chỉnh hóa một số phương trình tích chặp 6_2

luận văn trình bày cách đưa các bài toán đã nêu về phương trình tích chặp và dựa vào phương pháp chỉnh hóa Tikhonow để đưa ra công thức tìm nghiệm xấp xỉ với nghiệm chính xác

Chuang 2: Bdi loan khong chlnh va phuang lrinh rch ch(ip

CHU'dNG 2:

2.1 Bai tocm khong chinh

Hadamard gQi mQt mo hlnh clla mQt bai loan v~t ly la chlnh (well-posed) nC'lI n6 thoa man ba tinh ch5t san day:

I T6n t~i nghi~m clh b~d to<ln (Existence),

2 B~d loan c6 khong qua mQt nghi~m (Uniqueness),

3 Nghi~m clla bat loan phl,l thuQc lien tl,lCvao du ki~n (Stability)

Ta c6 th~ phat biEhl khat ni~m chlnh (theo nghIa Hadamard) dtcoi d~lng loan hQc nhu sau:

11;n/1 ng/1ia 2.1.1

Cho F: X ~ Y la mQt loan tli giua hat khong gian cljnh chllfin Phtiong trlnh

Fx ~ y (fin x) c1uQcgQi la chlnh ne'u thoa ba di€u ki~n sau day:

, I Vy E Y,3x EX sao cho Fx = y,

2 VX1,X2 EX, ne'u Fx, =Fx2 thlx,=x2,

3 V {x 11} C X, ne'u Fx 11~ Fx tIll XI1~ x khi n ~ co.

Nhung phtCong trlnh Fx =y khong thoa mQt trang dc c1i~uki~n tren c1tCQcgQi

la khong chlnh

Nilan xet 2.1.2

I Di~u ki~n t6n t~i nghi~m clla phuong trlnh Fx =y c6 th~ c1~tc1tiQCkhi!ta md

2 Tniong hQp phtidng Irlnh Fx =y c6 qua mOt nghi~m, ILi'cJa Lathie'u thong tin

VI v~y l11u6n d~lt duQc Hnh duy nh5t nghi~m ta din Om them thong tin v~ nghi~m

3 D~c tnCng chinh cita phuong trlnh khong chlnh la tlnh khong 6n c1inh ct'ta nghi~m Phuong trlnh khong chinh tren thlfc Ie' khang th~ giili c1u'Qcbai vi khi

do d~c ta luan luon m~c phili sat so' tren ela ki~n Do tinh khong 6n c1jnhclla nghi<';m ma sat so' giUa nghi~m tinh loan va nghi<';mchinh xac co th~ rf{t Ion,

dLIcho sai s6Lren elu ki~n nho.

Chu'ung2: Bal loan !chong chlnh va phuung lrinh tIch ch('ip

4, Tinh 6n dinh cua nghit$m co lien quan de'n chufln Cl'ta cac khong gian X va

Y MQt phudng trlnh co th~ 1a chinh ho~c khong chinh khi c1uQcta bie'n d6i trong cac chufln khac nhau X6t vi d~ldlioi day:

Dnh t6ng chu6i Fourier voi cac h~ so' gftn dung trong khong gian 12,

Gia sll'

00

fJt) = 2:>11cos(nt)

II~O

lay all 01 CII=all +-VO1 n;::: va Co= ao' ta OUQc:

(1)

11=0

Khi d6 sai so' tren dCi'ki~n lEt:

-00 2 0012

£1 = I(clI - aJ2 =E I2

VI chu6i so' f -\- hQit\,l neB £1 -+ 0 khi £ -+ 0,

II~I n

fl(t)- f2(t)=£I -cos(nt)

1I~1 n Danh gia sai so' clh t6ng chu6i trong cac khong gian khac nhau, ta co:

. Ne'u sai so' cua t6ng chu6i dliQCd(lnh gia trong khong gian cae h~lJnlien l~le

C till t6ng chu6i Fourier kh6ng 6n djnh, VI:

{

OOI

}

001

IIf2 - fille = sup £I cos(nt) =£I - =00,

( I ", '" ~ 1 h"

k' )

C lUO1 so 1-.J- p an y,

1I~1n

. Ne'u sai so' clla t6ng chu6i dudc danh gia trong kh6ng gian l} [ 0; n] lhl nha. !

dtnh ly Parseva1 ta duQc:

{

}

~ {

\

~

H

00 1

.

= - I(cn -aJ = -.8I2~O

khi £ -+ O Do do t6ng chu6i Fourier la 6n c1jnh

* Truang hQp loan tli F kh6ng compact, phlidng trlnh Fx =y la kh6ng chinh ne'u ta them gia thie't v~ RangeF

Chuang 2: Bih loan kh6ng chlnh va phuang trlnh tlch ch(Lp

Menh c1~2.1.3

Cho F: X ~ Y la loan ta tuye'n tinh lien t~lC va I-I giua hai kh6ng gian Banach Gia sa Range F:;t:Y va RangeP = Y Khi do FI kh6ng lien t~lC

ClllJ'ng minh:

Tli gia thie't vi: Range F, SHYfa:

3y E Y \ Range F, 3{yII}c Range F sao cho y n~ Y klli n~ 00

D~ty"=Px,, Vn, ta co: Fxn ~ Y khi n ~ 00

Ne'u FI lien t~ICtIll 3M> 0 sao cho:

Ilxnll=llp-'YnllsMIIYnll n = 1,2,3

Do {Yn}la day hQi t\1 nen {Yn}la day Cauchy TiX b5t dfll1g tllLi'ctren suy ra

{xn} la day Cauchy trong kh6ng gian Banach X, nghla la t6n t~i x E X va Xn~ x khi n ~ 00.

M~t khac : F lien t~lC=? Fxn "~Fx khi n -j- 00

VI gidi fwn clla day {Fxn} la duy nh5t Den suy fa: Fx =Y, nghla fa YE:Ral1geF Dii:ll nay mall thu:in vdi y E Y \ RangeF V~y FI kh6ng lien t~IC [J

, * Phlfdng tdnh Fx =yco th~ d~t C11fQctinh 6n c1jnhne'll ta thu hyp khong gian nghi~m.

Menh c1~2.1.4

Cho X va Y fa hai kh6ng gian (11nhchufln Gia sti XI c X la mQt kh6ng gian can compact va F: XI~ Y Ia loan tti lien tl,lCva 1-1 Khi do FI lien t~lC

Chung minh:

X/ / ?

F-l

Gicl slf y E Range F va day {yn} C Range F thc')a:Yn t Y khi n "~ 00

Ta phai ch(fng minh: p-'Yn-tP-'y khin~oo

D~t xn = < yF I II Vn, x = F-1y

Ne'u Xn~ x thl t6n t~i day can {Xnk}cua day {x,,} sao cho vdi m9i k ta co:

Chuang 2: Bdi tocln kh6ng chlnh vd phuong trinh tfch Ch(7P

Mal khac, do XI la t~p compact neB tOnt~liday con tXl1klfclla oay {Xl1k} Ve) dJ X() E X I sao cho: xnk, + x() khi 1 ~ 00

VI F lien tl,lC, SHYra YI1 = FIx" ) ? F(x,,) khi I-> 00

k 1 \ k I

~ x =x"

(00 Y11~ y) (elo F 1a I- I)

Tt'((2.1), ta co: Ilxl1kl-xll~£>o

V~ythl: o=llx()-xll=llx-xll~£>o v0Iy

Nht( v~y phai co Xn~ x khi n .t00 [ I

Kh£ng uinh cua m~nh de (2.1.4) v~n c1ung trong truc')ng hQp X I C X la khtJllg

X ' X x, X" 1/

X" j' II A.

gu:lI1con eua va I = + trong co a t~lp compact va a '-long glall

con hi:'(uh~ln chieu clJa X.(Xem [41).

2.2 Phu'dngtrinh tich chgp

l;!iflJu1gh I~J 2 1

Pht(c1ngtrlnh tinh phan co d<;tng:

(K* vXx)= fK(x- t).v(t)dt = u(x), x E R",11~ I (22 )

R"

(K, u la cac ham eho trude, v la h~lln ffn ) du(;c gQi la phu'(ing trlnh rich cha p

Ta gc,Jiham K Ia nhan, ham u Ia oil ki~n clla pht((ing trlnh tich ch~p (2.2)

2.3 Vi du v~ tinh khong chinh cu~hu'dng trinf:ll!~JL~b~1p

.HXJ

Av(x)= fK(x-t).v(t)ut,vdi KEL'(R)nL}(R).

-Cf)

Ta Om nghi~m v E L2(R) cua pht(c1nglrlnh : A vex) =u(x)

Phu'cing trlnh (2.3) c1U\1cvie't ot((ii cl<;tngtfeh ch~p:

(2 ) )

+Cf)

-Cf)

Chuang 2: Bai loan khong chlnh va phuang trinh tIch ch(ip

Ta ch((ng minh r~ng b?1itocln d;;lI1g(2.4) noi chung la kb6ng cbInb

Menh dif 2.3.1

Toan tu A la tuye'n tinh lien t\lC

CluIng minh:

, TU'dinh ly 1.3.1 suy ra A hoan loan X;lc dinb tren L2(R)

Vdi mQi vj, V2thuOc l}(R) va s, ria dc s6 tily y, ta co:

+00 A[s.vJx)+r.vz(x)]= fK(x-t)[S.Vl(t)+r.Vz(t)]dt =

-00

=s fK(x-t).vJt)dt+r fK(x-t).vz(t)dt=s.Av,(x)+r.Av2(X)

::::> A tuye'n tinb.

Theo dinh Iy 1.3.1, ta co:

IIAvllz = IlK * vl12 ~ IIKIIlllvl12 ::::> A lien t~IC.

, * Phlidng trlnh tich ch~p (2.4) thu'C5ngco nbi€u hdn mOt ngbi~m Xet m~nh d€ sau dily:

Menh dif 2.3.2

, Pht(dng trlnh (2.4) co nhi€u nhflt mOt nghi~m khi va chI khi t~p hQp

E ={ t E R \K(t) =o} co dOdo b~ng kh6ng

ClllCllK-11lill h:

Ki hi~u: m la dO do tren R, XM la ham d~c tn(ng tren t~p M

I

1.::::» Gi;l su phlidng trlnh (2.4) co nhi€u nhflt:mOt nghi~m, ta ph;li ch((ng minh m(E) =O.

Th~t v~y, ta co biSu di~n E= ~{E(1[-n,n]},0=1

Ne'u m(E) *"0 thl t6n t~i no E N sac cho 0 < m(E (1 [- no ,nJ) < +00

Ta Ifly Vo(t)= XEn[-no,no](t)thl Vo(t)* 0

::::> vo(x) *"0

Chuang 2: Bai todn khi5ng chlnh va phuang trinh tlch ch~lp

-1\

M~Hkhac vo =XEn[-no.n JEL2(R):::>vo EL2(R)

+c.o

Cho u(x) ==0, phu'ong trlnh (2.4) trd thanh fK(x t).v(t)dt = 0 (2.5)

co

Khi do phuong trlnh (2.5) co nhi~u hon I11Qtnghi~l11 £)i~u nay tnii vdi gi<l thiC't V~y m(E) =O.

1\

2, <=) Gia Sl( m(E) = 0, nghIa la K(t)1=0 h.k.n tren R

BiC'n dc5i Fourier hai vC'cila phuong tr1nh (2.4) ta dl(QC:

1\ 1\ 1\

K (t) vet) = oCt) =>

1\ 1\

vCt) = oCt)1\

K (t)

1\

. NC'u v E L2(R) va VEL 2(R) th1 phl((ing tr1nh (2.4) co nghi~m cluy I1h51 []

Menh c1~ 2.3.3

Phuong trlnh tich ch{lP d<;lng(2.4) n6i chung lil khong chlnh.

CluIng minh:

1. roantif A JiJ 1-1

Th~t v~y, gill su A vex)=0

=> (K*v) (x) =0 =>

1\ 1\

K(t).v(t) = 0

(1«(t)1=O

Ker A = {a}

h.k.n tren R )

=>

1\

=> vex) = 0 =>

2 Stf tiin tqi nghiQm

1\

K phuong trlnh (2.4) chua ch~c co I1ghi~111v E L\R) Ch~ng h<:tnlily u E L2(R) l11a

u==2K Theogia thie't,K E LI(R) nI}(R)=>KEI}(R)

1\

1\ 1\ 2K - - 2

=> 2K E e(R) Tuy nhien v==-;:- = 2 ~ e(R) => v ~ L (R)

K

r j!:)H.kH TlrNl-tlF;;)

Chuang 2: Bai loan khong chlnh va phuang ldnh tich chcJp

3 Tfnhtin djnh

Tli chung minh d 2., mN cach t6ng quat ta soy ra RangeA "*L\R)

B@ap d~tngm~nh d~ 2.1.3 ta chung minh them Range A tro m~t trang L2(R)

Ki hi~u Cc(R) la kh6ng gian cac ham lien tl,lcco gia compact tren R

B~t G = {U E e(R)\ ~E Cc(R)} TnI'oc h€t ta chung to G c RangeA

Th~t v~y, H(yu toy ythuQc G till ~ E Cc (R) VI K E L1(R) Hen J(E C(R), soy ra

f\

-~ E Cc(R) (Hch mQt ham lien t\lc co gia compact voi mQt ham lien t~IC)

K

MQi ham so' thuQc Cc(R) c L2(R) d~u co bi€n d6i Fourier nglI'Qc.Do c10t6n t~li

f\

VEL (R) thoa v=-f\ hay K v=U

K

=> G c RangeA

, Bay gio H(y u toy ythuQc L2(R), khi c10 ~IE em.) Do CcCR) trll m~t trong

f\

L\R) Hen t6n t~i day trong Cc(R) hQi t~lv~ u, tuc la t6n t~ti day {un}c G thoa

<=> IIUn -u112 ~ 0 khi n ~ 00 => Un ~ U trang e(R)

VI {Un} C G nen {un}c RangeA.

V~y voi U E e(R), t6n t~i day {un} c RangeA tboa Un ~ U khi n -+ 00

RangeA = L\R) Dodo

Thea m~nh d~ 2.1.3, ta soy ra A-I kh6ng lien t\lC, nghIa la nghi~m clla pl1lI'(jng trlnh (2.4) kh6ng ph\1 thuQc lien t\lC rhea dli ki~n

K€t qua d 2 va 3 clIng voi m~nh c1~2.3.2, c15kh~ng c1inhphltdng trInh (2.4)

noi chung la kh6ng chlnh