Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tìm tọa độ điểm M thuộc C, biết rằng tiếp tuyến của C tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I1; 1.. Tính theo a thể tíc
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn: Toán ; Khối : A
Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y =
1
x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I(1; 1)
Câu II: (2,0 điểm)
1.Giải phương trình
2 4
2
1 tan
x
x
+
2 Giải hệ phương trình:
2
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: = − +
x
3
4 1
2011
Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; đường thẳng BC’
tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 60 và AB = AA’ = a Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CC’, 0
BC và Q là một điểm trên cạnh AB sao cho BQ =
4
a
Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh rằng (MAC) (NPQ)⊥
Câu V(1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c+ + =3
Chứng minh rằng: a2 b2 c2 2ab bc ca2 2 4
a b b c c a
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm):
A Theo chương trình chuẩn
Câu VIa: (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD Điểm M(0; )1
3 thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :
1 2
x t
=
= −
= − +
; d2: 2
− − và d3:
Viết phương trình đường thẳng ∆,
biết ∆ cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC
Câu VIIa: (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn : z2+2 z z+ z2 =8 và z z+ =2
A Theo chương trình nâng cao
Câu VIb: ( 2 điểm )1 Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho đường tròn (C) : (x + 6)2 + (y – 6)2 = 50 Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B khác gốc O Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) tại M sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB
2 Trong không gian tọa độ (Oxyz) cho A(5;3;-4) , B(1;3;4) Hãy tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tam giác CAB cân tại C và có diện tích bằng 8 5
Câu VIIa: (1 điểm) Cho z , 1 z là các nghiệm phức của phương trình 2 2z2−4z+ =11 0 Tính giá trị của
biểu thức
2
1 2
+
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM: 2010-2011
I-1
(1 điểm)
TXĐ : D = R\{1}
y’ = 2
1 0 (x 1)
− <
−
lim ( ) lim ( ) 1
→+∞ = →−∞ = nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
lim ( ) , lim
→ = +∞ → = −∞nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bảng biến thiên
1 + ∞
- ∞
1
-y
y'
x -∞ 1 + ∞
Hàm số nghịch biến trên (−∞;1)và (1;+∞)
Hàm số không có cực trị
Đồ thị :
Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng
I-2
(1 điểm) Với x0 ≠1, tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x0 ; 0
x
x − ) có phương trình :
0 0 2
1
x
2 0
1
0
x
x y
(d) có vec – tơ chỉ phương ur= −( 1; 1 )
Trang 30 0
1 ( 1; )
1
x
= −
− uuur
Để (d) vuông góc IM điều kiện là :
0
0
0
2 ( 1) 1
x
x
=
= ⇔ − − + − − = ⇔ =
r uuur
+ Với x0 = 0 ta có M(0,0)
+ Với x0 = 2 ta có M(2, 2)
II-1
(1
điểm)
2
4
3 4
0
sin x cos x sin x
0
4
x k
π π
π π
=
Vậy pt có 2 nghiệm:
4
x k
π
π π
=
= +
II-2
(1
điểm)
Với x = 0 không nghiệm đúng phương trình
Với x≠0, ta có:
2
2
1
4
1 4
y
x y
x y
x
+ + + =
+ + + = ⇔
+
Đặt
,
y
x
+
− = + − = = − =
+) Với v=3,u=1ta có hệ:
2, 5
= =
+ = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔
+ = = − = − = − =
+) Với v= −5,u=9ta có hệ:
5
x y
+ =
+ = −
, hệ này vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) (2;1), ( ; ) (5; 2).x y = x y = −
III
(1
điểm)
−
− +
3 3
1 1
Trang 4= ∫ x
x
3
3 1
1 1
Đặt t= − → =t − → t dt= − dx
3
= → = = → = −
2
−
−
x
3 7 3
3
1 1
2 2
3
16 2
Suy ra đáp số của I
IV
(1
điểm)
Gọi I là trung điểm A’B’ thì ' ' ' ' ( ' ')
' AA '
C I
suy ra góc giữa BC’ và mp(ABB’A’) chính là góc · 'C BI
Suy ra ·C BI' =600
' tan '
2
a
3
AA ' AA ' ' '
a
/ / '
( ) / /( ' ) / / '
NP BC
PQ C I
⇒
' 90 AM BI
suy ra AMB B BI
Mặt khác theo chứng minh trên C’I ⊥AM nên AM ⊥ ( 'C BI )
Suy ra (AMC) ⊥( 'C BI (2))
Từ (1) và (2) suy ra (MAC) (NPQ)⊥
Trang 5(1
điểm)
Ta có: 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 )
= a 3 + b 3 + c 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca 2
b 3 + bc 2≥ 2b 2 c
c 3 + ca 2≥ 2c 2 a Suy ra 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 3(a 2 b + b 2 c + c 2 a) > 0
Suy ra VT a2 b2 c2 ab bc ca2 2 2
+ +
≥ + + +
+ +
− + +
+ +
Đặt t = a 2 + b 2 + c 2 , ta chứng minh được t ≥ 3.
VT t
−
≥ + = + + − ≥ + − = ⇒ VT ≥ 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
VIa
Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I thì N’ thuộc AB, ta có :
' '
= − = −
Phương trình đường thẳng AB:
4x + 3y – 1 = 0
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB: 4.2 3.1 12 2 2
4 3
+
AC = 2 BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI có:
4
d = x + x suy ra x = 5 suy ra BI = 5
Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán
kính 5
Tọa độ B là nghiệm của hệ: 4x 3y – 1 02 2
(x 2) (y 1) 5
− + − =
B có hoành độ dương nên B( 1; -1)
VII.a
(1 điểm)
Gọi A theo tham số t , B theo u , C theo v
Sử dụng điều kiện AB = BC và B là trung điểm của AC
Trang 6Giả sử A(a;0) ; B(0;b) ( a , b khác 0) => đường thẳng d đi A , B có phương trình :
1 hay bx+ ay - ab = 0
a+ =b
d là tiếp tuyến của (C) tại M ⇔ M thuộc (C) và d vuông góc với IM
Đường tròn (C) có tâm I(-6 ; 6) , d có VTCP là ur = −( ; )a b
M là trung điểm của AB nêm M ;
2 2
a b
, 2 6;2 6
uuur
Do đó ta có hệ phương trình
+ + − =
− + ÷+ − ÷=
v
= −
Vậy d có phương trình : x -y +2 = 0 ; x - y +22 = 0 ; x + 7y +14 = 0 ; 7x + y – 14= 0
VIIb
C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên C( a ; b ;0)
.Tam giác ABC cân tại C
Ta có AB = 4 5 , trung điểm BC là I(3;3;0)
1
2
ABC
Từ (1) ; (2) ta có 3
7
a b
=
=
hoặc
3 1
a b
=
= −
Vậy có hai điểm C1(3 ; 7 ;0) , C2(3;-1;0)
Giải pt đã cho ta được các nghiệm: 1 1 3 2 , 2 1 3 2
Suy ra
2 2
Trang 7Đo đó
2
1 2
11
4
+
= = +
