Nhóm con Parabolic của nhóm tuyến tính đặc biệt trên vành có hạng ổn định bằng 15_2

Luận văn thạc sĩ toán học: Nhóm con Parabolic của nhóm tuyến tính đặc biệt trên vành có hạng ổn định bằng 1

CHUONG II

NHOM CON PARABOLIC TRONG NHÓM

TUYEN TINH DAC BIET TREN VANH

CO HANG ON DINH BANG 1

Cho A là vành có hạng ổn định bằng 1 G(n, A) là nhóm tất cả

các ma trận cấp n trên vành A, được gọi là nhóm tuyến tính đầy đủ trên vành A

Ký hiệu I' = SL(n,A) là nhóm con của nhóm Gí(n, A), gọi là nhóm

tuyến tính đặc biệt trên vành A Nhóm T' được mô tả như sau:

-Nếu vành A giao hoán thì I' là nhóm tất cả các ma trận cấp n trên A

có định thức bằng 1 Nghĩa là T' = {a € G(n,A) | det a = 1}

-Nếu vành A không giao hoán thì I' trùng với nhóm tất cả các transvection sơ cấp E(n,A)

Cho ơ là một lưới bất kỳ trong A, G(ø) là một nhóm con lưới của G(n,A) tương ứng với lưới ø

Khi đó I(GØ) = F' ¬ G(ø) được gọt! là nhóm con lưới của L' ứng với lưới

ơ Nếu ơ là một D-lưới thì ['(G) được gọi là nhóm con D-lưới

Gọi B.(n,A) là nhóm con của [` bao gồm các ma trận tam giác trên

và đặt B,(ø) = I(ø) © B(n,A) Ta gọi các nhóm con trung gian giữa T(ø) và B.(ø) là nhóm con parabolic của I(G) Nếu trong vành A mọi

phần tử đều có thể phân tích thành tổng hữu hạn các phần tử kha nghịch -riêng phần tử đơn vị thì chỉ có thể biểu diễn thành tổng hai

phần tử khả nghịch và ø là một D-lưới thì mọi nhóm con parabolic

của Ï'(G) cũng là một một nhóm con D-lưới Hơn nữa, với n > 3, định

lý 7.3 còn khẳng định B,(ø) là một nhóm con abnormal trong I(Ø)

Đó chính là nội dung trọng tâm của chương này

Trong bài viết này, chúng ta sẽ gặp ký hiệu A” đó chính là tập

§ 1 CAC TRANSVECTION TRONG CAC NHOM CON CUA E(n,A)

Ký hiệu Tự (k = 2, 3, , n) là nhóm con của E(n,A), bao gồm

tích của các transvection sơ cấp t„(6), với É e A và j = 1,2, , k-l

© Ta có một vài nhận xét sau:

-Mọi phần tử aeT, đều có thể biểu diễn dưới dạng

a=e+ > kerk › Exe A

k<r

Và khi ấy ma trận nghịch đảo aˆ =e - Erk erk

k<r

-Tích T;T; In là nhóm các ma trận tam giác đơn vị dưới

-Một phần tử xeT; T,, với ¡ <j có thể được biểu diễn

x=(et+ Dd Sine e+ C jee jk = et >, SinCix + » ŠjkÊjk

dạ(6)d,(£ ”)v = [e + ( -1)enn ][e + (€” ~1)es ]v

=[e + (-1)ean + (e "` -1)e, ][e + ene + + > ếngếng Ì

d,(e)d,(ev" =[e +(£-1)e„ ][e + (” -1)em ]v”

= [e+ (ele, +(e! -Lenm [et > 5 Cr + + ve, Cenk |

=e+(£-l)e¿ +(£ ”” -l)an + Sa đ„y + + Ð Ến-LkÊn—1k

Xét tích của hai tổng các ma trận trên, ta nhận thấy:

-Đây là một ma trận tam giác dưới;

-Xét riêng trên dòng thứ r, theo biễu thức trên, ta có

> Crkerk + Si Crk +Éx(£ -1)€;; = GuÉE -1)€y;

ke<r k<r nhờ vào Ê”„ = -Š,„;, V k= l1, 2, ,r-Ì do (*)

Như vậy, trên dòng r, chỉ có phần tử tại vi tri (r,s) 1A bang €,,(e -1),

các phần tử còn lại đều bang 0

Từ những nhận xét trên, ta có thể tìm được y e T,.¡ Tạ sao cho

[das.v] = (e + Ers(€ -le,s )y = trs(Ers(€ -1))y

Bổ đề được chứng minh xonge

Bổ đề 1.2

Cho n >4, šs < r < k< n; đặt dụ = d(ed(£"), i2, e e A

Nếu v = t„(œŒ)Xx ,xeT, Tạ thi

Ldun;[das,V]] = ts((€ -1)œ(€ -1))Y, y€ Tại Tn

do d6 v’ € Ty T, = T.Ty Tea Ta

Hơn nữa, ma trận vì còn có các đặc điểm sau:

-Trên dòng r, chỉ có vị trí (r,s) là -œ, còn lại (trừ phẫn trên đường

Ma trận a là ma trận tam giác đơn vị dưới vàcó các đặc điểm sau: -Các phần tử trên đồng 2 > r-1, từ dòng r+l > k-1 đều bằng 0;

-Trên dòng r, các phần tử khác (r,s) cũng bằng 0

Để tính phân tử tại vị trí (r,s) của ma trận a = b.c.v.đd, ta chỉ cần xét:

-Dòng thứ r của ma trận b = đ,(e)d,(e ')vd,(s) Dòng này có dạng

-Khi đó dòng thứ r của tích hai ma trận b.c có dạng

(0, , Ô, eœe.1 -eœ, 0, , 0, c.e',0, )

-Xét cOt thi s cla ma tran d = d,(e)d,(e")v"d,(e)d,(e") CSt nay cd

a, = ca(e -1) +0 -ae = (€ -L)a(e-1)

Bây giờ ta tiếp tục xét các phần tử trên dòng thứ k của ma trận a

-Dòng thứ k của ma trận b = d,(e)[d,(e ”)vd,(e)] có dạng

(Exits ve > Sess Sks Bs Sst» ee > Sekt t, Ö, )

Ta thấy các phần tử ở cột thứ k+1 trở đi đều bằng 0 Do đó chỉ cần

Suy ra dòng thứ k của tích hai ma trận b.c 1a

(Seite kts wees Set FG ksi > Šs£ -CkrŒ TẾ ks › tk s‡i PẾ esti s ees

Ec rite rts Ger & te € > Serite erst ys Ecerte cer, 1,0, )

Do &'x,=-&., Vt=1,2, ,k-1 nén ta c6 thé viét lai dng k cia b.c

(Eats ss ks ses kki¿ L,Ô, )

Khi đó dòng thứ k của ma trận bev 1a

(Gar ees Gast» Eks(E-L)+Eks » Ếk si › Gkkì, L,Ó, )

= (Ex; pete Ek 51 5 Exs €c, Ex stl ¬" ; aa > 1 5 0 " )

-Dòng thứ 1 -> k của ma trận d = d,(e)d,(e")v'd,(e)d,(e') c6 dang

A— ) (/".— )

0“ "Mãn ) dòng r———> (0, , 0 ,-œs,0, ,0, 1,0, )

=— - ,0,1,0,, )

Tóm lại, ma trận a có các đặc điểm sau:

-Là một ma trận tam giác đơn vị dưới;

-Tất cả các phần tử còn lại từ dòng thứ 1 -> k đều bằng 0, trừ phần

tử tại vị trí (r,s) là (e -1)œ( - ])

Do đó ma trận a có thể được viết dưới dạng

a = [din [das v1] = ts((e - Date -l))y.y © Tia Th

B6 dé dude chitng minh xonge

Bổ để 1.3

Cho n >5; s< r < n Nếu v = t„(œ)x, xeT; và các chi sé i, j, s, r, n voi

l, j < n khác nhau từng đôi thì

[d,; [dis v]] = tes((e - Lace -1)),

trong đó d„ = d,(e)dj(e Đ dis = d,(e)d,(e Đ,

vì = (e- > Sntent )(e -ae;s)

=e+ Œ(£ -1)€w +É„s(£ -1)€ns + Ém(E ` ~-1)€mi + Šny O Ons ~Enr & Ons

=e+œ(€ -l)€¿s +Êng(E -Í)©ns + Ee" -1)€n¡

+ b= {d,(e)d; (”)(av ”)d/(e)d,(e)}

= đ.(£)d;( ”)[ e + œ(€ -1)€,; +Éas(E ~1)ens + Šm(£ ˆ -1)em ]d;(e)d,( ”)

„ d(e)d;( )[vdi(e)d;(e ˆ)v” dạ(e)d;( Ð]

= {dj(e)d,(e"')[di(e)d,(e 'vd,(e)di(e)Iv* d.(e)di(e")}

= dị()d,(E )[e + Éns (6 -L) en; + Em (e” -1)em¡ ]d¿(e)d;(”)

=e+ Ens (€ -1)€ ens + Eni ca -l)©ni

=e + Eqs (1 -€) Ong +E pi (1 -€ Jeni

+ [dj.,[dis,Vv]] = ab

= [e + Ens (€ -L)E ens + Eni (€ - Leni IE © + Ens (1 -€) Ons +Eni (1 -€")eni]

=e + Eqs [(e -L)e + (1 -€)] ens = © + Ens (1 -€)” ns

di = d,(e)di(e"), dir = di(e)d,(e"), dis = di(e)d,(e"), da = d,(e)d(e")

Giả sử trong vành A, ton tai phan tử 9 sao cho 9 và (8 -1) đều

khả nghịch; cho H là nhóm con của nhóm E(n,A1), n > 5 mà chúa tất

cả các ma trận đường chéo d,(8) va d,(6 -1), 1 <ï # j <n Nếu ma trận

tam giác đưới

v=e+ >_õySy

j<i thudc H thi tat cd cdc transvection tj(&j), i>j; i,j Sn cting thudc H

Chứng minh

Lai dp dung bé dé 1.2 véik =4, ., n-1; ti€p theo 4p dung bé dé 1.3

mà các transvection t¿(-Š;), VJ <1< n và v thuộc H nên w e H

Áp dụng bổ để 1.4 đối với ma trận w = e + > Enkenk , ta cd

Định lý được chứng minh xonge

ï 2 CÁC NHÓM CON PARABOLIC TRONG T VỚI n > 5

Giả sử A là vành có hạng ổn định bằng I1 Ký hiệu

B,(n,A) = I ¬ B(n,A) -là nhóm con của nhóm I' bao gồm các ma trận

tam giác trên trong I’ Cho + là một D-lưới bậc n trong A, ta đặt

Dinh ly 2.1

Cho 1 là vành có hạng ổn định bằng I sao cho mọi phần tử của nó

đều có thể phân tích được thành tổng hữu hạn các phân tử khả nghịch,

riêng đơn vị chỉ được phân tích thành tổng của hai phần tử khả

nghịch; cho r là một D-lưới các ideal có bậc n >5 Khi đó mọi nhóm con parabolic H của I{r) là một nhóm con D-lưới; hơn nữa H = Io), trong đó ơ là một D-lưới nào đó thỏa điều kiện

6; = {a € Alt;(a) € H}

Ta sẽ chứng minh ơ; là một ideal hai phía của A

Thay vậy, ta sẽ chứng minh ơ; là một nhóm cộng và

Aoy coy & OA C OF V a, B € oy, tacd

Tương tự cho chứng minh xơ cơi;

Bây giờ ta tiếp tục chứng minh

.Néui<r<j, tacé

Ơi Ơi = Tự Tụ C Tụ = ij Nếu i< j<r, ta cũng có

Ơi Ơi C Tự 1j C Tụ = Ơi

Nếu r<1< j, lý luận tương tự như trên ta có (*)

Điều này cho ta kết luận

Ox Ty = Ojr OF] © OF;

.Néuj<i<r

Lay a €or, B € 0,

Ta da chứng minh được rằng o = (o;) 14 mét D-ludi

Bay gid ta sẽ chứng minh H = I(Ø)

Thật vậy, trước tiên ta chttng minh H CI(o)

Lấy x eH Khi đó x e T(t)

Theo định lý phân tích tam giác (chương I, định lý 2.3, tr 15), x có thể được phân tích thành

X =uvwd

trong đó u, w là các ma trận tam giác đơn vị trên; d là ma trận đường

chéo; v là ma trận tam giác đơn vị dưới

Cũng theo định lý phân tích tam giác, vì x e l(+) c G(+) cho nên

u, w, d, v € G(t)

Hon nifa ta con cé u, v, w, x € T(t) Suy ra

d e T(t) Khi do ta có

Vì v là ma trận tam giác đơn vị dưới nên ta có thể đặt

v=e+ » Sey

i>j

Theo định lý 1.1, tat cA cdc transvection t,;(&;) ¢ H, Vi>j Do dé

Gi € O71, Vi >j

Kéo theo v ee+M(Ø) Suy ra

ve(e+M(ø)) ¬IT' =I(ø) Tóm lại ta có

X=uvwd e Ï(Ø) Suy ra

HcI(o)

Ngược lại, ta sẽ chứng minh I'(ø) c H

Thật vậy, lấy x e I(ø) c G(ø) Khi đó có thể biểu diễn

x=uvwd trong đó u, v, w, d e G(Ø) với u, w là các ma trận tam giác đơn vị

trên; v là ma trận tam giác đơn vị dưới và d là ma trận đường chéo

Hơn nữa ta còn có u, v, w,x e I(Ø) Suy ra de ÏI(Ø@)

Ta có u, w, d e B(n,A) Do đó

u, Ww, d € I(o)OB(n,A) = B,(o) CH Mặt khác, vì v là ma trận tam giác đơn vi dưới nên v có dạng |

v=e+ » eye cI(ø)

Kéo theo

I'(o) CH Định lý được chứng minhe

Hê quả 2.1

Với giả thiết của định lý 2.1], ánh xạ ơ >I{ø) là một song ánh giữa

các lưới dưới ơ bậc n 2 5Š trong A với tất cả các nhóm con parabolic

Gọi H là nhóm con parabolic của I Theo định lý 2.1, ta có thể tìm

được một D-lưới o théa điều kiện GØj = A, VI< J sao cho H = I(Ø) Một lưới ơ như thế chính là một lưới dưới Vậy ^ -là một song ánhe

Có thể xây dựng được vành thỏa điều kiện định lý 2.1 Ở chương I,

định lý 1.10 (tr 11) cho ta ta một lớp vành u -chính quy, cũng là một lớp vành có hạng ổn định bằng 1, thỏa định lý vừa nêu Bây giờ ta sẽ

mô tả một lớp vành khác của vành có hạng ổn định bằng 1 thỏa đều

kiện định lý 2.1 ở trên Các định lý 2.2 và định lý 2.3 dưới đây cho ta

một dấu hiệu quan trọng để xây dựng một vành thỏa tính chất như

Giả sử 0 khả nghịch trong A Khi ấy 0 khả nghịch trái trong trong

A Vì Ð khả nghịch trái nên tổn tại i n_€ A sao cho n8 = 1 Suy ra

nO = n@ =1

Do đó 9 cũng khả nghịch trái trong A / rad(A)

Ngược lại, giả sử Ô khả nghịch trái trong A / rad(A) Khi ấy tổn

Chứng minh tương tự cho trường hợp khả nghịch phải

Vậy 0 khả nghịch trong A khi và chỉ khi Ö khả nghịch trong

Trong một vành nửa địa phương A, phần tử đơn vị có thể biểu diễn

thành tổng hai phần tử khả nghịch khi và chỉ khi mọi vành Artin đơn

trong sự phân tích (*) đều khác với trường E; (trường chỉ có hai phan tử)

Chứng minh

Theo bổ đề 1.6, có sự tương đương về tính “khả nghịch” của một

phần tử trong vành A và lớp tương đương của nó trong A /rad(A) Do

đó ta có thể giả sử rad(A) = 0 mà không ảnh hưởng đến lập luận của

Dễ thấy rằng các phần tử 6 va 1 -6 kha nghịch trong A khi và chỉ khi

với mọi ¡= I, , m, tất cả các phần tử 6; và 1; -0; đều khả nghịch trong A¡, trong đó 1; là phần tử đơn vị của Ai

Trở lại định lý, giả sử trong vành A phần tử đơn vị có thể biểu

diễn thành tổng hai phần tử khả nghịch Khi ấy trong mỗi vành Artin đơn A; (¡ =1, , m), phần tử đơn vị cũng có thể biểu diễn thành tổng hai phần tử khả nghịch Điều này không thể xảy ra đối với trường F;

được Do đó trong sự phân tích (**), không có vành A;(V 1 =l, , mì) nào là trường F¿,

Ngược lại, giả sử mọi vành Artin đơn trong phân tích (**) đều

khác với F; Khi ấy với mỗi chỉ số ¡ (¡ = I, , m), ta có A; là một

vành

đầy đủ các ma trận trên một thể K; nào đó Nếu K; có nhiều hơn hai phần tử thì ta có thể chọn trong F; mét a; sao cho a, #0 va a; # 1 Dé thấy rằng ma tran ae va e -œ;e -với e là ma trận đơn vi trong A; -la

khả nghịch Trường hợp K; chỉ có hai phần tử, nghĩa là A; là vành đầy

đủ các ma trận cấp n (n > 2) nào đó trên trường F;, khi đó vì n > 2

nên tổn tại hai số nguyên không âm k, l sao cho n = 2k + 31 Do đó

mọi ma trận trong A; đều có thể ra chia thành các khối cấp hai và các

khối cấp ba Ta sẽ chọn trong A; một ma trận đường chéo khối 0 sao cho các khối cấp hai và cấp ba nằm trên đường chéo chính có dạng

Dinh ly 2.3

Cho A là một vành nửa địa phương Mọi phần tử trong A đều có

thể biểu diễn thành tổng hữu hạn các phần tử khả nghịch khi và chỉ

khi trong phân tích của A / rad(A) thành các vành Artin đơn có không

quá một trường F¿ (trường có hai phần tử)

Chứng minh

Không mất tính tổng quát, nhờ bổ dé 1.6 ta có thể giả sử

rad(A) =0

Giả sử với vành nửa địa phương A, ta có sự phân tích

trong dé cac A; (i =1, ., m) 1a nhtfng vanh Artin don, cting la mét

vành đầy đủ các ma trận trên một thể và F; là một trường có hai phần

Từ (a) suy ra k là số chẵn và (b) suy ra k là số lẻ Mâu thuẫn này

chứng tỏ trong (1) không thể có nhiều hơn một trường F; được

Ngược lại, giả sử trong sự phân tích vành A thành các vành

Artin đơn, có không quá một trường F¿ Ta sẽ chứng minh rằng mọi phân tử trong A đều có thể phân tích thành tổng hữu hạn các phần tử

khả nghịch

Thật vậy, gia sử ta có sự phân tích