các bất đẳng thức tích phân thuộc loại Ostrowski và các áp dụng của nó 6_2

luận văn trình bày một số dạng tổng quát của bất đẳng thức thuộc loại Ostrowski . Áp dụng các bất đẳng thức tìm được để nghiên cứu sự hộ tụ của công thức cầu phương tổng quát và đánh giá sai số trong một công thức tính tích phân số

-{if],;, r!rf,'fI flutf' fir/' p/'rl}/, !off; fi.fflo,~l; TranK :1Q

PH{) L{)C I

Tinh cha't lien t\,ICtuy~t d6i c':ia mQt ham xac dinh tren mQt do<;ln dil du'<,iCSl( dl,Jng trong su6t lu~n van nay

Dinh nghia 1.1: MQt ham f: [a,b] +IR c1tf<jcgQi la lien tl;lc tuy~t c1{;'i

tren ra,b] ne-u:

"

'\1[;> 0,38> 0: I:1.l(p;)- .l(a;)1 < £

;=1

voi mQi n va mQi hQ cac khoang roi nhau (app,), ,(a",p,,) trong [a,b] c6

t6ng cac c1Qdai

"

I:(p;- a;)< 8

1=1

-Hi~n nhien mQt ham lien tl;}Ctuy~t d6i tren [a,b] thllien tl;}c(don gian ta la'y n =1)

Dinh Iv 1.1: Giel su /: [a,b] +lR lien tl,lc va khong giam Khi d6 hai

di~u ki~n sau la tu'ong dtfong:

i) f: [a,b] +IR lien tl,lCtuy~t d6i.

ii) f kha vi hfiu he-t tren [a,b], f'E L1([a,bD, va

x /(x)- lea) = J/(t)dl,(a S x s b)

a

Chung minh Dinh 19 1.1 c6 th~ fim tha'ytrong [12,W Rudin, p.146-147]

N

F(x) =Slip I:IIU;)- lU;-l)I,(a s x S b)

;=1

trong d6 SUpla'y tren ta't ca N Va Hit ca cach chQn {l;}sao cho:

a = 10 < II < - < IN = X.

Khi d6 cac ha m F, F +f, F-fla khong giam va lien tl;}Ctuy~t d6i tren [a,b].

Gia trj F(h) dlf<jcgQi la bien phan ,toempluln cuaftren [a,b].

Chang minh Dinh 19 1.2 c6 th~ fim tha'y trong [12, W Rudin, p.148]

-mal dJII(j flute fir/' ;'/'((11 foa; (l/tJ6(Jf,:)ki Trang 37

Dinh IV 1.3: Gicl stY f: [a,b] ~ IR lien t\le tuy~t do"j, khi d6 fkhcl vi hftu

he"t tren fa,h], f'E LI([a,bD, va

(1.1)

x

f(x)-f(a) = Jl(t)dt, (as:xS:b}

a Chung minh: GQi F la bie"n phan loan phftn euaf, theo dinh ly 1.2, ta d~t

1; = 2(F +f), f2 = 2(F- I).

Ap d\lI1g soy dlin

(1.1)

Dinh lv 1.4: Gicl stY f: [a,b~~ IR khcl vi t(,limQi x E [a,b]va f'E L1aa,bD,

khid6

(1.2)

x /(x)-/(a) = Jl(t)dt, (as:xS:b).

a

Chang minh Dtnh ly I.4 co th~ Om tha"ytrong [12, W Rudin, p.149-150].

w

mril d~I-(/"t(; (fro/l,/!/uJn foat" f~jt(o,t)ti Trang 38

PHI) L I) C II

VE BA T DANG THUC OSTROWSKI

Trong mQt bai baa [9] (Comment Math Helv 10 (1938), p

226-227) A Ostrowski aa chung minh mOt bat a~ng thuc sail day:

h

l

(X-~)2

J

lex) - ~ fI(I)dl ~ (b - a) supII'(I)1 ~+ 2 2 '

b-a a a<l<h 4 (b-a)

(ILl)

f': (a, b) ~ JR bj ch~n trong (a,b), tuc la Ilf'IL = suplf'(t)\ < +00 va h~ng s6

a<l<h

hdn

Phac ho(,l cluIng minh cua Ostrmvski [9 J.

ff(x)d\: = (b- a)flea + (b- a)l)dl.

f)~t h(t) =f(a+(b-a)t) =f(x), tE[O,I]

fh(l)dl = b-a fI(x)d\:

V~y (ILl) tucfng du'(jng vdi

I

[

]

her)- fh(s)ds ~ - + (t - _)2 suplh' (1)1,\it E [0,1}

0 4 2 0<1<1

(II.2)

i) Bat d~ng thuc (IL2) hi~n nhien dung ne'u Ilh'IL= suplh'(t)1= O.0<1<1

ii) Giii sa Ilh'll",= suplh'(I)1 ;/:o Bang cach thay h bdi ~ ta co th~ giii

I

her)- fh(s)ds ~~+ (t - ~)2, vai suplh'(t)1= 1,\it E[0,1}

0

1

get) = her) - fh(s)ds, \if E [O,I}

(11.3)

iii) D~t

-:1],;1 r/,fl1//jhf{f' (fr!t./lhrlu (oa; (!:!.(;O(rtJ!:; Trang) 9

ta co

I

ff;(S)ds = 0, suplg'(t)1 = 1.

V~y ta se chung minh bfft d~ng thuc

Ig(t)1 ::; (t - 2)2 + 4' \It E [0,11

voi mqi ham g: [O,I]~ IR thaa cac di~u ki~n

(II.S)

I

fg(s)ds = 0, Ig'(t)! ::; I, \It E (0,1),

()

va hhng s6 ~~ xufft hi~n trang (IIA) la t6t nhfft thea nghla r~ng khong the§; thay the' no bhng m0t s6 nho hall

* Chung minh (11.4).

Cho t,sE[0,11taco Ig(t)-g(s)I=lg'(c)(t-s)I::;lt-sl.

V~y

Tich phan bfft c1~ng thuc cua (11.6)thea s E [0,11 ta duQc

g(t) - ]t - slds ::; fg(s)ds = o ::;get) + ]t - slds

hay

Ig(t)l::; flt-slcts'= f(t-s)ds+ f(s-t)ds

1 2 1

=(1 )

* H~ng sf) ~ xuflt hi~n trang (II A) 13 tf)t nhfft

Ig(t)j::; C +(t -~J, \It E [0,1]

(11.7)

IfJrl( rlrfJ~'1-_ffl-,!~("II, Alld~ !r)(/[f{J(/O(,:}ki Tran~~9

t£1co

I fr;(s)ds =0, suplg'(t)1 = 1.

0 (kl<1

Ig(t)I~(t-2Y+4' VtE[a,11

voi mqi ham g: [a,l] ~ IR thaa cac di~u ki~n

(II.S)

1

fr;(s)ds = a, Ig'(t)1 ~ 1, Vt E (a,I),

()

thay the' no b~ng mQt s6 nh6 hall

* Chung minh (11.4).

V~y

g(t) - ]1- slds ~ fg(s)ds' = a~ g(t) + ]t- slds

hay

Ig(t)1 ~ Jlt- slds=J(t - s)ds + I(s -/)d~

=(t )

* I-I~ng s6 ~ xui{t hi~n trang (rIA) lil t6t nhi{t

Ig(t)I~C+(t-~J, VtE[a,l]

(11.7)

3],;1 rfrf1l/l-111ft,.Iff-/' /t/'rill (Off; fJ.ibo((:}J.i Trang 40

voi mQi ham g: [0,1] -).IR thoi! cac di~u ki~n (11.5) Ta se chung minh

~ 1

rangC~-

4

Th~t v~y, chQn ham g(t) = t -~, ta co g tho a cac di~u ki~n (11.5) va co

It- ~I ,; c+(t - ~J, 'if t E [0,1]

hay

(l

t - ~

I

-(t- ~ )

2

J

= max (.'I- .'12)=~s C.

Th~t fa, dtfa vao c15ngthuc (11.3), bftt c15ngthuc Ostrowski (ILl) co th~ chung minh kha don gian bon so vdi [9] nht( sau

f(x) h-a ff(t)dt =-b a f(t-a)f'(t)dt+ f(t-b)f'(t)dt

I

[

]

s-b -a f(t-a)f'(t)dt+ f(t-b)f'(t)dt o<l<hsuplf'(t)1

[

(x - a)2 + (x - b)2

] sup!f'(t)1

[

1

= ~+ 22 (b-a)suplf'(t)l, VxE[a,b],

4 (b-a) o<l<h

(II.9)

. Gii! SU- C E JR thoa bftt dAng thuc

2

a+b

lex) - - ff(t)dt S - + 2

b-aa 4 (b-a) (b - a) sup If' (t)l,

o<l<h

voi illQi X E [a,b], trong do f: [a,b] ~ IR co dC;lO ham tren (a,b) va

1': (a,6) -).IR bi ch~n trong (a,b) Ta se chung minh r~ng C ~ ~

'{1M? (/rim/llutf' 1ft-/' j,/,rfJl lorn' (MirlftJl; Trang 41

I

x I

~ c+ 2 l(b-a),'vfxE[a,b].

V~y

a5,x5,h b-a (h-a) 095,1/2 4

(II

Mal d;h~? (lute (fellfllriJ/ (oai fM;o(tiki Trang 42

PUT) LT)C III

BAT DANG THUC GRUSS

Nam 1935 (xem[7], Math Z., 39,(1935), p.215- 226), GRUSS da chung minh b§t d~ng thuc sail day:

/ ?

Dinh Iy 111.1: (Bat dang thuc Gruss)

ClIo f,R: [a,h]~ IR khd ({ch sao clIo:

.

l11r ::; f(x)::; Mr,l11J.!::; g(x)::; Mg,Vx E [a,b].

(IlL I) I~Jf(x)g(X)dX-~Jf(X)dx~Jg(X)dx

l

::;~(M -n1 )(M,-m).

kl .

(

a+b

)

,.

1

,(//1fILla, uang t 111exay ra u lex) = R(X)=sign x-2 ' VOl n1f =

n1g=-va M.r =M =1.g

Chung minh:

E>~t ](1) =lex) =f(a + (b - a)/), 0::; t ::;1,a::; x::; b

ff(t)dt =-b-a fJ(x)dx

0 a

Do do ta co th~ gia sli'r~ng a =0, b =1 Khi d6 (111.1) vie't lC;li

(III.2)

I "

I

1

Jf(x)g(x)dx - Jf(x)dxJ g(x)dx ::;_4(Mf - n1f XMg - n1J.!1

trong d6, f,g : [0,1] ~ 1R kha tfch thoa:

l11/::;/(x)::;M/, mg::;g(x)::;Mg,VXE[0,1]

Hon nG'a, (IIL2) xay ra d~ng thuc khi

(

1

)

l(x)=g(x) = sign x-2' VOl n1f =mg =-1 va Mf =Mg ::'::1.

Trude he't ta din b6 d~ sau

RG d~ 111.1:Gia sli' l,g E L2 = L2(0,1),

ta c6:

I

I

[

I

(

'

)

2

]

~

$,;1 mill//- 111ft£" Iklt pltfill lord (Jd(;(J(t)k; Trang 43

I

I

Jf(x)g(x)dx - J f(x)d:<J g(X)d:< ::;;Ilflll} Ilgll/."

Chung minh B6 d~ 111.1:

Ta co

(IlIA)

R

I

J

(IlLS) Iff(x)g(x)dx - ff(x)dx fg(x)d:< = lex) - ff(x)d:< g(x)d:<

~ [Af(X) - !f(X)dX Jr(fg'(X)dx )~

I

[

(

I

)

2

]

2

= ff2(X)d'C - 2 ff(X)d:< ff(X)dX + ff(X)d:< IlgIIL'

I

= [If'(X)dx-(jf(X)dx HI,g""

Ba"tdftng thuc (Ill.3) dt(Qc chung

minh.-Ba't dftng thuc (IlIA) Ut«;1cchung minh nhC1vao bfit dftng thuc:

[jf'(X)dx-(!f(X)dx n s[1f'(X)dX]' ~llfll"

B6 d~ sau day cho ta b§t dftng th((c III.2, tuc la dinh 19 III.! duQc chung

minh.-B6 d~ 111.2:

Gia suf, gEL00= L00(0,1), thoa:

nIJ::;; f(x)::;; MJ,nI~ ::;;g(x)::;; M~,\;jx E [0,1].

Khi do :

(IIL6)

I

1

fj(x)g(x)d:< - fj(x)d:< fg(x)d:< ::;;-(M J - nIJ)(Mg - nIg).

Chung minh B6 d~ 111.2: Voi c, d E JR, trong ba"tdftng thlic (IlIA) thay

f, g baif -c, g -d, ta co:

(III 7) Ihf(x)0 - c ][g(x) - d]dx - hf(x)0 - c ]d:<J[g(x) - d]dxl::;; III - cllL,llg- dill,"0

v~ tnii cua (III.7) la:

I

(111.8) VI' =Hj(x)-c][g(x)-d]d:<- Hj(x)-c]d:<Hg(x)-d]d:<

=IIf(x)g(x)d:< - I f(x)d:(I g(x)dx

mal d(/J~r fluff' ffrl!Ji.ll(iJi frl(/('fJ:}6()(~k; Trang 44

(III 9)

ff(x)~(x)dx- fI(x)dx fg(x)dxl ~lIf -4.~llg-dll/.~'

Ve,d E IR

Chon, c = ~(M + 111} d = ~(M + 111} ta thu dudc:

III - ell '0 ~

1

M I - ~(M f + m1)

1

I

M f - 111r1 = ~(M f - 111 r)

TltOng ttf, ta (1uQc:

I jig- dll ~ - ( M - 111)

Cu6i clIng,

(III.I0)

I

1

f I(x)g(x)dx - f f(x)dxf g(x)d~ ~ -(M f -l11f XMg -l11g 1

V~y b6 de (JIL2) dl(QCcl1lIng minh,lI

B6 de sail day cho ta ba"tdfing thuc (4,3) (Dinh Iy 4.2, chuang IV)

B6 d~ 111.3:

Khi d6

I

[

I

(

I

J

2

]

~

(111.11) fI(x)g(x)dx - fI(x)dx fg(x)dx ~ ~(Mg - I11g) ff2(X)dx - ff(x)dx ,

Chung minh Be) d~ 111.3:

Trang ba"td~ng thuc (lII.3) thay g bdi g-d, voi dEIR ta co:

ff(x)[g(x)-d]dx- ff(x)dr f[g(x)-d]dx

s [1 ['(x)<1< -(1 f(x)dx )}Ig - d1!"

ma ve"tnii cua (IIL12) la:

(III 13)

VT= Iff(x)[g(x) - d]dx - ff(x)dx ~g(x) - d]dx

=IfJ(x)g(x)dx - fJ(x)dx fg(x)dxl.

ChQn d=~(MI! +1111!)t3 thu dl(QC VPcua2 (III 12) la

$fil dtfl'{f /lute licit jtlui4t kat @oAouMi

(III 14 )

Trang 45

1

Vp= [!f2(X)dx-(Jf(X)dX rr jig-dilL'

1

1

~[Jf2(X)dx-(Jf(X)dx)']' ~(Mg -mg)

1

14).-Chu thich 111.1: f)~ng thuc tfong (III.2) Kay fa khi:

(III.I5)

Th~tv~y

(III.I6)

(

l

)

".

f/(x)g(x)dx = f/2(X)dx = fIdx = 1,

2

f/(x)dx fg(x)dx =

(f/(X)dx ) = f/(x)dx + f/(x)dx.

0 0 ,- 0 0 Ii

(

Ii

J

2

= f(-I)dx+ JIdx =0

v€ tnii cua (III.2) Hi:

(III 17)

VT= If/(x)g(x)dx - f/(x)dx fg(x)dxl = 1.

v~y VT=VP va do d6 (III.2) Kay fa d~ng

thuc.-£lJdl dil~'!I tluJ:(;twit jtluin /au: (!J)tiOf4Id Trang 46

Chu thich III.~:

Theo Chu thich (III 1) thl hang sf) ~trong bfft dAng thuc (IIL2) la 4

tf)t nhfft Th~t v~y, ne"ubfft dAng thuc (UL2) dung vdi hang sf) C thay cho

h~ang so -:"" 1

4

(IlL 19)

fl(x)g(x)dx - fJ(x)dx fg(x)dxl 5.C(M j - mj )(Mg - mg)

mj <S.J(x) <S.Mj' mg 5 g(x) <S.Mg, \!XE [O,1}

Khi d6 (IlL 19) tra thanh

(IIl.20)

fJ(x)g(x)dx - fJ(x)dx fg(x)dxl = 15.C(M j - mj )(Mg - mg) =4C

Chu thich III.3:

BAng thuc trong (III 11) xiiy ra khi:

Hon nlla, hang sf) 1/ 2 trong bfft dAngthuc (IlLll) la tf)t nhfft.8

w