Đánh giá các phép biến hình á bảo giác lên miền ngoài đường tròn bị cắt theo các cung tròn đồng tâm 5

Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích -Chyên đề :Đánh giá các phép biến hình á bảo giác lên miền ngoài đường tròn bị cắt theo các cung tròn đồng tâm

CHDONG 2 CONG C{) Trang chuong nay chung Wi n~u m<)ts6 b6 d~ va cae h~ qua ciln thiet cho vi~c danh gia cac d(;liIuqng sau nay

2.1 Rd de' Carleman va cae h~ qua

B6 de 2.1 (Carleman)

Gia siXw= f(z) Ia m9t PBHBG don di~p hlnh vanh khan (0 <)r < Izi< R(<r:fJ)

I~n m9t mi~n nhi Ii~n D kh6ng chua 00, v6i bi~n trang c] va bi~n ngoai C2 saD cho Izi= R tuongU'ngv6i C2 G9i S Ia di~ntich (trong)cua mi~ndo C2 baa b9C, s

Ia di~n tich (ngoai) cua t~p dong do CI baa b9C.Khi do ta co

D~ng thuc xay ra <=>f(z) =az + b v6i cac htmg s6 a,b,a"# O.

Chzmgminh:Xem ([sltr.212) ho~c ([131tr,6).

Til b6 d~ nay ta suy ra ba h~ qua rift qUail tr9ng d6i v6i PBHBG mi~n nhi li~n:

H~ qua 2.1 (dinh nghia m6dun mi~n nhi li~n)

Gia siX mi~n nhi li~n D co cac thanh phan bi~n kh6ng thoai hoa thanh m<)t di~m qua cac PBHBG don di~p f va 1; Ian Iuqt bien l~n hai hlnh vanh khan

H : r < IwI< R,

HI :rl <lwII<RI,

Khi do

Ty s6 nay g9i la m6dun cua mi~n nhi li~n D va duqc ky hi~u la mod (D).

Chzmg minh:

Xet hai PBHBG 101;-J mĩn HJ len H va 1;ol-J mĩn H len HJ Tirb6 d~

2.1, ta suy fa

(~r ~(~IJ vẵr ~(~1)2

Tir d6 suy fa (2.2)

H~ qua 2.2 (Tinh bat bien cua modun mĩn nhi lien)

Neu mĩn nhi lien A c6 cac thanh phan bien kh6ng thoai h6a thanh m(>tdĩm duQ'cbien baa giac dcmdĩp len mĩn nhi lien B thl

ChUng minh:

len hlnh v~mh khan Á: rJ < Isl< RJ va h mĩn Bien hlnh vanh khan

B' : r2 < It I<R2' Tir h~ qua 2.1, ta suy fa mod(A)=~ va mod(B)= R2.

GQi rp= hot thl rpIa PBHBG dcmdĩp mĩn A len mĩn B' Khi d6 theo h~

?

2 1 /, RJ - R2 /

(2 3) qua, , ta cọ - - -, tuc

rJ r2

H~ qua 2.3 (Tinh dcmdĩu cua m6dun mĩn nhi lien)

Gia sírcac mĩn nhi lien D va D] v6'i m6dun tucmg tffig R va ~, c6 tinh

chat D c DJ va D ngan cach hai thanh phan bien cua DJ' Khi d6

R RJ

-:::;-r rJ

(2.4 )

D!ng thuc Kaykhi va chi khi D == DJ'

ChUng minh:

cho Iwl=RJ tucmg tffig bien trong cua DJ' Khi d6 mĩn nhi lien D(c DJ) qua phep

bien hinh 1 se trd thanh mi~n nhi li~n H v6i bi~n trong C1 (C1 baa quanh ho~c

trung duang troll Iwl =rl) tuong ling v6i bi~n trong cua D va bi~n ngoai Cz (Cz

chua trong duang troll Iwl =RI ho~c trung Iwl=R1).

G9i S la di~n tich (trong) cua t~p md do Cz baa b9C va s la di~n tich (ngoai)

cua t~p dong do C] baa b9C.G9i g la PBHBG don di~p mi~n H l~n hin~ vanh khan

r < Iwl< R Theoh~ qua 2.2 ta co R la m6duncua mi~n H va theo b6 d~ 2.1r

~ ~(~r

M~t khac, ta co bat ding thuc hi~n nhi~n S ~ iCR]z , s ~ TCr/.

Dodo

( ~' )2 ~ ~ ~( ~ r

TiI d6 e6 (2.4) v6i dang !hue Kay fa <0>(~1 r ~ ~ ~ (~r.

Theo b6 d~ 2.1, g-] la phep bien hinh nguQ'c tu hinh vanh khan l~n H phai la phep

bien hinh tuyen tinh nguy~n, C] va Cz phai la duang troll Iwl =r] vaIwl = R], tuc la

D=D1-B6 de 2.2 (Mdn?ng b6 d~ 2.1 cho PBHKABG bdi Thao([181tr.S21))

Gia Slr w = I(z) la m9t PBHKABG hinh vanh khan (0 <)r < Izl< R« 00) l~n m9t mi~n nhi li~n D kh6ng chua di~m 00, v6'i bi~n trong C] va bi~n ngoai Cz sao

cho Izl=R tuong ling v6i Cz G9i S la di~n tich (trong) cua mi~n do Cz baa b9C, s

la di~n tich (ngoai) cua t~p dong do C1baa b9C.Khi do, ta co

z

1

Ding thuc xay ra ~ I(z) = alzlK-1 z + b v6i cac hang so a(:t:0) va b.

ChUngminh:

R6 rang t6n t<:timqt PBHBG don di~p t = g(w) bien mi~n D leD hlnh v~mh

khanrl <It I<RI saDcho CI tuong Ung v6i du6ng troll It1=rl Apdt;mgb6 d~2.1cho phep bien hlnh nguqc g-I, ta c6

s ~ ( ~}, trong d6 ding thuc xity ra <=>w=g-I (t)= alt+bl 'v6i cac hang so al (;t 0) va bl,

(2.6)

Mifltkhac phep bien hlnh hqp t= g[f(z)] lamqt PBHKABG hlnh vanh khan

r < Izi< R leD hlnh vanh khan rl < It I<RI trong d6 Izi = r tuong Ung ItI= rj.

D~t z = ~)~ ~ ' ta tMy ; =t(; ) =~ g[I(r;)] Iii m\Jt PBHKABG bien

1< H <: leD 1<It I< ~I trong d61;1 =1 tuong UngIt I= 1, Den theo (2.2) va (1.6) ta c6:

I

!!l '?

(

R )K ,

I

trong d6 ding thuc xay ra <=> t(;) = cl;ITI ;,Icl= 1, hay

I

t = g[f(z)] = c4-lzlTI z,lcl= 1.

rK

Ket hqp bat ding thuc vita neu v6i (2.6) ta duqc (2.5) v6i ket lu~n v~ kha Dang xay

ra ding thuc trong d6 a = rlC~I(:;t 0), b = bl.

rK 2.2 Lj thuytt dt) ddi c,!c trf

Ly thuyet dq dai qTc tri tuc cac bat ditng thuc lien h~ gifra modun cua mqt tu giac hay mi~n nhi lien, di~n tich mi~n d6 va dq dai ngtm nhat cua duang cong thuqc mqt hQduang trai trong mi~n d6 tinh theo dq do bat ky duqc Ahlfors va Beuding [1]

d~ xu6ng Dam 1950 da tro thanh cong C\lhfru hi~u d~ giiti rat nhi~u bai toaD toi un trong ly thuet hlnh hQcham bien phuc

Trang m~t phlmg z = x + iy, cho tu ghic cong Q vai cae dinh A, B,C,D co

th~ bien baa giac don di~p bOi w = f(z) = u + iv ten hlnh chfr nh~t

Q' ={u+iv:O~u~a,O~v~b} saocho A'B' =a,B'C' =b.

G9i:

- r la h9 cae dubng cong tron tUngkhuc r nam trang Q n6i hai e(;lnh d6i

theo d9 do p la hfru h(;lntuc la S p(Q)=jfp2 (z)cis < +00.

Q

- I p(r) = fp(z ~dzl,r E r, P E <Dla d9 dai cua r theo d9 do p.

r

B6de 2.3

Vai cae ky hi~u lIen, ta co:

Ding thue xay ra <::)p(z) = 1/ (z~,z E Q.

B6de 2.4

V6'i cae gia thiet va ky hi~u nhu b6 d~ 2.3 nhung f la PBHKABG, ta co:

( ) 1 a 2

Sp Q ~ lp Kb .

Ding thuc co th~ xay ra trong (2.8)

ChUng minh: Xem ([41tr.19-20).

(2.8)

2.3 Cae bat ddng thfte khae:

B6 de 2.5 (Mo rQng bat diing thuc Grotzsch[71tr.372) bOiThao Q191tr.63)

Gia Slr A la hlnh vanh khan v6'i R <Izl < 1 vai np(p EN, n E N u {O})nhat eiit nam lIen cae dubng troll d6ng tam 0 saD eho A tIlIng v6'i chfnh no bai phep quay

z exp(2ni / p) Gia Slr f la PBHKABG mi~n A ten mi~n B nam trang 0 < !wi< 1saD

cho duang troll Izi=R tuong ilng v6i bi~n trong c giai h~n ml)t t~p dong chua g6c

t<;>adl), duang troll Izi= 1 tuong ilng vai bi~n ngoai C cua B Hon nfra gia thiet B

trung vai chinh no boi phep quay wexp(2JZi/ p) Khi do:

M,; T(p>R7,mJ

vai M = max~wl;WEc},m = min~wl;wE cX~0)

(2.9)

1 Ding thuc xay ra trong (2.9) ~ f(z) = ah(t),Ial= l;t = bzlzlK-l,Ibl= 1, h Ia

1

phep bien hlnh baa giac hlnh VaM khan RK <It I< 1 l~n mi~n nhi li~n D sao cho

1

It I=1 tuong ilng vai C={wllwl =111tl=RK tuong

c = {wiIwi = m}U {wlargw= 27rj/ p,m:S; Iwl:s;M,j = O p-1}.

ilng v6i bi~n trong

B6de 2.6

Gia Slr A la hlnh vanh khan Q < Izl< R bi c~t d<;>c np(nEN, pEN u {O})cung

troll d6ng tam sao cho A trung vai chinh no boi phep quay zexp(2iJZ" / p) Gia Slr f

la ml)t phep bien hlnh K-a baa giac mi~n A l~n mi~n B nam trong 0 < Iwl< r:f)sao cho Izi =Q tuong ilng vai bi~n trong C1 cua B , C1 baa g6c t<;>a dl), Izl= R tuong ilng

2n:

I-vai bi~n ngoai C2, B trung I-vai chinh no boi phep quay we P .

Khi do m2 ~

[

ml2-] (

Q )

K ml

T p, R ' M2

~ mj =miniwllwE CJj = 1,2

trong do

M2 =max~~lwEC2X<oo)

1

Ding thuc trong (2.10) xay ra ~ f(z) = aH(t),Ial= 1,t = bzlzlK-l,Ibl= 1,

(2.10)

H la phep

bien hlnh baa giac hlnh vanh khan

QK <It I< RK l~n mi~n nhi li~n E sao

choItI =QKwong ilng Cj ={wllwl =ml } va It I=RK

C2 ={wllwl = M2}U {wlm2:s;!wI:s;M2,argw = 27rj/ p,j = O p -I}

tuong ilng vai

ChUng minh : B6 d~ 2.6 suy tir b6 d~ 2.5 nha cac phep bien d6i ;=Q ,~ = !!!l.

B6 de 2.7 (Bat dfingthirc cua Gr ~tzsch[91tr 220 IDa r(mg)

Gia Slr w= I(z)la phep bien hinh K-a bao giac don di~p hinh v~mhkhan

A = {zl(O<)r < Izl< I} len mi~n nhi lien B n~m trong hinh troll !wi< 1 gi6i h.~mbbi

bien ngoai C2 va bien trong C1 sao cho Izi=1tuong lh1g v6i C2.

Khi do duang kinh D cua C1 thoa

D,; Do = 2T( 2,r* ,oJ

(2.11)

trong do D = Dokhi va chi khi C1 la d<;>an thlmg nh~n w = 0 lam trung di~m.

ChUng minh: (xem [141tr.I8 - 22)

Chli y: Neu hinh vanh khan A={zio~ r ~ Izl~ R} thi

D<; Do~ 2RT( 2, r * ,0)

B6 de 2.8 (Bat dfing thirc cua K~hnau[I2] IDa r(mg)

Trong m~t phing z cho m9t mi~n nhi lien A gi6i h<:lnbbi duang troll Izi =1

va nhM cttt L(t) = {zio~ Izl~ t« l),arg z = o} G<;>iF; la tat ca cac ham w= f(z) co tinh

chat: m6i ham 1E F; bien bao giac don di~p mi~nA len mi~n Bf co bien ngoai

G<;>iS(f),f E F; la di~n tich (trong) cua mi~n do bien ngoai C(f) bao b<;>c.Khi do ,

m9t ham 10 E F; thoa man:

,

( ) In(1- tz) , (. ) - 7r

co d<:lng 10 z =In 1- t( 2)va S fa = In 1- t( 2)'

(2.12) (2.13)

/ -; / z -"'-"

'-\-', A 0 t}.I

-"- /

~_/

Br

~\1

w

\

fa

Hinh 2.1

Chztng minh: (xem [121tr.288).

Chti y: Trong b6 d~ tren, n€u thay cae ham w = f{z 1 z E A, f E F; bOi cae ham

w = f{z), Z E A, thu<)e lap n?ng bon 1<; trong do D(f) =D =const, Vf E 1<; vro

D > 0 hilt ky thi nha ph6p co clan w=~;,D We f{z) = ~D f{z),z E A,f E F; , ro rang ta

"

(j)

1

(

-)

1 "

co D =D D f =D D =1 tUe E F; TIT 0 V E F; ta co:

s(.r) ~ s(~) ~S(r);,S(ro)=~,

(2.14)

-Trong do f E F; la ham tuong tfug vro f va fa xae dinh bOi(2.13).

B6 de'2.9: (Modun eua mi~n giro h~ bOi2 duang trOlll~h tfun).

N€u mi~n nhi lien A giro h~ bOi hIDduang tronlzl=1 va Iz- hi =7] vro

0 < h < 1,0<r1< (1- h) duQ'ebi€n bao giae don di~p ten hinh vanh khan 7 < Iwl< 1 thi

r = r{7],h) = 1- h2 + 712- ~(1- h2 - 7]2) - 4h27]2

Ch{(ng minh:

~ u=-1-za

z

/

A

Hinh 2 2

G<?i b, c (c < b) Hi giao di~m cua duOng trOll Iz- ~ = 7] vm ~c thtJc ta CO

c=h-lj, b=h+r],

Neu bu<)c z = 1 tuong Ung vm w = 1 thi theo dinh 19 v~ stJ t6n ~i va duy nh~t

cua PBHBG don di~p mi~n nhi li~n l~n hinh vanh khan va theo nguy~n 19 d6i xUng

thi t6n t~ duy nh~t di~m a E (c,b) saD cho qua phep bien hinh bien hiOOtrOll don vi

l~n thanh chinh no u=u(z)= z-a- = z-a ,u(a) = O,u(l)= 1, mi~n A bien thanh 1-az

1-az

hinh vanh khan B: r < Iwl< 1.

Gia ta se xac dinh di~m a va ban kinh r do.

(

R6 rang, -r =u\c =-, r=u b

n~n taco: u(c)=-u(b), tuc

c-a

(

b-a

)

c-a a-b

1-ac =- 1-ab => 1-ac =1-ab

=> c-abc -a+a2b =a-a2c -b+abc

=> a2(b +c)- 2a(bc + 1)+ b + c = 0

i = (bc + 1Y - (b + cY = (1- b2 X1- c2 ) > 0

vi

A be+ 1:t ~(1-b2Xl- e2)

nen a =

b+e

ta co di~u ki~n eua ala: - 1 < e < a < b < 1.

Bay gia ta ki~rn tra: neu rnqt trong hai nghi~rn kh6ng thoa di~u ki~n thi nghi~rn con l<:tiehtm ehtm se la nghi~rn

That yay VOl aA A ,. + =be+l+~(I-b2Xl-e2) ,a =- be+l-~(I-b2Xl-e2)

theo dinh 1.9Viet ta co:

b+e =1

+

-a -a - b+e

IDa la+I>la-ll

la+lla-I = 1f => la+1 > 1 kh6ng thoa.

VA - be + 1- ~(1- b2Xl- e2) 1,

h' A

Vi v~y r = u(b)

be+ 1- ~(1- b2)(1- e2)

-(

be + 1- ~ (1- b 2)(1- e 2)

J

I-b

b+e

Sau khi nit gQn ta co:

1- be -~(1- e2)(1- b2)

r =

b-e thay e= h- rl, b = h + rl vao ta co:

1- (h + r]Xh- rl)- ~(1- (h + rl YXl- (h - rl Y)

r (h + r]) - (h - r])

I-h2 +r2 -~(I-h2I -2hr ] -r2Xl-h2] +2hr -r2)] I

2rl

_1-h2 +rl2 -~(I-h2 -rl2Y -4h2r]2

2r]

tile (2.15)

Chli y: Neu trong b6 d~ 2.9 mi~n nhi lien A giai h.;mb6i Izl =r2 va Iz - hi=rJ vai

0 < h < r2'0 < r] < r2 - h thl nha phep co clan ;=! - va ap dvng (2.15), trong d6 h va

r2

r] Ian 111qtdl1qc thay b6i !!.- va!l sau khi gian uac ta dl1qc:

r = r(rpr2,h) = r22-h2 +r]2-Jh2 -h2 -r/ l-4h2r]2

2r]r2

(2.16)

B6 de 2.10:

Trong m~t phiing w cho m9t tu giac cong B c6 hai c~nh n~m tren hai dl1O'ng

troll Iwl= c,lwl = d,O < c < d < +00.

D~t 0 < O(r) = fl dlp I~00 ~ 2n-, trong d6 lp = arg w va Cr = Bn{w :1w 1=r} va

c,

gia sir O(r) lien wc tren do~n [C,d] Ram so z = g(w) thlJc hi~n m9t phep bien hint K-a bao giac mi~n B len mi~n A cua m~t phiing z.

Ta d~t: Cr = g(CJ trong d6 c ~ r ~ d

Ron nua gia sir p = p(z)~ 0 dl1qc xac dinh trong A (bao d6ng cua A )sao cho

Ip(Cr) = fp(z)ldzl~oo,c<r<d

c,

va Sp(A) = ffp2 dxdy<00,z = x + iy , t6n t~i theo nghIa Lebesgue

A

Ngoaira lp(Cr)~I~,c<r<d.

2d

Khi d6 ta c6 ~(l~) K cfr.Or d() ~Sp(A)

(2.17)

ChUng minh

(=lnw

~

d r+dr D

GQi Bo= B(\ {w:r < Iwl< r + dr}, e ~ r < r + dr ~ d va dr(> 0) rat be.

Do tinh lien tgc cua ham n(r) tren [e,d) va dr rat be lien ta co th~ thay

Bo bilng Eo={wlr< Iwl<r +dr,a,argw < a +n(r )}.

Ham t = Inw bi€n mi~n Bo thanh hinh chii' nh~t D co cae c~nh n(r) va

I r+dr I

(

fir )

dr

h h' h

dr

(

~

)

Vi v~y mod(Bo)~ mod Bo = n(r)= rn(r).

GQi dS p(A) la vi phan cua Sp (A) tuO'Ilgtfug v6i [r,r +dr], tuc la di~n tich gfuIdung cua Ao =g(Bo) Theo «31trI9) taco:

dSp A;::::- K r.n r( )lp\!,r+dr ;:::: K rn r( )

tuc co (2.17)

n(r)

I

dr

-r -l

H'mh2 3

2.4 Cae danh cia eho lOp ham F.

D~ xay dvng cac danh gia cho lap ham G chung ta can cac danh gia sau day

cho lap ham f E F tuc f =g-l v6i g EG.

Be) de 2.11 (Thao [221tr.1049 -1050)

V6i cac giii thi€t va ky hi~u trong chuang

f E F, Z E A,I < Rl < 00,1< R < 00 ta co cac danh gia sau day:

1, v6i mQi

s'(oo,g)~ s(f) + PSl([)

(~~~ I)

:rrRK1

(2.18 )

2

(

2

J

:rrRK ~ s(f)RK ~ S(R,f)~ S'(oo,f):rrRK

M(R,f)~ ~s~) R*

(2.20)

(2.21)

I

M(R,f) < 4PM'(oo,f)RK = Mo

m(R,f);" T(P,R~ 'M~T ;"1P,R~ ,or > 4~ Ri

(2.23) (2.24)

4 ~ Izl~ < T(p,lzl:;,M-'f ,;;1/(z1 <4~ M'«XJ,f1zl~ =M (2.25)

(

-I

)

4PR1K <T p,RIK,M1-1 ~c~d<4KM'(00,f)R1K =MJ (2.26)

(I ~)- < 2PM'(oo,f)

1

D~ng thuc xay fa tit (2.18) -(2.22) khi va chi khi f(z) = azlzlK-1v6i lal= 1.

ChUng minh:

Vi~c xay dvng cac danh gia tren chu yell dva VaGcac b6 d~ 2.1, va 2.2 (xem

([221tr,1049-1050)).

Quan h~ giiia " di;!oham" ti;!i00 cua hai PBHKABG ngu<;>,cnhau F va G du<;>,cth~ hi~n bOi:

B6 de 2.12: (Thao [22], tr.1050)

Cho w=j(z)Ia anh xi;!K-a baa giac mQt mi~n chua z=oo v6i 1(00)=00 va M'(oo,/» o Neu g = I-I ta co:

-]

M'(oo,/)= m*(00,g)K

-1

m'(oo,/)= M*(oo,g)K

(2,28)

ChUng minh:

Cho R du 100, d~t CR = {z: Izi= R} va C~ = I(CR) R5 rang t6n ti;!imQt di~m

w] Ec~ va mQt di~m z] E CR saD cho

M(R,/)= IwII= Ij(zl~ = r.

1 <Iwl <00 , ta co:

m(r,g)= Ig(wI~= IzII= R.

TudoVl M'(oo,/) > 0 tacoketIu~n

-I

I'

(

m(r,g)

)

( )=!.

, R~ifj ~ r~ifj

Tuong tv ta co (2.28).