Vận dụng những hằng đẳng thức vào giải toán lớp 8

Đề tài về : Vận dụng những hằng đẳng thức vào giải toán lớp 8

Ầ N A

ĐẶT VẤN ĐỀ

Trên bước đường cải tiến và đổi mới phương pháp dạy học cùng với những nhiệm vụ quan trọng mà Đảng và Nhà nước ta đã vạch ra thì trách nhiệm của đội ngũ giáo viên chúng ta là phải hình thành được ở học sinh những cơ sở, nhân cách của người Việt Nam, có lối sống văn hóa lành mạnh có học vấn cao, có hiểu biết và chiếm lĩnh được những nội dung của khoa học tự nhiên và xã hội, góp phần cho sự phát triển của đất nước trong tương lai

Tốn học là một bộ phận khoa học kỹ thuật cao nhất đồng thời là chìa khĩa

mở cửa tạo nền cho các ngành khoa học khác Là bộ mơn chiếm ưu thế quan trọng trong giáo dục đặc biệt là dạy học, nĩ địi hỏi ở người thầy giáo một sự lao động nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phương pháp để dạy các em học sinh và giải các bài tốn cũng là nhiệm vụ trung tâm của người thầy dạy tốn

Trong chương trình đại số lớp 8 thì chương I “ Phép nhân và phép chia

các đa thức” trong đĩ cĩ các bài: “Những hằng đẳng thức đáng nhớ” Với tất cả

3 tiết lí thuyết và 2 tiết luyện tập thì học sinh phần nào đã hiểu và nắm được những kiến thức cơ bản về những hằng đẳng thức Nhưng việc nắm chắc và hiểu sâu để sau này vận dụng vào các kiến thức cĩ liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức và xa hơn nữa là các dạng tốn như: tìm cực trị, chứng minh chia hết … cũng được vận dụng những hằng thức rất nhiều Do đĩ mức độ kiến thức mà các em đạt được chưa thể nĩi là thỏa mãn các yêu cầu người dạy và người học tốn

Chính vì lí do đĩ tơi đã lựa chọn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề

tài: “ Vận dụng những hằng đẳng thức vào giải tốn lớp 8” nhằm cung

cấp cho học sinh phương pháp học và làm tốn, nắm được kiến thức cơ bản, cách tư duy và phương pháp sử dụng linh hoạt những hằng đẳng thức vào giải tốn Từ đĩ tạo nên điều kiện để học sinh học tốt, lĩnh hội tốt những kiến thức liên quan sau này

Đây chỉ là những kinh nghiệm ít ỏi qua quá trình giảng dạy môn toán lớp

8, tôi cũng mạnh dạn xin nêu ra đây để được cùng trao đổi với quý đồng nghiệp và xin ghi nhận mọi sự đóng góp ý kiến để tôi tích lũy thêm được nhiều kinh nghiệm hơn nữa trong sự nghiệp “trồng người” của mình

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I THỰC TRẠNG.

Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS nói chung và ở trường THCS binh long nói riêng việc làm cho học sinh biết vận dụng các kiến thức đã học để giải các bài toán là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được của người dạy toán Vì thông qua đó có thể rèn luyện được tư duy logic, khả năng sáng tạo, khả năng vận dụng cho học sinh Để làm được điều đó người thầy giáo phải cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản, các phương pháp vận dụng và biến đổi phù hợp giúp cho học sinh hiểu được thực châùt của vấn đề để từ đó có các kĩ năng giải toán thành thạo, thoát khỏi tâm lí chán nản và sợ môn toán

Năm học 2006-2007 tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán lớp 8A2 ngay từ đầu năm học Sau khi học xong nội dung bài “Những hằng đẳng thức đáng nhớ” tôi đã cho các em làm bài kiểm tra viết, thời gian làm bài 15 phút với mục tiêu: Kiểm tra mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng những hằng đẳng thức vào làm bài tập Kết quả thu được như sau:

Kết quả trên đã chứng tỏ được rằng: Hầu hết các em đã ghi lại được nội dung của bảy hằng đẳng thức nhưng khi cho các em bài tập cần vận dụng

không tìm ra lời giải, chưa chịu khĩ suy nghĩ, chứng tỏ kiến thức cịn mang tính nhồi nhét thụ động, đứng trước một bài tốn tự mình giải cịn chưa cĩ niềm tin Bên cạnh đó một số học sinh còn có tâm lí chán nản và tỏ

ra sợ môn toán mỗi khi vào học tiết toán

Rất nhiều học sinh lớp 9 hiện nay cũng chưa hiểu và nắm chắc các hằng đẳng thức để cĩ thể vận dụng linh hoạt vào giải các dạng tốn Kết quả

là nhiều bài tốn học sinh khơng giải được hoặc giải sai Bên cạnh đĩ rất nhiều kiến thức về đại số liên quan đến những hằng đẳng thức nếu biết sử dụng những hằng đẳng thức để xử lí thì thì bài tốn sẽ cĩ nhiều cách giải ngắn gọn hơn, giúp các em phát triển tư duy một cách tích cực hơn

II.

NGUYÊN NHÂN

Trong chương trình sách giáo khoa hiện nay thì không phải bất cứ người học nào cũng có thể đáp ứng được những yêu cầu đưa ra, nhất là đối với những đối tượng là học sinh ở vùng sâu, vùng xa, ở địa phương có điều kiện kinh tế còn khó khăn nói chung và học sinh của trường THCS Binh long nói riêng Địa bàn cư trú rộng, xa trường, kinh tế gia đình không ổn định, còn khó khăn nên ít nhiều cũng ảnh hưởng đến việc học của các em

Bên cạnh đó, một số học sinh còn ham chơi, lười học, ngồi học trong lớp chưa tập trung còn có tâm lí chán nản và sợ học môn toán Khi kiểm tra các

em về lý thuyết thì có vẻ như rất hiểu bài nhưng khi yêu cầu các em làm thêm phần bài tập vận dụng thì rất lúng túng và khó khăn để trình bày Cách học của các em là nhồi nhét, học thụ động, học để chống đối sự kiểm tra của giáo viên, các em cho rằng: chỉ cần học thuộc lý thuyết là có thể làm được bài tập mà các em quên rằng: “ Học phải đi đôi với hành”

Vì vậy việc chuẩn bị tốt cho học sinh những kiến thức cơ bản về những hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là những phương pháp giải các bài tốn cĩ liên quan đến hằng đẳng thức thật vơ cùng quan trọng Qua đó giúp

sát, sáng tạo, rèn cho các em kĩ năng phân tích, tổng hợp, tư duy suy luâïn lôgic Hơn thế nữa giúp các em sẽ có được “niềm tin” trong học tập

Với thực tế này tơi xác định phải tự tìm cho mình một cách dạy về các hằng đẳng thức sao cho phù hợp được với thực tế, kích thích được ĩc suy nghĩ của các em Giúp các em nâng cao chất lượng của bộ mơn tốn, các

em có tư duy để linh hoạt sử dụng các hằng đẳng thức vào giải toán khi cần

em có niềm tin để lĩnh hội tốt, học tốt các kiến thức sau này

III GIẢI PHÁP

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

* Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

1 (A+B)2 = A2 + 2AB + B2

2 (A– B)2 = A2 – 2AB + B2

3 A2 – B2 = (A– B) (A+B)

4 (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

5 (A– B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3

6 A3 + B3 = (A+ B) (A2 – AB + B2 )

7 A3 – B3 = (A– B) (A2 + AB + B2 )

* Một số hằng đẳng thức tổng quát ( Dành cho học sinh giỏi)

1 (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

2 an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1)

3 a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1)

4 a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k)

5 (a + b)n = an + nan-1b + n( 1n.21) an-2b2+…+n( 1n.21) a2bn-2 +nabn-1 + bn

6 (a -b)n = an - nan-1b + n( 1n.21) an-2b2- …-n( 1n.21) a2bn-2 +nabn-1 - bn

2 VẬN DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN:

2.1 Làm thế nào để học sinh tránh được những lỗi cơ bản khi vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán?

Ngay sau khi học xong hai hằng đẳng thức: Bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu Tôi có mời hai em học sinh ( học lực trung bình khá) lên bảng với các yêu cầu sau:

Học sinh 1:

a/ Viết công thức bình phương của một tổng hai biểu thức A, B ? b/ Tính: ( x + 1)2 ; (2x + 3y)2

Học sinh 2:

b/ Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống:

x2 – 6xy + ……… = (……… – 3y )2

Kết quả các em thực hiện như sau:

Học sinh 1: a/ (A+B)2 = A2 + 2AB + B2

b/ ( x + 1)2 = x2 + 2x + 1

( 2x + 3y)2 = 2x2 + 12xy + 3y2

Học sinh 2:

b/ Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống:

x2 – 6xy + …3y2…… = (……x… – 3y )2

……y2… – 4y + 4 = ( ……y… – 2 )2

Điều đó chứng tỏ rằng với các biểu thức A, B trong hằng đẳng thức là một số hoặc chỉ gồm một biến thì các em có thể dễ dàng vận dụng được hằng đẳng thức vào làm bài tập Tuy nhiên khi A, B là các biểu thức phức tạp hơn thì các em lại hay bị mắc phải sai lầm như bài tập trên Vậy làm thế nào để các em hạn chế được tối đa những sai lầm trên?

Trước hết tôi lưu ý các em phải sử dụng dấu ngoặc và lũy thừa của cả biểu thức đó hoặc ta có thể viết hằng đẳng thức dưới dạng:

( + )2 = 2 + 2 + 2

Ví dụ 1:

( + )2= 2 + 2 + 2

= 4x2 + 12xy + 9y2

Sau khi hướng dẫn tôi đã yêu cầu một học sinh đứng tại chỗ sửa chỗ bài làm sai của bạn, kết quả:

x2 – 6xy + (3y)2 = (x – 3y )2

hay x2 – 6xy + 9y2 = (x– 3y )2

Qua tiết học đó trên lớp, phần lớn các em đã vận dụng vào làm được bài tập và còn vận dụng vào các hằng đẳng thức tiếp theo

Ví dụ 2: Tính ( 2x2 + 3y)3 ?

Kết quả: ( 2x2 + 3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3

2.2 Vận dụng hằng đẳng thức vào làm các dạng bài tập:

2.1.1 Rút gọn các biểu thức.

Ví dụ 1:

a/ (x + 3)(x2 – 3x + 9 ) – (54 + x3)

b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x– y)( 4x2 + 2xy + y2)

Sau khi đưa đề bài lên bảng cho các em thảo luận và trình bày bài làm của nhóm mình thì tôi thấy phần lớn các nhóm đã làm như sau:

a/ (x + 3)(x2 – 3x + 9 ) – (54 + x3)

= x3 – 3x2 + 9x + 3x2 – 9x + 27 – 54 – x3

= - 27

b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)( 4x2 + 2xy + y2)

= 8x3 – 4x2y + 2xy2 + 4x2y – 2xy2 + y3 – 8x3 – 4x2y – 2xy2 + 4x2y + 2xy2 + y3

= 2y3

Tạm chấp nhận với lời giải đó, tôi đưa ra tiếp bài tập:

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2

2x 3 2x

y

2x 3

y 3y

Kết quả là hầu hết các em đều không làm được.

Tôi đã nhận ra được một điều, đó là: Hầu như các em học rất hình thức, sau khi có đề bài là các em bắt tay vào làm tất cả những gì mà các em có thể làm được mà không quan sát, tư duy để có thể tìm được lời giải nhanh hơn, ngắn gọn hơn, thích hợp hơn

Do đó ngay sau khi giới thiệu đề bài tôi đã đặt câu hỏi: “Các em hãy quan sát kĩ đề bài và thử phát hiện các biểu thức đã cho có gì đặc biệt ?” để từ đó các em hình thành cho mình được thói quen phải biết quan sát, biết đặt những câu hỏi phân tích, tự trả lời và tìm cho mình được lời giải thích hợp nhất

Kết quả là các em đã nhận ra được các hằng đẳng thức trong các biểu thức đó và rất tự tin bắt tay và làm bài:

Ví dụ 1:

a/ (x + 3)(x2 – 3x + 9 ) – (54 + x3)

= x3 + 27 – 54 – x3

b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)( 4x2 + 2xy + y2)

= (2x)3 + y3 – [(2x)3 – y3]

= 8x3 + y3 – 8x3 + y3

Ví dụ 2:

( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2

= [( x + y + z ) – (x+ y)]2

= (x + y + z – x –y )2

= z2

Tôi nhận thấy cầøn phải lưu ý cho các em thấy được: “A; B” trong các hằng đẳng thức có thể là một đơn thức nhưng cũng có thể là một đa thức

2.1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử:

Trước hết tôi chuẩn bị bảng phụ:

Hãy điền các biểu thức thích hợp vào vế còn lại của các hằng đẳng thức :

1 A2 + 2AB + B2 = ……

2 A2 – 2AB + B2 = ……

3 A2 – B2 = …………

4 A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = …………

5 A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = ………

6 A3 + B3 = ………

7 A3 – B3 = ………

Qua bài tập đó giúp các em linh hoạt khi biến đổi hai vế của hằng đẳng thức và vận dụng thành thạo hằng đẳng thức vào việc giải bài toán dạng: Phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập áp dụng

Bài tập áp dụng:

Ví dụ 1: Tính nhanh giá trị của các biểu thức:

a/ M = x2 + 4y2 – 4xy tại x = 18 và y = 4

b/ N = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 tại x = 6 và y = - 8

Giải a/ M = x2 + 4y2 – 4xy

M = (x – 2y)2

Tại x = 18 và y = 4 ta được:

M = ( 18 – 2.4)2 = 102 = 100

b/ N = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3

N = (2x – y )3

Tại x = 6 và y = - 8 ta được:

N = ( 2.6 – (-8))3 = 203 = 8000

Lưu ý học sinh phải quan sát đề bài, phân tích các biểu thức thành nhân tử rồi mới thay số vào tính giá trị.

Ví dụ 2: Làm tính chia:

a/ (x3 + 8y3) : (x + 2y)

b/ ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3)

Giải a/ (x3 + 8y3) : (x + 2y)

= (x + 2y)(x2 – 2xy +y2) : (x+ 2y)

= x2 – 2xy +y2

b/ ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3)

= [(x2 + 6x + 9) – y2]: ( x + y + 3)

= ( x + y + 3)( x - y + 3): ( x + y + 3)

= x - y + 3

Học sinh sẽ thấy lúng túng khi các em thực hiện phép chia đó như phép chia thông thường do đó giáo viên cần gợi ý để giúp các em phân tích đề bài, tìm được lời giải thích hợp

III MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI

Giải a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042)

A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004)

A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005

A = ( 1 + 2002 ) 2005 : 2 = 2011015

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

Bài tập 1 Tính :

a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B = …

B =(232 - 1)(232 + 1) – 264

B = 264 – 1 – 264

B = - 1

* Chú ý:

Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A 2 – B 2

Giải a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3

Dấu “ =” xảy ra  x – 2 = 0  x = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2

b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16

Dấu “ =” xảy ra  x – 4 = 0  x = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4

c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7

Dấu “ =” xảy ra  x – 2 = 0  x = 2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2

* Chú ý:

 Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:

- Chứng minh A > m với m là một hằng số.

- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.

- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )

 Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:

- Chứng minh A < t với t là một hằng số.

- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.

- Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA )

Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức

sau:

a/ A = x2 – 4x + 7

b/ B = x2 + 8x

c/ C = - 2x2 + 8x – 15

Bài tập 3: Chứng minh rằng nếu

( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c

Giải ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac )

 a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 0

 2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0

 ( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = 0

 ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = 0

 ( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = 0 hay ( c – a)2 = 0

* Chú ý:

Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức

(a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2

Giải a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n  19

Vì ( 25n – 6n )  ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n )  19 và 19.6n  19

Vậy 7.52n + 12.6n  19 ( n N)

b/ 11n+2 + 122n+1  133 = 112 11n + 12.122n

= 12.( 144n – 11n) + 133.11n  133

Vì (144n – 11n)  (144 – 11) nên (144n – 11n)  133

* Chú ý:

Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức

a n – b n = (a- b)(a n-1 + a n-2 b + … + ab n-2 + b n-1 )

do đó (a n – b n )  (a- b)

Giải

2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0

 (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0

 ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 = 0

Bài tập 4 Chứng minh rằng:

a/ 7.52n + 12.6n  19 ( n N)

b/ 11n+2 + 122n+1  133 ( n N)

Bài tập 5 Tìm x, y, z biết rằng:

2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0

 ( x + y + z)2 = 0 ; ( x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0

* Chú ý:

Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức

(a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2

Giải

1 số chữ

n

19

11

1 số chữ

n

15

11

+ 4 = x + 4

Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2

hay xy + 4 =    

1 số chữ

n

2

17

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Năm học 2007-2008 tôi cũng được nhà trường phân công giảng dạy bôï môn toán 8 lớp 8A5 Rút kinh nghiệm của những năm trước chất lượng của học sinh thấp nên ngay khi bắt đầu vào dạy từ những hằng đẳng thức đầøu tiên tôi đã mạnh dạn vận dụng đề tài này vào giảng dạy và kết quả thu được như sau:

Kết quả này chứng tỏ rằng: Việc vận dụng những kinh nghiệm nêu trên, trong thời gian chưa dài nhưng kết quả tương đối khả quan mặc dù kết quả cũng chưa cao, chưa được theo mong muốn của bản thân nhưng dù sao cũng đã có khởi sắc về chất lượng học tập,số học sinh yếu kém cũng được giảm đi Và hơn thế nữa là kiến thức đã được khắc sâu hơn, các em có thể tự tin vận dụng kiến thức đã học vào giải toán

Bài tập 6: Cho x =   

1 số chữ

n

15

11

; y =   

1 số chữ

n

19

11

Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương