 Ta

1

u = +u u trong đó 0 ( 1) n , * 2n

Thay *

n

u vào phương trình , ta được

.2n 2 2n 2n 3.2n 6

Vậy * 6.2n 3.2n 1

n

u = + = +u u A bn+ + (1) Thay

u = u = vào phương trình ta thu được

 = + +  = −

Vậy

1

2 13 3.2n n

Dạng 4

Tìm u thoả mãn điều kiện n

u =α u =β au + +bu +c u − = f + g n≥ (8.1)

trong đó a # 0 , f là đa thức theo n và n n

n

Phương pháp giải

u = +u u +u trong đó 0

n

u là nghiệm tổng quát của phương

trình thuần nhất au n+1 +bu n +c u n−1 =0 , *

1n

u là nghiệm riêng tùy ý của

phương trình không thuần nhất au n+1+bu n +c u n−1 = f n *

2n

u là nghiệm

riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất a u n+1 +bu n +c u n−1 =g n

Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 )

Tìm u thoả mãn điều kiện n

1 0; 2 0, 1 2 3 1 2 ,n 2

u = u = u + − u − u − = +n n≥ (8.2)

Bài giải Phương trình đặc trưng λ2 −2λ− =3 0 có nghiệm λ1 = −1,λ2 =3

Ta có

trong đó

( )

Thay *

1n

u vào phương trình u n+1 −2u n −3u n−1 =n , ta được

a n+ + −b an b+ − a n− +b= ⇔n a+ n− a b− =

Vậy

1 4

a b= = −

Do đó

( )

1 4

n

Thay *

2n

u + − u − u − = , ta được

.2 2 .2 3 .2 2

3

k + − k = k − = ⇔ = −k

Do đó

2

n

Vậy

u = +u u +u = A − +B − n+ − + (8.3)

Ta thay u1 =1,u2 =0 vào (8.3) ta được hệ phương trình

− + − − =  = −

 + − − =  =

Vậy

n

C PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA

Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trình sai phân dạng

u =α u =β u =γ a u + +bu + +c u +d u − = f n≥ (a.1) trong đó a,b,c, d, α ,β, γ là các hằng số , a # 0 và f là biểu thức của n n

cho trước

(NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn có ba nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực )

Phương pháp giải

Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có

u = +u u , trong đó 0

n

u là nghiệm tổng quát ủa phương trình tuyến

tính thuần nhất, *

n

u là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không

thuần nhất

Xét phương trình đặc trưng

aλ +bλ +cλ + =d (a.2) 1) Xác định công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba thuần nhất

a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực λ λ λ1, 2 , 3 phân biết thì

0

1 1n 2 2n 3 3n n

b) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn

(λ λ λ= # ) thì

0

n

c) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 3 (λ λ1 = =2 λ3) thì

n

2) Xác định nghiệm riêng *

n

u của phương trình (a.1)

• Xét f là đa thức của n ta có n

a) Nếu #1λ thì *

n

u là đa thức cùng bậc với f n

b) Nếu λ =1 (nghiệm đơn ) thì u n* =n g n g là đa thức cùng bậc n

với f n

c) Nếu λ =1 (bội 2 ) thì u n* =n g2 n g là đa thức cùng bậc với n

n f

d) Nếu λ =1 (bội 3) thì u n* =n g3 n g là đa thức cùng bậc với n

n f

• Xét n

n

f =vµ ta có a) Nếu #λ µ thì * n

n

u =k nµ

b) Nếu λ µ= (nghiệm đơn ) thì * n

n

c) Nếu λ µ= (nghiệm bội s ) thì * s n

n

Bài toán 9: Tìm dãy số a biết rằng n

u = u = u = u = u − − u− + u − n≥ (9.1)

Bài giải Xét phương trình đặc trưng

λ − λ + λ − =

có 3 nghiệm thực

λ =λ = λ =

Vậy 1 2 35n

n

a = +c c n c+

Cho n=1, n=2, n=3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta được

Vậy 1 3( ) 1 1

n n

D BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài toán 10: Cho dãy số a được xác định theo công thức sau n

a = a = a + = a −a − + n≥ (10.1) Chứng minh số A=4 .a a n n+2 +1 là số chính phương

Bài giải Ta có

a + = a −a − + (10.2) Trong (9.2) ta thay n bởi n-1, ta được

a = a− −a − + (10.3) Trừ các vế của (10.1) cho (10.2) ta thu được

a+ − a + a − −a− = (10.4) Phương trình đặc trưng của (10.4) là

λ − λ + λ − =

có nghiệm λ =1 là nghiệm bội bậc ba

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (10.4) là

2

n

a = c +c n c n+

Cho n=0, n=1, n=2 ta được

=

 = + + ⇔

 = + + 



Ta thu được ( 1)

2

n

n n

a = + và từ đó ta có

( 2 )2 2

4 n n 1 3 1

A= a a+ + = n + n+ Điều này chứng tỏ A là một số chính phương

Bài toán 11: Cho dãy số { }x được xác định theo công thức sau n

x = x = x+ = x + x − − n≥ (11.1) Chứng minh rằng x1996M1997

Bài giải Xét dãy số { }y với n y1 =7, y2 =50 và

y + = y + y − + n≥ (11.2)

Dễ thấy y n ≡x n(mod1997) Do đó chỉ cần chứng minh

Đặt z n =4y n +11 suy ra z1 =39, z2 =211 Nhận xét rằng

z + = y + + = y + y − + = z + y − + (11.3)

Ta lại có

z − = y − + suy ra 20y n−1 =5z n−1−55 (11.4) Thế (11.4) vào (11.3) ta được

Suy ra

z + − z − z − = (11.5) Phương trình đặc trưng của (11.5) là

λ − λ− = có nghiệm λ1 = −1,λ2 =5 Nghiệm tổng quát của (11.1) là

( )1 n 5n n

Ta có

1 2

8

25

25 211

3

z z

α

α β

 =



= − + =

⇔

 = + = 



Do đó ta nhận được

( )

n

z = − + (11.6)

Từ (11.6) ta suy ra

1996 1996

8 25.5 3

Ta cần chứng minh

1996 11 mod1997

Do

1996 1996

5 1 1997

−



 −



M M Nên 51996 −1 3.1997M Từ đó , ta có 51996 =3 1997 1n + , và khi đó

1996

25 3 1997 1 8

25 .1997 11

n

Vậy z1996 ≡11 mod 1997( )

E BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1: Xác định công thức của dãy số { }x thoả mãn các điều kiện sau n

1) x1 =11, x n+1 =10.x n + −1 9 ,n ∀ ∈n N

2) x0 =2, x1 = −8, x n+2 = −8.x n+1+9x n

0 1, 1 3, 2 n 2 5 n 1 2 n 2 3

x = x = x + − x + + x = − −n n+

5) x1 =1, x2 =2, x n+2 −5x n+1+6x n =4

Bài 2: Cho dãy số { }a thoả mãn điều kiện n

2

3 1

= +



 = =



Chứng minh rằng a là một số lẻ n

Bài 3: Cho dãy số { }b xác định bởi n

2

3

= +



 = =



Chứng minh rằng 5 ,

2

n n

 ÷

 

Bài 4: Cho dãy số { }u thoả mãn điều kiện n

2



 = =



Chứng minh rằng u là một số chính phương n

Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 – 4 Toán 11 Lần thứ VIII – 2002

NXB giáo dục )

Cho dãy số { }u thoả mãn như sau n

,

n

+

∈ ∀∈



 = =



 = − ∀ ∈ ≥



Chứng minh : ∀ ∈k N k, ≥1

1) 2 2

1

5.u k −u k− M4 va 3.u k −1 2M

( M kí hiệu chia hết )

Bài 6: Cho dãy số { }u thoả mãn điều kiện n

*

Chứng minh rằng tồn tại các hằng số nguyên M sao cho các số M +4.a a n+1 n

đều là số chính phương

Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356)

Cho dãy số { }u ( i=1,2,3,4…)được xác định bởi i

1 1, 2 1, n n 1 2 n 2, 3,4,

Tính giá trị của biểu thức

Bài 8: Cho dãy số nguyên dương { }u thoả mãn điều kiện n

*

Tìm số nguyên dương h bé nhất có tính chất

1998 ,

F XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRUY HỒI

Nhận xét : Nội dung của đề tài trên giúp bạn đọc tìm ra công thức tổng

quát của một lớp dãy số có tính chất truy hồi một cách chính xác nhất, giúp các Thầy cô kiểm tra kết quả bài toán theo cách giải khác Bên cạnh đó ta

có thể tiến hành xây dựng thêm các bài toán mới về dãy số

Dưới đây là một số ví dụ “ xây dựng thêm các bài toán về dãy số

có tính quy luật “ chỉ mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn

đọc tìm hiểu và phát triển rộng hơn các bài toán khác về dãy số

Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình

(λ−1) (λ+ = ⇔9) 0 λ2 +8λ− =9 0 (12.1) phương trình (12.1) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy

số có quy luật Chẳng hạn dãy số u được xác định theo công thức sau n

có thể cho u0 =2,u1 = −8 Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau