chỉnh hóa một số bài toán Moment 5_3

luận văn này, khảo sát bài toán moment và tìm cách chỉnh hóa một số bài toán moment cụ thể.

CmJdNG I: MOT SO TlNH CHAT TRONG KHONG GIAN HILBERT

1 £>inhl!Qhia 1.1:

Cho X la kh6ng gian Hilbert

a x va y du'<;1CgQi la tn,1'egiao neu (x,y) =O

b {xn} du'<;1CgQi la h~ tn,1'egiao neu cae veetd eua n6 d6i mQt tn;r'egiao

c Cho M c X T~p h<;1p:

Ml.={x EX: (x,y) =0 V Y EM} gQi la ph<in bli tn,1'egiao eua M

1.2 Menh d~ 1.2:

Ta e6 cae tinh eha"tsail tren kh6ng gian Hilbert X:

a x 1- YI, Y2~'" Yn=> X 1- alYI + a2Y2 + + anYn

b Neu x 1- Ynva Yn~ Ythi x 1- y

e Ml.la mQt kh6ng gian con d6ng cua X

d xl.y =>llxI12+ IlyI12=llx+yI12CdinhlyPythagore)

e Neu {xn}la h~ tnlc giao thi:

I xj hQi t~ Q I Ilx J 11- hQi t~

1.3 £>inh Ii 1.3:

Cho X la kh6ng gian Hilbert, M c X la mQt kh6ng gian con d6ng eua X Khi d6 ba"t ky mQt ph<in tti' x EX c6 th6 phan tich mQt each duy nha"t du'oid~ng:

,.

X=v + W VOl v E , W E

Toan tU' P: X ~ M voi Px =v gQila phep chien tnle giao X len M c6

a Pv=v ne'u v E M

b Ilx-Pxll ::;;11x-v'll \iv' EM

1.4 £>inh nghia 1.4:

MQt ht%{xn} d.c ph~n tli' cua mQt kh6ng gian Hilbert X duQc gQi Ii mQt ht%

tn,I'cchwln ne'u:

(Xi, Xj) =8ij

{

o ntu i"* j

i, j E N trong d6 5,! = 1 ntu i = j

1.S Menh d~ 1.5:

Cho {xn}n EN Ii mQt ht%tnfc chuin trong kh6ng gian Hilbert X Ta c6:

(J) 2

a I!(x,x)1 ::;;IIxl12

.i=l

'v'x E X (Bit d~ng thti'c Bessel)

(J)

b Vdi m6i X E X chu6i I (x, X)Xj hQi t1,lvi:

.i=1 (J)

(x - I (x, x)x)lxn 'v'n

j=l

1.6 £>inh nghia 1.6:

Ht%tn,I'cchuin {xn} trong kh6ng gian Hilbert X duQc gQi Ii ht%d~y du ne'u:

X 1 en 'v' n E N => X= 0

1.7 Menh d~ 1.7:

Cho {xn}nE N la ht%trvc chuin trong kh6ng gian Hilbert X Cac mt%nhd~ sail tuang Quang:

a {xn}Ii h~ d~y duo

b x=:L(x,X)Xj 'r/XEX

j=1

c II ~ II = I I(x,x)1 'v'x EX

j=1

1.8 Menh de 1.8:

Cho M hI mQtkh6ng gian con dong cua mQtkh6ng gian Hilbert X , {Uj} j e J C

MlamQt h~ dfty du cua M P la phep chieu tn;tcgiao cua X leu M Khi do:

PX= L(x, u)Uj Vx E X

jeJ

1.9 £>inh Ii 1.9:

Cho {Xn}neN la h~ dfty du trong kh6ng gian Hilbert X Neu day 56 {~n}n e N

co

thoa I~~ hQi t~ thl se co x EX duy nhat thoa (X, Xj)= ~j, 'r/ j EN

j=1

1.10 £>inh Iv 1.10: (Riesz)

Voi mQi a c6 dinh thuQc kh6ng gian Hilbert X, h~ thuc fa(x) = (x, a) xac dinh mQt phiem ham tuyen Hnh lien t~c tren X (nghla la fa EX')

thoall fall =llall.

Bao l""i voi m6i f E X' d6u USnt""i duy nhat mQt a E X sao cho f(x) =(x,a),

VxEXvallfll=llall.

1.11 £>inh IV1.11: (lax - Milgram)

Cho f la mQtd""ngsong tuyen Hnh d6i xung, lien tl,lctren kh6ng 'gian Hilbert

X sao cho:

~ a>O : f (x, x) :2:a II x 112 (buc)