chỉnh hóa một số phương trình tích chặp 8_2

luận văn trình bày cách đưa các bài toán đã nêu về phương trình tích chặp và dựa vào phương pháp chỉnh hóa Tikhonow để đưa ra công thức tìm nghiệm xấp xỉ với nghiệm chính xác

Chu'ang 4: Plu(o'11gplu1p chlnh hoa phU'(fngtrlnh tich ch(ip

CHU'dNG 4:

Trong chu'ong nay, chung ta ap d~lI1gphllOngphap Tikhonov de chInh hoa mOtsO'phl(ong trInh d,';lI1gtich ch?p va danh gia sai sO'gi[Yanghi~m chInh hoa va nghi~mchinh xac

Gicl sa A : X -+ Y la mOt loan tt( tuye'n tlnh lien tt,ICgiiTa hai kh6ng gianHilbert

Chung ta thU'a nh~n phuong trlnh (4.1) co nghi~m duy nhit Vo EX Ne'u tmlnttI nglIQc A-I clIa loan ttI A kh6ng lien tt,lCtIeD RangeA till phl((jng trlnh (4.1) lakh6ng chInh M?t khclc, ne'u kh6ng bie't dl(QCgia tr~ chinh xac cua u ma chI bie't Unv6i ~nQtsai sO'0, tuc la IluB - ul!s; 0, till phlIong trlnh (4.1) co the kh6ng giili dlIC}CVIUnco the kh6ng thuQCRangeA

Do v~y, chung ta phai chlnh hoa phuong tdnh (4 I), t((c Ia tlm mQt x£J'pXIvI) E.X cho nghi~m chinh xac VosaG cho sai sO'giua chung tu'ong dO'inha va nghi~mduQCchQn lam xip Xlphai ph~l thuQc lien t~lCVaGdu ki~n no'

D;nh nghia 4.1.1

Phie'm ham Tikhonov la(v) v6i a> 0 ling v6i phuong trlnh (4.1) dlIQCxac

c1tnhnhlI sau: la(v)=IIAv uI12 +aI1vll2, VEX

!

(4:.2)

Hai loan tlm C~IClieu phie'm ham (4.2) la co nghi~m, c16ng thai nghi~m nay

cling la nghi~m duy nhit clIa mOt phlIong trlnh chInh Cu the b~ng c1tnhIy sau day:

D;nh It 4.1.2

Phie'm ham Tikhonov (4.2) co duy nhit mQt qlc lieu Va E X va va cling ]a

nghi~m duy nhit clla phuong trlnh bie'n phan chInh:

-28

Clnro-ng4: PhuO'ngphap chlnh hoa phuong tdnh tich ch(Ip

Chu'ng minh:

1 Tinh chlnh clla phuong trlnh (4.3)

Xet anh x~ song tuye'n Hnh a : X x X + R vdi:

a(v, y) =a <v,y> + <Av,Ay>

Anh x~ a lien t\lC Vl voi mQi v, y thuQc X, ta co:

la(v,y)1 = la < v,y > + < Av,Ay >1::;al< v,y >1+ 1<Av,Ay >1<;

<; allvll.llyll + IIAvll.IIAyil <; allvll.llyll + IIAI12 11vII Ilyll =(a+ IIAI12 )1vII.llyllAnh x~ ala khang tU vi voi mQi v EX ta co:

a(v,v) = a < v,v > + < Av,Av > = al1vll2+ IIAvll2~ al1vll2 (4.4 )

M~Hkhac, phie'm ham h: X + R voi h(y) =< A"u,y > la tuye'n tinh lien t\lC

=>ava +A*Ava =A\,

Ron nila, nghi~m Vexplw thuQc lien t\ICvao ell(ki~n Th~t v~y:

Gia sO'voi cI[(ki~n ill, ta co vul thoa: a(vexl'Y) =< A"tll,y >

va voi elil ki~n U2,ta co Vex2thoa : a(va2,y)=<A"u2,y>, VYEX

SHYra:

* a(vul-vu2,y)=:<A (Ul-U2)'y>, Vy EX L5'y y = Val - Va2 EX, ta duQc :

Chli(!ng 4: Phli(Jng phdp chlnh h6a phli(Jng trlnh tfch chr;ip

2 Chung minh cvc tiSu cua phiSm h~lln (4.2) cling la nghi~m cl'ta phlicJng trlnh(4.3) va ngl(Qc l~i

Ju(V)-Ja(vu)=IIAv-lf -IIAvu -If +ex~1vII2-IIYuI12)

-Sl(d\1l1g cong th((c : IIal12 -1!bI12=Iia - bl12+ 2(b,a - b), ta duQc:

Ta co:

Ja(y)-Ja(Va)::::IIA(v-vaf +2(Ava -u,A(v-vJ)+-cxllv-vaI12 +- (4.5)

+2ex(vu,v-vu)=IIA{v vuf +exllv-vuI12 +2(a.vu +-A*Avu -A"u,v-vu)

* NSu Vala nghi~m clla phudng trlnh (4.3) tIll tU'(4.5) ta co:

Ju(v)-Ju(vu)=:IIA(v-VcJI12 +exllv-vuI12 ;::0, \Iv E:X

=:>Vala C\(c tiSu ClLaphiSm ham (4.2)

* NguQc l~i, nSu Va la q(c tiSu clla phiSm ham (4.2) tIll khi thay v =Vn + ty

~t > 0, YE: X) vaG (4.5), ta du'(!C :

t211Ayl12+2t(exva +A*Avu -A\I,y)+ex.t21IyI12;::0

Ddn gian cho t, sau do Iffy gidi Iwn hai vS khi t ~ 0 ta du\jc :

VI (-y) E:XDen ta cling co:

TU'(4.6) va (4.7) suy ra:

(A*Avn +exva -A*u,y)=O, \lYE:X

'" "

=:>A Ava +exvu -A u=O

V~y: Va la nghi~m clla phl(dng trlnh (4.3)

K9 hi~u : V~tla nghi~m Clla phlicJng trlnh : exv+-A"AV = A"un

Phep cblnh hoa Tikbonov se Iffy v~ la ngbi~m chlnh hoa cho nghi~m chfnh xacVocua phudng trlnh tuySn HnhAv= u, Lrngvoi sai so'tren dll ki~n la o.

exduQc gQi la tham so' chlnh hoa

]0

Chuang 4: PhuO'ngphdp chlnh h6a plncO'ngtrlnh tich ch(1P

* Tn(dng hQp to<1ntli A Ia tuyC'n Hnh compact, nghi~m chlnh h6a tlm c1t((Jcc6th~ khong ph~l thuQc lien tl,lCvao dCi'kj~n

M~111J c1~ 4.1.3

Cho A : X -+ Y Ia loan tli tuyC'n Hnh compact giiJ'a hai khong gian djnh chu5n,trong d6 dim ()kerA)=OO Khi d6 t6n t~i day {vJc X ma Avn -+ 0 nhtl'ng vn+ 0khi n -+ 00.Hon nCi'a,ta c6 thci chQn {vn}eX SilOcho Ilvnll-~ 00

C/llJ'l1g minh:

Vi KerA Ia mQt khong gian con d6ng clla X Hen )kerA la mQt khong gian

dinh chu5n, vdi chu5n:

II[v]11= inf IlvzEKerA +zllXac d1nh loan tli A: %erA -+ Y nht( sail:

Vdi mQi [V]E )kerA' A[v]=Av

Ta thay ngay loan tti A la xac d1nh,tuyC'ntinh va 1- 1.

Bay gid ta clll'fng minh A Ia loan tt?(compact Th~t v~y:

D~tB= {vEx:llvll<l}va 13={lv]E)kerA:IIIV]II<t}

(B,13 la cac hinh cau don vi m0 Ian IuQttrong X va trong )kerA)

Ta phai chung minh A(13) la t~p compact tt(cing d6i trong Y

Do A la loan tt( compact nen A(B) la t~p compact ttfdng c16itrong Y

Vi A(13)={A v: IIIvlll< I}c {Av:Ilvil < I}= A(B) nen A(13) la t~p compact !tt(ong

d6i trong Y, nghla Ia Acompact

Ta chung minh A-I: Range A =RangeA -+ )kerA khong lien t\lC.

NC'u A-I lien tl,lC thi to<ln tll c16ng nhat A-IA = I: )kerA -+ )kerA Iacompact (do dinh Iy 1.2.2).Ta suy ra dim )kerA <00 (do djnh ly 1.2.3), trcli vdi gielthiC't V~y A-I khong lien tl,lC

ChuCYng4: PhuO'rlgphdp chlnh h6a phuC!ng tdnh tfch chc;ip

Di~u do co nghia Ia t6n t<;liday {vn}c RangeA, un ~ 0 nhling A-I Un f~ 0

Co the gla sl1 Av n T-0 \in Tac1~t Vn =

rFI -Ilv' ,,11'\j IIA v' "II

IIAv~ s 2,~ IIAV"II==]Vnll)IIAV'nll

Ilv'nll_s

va Ilv"II= Ilv'"11.5v'n II

IIAv'nll ~ 0 khl n ~ 00 8

~ 00 khi n ~ 00 IIAV'nll

Tuy nhien chung ta co th~ h9-n ch@ Gt(Qc sai so' gdTa nghi~l11 tinh loan vanghi~m chinh xac khong vliQt qua so' hC(ul19.nnao (10, n@u ta b6 sung thong tin thuhyp v~ nghi~m chinh XclC

4.2 Sai 56 tnJong hdp xdu nhat (worst - case error)

Dinh nghia 4.2.1

Cho A : X ~ Y Ia loan tU'tuy@n tinh lien t\)C giUa hai khong gian Banach va

Xl c X Ia l11Qtkhong gian con voi chu§'n 11.llxll11<,lnhhon chu§'n 1I11tren X Voi 8, Elit cac hhng so' duong cho trudc, ta gQi:

sY\8,E,II.IIx,)= sup{llvII: v E XI ,IIAvllS 8, IlvIIxI s E }

Ia sai so' trliong hQp xa'u nha't ling voi so' 8 tren da ki~n va thong tin them

Ynghia ciia khai ni~m nay Ia : N@u co thel11thong tin v E Xl, Ilvllx]sEthI sai

so' giUa nghi~m chlnh hoa va nghi~m chinh XclCciia pht(ong trlnh (4.1) khong IOnh(5n 9-(0, E, 11.llxl)

32

Chu:ong 4: Phuong phdp chlnh hoa phuong trinh tlch chr;ip

Nhu v~y mQi day {vn} eX thoa Avn -+ 0 t1~uhQi tl,1v~ o Mau thl an vai ke'tqua a m~nh d~ 4.1.3 M~nh eM4.2.2 duQckh£ng djnh

Ne'u clwn XI = A* Y ho~c Xl = A* AX la ca.c khong gian con clIa X vai cac

chuffn11.1Ix1m~nh hdn chuffn 11.11 va chQn thalli s6 chlnh hoa a trong phu'dng trlnh(4.3) thich hQP, ta co cae danh gia sai s6 giG'anghi~m chlnh hoa va nghi~m chinhxac nhu sail:

Dinh It 4.2.3

a) Gia su Vo E A"Y tUGla Vo = A"ul'u, E Y Vai <5> 0 ta chQn a«5) =<5va ne'uHEY la dli ki~n do d~c thoa IIu- uoll:::;<5thl ta co :

IIv8-vall:::; ~(l-l-IIulll)8~

,b) Gia su voEA"AX, tUG la Vo=A*Avl,VI EX Vai <5 > 0 ta chQn

a«5) =<5X va ne'u UEY la dli ki~n do d~c thoa Ilu - lIo!! s <5thl ta co :

ava-l-A A(va-vo)=A (ll-Uo)

=> av(x -avo +A A(va -vo)= A (u-uo)-avo

,Tich vo huang hai ve' vOi ( Va- Yo)ta nh~n c1uQc:

a < va - V0' va - V0 > -I-< A( v a - V0)' A( v a - V0) >

"

=-a<vo,va -Yo >+<A (U-lIo),(Va -Yo»~

=> allva -vo112 -I-IIA(va -vo)112 =~a<vo,va -Yo >-I-<lI-uo,A(va -Yo»~ (4 to)

Chuang 4: Phuang phdp chlnh hoa phu'ang trll1h rich ch(lP

a) Bien d6i ve phcliclh (4.10), ta c6:

<u uo,A(va -vo»-a<vo,va -yo >=<u-uo,A(vu -vo»-a<u[,A(va -Yo»~

~llu-uoll.IIA(va -v(JII+allulll,IIA(va -vo)II=~lu-uoll+allu,II).IIA(va -vo)1I

~ ~ ~lu-uoll+alluIIIY +IIA(va -vo)II2 (nhobfttd~ngthl(c: 4a2 +b2 ~4ab)

Thay a =a(o) =0va liB- Boll~ O Tli' (4.10) ta c6:

olivo-vo112~~(o+81IuIIIY4

~llvo-voll~ 8fC.(1+llu,II)=~(1+llulll~~

b) Tli c1jnhIy 1.1.3 ta c6:

IIA(va: -vo)II2 =<A"A(va: -vo),va: -Yo >=<C2(va -vo),va -Va >

=<C(V(I-VO),C(Va: -Vo»=llceVn -vo>112

Thay d5ng thti"cnay vao (4.10), vdi ChU)T Vo = A*Av) = Cv), ta UlCQC:

allva -voll2 +IIC(v(( -vo)112 =<u-uo,A(va -vo»-a<Cvl,vn -vo >

~IIAII.llu-uoll.llva -voll+al<v"C(va -Yo»~!

~ a Ilva - V0112+~ IIAI12.llu - Uo 112+5£IIV I 112+IIC( V a - V 0 )112

~lIva -voll~ a211AII llu-uoll +211vlll

Thay liB- Uoll~ 0 va a =a(o) = oX,ta C1l(QC :

v,x -Voll~(IIAI12bX+ ~1Iv,112b%t

hay 11v,%- v"II S; (IIAll' + ~ hll' Joy,

Nho bftt c15ng thLrc a2 + b2 ~ (a + b)2 , (a ;:::0, b;::: 0) ta c6:

3S

ChuO'ng4: PhuO'ngphdp ehlnh h6a phuong trlnh ({eh eh(ip

* Tn(oc he't, ta xac djnh toan tt( lien hQp A" cua A

:::; <v,A"f-(p>=O, VvEe(Rn)

Lffy v=(A"f-(p)Ee(R"),tac6: IIA*f-<pll:=0

Chuang 4: Phuang phrip chlnh h6a phuCJngldnh tich ch4p

~A'f(T)=(p(T)= JK(t-T)f(t)dt h.k.n tren Ro.

Chu:c'Jng4: Phu'(Jng phdp chlnh h6a phu'(/ng trlnh tfch chr;ip

a) Gicl Sl( Vo E A*(e(Rn )), luc la vJx)= fK(t x).f(t)dt, f E C(R") Vdi

b) Oi:! sli v 0 E A' A(L' (R' )), tlie lit v0(x)~ J(JK(t- x).K(t- T)f(T)d+t ,

fEL2(R") Voi 0>0, ta chQn a(0)=02/3 Khi do ne'u uEI}(Rn) la dC(ki~n

do c1~cthc)a man (4.15) thl ta co:

hili -voll, S(IIAII+~llfll, )01/1

Chung ta bie't rhng ne'u thong tin thu h~p ve nghi~m ch1nhxac tren mQt khonggian con cang nho thl sai so' giUa nghi~111ch1nhhoa va nghi~l11chinh xclccang nhc).Tuy nhien cac khong gian A"(L2(R")) va A"A(C(R")) rit nIle),thl(dng la g6m cacham thuQc lOp CO'Jnen vi~c x~icdinh chung fit kho khan

Phftn dl(oi day, chung ta se danh gia sai so gii1a nghi~rn cblnb boa va nghi~rnchlnh xac CUd phl(ong trlnh Hch ch~p (4,11) voi gia thie't nghi~m ch1nh xac thuQc

khong gian con Sobolev HI (Rn)(rQnghoDcac khong gian noi tren) vdi chutln 11.11111:

IHIII = (IH~+IIDvll~)~=(!HI: +IIDVII:)~.=(IHI: +lllll.~II:)~

voit= (tl,t2, ,tJE R",ltl= tt~ va M, P,rIa cae hangso du'eing.

Nh?n/\xet: IK(nl co d~ng (4.16) la hi ch~n va Itl.IK(t)1cung bi ch~n

(do IK(t)1~ 0 theo cip exp (-P IW) Ta co ke't Cjmlsai so tn(dng hQIJxiu nhfll

Chuang 4: Phuong phdp chlnh h6a p/1l((Jngtrll1h rich ch~lp

va c1<1l1hgia SRiso' gilia nghi~m chinh hoa va nghiem chillh xac clla p11lJ'ongtrlnh(4.11) trang L\RIl) nhti san:

Mt?nh c1~4.3.2

Giil stI nghi~m chinh xac VoCtta phu'ong trlnh (4.11) tlltlQc HI(RIl) va II«(l1 co

:l?ng (4.16) Khi do SRiso' tniong hc;1pxilu nbilt thoa man bilt c1~llgtlltI'c:

"r(8,E,/i t,I)< ~ 1/2 khi 6~ 0' .'

J.M,.eXP(2~ltl');'(I)dt=IIK;I[ =IIK~Iv[ =IIK*vll:=IIAvll:<;6'

Vdi a> 0 tily Y (ta se cllQU l?i a tbich hc;1p)till:

a (1,+00) Hen p1niong trlnh (4.19) co nghi~m duy nhflt a=al) thoa 1)-70linl al) =+00

(4.19)

39

Chuang 4: Phu'ong phcip chlnh h6a phuong trlnh {{ch Ch(ljJ

Neu stt d\lllg phttdng trlnh (4.14) voi a=8 d€ chlnh h6a phttdng trlnh (4.11)

trong 0611«(11 c6 d~ng (4.16) ta co ket qua c1:1nhgii sai sa gifi'a nghi~m chll1hh6a

va nghi~m chinh xac trong L2(Rn)nlnt sau:

Menh d~ 4.3.3

Gia Stt nghi~m chlnh xac Voclla phtt'dl1gtrlnh (4.11) thllQCHI (R"), trong (16

11«(1)1, c6 d~ng (4.16) va lll) la dfi' ki~n do d~c voi !IllI)-Un II~ 8 Khi d6 t6n tai

nghi~m chlnh h6a v I) (li'ng voi a =8) sao cho:

c

Ilvo -vo112 <1

0

In-khi 8 -t 0+

,trong d6 C la h~ng sa chi phl,l tl1llQCvao !lvolllI'

Chuang 4: Phuang ph6p chlnh h6a phuang trinh tich dt(lp

NMn hai vi! cua (4.24) v<Ji (~8 (t) -~" (t)J f6i 15y Ueh phon hai vi! tfen R" taduQc

°llv.-voll, + K{v-V.), ~-ojvo V5-V" eltIJK{U'-uo) v.v. ell

Sa d~lngbat d~ng thlic Holder va thay II~IS ~IOt = Ilus- Uo112so, chu y I((1) hichi;ln Sail d6 rut gQn ta duQc:

°ll~' - ~'II: +IIK(~' -~" { s OCIHI, + III<lljl~' ~"II,

Chuang 4: Phuong phdp ehlnh h6a phu'o'ng ldnh tieh dl(ljJ

Ti€p tl,le nhan hai v€ eua (4,24) voi ItI2(~o(t)-~o(t)) r6i lily tieh phan hai v~

Ap dt,l\lgbilt cHingth((eHolder eho cae tieh phan a vi ph{tivoi ehu y 1+«t)1

bieMn, san d6 thay II~'-~,t so vaIlltl ;°11, ~ IIDq,00 IIDv,ll,.

Chuang 4: Pln((jng phdp chlnh h6a phuang trinh tfch ch~lp

IIVI)-voll~ =1'1>:1flVI) -v,Jclt+ 1'1$"flVI) -Vol\lt:::;T3 [-;-+ ;eXP(2f3aY)a M ]

Xet phltclngtrlnh 5n a:

18M2

=-exp(213a Y) <=>a 2 exp(2pa Y)

THullsOy(x) = x2 exp (2pxY)tren (0, + co)la ham sOtang vami0n gia tri la

(0, + co ) Hen phl(clng trlnh (4.28) c6 nghi~m duy nhat a =ao thoa lim al)=+00

C la hhng sO'chI ph~ thuQc vao Ilv011111

Bay giG xet cac phl(clngtrlnh tich ch~p tL(clngling tu hai b~tiloan nhi~t dff neutrong chuclng2

Phuclng trlnh ctia bai loan nhi~t nguQc thai gian:

Clu[(Jng4: Phli(jng phcip chlnh h6a phu'(Jng lrinh tfch ch~lp

Pl11idngtdnh cua bai loan nhi~t trang 16 khoan tham clo:

live-vet <~ khi 0 -+ 0+

8

111-trong do C la h5ng so' chi thuQc Ilvolllli.

ChU'O'f1g 4: Phu'ang phdp chlnh h6a phwJ'ng trinh tfch ch~lp

~ 2nfi J,V, exp 4r cos(,~)dt- iJ[~, exp ~ ~}in(t~)d[

St( d~lI1geae e6ng thue Heh phan:

Chuang 4:Phuang phdp chlnh hoa phu(Jl1gtrlnh rich ch(ip

4.4 It-nit ngb.iem.

rhein cu6i cung cua lu~nvan nay, chung ta chI c6 g~ngtim hiOOdang cuanghic$m

chinh xac a6i vdi hai bai loan ngu<;1ccua phuong trlnh nhic$ta5 neu C1ChlfC1ng 3

000 chuang trlnh Mathematica vdi giii thie't ding sai 56 tren dl! kic$nla sai s6 sinh

I Bdi toan nhiet ngu(1t thai gian.

Giii sa u(x,O)= vO(x) la ham du<;1cxac dinh nhtf san :

~[~ :=»p[-(2/3) *~x]

2x2 e -Y

BiSu diSn d6 thi cua ham vO(x):

) 3 -~

-ell 11

Nhu v~y vO(x)la nghi~m chinh xac ling vdi dll ki~n chinh xac uO(x)

Bie'n d6i Fourier cua u(x,I) hi:

C/lltang 4:Phuang phdp chlnh h6a phuang trlnh rich ch(ip.

VI thong thS Iffy Fourier ngu9c tru9c tie'"ph~lln v2(z), ta dung xffp xi da thuc trtf{jc

khi lfly Fourier ngu9c nhu sau :

Ruoc 1: T~o bang gi:i tri s6 cua ham v2(z):

T=

'J1:Ib1e [ {z, ~(3/ (2*Pi)] * E:Ip[-19* z"2 / 8] / (2 * (0.001 + E:Ip(-2 * z"2] / (2 *Pi) » }, {z, -10, 10, O.25}]

Duoc 2: Xffp xl b5ng nQisuy da iliac:

V12=It d~'~m['l1Xell1 da thuc v221a' xa'p xi cua v2[z]

Duoc 3: Bie'"nd6i Fourier ng\J9c ham v22 ,ta dH<;1cnghi~m

47

ChU(!11g4:Phu(!11g phdp ehlnh hoa phu(!11g trinh tfeh eh(ip

chInh h6a :

vOO[x-.-J :'" ~ar:m[v22[z] , Z, x]

Bi~u di~n dB thi cua nghi~m chinh xac va nghi~m chInh h6a ((ng vdi tham s6

chInh h6a a =0,0.01 tren clIng h~ tn:lc t9a de>:

/ /'

Cho a =0,0001, ta dIng Hm duQc nghi~m chinh h6a tlidng ((ng

So sanh dB thi nghi~m chinh h6a vdi dB thi cua cae nghi~m chlnh h6a

((ng cae tham 55 chinh h6a khac nhau : a=1/l000, a=1/l0000 tren cling me>th~ tr~lc t9a dO

./' "

/ "

/ ,.-2 '" "

"// ',,' \// "\

Chuang 4:P/u(rfng phdp chlnh hoa phllrfng trinh rich ch(ip

11.801toClnnhl,t trong 16 khoan thdm do.

XISt u(1,t) =vO(t) Ia ham dtf<;1C xac dinh nhlf sail:

/2 7T

~ Blnh phuong modun cua Fourier cua nhan K2(t):

k23[z_J := (1/ (2", Pi» "'E1!p[-Sqrt[2*1'Ibs[z]]J

e-/2 ~ JIbs! z)

27T

49

ChltrJng 4: PhltrJngphdp ehlnh h6a phltrJng trinh tieh ehi)p

Cho a =0,001 Ta co bie"nd6i Fourier cua nghi~m chlnh hoa vOO(t):

v2[z.J : k22[Z]*u2[z]/ (0.001 + k23[z])

e (I-i) }JIbs[Z]

(

- }2 }Jlbsrzl 1

VI khong th~ Iffy Fourier ngtf'1c trtf'1c tie"ph~lln v2(z), ta dung xffp Xl da thli'c

trttdc khi Iffy Fourier ngtf<;1c:

Booe 1: T~o bang ghi tri s5 cua ham v2(z):

So sanh d6 thj nghi~m chinh xac va nghi~m chinh hoa li'ngvdi thalli s5 chinh hoa

a =0,001 tren cung mQt h~ tr\lC to~ dQ:

50

ChllrJng 4:PhllrJrlg phdp chinh hoa phllrJng trinh rich ch(1p