Nghiên cứu trường hợp tổng quát hình cành khăn có pN nhát cắt nằm trên n đường tròn đồng tâm 5

Luận văn Thạc sĩ khoa học -Chuyên đề :Nghiên cứu trường hợp tổng quát hình cành khăn có pN nhát cắt nằm trên n đường tròn đồng tâm

3 Cae danh gia eho lap F

3.1 Danh gia q{f)

D!nh Iy 3.1:

Gia sa Ala hinhvanh khan Q <Izl< 1 bj cat thee p nhat dc;mg(1.1)

co the bi~n baa giacboih IEmhinhvanhkhanqo<ItI< 1 bj cat"theop nhat dQc cac tia ban krnh sac cho cac duang trim Izl =Q ,Izl = 1tudng ung voi

It1= q 0' It1= 1 va diem z = 1tudng ung voi t = 1 Khi do, voi cac ky hi~u aph~n

1 ta co

(3.1)

1

Hdn nOa,

K

IIK-l

q(f) = Q K <=> fez)= zlzlT ,z E A.

Chung minh

1

~

~

Hinh 9

Ap dl:lngh~ qua 2.4 cho f E F , ta co :

77:q2 ~ trQK - S(f{;)K

~.

BwOq

CJ

1

1

1

COng thee h~ qua 2.4, q = QK<=>fez) = azlzlt-l ,\aJ= 1.

Nhungvoi f E Fta co f(1) = 1 nen => fez) = Z\Zlt-l

Vi f.h-1 la PBHK-ABGmi~n Bo=h(A) len mi~n B = f(A) nen ap

dl;lngbe d~ 2.9 ta co :

! S

(

~

)K ~ q"? q(;,vf EF ,

voi q = q(; ~ f.h-1(t) = atltt-1 = ag(t), tUc fez) = ag[h(zj] .

Do f(1 )=1 nen ta da chung minh xong (3.1).

3.2Danh gia di~n tich:

D!nh Iy 3.2:

O<Q<R<l;O<Q<r<l,VfEF, ta co:

(3.3)

s(f) ~ s(r,f)'; nrY.[I- ;~J '

S(B)~1llI'[Q~ -I}

(3.2)

(3.4)

2

(

R

)

TCq2 Q sS(R,f) S TCRK.

1

Dc1ng thuc(3.2), (3.3) va (3.4) xay ra ~ fez)= zlzlt-l hay q= QK.

Chung minh

* Ap dl;lngbe d~ 2.8, ta co :

,,~trq2(~r +S(f)(~Y ,

Suy ra (3.2).

D~ng thuG xay ra ~ fez) = az!zlt-I,Ial= 1.

Do f(1 )=1 nen a=1 =>fez) = zlzlt-I.

* Do (3.2) ta co: S(B)=ff(1-q2)-s(f),

Vi r < 1 nen guy ra (3.3)

Tudng tl! : d~ng thuGxay ra a (3.3) ~ fez) = zlzlt-I.

Ap dl)ng be>de 2.7 hoc;ic2.8 cho f E F I~n luQt len mien A1 va A2' ta

co:

2

S(R,f);' nq'(~r'

2

ff ~S(R,f{~)K.

=>

2

TCtdo guy ra bat d~ng thUGkep (3.4)

I D~ng thuG xay ra ~ q=QK.

3.3 C~n tren cho m(R,f) va c~n duoi cho M(R,f).

£)!nh Iy 3.3:

a) Voi cac kr hi~u da neu, V R, Q<R<1 ,VfEF, ta co :

(3.5)

I

m(R,f) 5,RK ,

M(R,f);" q(~ r

Dlingthuc xay ra 0 (3.5) ho~c (3.6) ~ f(z) =zlzlt-I.

b) Hem nO'a, n~u Q < R < r ho~c tudng ung r < R < 1 thi ta con co cac

danh gia sac hdn :

(3.7)

m(R,.n" q(~r ho,,"ctllong ling

Dlingthuc xay ra 0 (3.7) ho~c (3.8) ~ f(z) =zlzlK-I .

Chung minh a) D~t AI =An{z:lzl>R} ,A2 =An{z:lzl<R},

Bj = f(A),j = 1,2;f e F,Q < R < 1,

mj = min~rt1:we Ej },Mj = max~rt1:we Ej },j = 1,2,

Ej la thanh ph~n bi€mcua Bj tudng ung voi duong tron

Izi= R (n~u R:;t:r thi ro rang E1 = E2)

Khi do, VfeF,VR:Q<R<1, ta co:

(3.5a) m(R,f) ~ mj,M(R,f) ~ Mj,j = 1,2

Ap dl:lng h~ qua 2.5 cho PBH f e F tren mi~n AI, VR,Q < R < 1, ta co :

(3.5b)

RK

Tu (3.5a) va (3.5b) suy ra (3.5)

Ap dl:lngtucmg Wcho 1E F mi~n A2 ta co :

(3.6a)

2

(

R

)

K

TCt(3.5a) va (3.6a) ta chung minh dUc;1c(3.6)

D~ng thuGxay ra 0 (3.5) hoc)c(3.6)~ fez) = azlzlt-l

I

Do /(1) = 1 =>a = 1 tUG fez) =zlzlK-l .

b) N~u Q < R < r thi B2 la mi~n nhi lien va 1 PBHBG h bi~n B21enhinh vanh khan B;: q < ItI< r .

Do tfnh ddn di~u cua modun nen

Ap dl:lng be de 2.6 cho PBHK-ABG h.f ta dUc;1c:

(3.7b)

~ ~

(

R

)

K

~r~q(~r

Do (3.5a), (3.7a) va (3.7b) nen guy ra (3.7)

D~ngthuG0 (3.7)xay ra ~ (3.7a)va (3.7b)xay ra d~ngthuG,

{

hew) = aw,lal = 1

~

II

K-l

II

K-l

=> af(z)=bzz => f(z)=-zz .

a

Do 1 (1)= 1 nen E.= 1

a

V~y d~ng thuGxay ra ~ fez) =zlzlK-l

TUC1ng W voi r<R<1 ta S8 chung minh du<;jcdanh gia (3.8) cung

k~t lu~n v~ truong h<;jpxay ra d~ng thuc

3.4 C~n tren cho M(R,f)Va D(f), c~n dooi cho m(R,f) va danh

gia If(z)l.

Dinh Ii 3.4 :

Voi cae kr hi~u da neu, 'v'R: Q<R<1, 'v'fEF, ta c6:

(3.9) M(R,f) ~ u < < Uj < Uj-l < < Ul < 1I

(3.10) m(R,f)~V> >Vj >Vj-l >",>Vl >q.

Voi:

u,~T(p,R ',q),v, =+Ht',q]'

U =U(K,p,Q,R,q)= limuj' J~'"

V = V(K,p,Q,R,q) = limvj"J~'"

Chung minh

GQi r~ va r~ la bien cua 81 va 82 tUC1ngung voi bien Izi = R cua A1

va A21

M'(R,f) =max~wl: w E r~ },m'(R,f) = min~~: w E r~},

MIt(R,f) = max~~: w E r~ },mlt(R,f) = min~wl:w Er~}.

Khi d6 ta c6 :

Xet PBH f mi~nA21em B2va theo be d~ 2.10, ta co:

M"(R,f):$; T(P,RYK,mil).

Do Unhddn di~u 3 cua ham T va m" >q nen:

(3.9a) M(R,f) =M"(R,f) <T(p,RYK ,m") <T(p,RYK ,q) =Ul' "

Xet PBHf mi~n A1 len B1va theo be d~ 2.11, ta co :

m'(R,f)?

[ (

Q )YK~

]

T p, R 'M

Do Unhddn di~u cua ham T va ~ > q nen

M

m(R,f)~m'(R,f)~TH~t', ~r +Ht',q]

Gia sa (3.9a) va (3.10a) dung cho UjVa Vj Wc M(R,f)<uj va

Th~t v~y do Unhddn di~u cua ham T va m"(R,f)?m(R,f»Vj ta co

"

f) YK ") T( R YK

)

Tvdn g tv, cOng do Unhddn dieu cua va L>!L>!L ta co

]

m(R,f)=m'(R,f)?

[ (

Q )

YKL ]

>

[ (

Q ) YK,!L ]

T

[P,(Q)YK,!L

]

T p, - , , T p,

Uj

V~y ta da chung minh: M(R,f) < Uj' m(R,f) > Vj' vi.

Tu tfnh ddn di~u cua ham T, voi UI < 1, VI> q lam khoi diem, ta de dang thg.yUj la day giam va bj ch~n duoi boi M(R,f), vi la day tang va bj ch~n trEmboi m(R,f). Do do t6n t9i cac gioi h9n

U = limuj'V = limvj'

j >oo ] >00

Do do ta co cac danh gia (3.9), (3.10)

H~ qua 3.1 :

\:IR, Q<R<1, \:IfEF, ta co:

(3.11)

(3.12)

M(R, f) < T(p, RJiK,0)

q m(R,f) >

[

1

]

(

Q )

JiK

T p, R ,0

ChtJy: Sau nay (xem h~ qua 3.7) ta S8 chi ra cac c~n trong h~ qua

nay la t6t nhg.ttrong s6 cac c~n phl;Jthu(>ccung cac d9i luc;mg

H~ qua 3.2 :

Voi cac gia thi~t da neu, ta co :

M(R,f) < 4x' RJiK,

h (

R

)

JiK

m(R,f) > 4 Pq Q .

(3.13)

(3.14)

Cac h~ s6 0 v~ phaila t6t nhg.ttrong s6 cac h~ s6 chi phl;Jthu(>cp

Chung minh

Do (3.11) va tfnh chg.t6 cua ham T (xem 2.1.2c) ta co (3.13) Tudng W tU (3.12) va tfnh chg.t6 cua ham T suy ra (3.14)

Do tfnh chg.t7 cua ham T nen lim T(~/,O) = 1 va do chu r >O 4 P r y cua h~ qua 3.1 ta thg.ycac h~ s6 trong hai danh gia nay la t6t nhg.t .

H~ qua 3.3 :

co:

D(f):::;2M(r,f), vf E F.

D~ng thuc co the xay ra vai p = 2 (xem chung minh dinh Iy 3.7) TCldo, do (3.9), ta co:

D(f) < 2T(p,rI/K ,q), vf E F

ho~c nho (3.11) va (3.13), ta co:

(3.15)

(3.15a)

D(f) < 2T(p,rI/K ,0), D(f) < 2.41!prl!K,Vf E F.

Vai p = 2 h~ 56 trong danh gia cu6i clIng la t6t nh~t.

H~ qua 3.4:

Vi m(R,f) :::;If(z)1 :::;M(R,f) vaiR=IzI,z E A,

Nen thee dinh Iy3.4 ta co:

q T

(

P, (

Q

J

l!K

J

< If(z)! < T(p,lzI1!K,q),

Izl ,q

Ho~c thee h~ qua 3.2 ta co

(3.16)

4:y'q(l~t < I/(z)1< 4Y.olzlY.c.

Cac h~ 56 trong danh gia nay la t6t nh~t

3.5 BAt phudng trinh chinh

Trang ml;jc nay ta S8 apdl:mgIy thuy~t dQdai clJctri da giai thi~u trang ph~n 2.1.3 va be d~ 2.12 de thi~t I~pcac b~t phudngtrinh chfnh rang buQc h~u h~tcac d9i Iu(,jngd~c trungcho mi~ng6c va mi~nanh.

D!nh Iy 3.5:

Vai cac ky hi~u va gia thi~t trang ph~n 1, vf E F ta co:

-In2 -+ In2 -+-In2 -::; Kffln-.

(3.17)

~ (1 - d) + 1 (c- q) +1 (1 - q) ::;2 (1 - q ).

(3.18)

Chung minh

~

A .

(8)

""""'" J "" S ".

::::>.::::::: J

z , """"""""

,,"""""~"""' ,

0 In;

c:J

I

R"

IIn

In;

Hinh 10

+ S} la tUgiac Gongnam trongA gioihc;ln boi Izi= 1, Izl= r,

+ S')la tUgiac Gongnam trongA gioih(~mboiIzi = r,lzr= Q,

+ S"}la tUgiac GOngnam trongA gioi h(~mboi Izi= 1,Izi = Q,

.

(

2TC

J

arg z = -a +(j - 1) P ,arg z = a +(j - 1) P

PBH Vf E F bi~n mi~n A len mi~n B, khido :

+S} tro thanhH} co mQtc9nh nam tren I~= 1va mQtc9nh nam tren Q'j

+S~tro thanh H'} co mQtc9nh nam tren Iwl= qva mQtc9nh nam tren Q'j

+S;tro thanh H}" co mQtc9nh nam tren I~= 1va mQtc9nh

T6n t9i cac PHBHBG trong do cac dinh CU8tU giac Gongthanh dinh hinh chO nh<;1t

+ h, bi~n s)en hinh chi] nhi;ltR c(lnh {; -a) vaIn!: sac cho c<;Inhnam tren [zl ~ 1lingVO;C<;Inh {; -a l

+ h, bi~n S;len hinh chu nh~t R' C<lnh z(; -a )va In~ sac

choe<;Inhnam tren Izl=Q(Jngvo; c(lnh 2(;-a).

+ h3 bi~n S j ':len hinh chOnhat R" canh 2a va In~sao cho

Dodo:

+ PBH g1 tU Hj len R co the xem la hQp cua PBHK-ABG r1

va PBHBG h1.Vi v~y, gl = h1.f-1 la PBH K-ABG

+ g2 = h2.f-1 : PBHK-ABGtU H'jlen R'.

Viv~y,apdl;Jngbod~2.12voi P(W)=I~I VOiWEHj taco:

Sp(Hj) " 2(;-~ J

[ fP(W)ld~J' =2(;-~J(fldWIJ

2

Vi w=tehp nen Idwl=leiq>dt+iteiq>dtl =leiq>lldt+itdtl=ldt+itdtl=~(dt)2+(tdq»2

~.Idtl.

Suy ra: Sp(H)? 2(~-~]( fdt J

' ~ {~-a t~.

( J

2 a Tuong tlJ: Sp(H'j);::: P r In2,:" Sp(H"j);::: 2a 1 In2!.

M~t khac :

Do do ta co bat citIng thuc (3.17)

3.6 Dimh gia c(f) va d(f).

Vi d(f):::;M(r,f)va e(f);:::m(r,f) vai f EFnen c~n tren cua d(f) va

c~n duai cua c(f) co the lay tCtdinh Iy 3.4 va cae h~ qua cua no Trang ph~n nay ta chi xay dl!ng c~n duai cua d(f) va c~n tren cua c(f).

H~ qua 3.5:

(3.19)

~

(kff ap

J

del) > q V ff-ap Inq -lnQ ,

Chung minh a) Tv (3.17) suy ra :

ff -ap In2 - + ap In2 - < Kffin-,

1

I

2 1 In-;

I

Kff - ap In -,

~

~

(

)

GOng tU (3.17)suy ra :

-In -+-In -<Kffin-,

~

r

In-In2~< Q

I

Kff - ap

I

In2l,

In~

C -.iL (KTC - ap

)

- < qVTC-ap In q In Q

q

~

Ta thfly k~t qua thu duc;1Ca(3.19) va (3.20)c6 nhuc;1cdiem la cac c~n cua d va ~ deu phl,JthuQc vao q la d<;liluc;1ngchua bi~t Bay giGta c6 the

q

khac phl,Jcdieu d6 nho bo de 2.4 boi:

£)!nh Iy 3.6:

Voi cac gia thi~t va ky hi~u nhu a ph~n1, VfE F, ta c6:

(3.21 )

Kp1l:

(3.22)

Kp1l:

:~ «~t~.

Chung minh

".

S

~ ""

A

~

-Hinh 11

1

S"

t

OJ >

PBHK-ABGVfE F biE§n Sj IEm S'j 113 tU giac Gong co m(>t c9nh nam

tren lui = 1va m(>tc9nh nam tren Q'j.

PBHBG h biE§nmi~n nhj lien gioi h9n bai lui = 1 va Q'j len hinh vanh khan s<ItI < 1 sao cho lui = 1 tuong ung voi ItI= 1 Tu giac Gong S'j tra thanh

S"j 113dai bang co hai c9nh nam tren ItI= 1va It\= s.

Nhu v~y t6n t9i PBHK-ABG h.f biE§nmi~n Sj len S"j

Thea dinh nghia PBHK-ABG ta co:

-m(S.):::; m(S).

(3.21 a)

Do be d~ 2.4 ta co:

In-s

(3.21 c)

2

(ff a J m(Sj) = P 1 '

In-r

Ket h<;1p(3.21a), (3.21b) va (3.21c) ta co:

ff

a

-<-I - l' Kln-

~ In! ~ Kpff In!.

Mc;itkhac do tinh ddn di~u cua modun mi~n nhi lien ta co -<-,1 1

V~y ta co (3.21)

Ly lu~n tudng tl! ta co (3.22).

H~ qua 3.6:

Neu a = canst, dc;it C = Kpff , cho 1-r = & ~ 0 thi thee (3.21)ta co

ff-ap

(3.23) 1-d <l-r. c =1-(1-&) c >::JC& khi & ~ 0

(3.24)

: -l«~r -1= (1+£)c -1~C& khi &40

Cac danh gia (3.23) va (3.24) la t6i uu v~ b~c Ianh~ s6.

Th~t v~y, n~u lay p=1, ex~ 0 thi hai danh gia nay tro thanh

1-d<K(1-r)+o(1-r)khi r~l,

c

(

r

J [

r

J

. r

q -1 < K Q -1 + 0 Q -1 khl Q ~ 1

Trang khi do n~u xet PBH w= zlzIK-l(E F) thi de dang thay c=d=rK,

q=QK TCt do

1-d=1-rK =l-[l-(l-r)r ~K(l-r) khi r~l,

~-l=(;r-1~[1+(;-1)r-l~K(;-l) khi ;-+1. .

De chi ra tfnh t6i uu cua cac danh gia cha boi dinh Iy 3.4 va cac h~ qua cua no ta S8 chung minh bo d~ sau

86 d~ 3.1:

Ton t9i [, E F var E (Q,l) sac cha vai cac ky hi~u quen thuQcta co:

(3.25) d(r,fo) = r(p,rl!K ,Ji) ,

(3.26)

(OQ)r Ii

'\" ,.""

~

Chung minh

HInf112

i 0')/1

"'1//

Xet PBHK-ABG t=h(z) = zlzlTl bien A thanh A' la hinh vanh khan

ii'

-{

' 11

}

T6n t<;liduy nh~t PBHBG W=g(t) bi~n A' thanh B la hinh vanh khan

{

21r

}

I~ = 1 va Q'j tuong ung Li"

Vi r=& nen ~ * r = l.Q*

V~y A' W d6i xung qua duong trim ItI = rK ,

Vi B eOng W d6i xung qua duong trim I~ = rq nen

cd =( rqY=q.

Theo nguyen Iy d6i xung va tfnh eh~t eua PBH hinh vanh khan

nhat cat dQCban kinh Lj ~ {w;,{q os;H,; d,argw ~ 2:oj ~ I, P}.

N~u dc%lt[, = g.h thi thee dinh nghia ham T(p,r.s) ta co (3.25),

Do c =!I ta nhElndude(3.26).

H~ qua 3.7:

Cae e~n eua cae danh gia (3.11 ),(3.12) va (3.15) v6i p=2 la t6t nh~t trong s6 cae e~n phl,lthuQeeung tham s6.

Th~t v~y, tru6e h~t ta ehOyrang thee chung minh tren anh eua eung

C'(a) ~ {WI w~ [ie",- ; <;<p <;; }

Vi v~y n~u c6 djnh Q= r2 va choa ~ 0, Wc cung C(a) co v~ diem z = r thi anh C'(a) cua no cOng phai thu v~ mQt diem, Wc q ~ O Tu do n~u chQn

1 = 10va R = r =& = constthi theo (3.11)va (3.25)ta co

=> limM(r,j~) = r(p,rl/K,O).

a~O

Tudng W, theo (3.12) va (3.26) ta co

q

[ (

Q )

1/K

]

=> r m(r,fo) - 1