chỉnh hóa một số bài toán Moment 6_2

luận văn này, khảo sát bài toán moment và tìm cách chỉnh hóa một số bài toán moment cụ thể.

Chuang III: Chlnh h6a bai toaD moment t6ng quat

CHU0NG III: CHINH HOA BAI TOAN MOlVIENTTONG QUAT

3.1 Bai toan moment t6ng quat:

TIm mQt ham u tren mi~n D c Rdthoa di~u ki~n :

trong d6, (gn) la day ham cho truac, /.l=(/.ll, /.l2, ) 13.day so trong 12 hay r"

nghi~m va trong truong h<;:ipton t~i nghi~m thl chung kh6ng phlf thuQc lien tlfcV3.0dli ki~n Ta se ki~m chung l~i kh~ng dinh tren qua ket qua sau:

Cho (gn)n=I.2 la mQt hQ dQc l?p tuyen tinh trong khong gian Hilbert vai tfch vohuang la (,,')H , chuin Wong ling la II.IIHva l?p th3.nh co 56 cua H Ta dn Urn u EOHsao cho : (u, gn)H= /.In n = 1,2, vai /.l=(/.ll, /.l2, ) 13.day so trong 12hay 1':0

(3.1)

Truong h<;:ipta lay khong gian dli ki~n 13.12tuc 13.khong gian cae day so

oC /.l =(/.In) saG cho II/.lJn=1 < 00 thl12 13 kh6ng gian Hilbert vai rich trong (~l,rU =

.: Truong h<;:ipta xet kh6ng gian dli ki~n 13 let), tilc 13.kh6ng gian Banach

cac day so /.l=(/.In)n =1.2 thoa II~III" = SuPI~n I <00. Ta cling gia sLrhQ

Chuang III: Chlnh h6a bfli toan moment t6ng quat

Khi do nghi<$m cua bai tmln (3.1), neu co, thl duy nha't Thc}tvc}y: gQi lit uz1a hai nghi~m ung vdi ~n,nghja 1a Au, = ~n, Auz = ~n' f)~t W = Uj- Uz => (w, gn)

= 0 "in => (w, g) = 0 vdi'\f g E < gll :> Vc}yW E X.Lvdi X 1a kh6ng gian sinh

bdi cac gj, i =1,2, , n Theo tinh chat trong gian Hilbert, ta co:

Lz=X + X.L ma X =Lz nen X.L={a} => w=0 => UI =Uz

Vc}yta co tinh duy nhat nghi~m (neu co nghi~m) cua bai roan (3.1) trong

truonghQpkh6ng gian da k.i~nla t'

Vdi cach d~t roan ta A nhutren ta co m~nh d~ sail:

3 Range A chua h~n trong 100.

4 A-I: Range A ~ H kh6ng lien t\1c.

Chung minh:

1 A tuyen tinh do tinh tuyen tinh cua rich v6 hudng

Ta co: IIAu!!t"'=supl(u,0 gO)H I ::;supllgllllHn .lIullH = IluliH => A lien t\1C

2 Gia sa Au =«u, gn)H)n=1,2, ,= O Do (gn) 1a co sd cua H nen UE H.L

=> u=O. Vc}yA la don anh

dinh 1yanh X?md (xem [2] ) thl A la d6ng ph6i tit H vao 100

VI H phan X?, A la d6ng ph6i tuyen tinh, nen 100phan X? (xem [1] ) f)i~unay v6ly

20

Chuang III: Chinh hoa bai roan moment t6ng quat

V~y Range A chua h:1n trong r-c nghla la bai roan 3.1 khong luau t6n t~inghi€$mtrong tntong h<;1pkhong gian dG'ki€$nla t'

4 Xet :" A: H -+ 1':0

u H Au = ((u, gn)H )n=I,2 "

Ta c:ln chung minh A-I: Range A -+ H khong lien n,lC

Xet day (~P) trong Range A nhu sau: voi pEN, !J.P= (Il~ )k=I,2,

Khi do II upll2H =1 voi mQip => A-I khong lien tl,lc.

V~y bai toan (3.1) co khi la chlnh, co khi khong chlnh Nhu'ng ph:ln IOnbairoan moment la khong chlnh Ta c:ln tlm cach chlnh hoa no

- Phu'dng phap ch~t Cl,ltxa'p Xlbai roan (3.1) bdi bai roan moment hii'uh~n

Phu'dng phap chinh hoa nay dl,l'atren nhG'ng tinh cha't cua phep chie'u trl,l'cgiao trong L2 (0 )

21

Chuang III: Chinh h6a bili roan moment tong quat

3.2 Cach xCiy dung nghiem chinh hoc:

Ta gia sa gr g~ Ia dQcI~p tuyen tinh (theo nghla d<;liso) va kh6ng gian vec

to sinh bdi gr",gz latrUm~t trong Lz (Q)

Kyhi~ull.11 ,(,)lachuffnvatichv6huongcuaL2(Q).Cho {e[,e2,'" }lah~ tn,tc chuffn dU<;1Cxay d1,1'ngtU (gl, g2 ) bai phuong phap tr1,1'cgiao h6a Gram-Schmidt nhu sail:

Khi do {el, ez, } Ia co sa tr1,1'cchuffn cua L2(Q) va hon nua t6n t<;liduy nh:1t

Th~t v~y tu cach d~t cua enta co:

e[ =C11gl

e2 = C2lgr+Czz gz

e3 = C3Igl+C3Z gz + C33g3

-

Khi do tinh ngu<;1cl<;ligi thee ej , ta cling du<;1ccach bi~u di~n tuong t1,1'.

Ta xem ma tr~n Cn = [Cij ], Mn =[Mij]

Khi do Mn = Cn-I

1:::; 1, J - n <

Bay giG ta lien ket voi m6i day so th1,1'C~=(~l ~2 )

day A=A (Jl )= (AI, A2, ' ) dU<;1C xac dinh bdi:

r- Chuang III: Chinh h6a bfli tmin moment tong quat

,

3.2.1 Menh de 3.1:

Cho 11=(Ill, Ilz, ) la day so thvc , cho U E L z (0 ) va n E N Ta e6 cae ke't

qua sau tuong duong

1 U E <gl, gz, , go> (kh6ng gian vectO sinh bdi { gl gz go})

~ «u, gl),'" ,(u, go» = Mn(al,'" , an)

Do d6 U thoa (3.4) <=:> Mn(a" az, , an)T=(111."" Iln )T

(3.5)

23

Chuang III: Chinh h6a bai toan moment t6ng quat

(do ta thay (u, gj)=~j VaG (3.5))

T

<=:>(ai, a2, , an) = n (~l, , ~n) (do Mn = Cn-I)

<=:> (a(, a2 , an)T = (}"1,A2, ,An)T

i (do tli (3.3) Aj= 2:CijfL)

Gia sa u thoa (2), Xet phan tich u=v + w voi v E <g(, gz, , gn>;

W E < gl, g2, ,gn>1-, vIa hlnh chieu cua u xuong < g" g2, , gn > nen:( v, gi,) = ( u, gj,) = ~i (1 :::;i :::;n )

(do tinh cha't phep chieu va thoa (3.4))

(3.6)

n

V~y v thoa man tinh cha't tli (1) <=:>(3) nen ta duQc v=LAiei

i=1 M?t khac rhea tinh cheithlnh chieu vuong goc ta co:

II vii:::; II till

Tli hai ke't qua tren suy ra :II uII =II vII

V~yII w 112=II U 112-II V 112 (dinh 1y Pythagore)

Gia sa ta co (3) Cho v E L2 (D) sao cho <v, gj> =~j

U =1, , n) Cho Pyla hlnh chieu vuong goc cua v len < gJ, g2, , gn>'

2-1-Chuang III: Chinh hoa bfli loan moment t6ng quat

Khi do rhea cach d~t tu (3.6) ta c6:

voi 'v'v thoa (v, gj)=Ilj

V~y ta da chung minh xong dinh 1y

. Cho ilIa day so th1,1'c.Doi voi moi n = 1, 2, ta ky hi~u pn = pn (J.l ) Iaphan n1 duy nhat L2 (0 ) saG cho no thoa di€u ki~n tuong duang cuam~nh d€ 3.1 pn co th€ xac dinh tu (3.3) va (3) (pn dong vai tra nhu u). Do m<$nh d€ 3.1 pn(J.l) E <g" g2, , gn >

n

i=1

Day Ia h<$Crammer cua h~ phuong trlnh tuyen tinh Do tinh dQc I?p tuye'n

tinh cua g\> gz, , gn nen ta co del ((gj, g)) :j;0 (1:::;i, j :::;n)

~ ~I, ~2, ,~n duQc xac dinh duy nhat qua d~ng thuc:

Chuang III: Chlnh h6a bfli roan moment t6ng qmlt

3.2.3 Su' hoi tu cua nghiem chinh hoa va lJoc IlJdng sai s6:

Ta thila nh~n ket qua sau:

D6i voi m6i m E N thi ton tqi C =C (m, 0 ) > 0 saG cha voi

V v E Hm (0 ) ta c6:

Ilv- pYn vii ~ c.llvll~:(Q)n n =1,2, (3.10)VOl Yn = < gl, gz, , go>; Hm (0) la khong gian Sobolev thong thuang(m=1,2, ); pYn la hinh chieu trl;l'cgiaa L2 (0) len Vn

-Ta chung minh s1!hQi tl;lcua nghi~m xap Xl pn(~) trong truang hQp du k.i~nchinh xac

Dinh IV 3.3:

Cho ~=(~j) la day so th1!c Khi d6:

1 Di~u k.i~nc~n va du d~ t6n t(,iinghi~m cua (3.1) la:

Chuang III: Chinh hoa bai toan moment tc)ng quat

J=1

,(do e, = I Cijgj )

,=1

I

= ICij(u,gj)j=1

Dodo: I(ICij~ti)2 =I(u,e,)2 =llul12 <x

,= i

n (do ej = I C 'jg J)

J=I

(3.13) n

Chuang III: Chinh h6a bai toan moment t6ng quat

2 Cho U E L2 (n) va la nghi~m cua (3.1)

(pn(/l) dong vai tro nhu' u)

Sl,l'hQi t1,lcua pn(~) d€n u trong L2 (Q ) theo tinh cha't cua khong gian Hilbert

. Trong (3.10) the' Pvn U = pn (11) ta dliqc:

IIpn(Il) - till ~ cllull~:(Q)n 'v'n

28

Chuang III: Chlnh h6a bai toan moment tong quat

Dinh 1y sail chI ra r~ng trong tru'ong hc;5Pdu kic$n kh6ng chinh xac, nghic$mcua bai roan moment (3.4) 1a xap Xl 6n oinh nghic$m Clla bai roan (3.1)

Ky hi~u II Il IIro = sup {IlliI; i EN}

I' = 1'1,1'2 , vOl VOl < £ < i I gl ta ui;n: n(£ = £ VOl a

ham tang ng~t tu [ 1,00) 1en [II g&l, co) sao rho IICnl1 ~ fen) \j n 2: 1

Khi do t5n t~i ham s6'1 (£ ) sao rho lim17(E)i:~1) =0 va d6i vdi nhung day Il thoa:

Han nua ne'u (3.10) dung vdi Un E Hm (D) thl:

II pn(E )(fl) - Un II ~ £1I2+ c.lluoIIH'" (Q)

Ta ky hic$uII 112va II 1100doi vdi chua'n dclit va chua'n sup tren Rn

II Cn II 1a chua'n cua Cn = [Cjj] vdi i, j = 1, 2 , , n

tinh cua (Rn.11 1100) de'n (Rn,II 112),

Chuang III: Chinh h6a bai toan moment t6ng quat

=II (AI (~) - AI(~O), , An(/1) - An (/10 )11

=IICn(~I-~IO""'~n -~()n)TII (Do(3.3)Aj= IC,;f'/)

Theo dinh 1y Pythagore:

II Uo 112 =II p* )(~O) 112+ II p* )(~to)- Uo112

Chu'ClngIII: Chinh hoa bfli toan moment t6ng quat

Chuang III: Chlnh h6a bili toan moment t6ng quat

Binh 1"9chung minh xong.

Voi nhfi'ng gia thuye't khac tren Uo, ~ota se du<Jcdanh gia sai so d~c bi~t bon

3.3 £>onh qio sai so dung gia tri rien9 cua toon 111Laplace:

- Gia sll'0 la mi~nbi ch~n vdi bien trail Baitoan gia tri rieng cua roan ill' Laplace:

Chuang III: Chlnh hoa bai toaD moment tong quat

k =21voi 1~ 1 Khi do V v E Hk (0 ) ta co:

,0.Jv = 0 tren ao voi j ~ 1- 1 ( VItheo ph~n d~u cua b6 d~: j ~ 1-1 <1= k/2

=> j < k/2 => t:}v = 0)

Tli c6ng thuc Green thu hai : 1 (f6g)dx-1 (g6f)dx= !of~CY - Lg ~ dCY

trong do u la phap vec to don vi ngoai cua rn;rtta 0 ; f, g la hai ham du trail.

Ap dl:lllg c6ng thuc tren voi f =u , g =bm ta duQc:

M;rttkhac rhea gia thuyet - ,0.u= a u suy ra 6 bm = - ambm

Tli (3.23) (3.24) ta co: (,0.u , bm ) = (u,,0 bm) = - ameli, bm)

vdi u 1aham du trail va tri~t tieu tren bien a O.

Thay u = ,0.jv voi j ~ 1- 1 vao ket qua tren ta duQC:

, ,

-) _1

Chuang III: Chlnh h6a bai toan moment t6ng quat

(d~ohamca'p21=1 0.1)

~ 1dl I(Dav)2 dx

aeJI

(co d1 s6 h~ng)

(ap d\lilg ba't d~ng thlic Cauchy - Schwartz:

(al.bl+ +anbn)2~(aI2+ +an\(bI2 + + bn2) vdin=d1;aj=1)

Chuang III: Chlnb boa bfli roan moment t6ng qmit

M~t khac: LCa (DaV)2 1a t6ng noi tren nhu'ng da nit gQn cac sO' h<;lng

aEI2

b~ng nhau voi cac h~ s6tu'ong li'ng 1a Ca < dl

Truong hop k Ie:

0

k =21 + 1 voi 1 ~ O Khi d6 'If Y E Hk(O) ta co:

(do j ~ 1 < 1 + Y2=k/2 ~ j ~ k/2 thoa man ph~n d~u cua b6 d~ (3.1))

Tu'ong tv nhu' tren ta c6:

Chuang III: Chinh h6a hili roan moment tong quat

V~y ta da chung rninh xong dint 19

3.3.2 f>anh gia sai s6:

E la h~ng s6 du'dngnaG d6 va kEN Khi d6 ydi mQiday s6 ~ saGcho:

II ~ -~oII 00 <E (E>O)va lay nee) nhu'd tren ta c6:

IIPn(E) (~)- UoII :::;E1/2+ E an(c)+1 -k/2

ho~c ta c6 danh gia khac:

36

Chuang III: Chlnh h6a bai toan moment t6ng quat

Ta co W E ynl nen rhea dinh 1;' Pythagore ta dU<;1c:

IIpn(J.l)- uoll = (IIpn(J.l°)- pn(J.l)112 +Ilwl12)h

;S; Ilpn (J.lO) - pn (J.l)11+ Ilwll (3.28)

(do Ja2 +b2 ;S;a+b vdi a,b~O)

ChQn n=neE) va ap dt,mg k€t qua trudc ta du<;1c:

lip n(e)(J.l0) - pn(e) (J.l)11 ;S;Eh

M~t khac do WE Y;,Pn(J.l°) E Yn, hQ (en) tn,I'c chuin nen:

N€u i :::;n thi (u ° - P n(J.l° ), e J = (u 0' ei) - (pn(J.l° ), ei)

=,-,(~') -(t'-J(~')ej,e,)

= Ai (J.l ° ) - Ai (J.l ° )

=0(do (eJ la ht$tn!c chu:1nva i;S;n)

Chuang III: Chlnh h6a bfli roan moment t6ng quat

M~t khac :

? un <X) '111ct>(u,,)f =La;(ct>(uJ,bIlJ

Ta l~i co:

Ilpn(c) (I') -110115:Ilpn(c)(1'0)- pn(6')(p~, + IIpnlel ~o)- ZloII (3.34)

3X

Chu'dng III: Chinh hoa bai loan moment t6ng quelt

Thea ket qua tntoc ta co :

IIpn(c) (Uo ) - pn(c) CLL~I< £h (3.35)

Ta viet lc;tiI\wl12~ a~(:)+I.III<D(uo)Ifd116idc;tng :

wll~ a:~+l III <D(Uo) III

A.p dl;lngketqua bode (3.1)

1I1<D(uo) 111~dYzI<D(uo)IKQ

(3.37)

(3.38)

(3.39)

Tli(3.38)va(3.39): Ilwll:::;a~t£!):,d7j.1 (UO)lk

The VaG(3.36) ta duQc:

IIpn(JLo)-uoll:::; :~+,.d7jlqj(uo)1 U2

Tli (3.40), (3.34), (3.35) ta duQc :

V~y ta da chung minh xang djnh 19

(3.40)

3Y