chỉnh hóa một số phương trình tích chặp 5_2

luận văn trình bày cách đưa các bài toán đã nêu về phương trình tích chặp và dựa vào phương pháp chỉnh hóa Tikhonow để đưa ra công thức tìm nghiệm xấp xỉ với nghiệm chính xác

ChuO'ng 1: Cong C1:l

CHu'dNG 1: CONG CtJ

1.1 Khon9-Qian Hilbert

Dinh If 1,1.1 (Dfnh If Lax - Milgram)

Cho a : H x H -+ R 1;"\lTIQtd<;lngsong tuye'n tinh tren khong glan Hilbert H

Giil Sl(r~ng:

la(x, y ~ ~ cjlxllH,llylln' '\Ix, y E H

2 ala khang tU,nghIa la tan t~i Co> 0 sao eho:

a(x, x) ~ Co ,lIxll~.,'v'x E H

Khi d6 VOl1116iphie'm ham tuye'n tlnh lien t~ICh tren H, t6n t~i cluy nhfll mOl ph5n tl( u E H sao cho a(u, x) = hex), '\Ix E H

Dinh It 1.1.2

Cho A : HI -+ Hzla loan tt1'tuye'n tinh lien t~legiii'a hai khong gian Hilbert Tdn

(Ax,y) = (x,A*y),'\Ix E Hp'v'y E H2'

loan tl( A du<;1cgQi 1;"\loan tll t~(lien h<;1pne'u A* = A

Dinh It 1.1.3

Cho A: HI -+ Hz la loan tu tuye'n tinh lien t~lcgiU'ahai khong gian Hilbert T6n

t~i cluy nhat I1lQttoan tt( tuye'n Hnh lien t~ICC: HI -+ HJ sao cho CZ = A *A.

Chuang 1 Cong Cf:l

1.2 Tocm tli comQact

Dinh nghia 1.2.1

Toan tli tuye'ntinh A: X~ Y giCi'ahai kh6ng gian Banach c1u'QcgQi lil loan lti' compact ne'u n6 bie'n m6i t~p bi ch~n trong X thanh mQt l~p compact ttCongc1oilrong Y

p;nh 1Y 1.2.2

Gii sli X, Y, Z la nhung kh6ng gian Banach, A: X ~ Y, 13:Y ~ Z la cac loan

ta tuye'n Hnh Jien t~lC.Ne'u mQt trong hai loan la A va B ]a compact thl BA lil loan ltC compact

Dinh It 1.2.3

Toan ta c16ngnh5't I tren kh6ng gian Banach X lil compact khi va chI khi X lil huu h~n chi~u

1.3 rich chap

Ki hi~u 11.111'lil ChUaHtrong kh6ng gian L", (l s P s 00).

Dinh 1Y 1.3.1

Gii sli KEL' (R") va v E C(R" );(1::;p::;00)

Khi d6 vdi h§u he't x E R" , ham t H K(x- t).v(t) khi tich tren R"

R"

Khi d6 : K *vEC(R ") va ilK* viiI'::;IIKIII.llvllp

C/uJ'ng minh:

Chuang 1 C6ng Cl;l

I Truong hop p=l D~t F(x,t)=K(x-t).v(t)

Voi h~u he't t E RI1 ta co:

R" R"

R" R"

Ap d~ll1g oinh 19 Tonelli ta co: FE L! (n.1IX RII ).

R"

Day chinh Ia ke't 1u~n clh oinh 19

Truong hop 1 < p <co

Tu ba't o£ng thlic Holder ta c6 :

(

~+~=I

J

I

va JlK(X-tllv(t ~dt <; IIKII: {JlK(X- tllv(t r dt r ~ IIKII: [~KI * lvi"}X)F

Do d6 (K * vtELl (R 11) =:) K '"vEL" (R")

Chuang 1: Cong ql

JI(K*vxxrdx~ Jdx JIK(x-t~-Iv(trdt,IIKII~ =IIKII~fIK(x -t)clxl, Jlv(tfdt

<=?

!'.

IlK*vii:: ~IIKII, ,11vII::,IIKII~

, <=?

IIK*vllp ~IIKII:),llvIIp,IIKII~=IIKlli,llvIIp rJ

Dinh nghJa 1.3.~

Ham K * v xac dinh tren RI1rhea cong thlic:

(K*vXx)= JK(x-t)v(t)clt,XER"

R"

duQcgQila rich ch~p cua hai ham K va v

1.4 Bi~n d6i Fourier

Dinh ng.f1ia 1.4 1

1 Bie'n c16iFourier cua ham f la ham f, vdi:

2.Bie'n c16iFourier nguQccua ham f Ia ham f, vdi:

f(x)= ( \n/2-Jr(t).exp(itx)dt,2IT R" x E Rn

Ne'u fE c~(w)thlfE L1(W)nL2(W) va f(x)= f(x), VxE W

Jlinh If 1.~J

Voi m6i f E I} (R11),ta co th~ lien ke't voi 111Qtham fE I} (Rn)saG cho

1 Ne'u fEL'(Rn)ne(Rn)thl f(t)=-~n ff(x)exp( ixt)Jx

(2IT)2 R"

Chuang 1: Gong cl;t

2

1.5 Dinh Iy h6i tu bi chan

tich va ~~~ ff"(x)dx = ff(x)dx

1.6 Dinh Iv divergence

Gia Sl( D 13 l11i~nbj ch~n trong RIlvoi bien aD ]a tron Wng khuc, va

F: D~ RIl 13 l11Qttnfong vecto.

Ta c6:

trong d6:

~ "aF

chvl«v)= L-,v=(V"V2, ,VII)ED

i~1av;

.->