Luận văn thạc sĩ toán học: Nhóm con Parabolic của nhóm tuyến tính đặc biệt trên vành có hạng ổn định bằng 1
Trang 1LỜI NÓI Đầu
Cho G là một nhóm và D là nhóm con của G Việc nghiên cứu
các nhóm con trung gian của G và D đã được nhiều người quan tâm,
và đã thu được những kết quả lý thú Riêng về nhóm con của nhóm tuyến tính đặc biệt chứa nhóm ma trận tam giác trên -còn gọi là nhóm con parabolic- cũng đã từng được Borevich đề cập đến đối với
vành nửa địa phương Luận án này chủ yếu là mở rộng kết quả của
Borevich cho trường hợp vành có hạng ổn định bằng 1
Một vành có đơn vi A được gọi là vành có hạng ổn định bằng 1 khi từ đẳng thức aA +bA=A,vớia,b «A kéo theo sự tổn tại t 6Á, _sao cho (a + bt)A = A Ky hiéu F = SL(n,A) là nhóm tuyến tính đặc biệt Đó lầ nhóm các ma trận vuông cấp n trên A có định thức bằng 1 nếu A giao hoán; hoặc nếu A không giao hoán thì ta đồng nhất Ï' với nhóm transvection sơ cấp E(n,A) Cho một D-lưới bac n cdc ideal '
C=(tj) trén A va goi T(t) = ` ¬ Gín,A) là một nhóm con D-lưới đặc
biệt ứng với lưới + Luận án này sẽ mô tả các nhóm con parabolic lưới của nhóm I(+©), tức là những nhóm con trung gian giữa I(t) và
,B.@@) ¬ B(n,A) và đã thu được kết quả: nhóm con parabolic của rnột
nhóm con D-lưới là một nhóm con D-lưới Phần cuối của luận án
nghiên cứu tính chất các nhóm con trung gian giữa B.(+) và I(+©) Kết
quả được rút ra là: Bạ(t) là abnormail trong I'%) Ngoài ra luận án còn
để cập đến các nhóm con parabolic của T,(n,A) va chi ra dude quan
hệ 1-1 giữa các nhóm con N-lưới trong A và các nhóm con chuẩn tắc của nhóm T.(n,A) chứa trong U,(n,A)
Tuy nhiên, các kết quả trên không đúng cho mọi vành có hạng
ổn định bằng 1, mà bị ràng buộc bởi điều kiện: phần tử đơn vị được phân tích thành tổng hai phần tử khả nghịch và mọi phần tử khác đều
có thể biểu diễn thành tổng hữu hạn các phần tử khả nghịch Một vành như thế thực sự là tổn tại Nhưng để xây dựng được một vành có hạng ổn định bằng 1 tổng quát mà thỏa đều kiện như đã nêu là một công việc rất khó khăn Tuy vậy, luận án này cũng chỉ ra một số dấu hiệu để ta có thể xây dựng một số lớp vành có hạng ổn định bằng 1 đặc biệt thỏa điều kiện ràng buộc như trên: vành u -chính quy (định
Trang 2lý 1.9, định lý 1.10 của chương D và vành nửa địa phương (định lý
2.2, định lý 2.3 của chương T])
Ý tưởng của luận án này hoàn toàn dựa vào bài báo [7] Luận
án được chia làm hai chương:
Chương I: Các khái niệm cơ sở
Chương này sẽ trình bày một số kết quả về vành và về nhóm
tuyến tính có liên quan đến chương II Trong §.1, tac giả nêu ra một
số định nghĩa và tính chất của các lớp vành: vành có hạng ổn định:
bằng 1, vành chính quy Mục §.2 cho ta khái niệm về lưới và nhóm
con lưới Trong mục này, có một số tính chất rất quan trọng, là cơ sở
để xây dựng nên chương II (định lý 2.2, định lý 2.3, định lý 2.4)
Chương II: Nhóm con parabolic trong nhóm tuyến tính đặc biệt trên
vành có hạng ổn định bằng 1
Đây là chương trọng tâm của luận án Chương này sẽ mô tả các nhóm con parabolic trong nhóm tuyến tính đặc biệt TP = SL(n,A) với trường hợp tổng quát n > 5 và những trường hợp đặc biệt n = 2, 3, 4
Phần đầu của chương, tác giả có phát biểu và chứng minh khá chi tiết năm bổ đề Các bổ đề này có thể xem như là những viên gạch để xây
dựng nên một định lý khá lý thú về transvection (định lý 1.1) Đây là
một định lý quan trọng ảnh hưởng trực tiếp đến định lý 2.1, là định lý
trọng tâm của chương Mục ÿ.6 mô tả các nhóm con parabolic của
nhóm T,(n,A) Mục này cũng đề cập đến khái niệm N -lưới và tính
chất của nó Mục §.7 nghiên cứu về chuẩn hóa tử của các nhóm con
lưới parabolic
Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn và rất mong tiếp nhận
các ý kiến đóng góp của quý vị độc giả
Thành phế Hồ Chí Minh tháng 03 năm 1998
Trần Trung Hậu