Đánh giá các phép biến hình á bảo giác những miền nội tiếp trong hình vành khăn 7

Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải Tích -Chuyên đề:Đánh giá các phép biến hình á bảo giác những miền nội tiếp trong hình vành khăn

ChUO'Dg 5 DANH GIA LOP HAM H

Thea tlnh ch~t cua PBHKABG n~u fla phep bi~n hinh K1- a baa giac, g la phep bi~n hinh Kz-a baa giac thi h=fog la phep bi~n hinh KIKz-a baa giac Vi v~y

chung Wi se danh gia cac ham h E H nhu h =fog trang do g la phep bi~n hinh

baa giac(K=l), f E F la phep bi~n hinh K-a baa giac.

5.1 Danh gia q.

Djnh If 5.1

V6i cac ky hi~u a chuang 2 ta danh gia d~i IUQ'llgq nhu sau:

-1

1

-(

J

K ,

0 < q:::; -1 - , neu M1 < C< d < m2

c m2

(5.2)

1

-(

M

J

1

-(

m

J

K ,

1 -1

(M

d

)

trong do q =J lKha~c q= -1- <=>A = Ao,h(~)= a~I~IK,Ial= 1.

c m2

Chtmg minh:

Thay ket qua ve phai trong (3.1) vao (4.1) ta duQ'c(5.1), thay ket qua trong (1.3) vao (5.1) ta duQ'c (5.2) Trong truemg hqp miSn A th6a M] < c, t6n tr;limiSn nhi

lien M] <I~I< c chua trong A do do ~ ~ ~] ill day ket hqp vOi (5.1) ta duQ'C

(5.3) Tuang t\l' neu miSn A th6a d < m2 t6n tr;limiSn nhi lien d < I~I<~m2 chua

trong A do do ~ ~ ~2 , ket hqp v6i (5.1) ta duQ'c(5.4)

-5.2 Daob gia c va d.

DIOb ly 5.2.

Gia sir miSn A th6a (q ~)M] < c < d < m2 (~1) (5.5) va

It-I < illin{R(P,d,q),R(P, ~,q) }(5.6), !rang do (5.6) thoa n~u ~ < 4~I ill, vii

-]

d < 4p m2 V6i cac ky hi~u va gia thiet trong chuang 2 ta danh gia c va d nhu sau:

-[ (

-]

)

K-T(P'(I1R(P,d,q))K,q) P, I1R(P,~,q)) ,q «1),

(5.7)

-]

J

T(P,(~R(P,d,q))"K,O ) - p, ~R p,~,q)) ,0 «1),

(5.8)

-1

q4P -LR(p,d,q) <csd<4P -LR

( P,q,q ) ,

q4 ~1(1+~)

(

m2c )

K < c s d < 4~(I~)

(

m2q )

K.

(5.9a)

ChUng minh:

K~t hQ'P (4.9), (3.6) , (3.8) va cac tlnh chAt cua ham T(p,r,s) trong (2.8) ta duQ'c (5.7), k~t hap (5.7) va tlnh chAtham T(p,r,s) trong (2.7) ta duQ'c(5.8)

Tir (5.5) ta duQ'c Jl2 :~c , k~t hQ'Pv6i (5.8) va tinh chAtham T(p,r,s) trongI (2.18) ta duQ'c(5.9), (5.9a) sur ra tir (5.9) va tlnh chAtcua ham R(p,t,s) trong (2.10), (2.11) va (2.15).

5.3 Baob gia Ih(; )/.

Blob Iy 5.3.

v~E A tbOa: ft-1 <min {R(p,l~ l,q),R(P' I~I,q)} ta danh gia Ih«;)1 nhu sau:

T(P,( flR(p~Ii;I,q))~,q) < Ih(i;)1<T[p{flRh~"q) r~ ,q} <1),

(5.10)

T(P,( fLR(P~I~I,q))~ ,OJ<lh(~)I<T[p{fLRh~l,qJ Ji ,0}<1)'

(5.11)

-1

4-,I q(I' R (p, Ie;I, q ) )~ < Ih (e;)1 < 4; ( I'R ( p, I~I' q ) r '

(5.12)

ChUng minh:

Thea (3.9) ta c6 R(p,I~I,q) < Ig(~)hl-1R( p, I~I,qr trang d6Ig(~)1 = Izl, tit day

k~thQ'Pv6i(3.1)tac6:

I

Q

z R p, ~ ,q Thay (5.12a) va v~ phfli cua (3.9) vao (4.14) ta duQ'c(5.10), tir (5.10) va (2.7) ta duQ'c (5.11), tir (5.11) va (2.18) ta duQ'c(5.12)

H~ qua 5.1

K~t hQ'P(2.11), (2.15) va (5.12) v~ EA th6a:

!i-I < min{R(p,lC;l,q),Rh~1 ,qJ} ta d3nh gia 1*')1don gian nhu sau:

4-pl(1+~)qJl~I~I~ < Ih(~)1<4;(1+~)(Jlq)~11~1~ (5.13)

5.4 Danh gia cac di~n tich.

( )

S< - R(p,-,q)J.1 82 SI (J.1 R(p,d,q)) ,

S(B»S{r - (R(p, ~,q)fl f )+~[ (fl-1R(P,d,q))~ -1]

(5.1~)

ChUng minh:

Thay kSt qna c~ tren R trong (3.6) va c~ duo; ~ tit (3.8) vilo (4.17)va (4.18)

ta duQ'C(5.14) va (5.15)

-

-5.5 Cae daRb gia khae ebo C va d

-5.5.1 Danh gia C

-Vi c:S;; d nen theo (5.7), (5.8), (5.9) ta da:co c~n tren cua c, ngoai ra trong truemg hgp miSn A thoa M1 < C< d < m2 va bien trong cua miSn B la duemgtroll ta danh gia khac cho c nhu sau:

.! -1

1

- =

[

4

J

ln

In- R p"O qR(p,-,q)

In~

c

(5.16)

c :s;;q exp

ChUng minh:

Thay k~t qua cac d~i luQ'Ilg:c~n du6i goc f3 trong (3.17), c~ tren cua ~ ill

(3.8), c~n tren M(R,f) trong (4.7), c~ tren cua R trong (3.6) ta duQ'c k~t qua (5 16)

Chit Y 5.1: Trong chu y 3.1 ta co R(P, ~,o) ~1 nit ch~ khi >->1 nen

~ ~ q r~t ch~m khi qc ~ 1, vi v~y trong truemg hgp bien trong cua mi8n B la

duemg troll va q ~ 1 thi danh gia nay t6t hon cac danh gia a tren.

c

5.5.2 Daub gia d

Vi d~ ~ Dentheo (5.7), (5.8), (5.9) ta da:co c~ du6i cua d, truemghgp mi8n A

th6a M1 ~ c ~ d ~ m2va bien ngoai cua mi8n B la duemg trOll ta danh gia c~n du6i d nhu sau:

.! -I

[

K.i

]

]- "'! q (p,d,q)K (p,d,O)

(5.17) d> exp'

-ChUng minh:

Tir (4.8) ta c6 m(R,f»

[

q ~

J

>

[

q ~

J

' k~t hqp v6i (3.8) va

(

Q

)

K

-(

Q

)

K

tinh ch~t ham T(p,r,s) trong (2.8) ta duQ'c 1> meR, f) >

(

q ~ -1

)

T p,(~R(p,d,q))K,O

T

( P'(~(P,d,q))~ ,0) 4~11~

(5 17a)

Thay (5.17a), c~n du6i R trong (3.6), c~n du6i cua g6c ~ trong (3.17) vao (4.21)

ta duQ'c (5.17)

Chu y 5.2: Trong chu y 3.1 ta c6 R(p,d,0) ~ 1 khi d ~ 1 Den Q~ 1 khi d ~ 1, vi v~y trong truemg hqp bien ngoai cua miSn B 1<\duemg troll thi day la m<)tdill1h

gicir~t t6t.