Nghiên cứu trường hợp tổng quát hình cành khăn có pN nhát cắt nằm trên n đường tròn đồng tâm 4

Luận văn Thạc sĩ khoa học -Chuyên đề :Nghiên cứu trường hợp tổng quát hình cành khăn có pN nhát cắt nằm trên n đường tròn đồng tâm

2 Cac cong cl:l

2 1 C6ng elf eho phep bitin hinh baa giae

, I

2.1.1 Bat dang thtie Carleman va cae h~ qua:

,

B6 de 2.1:( Carleman[2], tr 212 ho~c [9], tr.15)

Gia su w = I(z) la m9t PBHBG ddn di~p hinh, vanh khan

O<r<Izl<R<00 IEmm9t mi~n nhi liEmG kh6ng chua di~m 00 voi bien trong C1

va bien ngoai C2

GQi S la di~n Uch (trong) cua mi~n do C2 baa bQc,

s la di~n Uch (ngoai) cua mi~n dong do C1 baa bQc

Khi do, ta co:

(2.1 )

s~(:)'s.

D~ng thuGxay ra ~ I(z)= az+b voi cac hang s6 a va b , a;t:O.

H~ qua 2.1:

N~u mi~n nhi lien G qua cac PBHBG 1 va 11 bi~n len hai hinh vanh

H: r<lwl<R va H1:r1<jwjl<R1 thi

khan

r rj

TI s6 nay duQc gQi la modun cua mi~n G

Chung minh H

W1

R1

Hinh 2

Xet phep bi~n hinh 1.1;-1mi~n H1 lem H, thee be d~ 2.1, ta co:

ffR' ~(~1 J2 nr',

(2.2a) <=>

(~)2 2(~l Xet phep bi~n hinh 1;./-1 mi~n H lem H1I tU be d~ 2.1 ta "co:

( )

2

Tu (2.2a) va (2.2b), ta du<;1C(2.2)

H~ qua 2.2: (Tfnh ddn di~u cua modun mi~n nhi lien)

N~u cac mi~n nhj lien G va G' voi modun tudng ung R va ~ co

Unhchfit G c G' va G ngan cach hai thanh ph~nbien cua G' thi

otIng thuG xay ra <=>G = G'

Chung minh

Xet f la PBHBG ddn di~p G' len hinh vanh khan H' : r'<Iwl<R'

Khi do, mi~n G tra thanh mi~n nhi lien H voi bien trong C1, C1 baa quanh hOc;lCtrung duong trim I~= r', va bien ngoai C2, duong trim Jwl= R'

baa quanh hOc;lCtrung C2

GQi S va s 18di~n Uch do C2 va C1 baa bQc, R la modun cua mi~n H.

r

5

Thea be d~ 2.1, ta duQc:

(

R

)

(

R )

Z

S ~ -; shay -; ~ -; M~t khac,

S <s,JrR'z va s ~ Jrr'z

Dado:

(

R'

)Z = JrR'z ~ S ~ (

R

)Z. r' Jrr'Z s r

Suy ra (2.3).

Do/, th ' I

(

R' )

(

R )

Z

ang , Uc xay ra <=? ;; =-; = -;

Thea be d~ 2.1 , C1 va C2 phai la duong tron H =r'va Iwl= R'nghia la G=G'.

2.1.2 Ham phI! T(Prr,s) va cae bit dAng thuc Cd ban

2.1.2a D!nh nghia hinh hc;>c:

Gia su A la hinh vanh khan O<r<Izi<1, f la PBHBG mi~n A IEm

mi~n nhi lien 0 la hinh vanh khan s<Iwl<1 (0::;;s < r < 1) bj cat boi p nhat dQc ban kinh Lj ~ {w: s,; 111j ';t;argw~ 2;}; j=1 , ,p; s <t < 1 (hinh 3 voi p= 2)

Khido, t xac dinh duy nh~t thee p, r va s va ta ky hi~u t =T(p,r,s)

voi 0::;;s < r < 1; P = 1, 2,

0

Hinh 3

Thif1tvif1y,voi p, r, 5 cho truoc, gia 5Ut6n t9i 1'>t

Khido, t6n t9i mi~n nhj lien D'e D la hinh vanh khan 5<Jwl<1co p nhat cat dQc ban kfnhco d9ng

,

{

2

}

Lj = w:s~lwl~t';argw= ; ;j=1,2, ,p;s<t'<1

PBHBG r1 bi~n mi~n nhi lien D len hinh vanh khan A va mi~n nhi

lien 0' trd thanh mi~n nhi lien A'e A voi modun ~ va A' ngan cach hai vongr

tron bien cua A.

Theo tfnh ddn di~u cua modun mi~n nhj lien, ta co:

- < - ay r >r

r' r

Tudng W n~u 1'<tta 58 co r'<r.

Vif1yt xac dinh duy nhfIt

2.1.2b Bi~u thuc giai tich: ( xem Thao [11], tr.100-105 ho~c Ludng [3], tr.13-18 )

Voi 0<5<r<1, p = 1,2, ta co:

(2.4 )

{

}

T(p,r,s) = s.exp 2;:Ck)! ~(1-t2)(1- k2t2) ,

(

"

)

4

00 1+s4Pl

TI

K(k)-j ~(1-t2)(1-k2t2) j=l l+s

I-m a=-, k+m

k(1- h)2 m=

2h(1-k) , h = 4rPfr

(

1+ r4pj

J

4

j=l 1+r4Pl-2p ,

(2.5)

! 00

(

1+r4pj

)

~

T(p,r,O) = 4P r TI 4 "-2 ; 0<r<1; p=1,2,

j=l 1+ r Pl P

7

2.1.2c cae tinh chAt:

TCttfnh dcjn di~u cua modun mi~n nhj lien va (2.5) ta co cac

tfnh chttt sau:

1 Voi o~ s < r < 1 ta co r < T(p,r,s) < 1.

2 N~u r < r' thi T(p,r,s) < T(p,r' ,s)

3 N~u s < s' thi T(p,r,s) > T(p,r,s')

4 N~u o < s < r thi T(p,r,s) < T(p,r,O)

5 N~u p > 1 thi T(p,r,s) < T(1,r,s)

I

6 Vp,r: T(p,r,O)< 4P r .

I

7 Vp: T(p,r,O)~ 4P r khi r~ 0.

2.1.2d Cae bAt dAng thuc cd ban:

B6 de 2.2: (Gr otzsch [6], tr.372 ho~c Ludng [3], tr.18)

N~u A la hinh vanh khan (0<) r < Izl < 1 co the bj cat dQCm(>t

mi~n chua trong (O~)s <Iwl< 1 sac cho duang iron Izl=1 tudng ung Iwl=1, duang iron Izi= r thanh bien trong C baa bQc ho~c chua duang iron Iwl= s (s<r)

2kJri -Ha

GQi M=max{lwl: WEC} va tren C co p diem wk=Me P , k=1,2, ,p

voi O~ ex~ 2n

Khi do, ta co:

D~ng thuG xay ra ~ C={ I~ =s} u {w: s~lwl~M, argw=argwk , k=1 , ,p}

(Or

z

Nha phep bitmaoi Z = r/z va W= s/w, bo a~ 2.2 fra fhanh

Hinh4

86 de 2.3: (Grotzsch [6] ho~cLudng[3] )

Neu A la mQthinh vanh khan r <Izl< 1 co the bj cat dQCmQts6 hOu h<;lncung tron tam a duQcbien baa giac len mQtmi~n B nam trong mQt hinh vanh khan s <111'1< 1, 0 < s < r, sac cho Izl= r chuyen thanh111'1= s va

Izi=1 chuyen thanh bien ngoai C cua B chua p diem

2kJri

-+w

wk=me P

k=1,2, ,p; 0:::;;a :::;;2n; m = min {Iwl:WEC} Khi do, ta co:

T(p,r,s)

D~ng thuG xay ra ~ C={lwl =1}u{w: m :::;;111'1:::;;1, argw = argw'k , k =1 ,2, p}

z

A

B

Hinh 5

9

1

B6 d~ 2.4: ( B~t effIngthuGcua Gr~tzsch[6], tr.367 ho~c xem Ludng [3], tr 11-12 )

N~u hinh vanh khan 0 < r <Iz1< R <00 chua cac tU giac Gong51,

52, , 5n sac cho moi 5k dc§uco bi€mJordan, co hai cc;mhnam tremhai

duong trim Iz I= r va Iz 1= R va cac 5k khong ch6ng lem nhau

Gia su moi 5k dUQcbi~n baa giac ddn di~p len hinh chO'nh~t c9nh akva bksac cho cc;mhtren duong iron tudng ung voi c9nh ak Khl do:

(2.8)

n

I ~ s; 2:rr

k~l bk 1 fi-R'

r

DfIngthuGxay ra <=>5k lap d~y hinh vanh khan va cac c9nh con 19ila cac do9n thfIng dQcthee tia ban kinh

2.1.3 Li thuytit dp diJiclfc tr!:

Ly thuy~t dQ dai cljc tri tUGcac b~t effIng thuG lien h~ giO'amodun cua mQt tu giac hay mic§nnhi lien, di~n Uch mic§ndo va dQ dai ngan nh~t cua duong GongthuQc mQt hQduong trai trong mic§ndo Unhthee dQ do b~t

ky duQc Ahlfors va Beurling[1] dc§xuong nam 1950 da tre thanh Gong cl:) hO'uhi~u de;giai r~t nhic§ubai loan t6i uu trong Iy thuy~t hinh hQc ham bi~n phuc

Trong m~t phfIng z = x +iy, cho tU giac GongQ voi cac dlnh A,

B, C, D co the; bi~n baa giac ddn di~p bei w = fez) = u+ivlen hinh chO'nh~t

Q' = { u+iv : 0 s;u s;a, 0 s; v s; b} sac cho A'B'= a, B'C' = b (hinh 6)

GQi: + r la hQ cac duong Gongtrdn tUng khuc y n6i hai c9nh d6i di~n AB va CD cua tU giac GongQ

cua tU giac Q thee dQ do p la hO'uh9n tUG Sp(Q) = fJp2(z)dS < +00.

Q

+ [per) = jP(z)ldzl,r E r,p E <Pla dQdai cuay thee dQ do p.

r

Ta co:

B6 d~ 2.5:

Voi cac ky hi~u tn3n, ta co:

Sp(Q)?al~ b voi lp =inflp(Y)YEr

OfIng thuc xay ra ~ p(z) = 1/ (z)l,z E Q

iy Chung minh iv

0

B

Hinh6

Sp(Q) = ffp2(Z)dS = ffp2(Z)dxdy = ffp2(Z) ~UdV2

~

( )

J

du

0

=G

J! [

brl p2(Z)2

J

dvfdV

)

dU

0b ll!/'(z)1 0

G

(

b

J

2

0 b 0 1/'(z)1

I'

C'

Q

b

= li ( fp(z)ldzl

]

2du (Yu la nghichanh cua d09n

J.

thang u= canst, 0 s usa, 0 s v sb)

a

=

b

- p(yu)du 2-/2

2.2 Gong Clf cho phep biJn hinh K-a bao giac:

2.2.1 Dfnh nghiii va tinh chAt:

£)!nh nghiii 2.1:

Phep bi~ndoi m9t -m9t lien tI,jc hai chi~u baa loan huang tCrmi~n

A cua m~t ph~ng dong z len mi~n B cua m~t ph~ng dong wdu<;1cgQi la K-a baa giac n~u vai mQitU giac GongQ c A co m6dun m(Q) thi tU giac Gong

Q'=j(Q) vai m6dunm(Q')thoa b~td~ngthuG:

~m(Q) s m(Q') s Km(Q)

K

Tfnh ch~t:

- Vai K=1 PBHK-ABG tro thanh PBHBG

- H<;1pcua PBHK1-ABGvai PBHK2-ABGla m9t PBHK1K2-ABG

- Phep bi~n hinh ngu<;1ccua PBHK-ABG la PBHK-ABG

- N~u Q la hinh chOnh~t ABCD co cac c9nh la a, b; Q' la hinh chO nh~t A'B'C'D' co cac cc;mhla a',b'; cac c9nh cua Q va Q' theo thu W

song song vai tn)c hoanh va tn)c tung, j la PBHK-ABG Q len Q' sao cho

b5n dinh tudng ung vai nhau Khi do:

I

~ = K a <=> I(x +iy) = a(Kx +iy) +fJ

b' b

a' 1 a

I(

(

1

)

, ,

y;.=K b~ x + iy) = a K x + iy + f3 VOlcac ang so IJ'ca >

va phuc ~ (Gr~tzsch[8], tr.505).

2.2.2 Cae bat dang thlle cd ban:

B6 de 2.6:( Grotzsch[8],tr.505 ho~c Ludng [3], tr 21-22).

Gia sa G la mi~nnhj lien co m6dunm(G) PBHK-ABG I bi~n G

len mi~n nhi lien G' v6i m6dun m(G') Khido:

I

[m(G)]K :::;m(G'):::; [m(G)r

H~ qua 2.3:

N~u trong be d~ 2.6 G: Q<lzl<1va G':q<I~<1 hdn nOa Izi= 1

tudng ung Iwl= 1 d~c bi~tI (1)=1 thi

I

QK :::;q :::;QK .

I

D~ng thuG phai xay ra ~ I(z)= zlzlK-1.

D~ng thuG trai xay ra ~ I(z)= zlzlK-I.

B6 d~ 2.7: ( b~t d~ng thUGCarleman cho PBHK-ABG, Thao [13], tr.521 )

Gia sa G1la hinh vanh khan O<R1<lzl<R2<oc,\:lIEF, I bi~n G1 len

G2cua m~t ph~ng (he) w sac cho cac duong trim Izl=R1 va Izl=R2 tudng

ung v6i bien trong C1va bien ngoai C2cua G2o

GQi: 5 la di~n UGh(ngoai) cua t~p dong gi6i h(~mbei C1,

S la di~n UGh(trong) cua t~p me gi6i h<;1nbei C2

Khi do, ta co:

13

s~(~:Y S.

J

D~ng thue xay ra ~ I(z)= lo(z) = azlzlK-J+ b, a * O.

Chung minh

* Khi K=1 tUe (2.10) thanh (2.1) va d~ng thue xay ra ~ I(z)= az+b,

a*O

* Khi K>1: T6n t9i PBHBG t=g(w) mi~n G2 len hinh vanh khan

R'1<ltl<R'2 sao eho duang tron ItI= R; ung voi C2 Ap dl:mg be>d~ 2.1 vao

phep bi~n hinh g-1,ta co:

s~(~Js M~t khae, phep bi~n hinh t=g[f(z)] la mC)tPBHK-ABG hinh vanh khan R1<lzl<R2Ien hinh vanh khan R'1<lzl<R'2' Do do, theo be>d~ (2.6) ta (2.10a)

co:

(2.10b)

(

R2

J

~ S R~ .

TCt(2.1 Oa) va (2.1 Ob) suy ra (2.10)

N~u 1 = 10 thi S=7tlaI2(R2)2/Kva s=7tlaI2(R1)2/Knen d~ng thue xay ra a

(2.10)

N~u 1 * 10 thi theo bftt d~ng thue Carleman va h~ qua 2.3 d~ng thue

khong d6ng thai xay ra a (2.1Oa) va (2.1 Ob), do do khong xay ra a (2.10)

I ,

B6 de 2.8:

Gia su G1 la hinh vanh khan 0<R1<lzl<R2<oovoi mC)ts6 nhat cat

nam tren duang tron Izl = r (R1<r<R2).1 la PBHK-ABG mi~n G1 len mi~n G2

cua mp w saD cho Izl=R1 va Izl=R2 tudng ung bien trong C1 va bien ngoai C2 cua G2 Khi do, voi cae ky hi~u trong ph~n 1, ta co:

(2.11 )

s-(R"f);' S'(R"fl( ~:Y +Sift' y.

Dc1ngthuc xay ra ~ f(z)= fo(z) = azlzlK"-l+ b voi a, b la hang so, a:1; O.

Chung minh

R2

D '

G2

QC1 \C2

Hinh7 R5 rang ta co: s+(r,f) = S- (r,f) + s(f).

2

Theo be; d~ 2.7 ta dUc;1c: SO(r,/);' S'(R,,/)( ;J'

2

Do d6: S' (r, /) ;;,S' (Rj,/)( ;), +s(f).

lc;Jitheo bo d~ 2.7 ta co:

2

(

R2

)

K"

S (R2,f)'2S (r,f) -;

Suy ra: S"(R"f) +'(Rpf)( ;Jt +S(f)]( ~'t

15

Tu d6 ta duQc (2.11).

N~u 1 =10 de dang ta th~y d~ng thuc xay ra.

N~u 1 "*10 thea bo d~ 2.7 cae b~t d~ng thuc trung gian trong chung

minh tn3n khong tro thanh d~ng thuc nem (2.11) cOng khong tro thanh d~ng thuc

H~ qua 2.4:

N~u trong bo d~ 2.8, I~y R2= 1 va bien ngaai C2 cua mi~n G2 la

Quang trim I~ = 1thi ta c6:

(2.12)

2

S'(R"J) o>"Rl-s(f{ ~' y.

t

D~ng thuc xay ra ~ I(z) = azlzlK-t ,Ial = 1.

H~ qua 2.5:

Voi cae gia thi~t trong bo d~ 2.8 va gia su rfmg thanh ph~n

bien C1cua G'=I(G) tudng ung voi Izl=Rt baa quanhg6c tQa dQ Khi d6:

(2.13) M2(R2,/)-2 >- m2(Rp/)-2 + -set)-2 .

D~ng thuc xay ra 0 (2.13) <=> fez) =lo(z) = azlzlTt voi hang so a"* O.

Chung minh Tac6:

S- (R2 ,1) ~ :rM2 (R2 ,1) , S+ (Rt ,1) ~ mn2 (Rt ,1)

D~ng thuc I~n luQtxay ra ~ C1 ha~c C2 la Quang trim tam O

Tu d6 thea bo d~ 2.8, ta c6:

ffM2(R2,f);,mn2(Rpf{ ~: Y +S(f)( ~' y,

Suy ra (2.13)

N~u f = fa : thee be d~ 2.8 cling thUGxay ra.

N~u f 1=fa : kh6ng xay ra cling thUG.

B6 d~ 2.9 (Thao [14], tr.57 ho~c Ludng [3], tr.26 )

Gia su 0 la hinh vanh khan R1<ItI<R2 bi cat boi mQt s6 do<;ln dQc thee cac tia ban krnh nam trong hinh vanh khan, 9 la PBHK-ABG mi~n

0 len mi~n 0' CUBmp w sac cho duong tron ItI= RJ tudng ung bien trong C1 CUB0', duong tron ItI= R2tudng ung bien ngoai C2 CUB0' va C1 baa quanh

g6c tQa dQ

GQi MJ =max~wl:wECJ ,m2 =min~~:wEC2 .

Khi do, ta co:

(

R2

J

K.

DlingthUGxay ra 0 (2.14)<=} get) = atltIK-J,a 1=0

Cae bo de 2.2 va 2.3 cua Gr~tzsch co the mo rQng cho PBHK-ABG nha hai bo de sau

B6 de 2.10:(Thao [14], tr.63 ho~c Ludng [3], tr.33)

Gia su A la hinh vanh khan R <Izl< 1co the bi cat p nhat tren

2m

duong tron Izi = r , R < r < 1, sac cho A trung chrnh no boi phep quayze P , f

la PBHK-ABG mi~n A lemmi~n B nam trong 0 <H< 1sac cho duong tron

I~ =R tudng ung bien trong c1, mi~n dong giai h<;lnboi C1 ChUBg6c t09 dQ,

17

duong tron Izi = 1tudng ung bien ngoai C2cua B Gia thi~t B trung chinh n6

2m

boi phep quay we P .Khi d6 :

(2.15)

I

M ~T(p,RK ,m).

T(p,r,s) da dinh nghfa trong ph~n 2.1.2

D~ng thuc xay ra 0 (2.15) <=>/(z) = ah(t), lal = 1, t = bzlzrk-I,Ibl= 1, h la

I

PBHBG hinh vanh khan RK < ItI< 1 len mi~n nhi lien D sac cho ItI = 1 tudng

ung voi C2={w:lwl=1}va Itl=R1/Ktudngung voi

C,={w:lwl= m}u{w:m,; I~,; M;argw~ 2;;j = 1,2, P}'

B6 de 2.11:(Thao [14], tr.64 ho~c Ludng [3], tr.35)

Gia su A la hinh vanh khan Q<Izl < R c6 the bi cat p nhat tren duong

tron Izi = r , Q < r < R sac cho A trung chinh n6 boi phep quay z.e2~

Gia su / la PBHK-ABGmi~nA len mi~n B nam trong 0< I~ <00 sac cho Izi =Q tudng ung bien trong C1 cua B, C1 baa g6c tQa d9, Izl = R tudng

ung bien ngoai C2, B trung chinh n6 boi phep quay w.e2~ Khi d6 :

[

mil

j

.

D~ng thuc xay ra 0 (2.16) <=>/(z) = aH(t), lal = 1, t=bzlzlt-I,lbl=l, H la

PBHBG hinh vanh khan QK < ItI< RK len mi~n nhi lien G sac cho ItI = Q1/K tudng ung voi C1={w;lwl=m1}va Itl=R1/Ktudngung voi

C,={w:lwl= M,}U{ w: m, S; 111jS; M,;argw = 2:;j ~ 1,2, P}.

86 d~ 2.12:

Vai cae gia thi~t va ky hi~u trong be d~ 2.5, ta chi thay j la

PBHK-ABG Khi d6 :

(2.17) Sp(Q)> 1 ~z2 - K b

P

D~ng thue d (2.17) e6 the xay ra

Chung minh

BB

0" COO

0

Q" I b'

l;;

Hinh 8

GQi l;; = h(z) la PBHBG tU giae Q IEm hinh ehO nh~t Q"

= {~= s+it / 0 < s < a',O< t < b'} sao eho cae dinh tudng ung nhau.

I

Theo be d~ 2.5 ta e6 : Sp(Q);;:::,l~

Vi f.h-1 la PBHK-ABG Q" IEmQ' nen a' ;;::~ a,

Do d6 e6 (2.17)

D~ng thue xay ra d (2.16) eh~ng h9n khi Q trung vai hinh ehO nh~t

Q", w=j(z)= u+iv thoa u=x, v=y/K, tUe a=a', b=b'/K va p(z) = 1 tUe d9 do

Euclide

19

/'

Th~t v~y, khido ta eo:

Sp(Q) = a'b'= Kab,

~12 =~b'2 - a 2

Kb p Kb - Kb (Kb) =Kab ,

tUehaj v~ eua (2.17) bangnhau.