Đánh giá các phép biến hình á bảo giác lên miền ngoài đường tròn bị cắt theo các cung tròn đồng tâm 4

Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích -Chyên đề :Đánh giá các phép biến hình á bảo giác lên miền ngoài đường tròn bị cắt theo các cung tròn đồng tâm

CHU'ON G 1

? ",' , " '"

MO DAU VA KY HI~U

1.1 Djnh nghia va Hnh chat phep bien hlnh K- a baD giac

Djnh nghia:

Co nhi6u cach d!nh nghia PBHKABG, trong do d!nh nghia hlnh h<;>cdu6'i day la d!nh nghia t6ng quat nhat

M<;>tsong anh lien Wc hai chi6u w= f(z) tITmi6n A vao mi6n B baa roan

chi6u duO'Ilgtren bien, duqc g<;>ila m<;>tPBHKABGneu t6n t~i m<;>tso K ~ 1, saDcho modun m cua m<;>t tu giac cong V (tuc ty l~ gii1a hai c~nh hlnh chi1nh~t tUO'Ilg

dUO'Ilgbaa giac v6'i V) bat ky trong A va modun m' cua v' = f(V) loonthoa

m s m' s Km

hoac

bat ky mi6n nh! lien D nao trong A co modun M (tuc ty l~ gii1aban kinh

Ian va ban kinh nho cua hlnh vanh khan tUO'IlgduO'Ilgbaa giac v6'i D) thl D'=j(D)

co modun M' thoa

I

Tinh chat:

a) Neu K = 1 thl PBHKABG tra thanh PBHBG.

b) Hqp cua PBHK1ABGv6'i PBHKzABG la PBH(KIKz)ABG.Di;icbi~t hqp cua PBHKABGv6'iPBHBG la PBHKABG

c) Phep bien hlnh nguqc cua PBHKABGcling la PBHKABG

d) TruOnghqp dtmg thuc xay ra trong (1.1) va (1.2), Gr~tzsch[9]da chi fa:

* Neu j(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy, la PBHKABG bien hlnh chi1 nhat V = {x+ iylO< x < m,O< y < I} len hlnh chi1 nhat

v' ={u + ivio < u < m',O < v < I} saD cho cac dinh tUO'IlgU'ngv6'i nhau th'i

m' = Km <=>

{

u = Kx

v=y

(1.3)

{

u = !

m =-<=> K

, hlnh vanh khan D' = {wi! <!wi <M'} sao cho Izl =1 tuang ilng Iwl =1

(1.4)

thl M' =MK <=> w=/(z)=alzIK-lz,lal =1,

(1.5)

(1.6)

clan gian g9i la mi~n chuful Lu~n van nay xay dlJIlg tren co sa:

Dinh ly t6n t~i duy nhat (xem [221tr.1044-IO45)

M9t mi~n n(~ 2) lien bat ky cua m~t ph&ng w chua w = 00 co th~ bien bao giac clan di~p bai z = g( w) len mi~n Izl> 1 bi cat d9C (n -I) cling troll d6ng tam t~i

g6c sao cho g(CfJ) = 00, m9t thanh phan bien cho tru6'c tuang ilng v6'i duang troll

Izi = I Cac phep bien hlnh co dugc chi sai khac nhau bffi m9t phep quay

Cho B la m9t mi~n (p + I) lien v6'i p ~ 1 trong m~t ph&ngphuc ma r9ng w,

chua di~m w = CfJ,co m9t thanh phan bien C la duang cong kin ngo~i tiep duang troll Iwl =1 tuc la mill~wll WEe} = 1 nhung kh6ng ngo~i tiep bat cu duang troll Iw-wol = r v6'i r > I cac thanh phan bien khac °O,OI, Op-Ikh6ng thoai hoa thanh

.211:

1-cac di~m rai r~c Han nua qua phep quay W = e Pw mi~n B v~nla chinhno.

D~c bi~t khi cac 0)(j =O p-I) la cac cling troll d6ng tam 0 va C la duang

troll dan vi, ta viet B = Bo.

GQi G la lOp cac PBHKABG z = g(w) mi~n B l~n mi~n A la hinh trOll

Iz I>1bicAt dQc p cung trOll d6ng HUn

L/g) ~ {zllz I~ R,(g1 a(g) + (2j -1); :> argz:> -a(g)+(2j +1);}

(1.7)

v6i 1 < R] (g) < 00,0 < a(g) < Jr sao cho g(oo) =00, C tuang ang v6i Iz 1=1va cac !i

tuang ang Lf ,j=O,l, p-l. M~t khac gia thi€t gEG co tinh d6i xang quay c~p

p,tuc

g

[

ei2;w J

~/;g(w\VwEB. ~

z = g(w)

(1.8)

((

ffinh 1.1: PBHKABG z= g(w)mi~n B l~n mi~n chu~n A v6i p =2

Nhu v~y m6i nh<it cAt Lf d~u co cimg ban kinh R1,1< RI < 00 va goc ma

2/1 = {;- a) thoa 0 </I <;

D~t

m=min~ w Ilw E cX= l),M = max~w IlwE C}

GQi F la lOp cac PBHKABG w = j(z),j = g-l, g E G, mi~n A l~n mi~n B.

Do (1.8), ta co

27l

[

27l

J

tuc ham j E F cling co tinh d6i xang quay c~p p.

Dat

m(r,f) = min~ WIlw E E(r,f)}

'

( f) I' m(r,f)

m 00, = 1m~r,>«>

-rK

M'(oo,f) = lim M(r,f) r '>«> ~

rK

s' (00,f) = lim S(r,f) r '>«> 2'

JU'K

~

trong d6 E(r,f) la t~p hgp di~m w tuang ling v6i duemg troll Izi= r,! ~ r <00 (k~ca

r = Rj) bai w = f(z), f E F va S(r, f) la di~n tfch (trong) cua mi~n chua w=0 giai hC;lnbai E(r,f) vira neu.

Do mn(r,fY ~ S(r,f)~ 1CM(r,fy,l ~ r < 00,Vf E F,

(1.10) (1.11) D~t s la di~n tfch (ngoai) cua t~p di~m g6m C va nhih1gdi~m do C bao b9C, s]la

di~n tfch (ngoai) cua t~p di~m g6m lio (ho~c Ii)bat ky) va nhih1g di~m do lio bao

b9C

V6i m9i g E G ta d~t

*

( )- 1' m(r,g) M *

( )- 1' M(r,g)

r '>«> r r '>«> r

trongd6 m(r,g)=minlg(w~ va M(r,g)=maxlg(w~ v6i Iwl=r(>d)

Mvc dfch chinh cua lu~ van nay la thi€t l~p cac c~ tren va c~ du6i dung ho~c ti~m c~n dung cho Ig(w~ va cac dC;liluqng d~c trung cho mi~n chuiln A:

R(g), p(g), m*(00,g), v g E G tuc toan bQ cac modun bao giac cua mi~n B, theo cac

dC;liluqng K, p, c, d, S, Sl va Iwl v6i WEB.

Cac k€t qua trong lu~n van nay duqc bi~u thi bang nhih1gcong thuc don gian

ho~c cac ham phv T(p,r,s),R(p,t,s) ma ta se dinh nghia chung trong phan 1.3 cua chuang 1 Phan Ian cac c~n trong cac danh gia d~u dC;ltbai mQtham cv th~ nao d6, Cac c~n con IC;li,tIll cac danh gia p(g), d~u t6i Utitheo nghla khong th~ thay th€ chung bang nhfi'ngc~n t6t han ma chi phv thuQcvao cling cac dC;liluqng

1.3 Cae ham ph,! r(p,r,s) va R(P,t,s)

D#nh ngh'ia:

cac ham s6 thuc

t ::::r(p, r, s) <=>(0 ::; s < r < 1),

r:::: R(p,r,s) <=> (0::; s < t < 1),

pEN, duQ'c dinh nghia sao cho hinh vanh khan r < Izi< 1 tuong duong 000 giac vm hlnh vanh khan s < Iwl< 1 bi c~t dqc p do<;m(hlnh 1.2)

Pi ~ {ws,; 1wI,;t,argw = /;}& ~ Op-I).

Z~r

\ -/

1

w

-d-

0 t 1

Hinh 1.2: PBHBG r < Izi< 1 l~ns < Iwl< 1 bi c~t dqc p(::::2) do<;m.

SlJ t6n t<;1iduy nhAt cua cac ham nay trong mi~n xac dinh cua chung dlJa tr~n dinh ly co ban v~ PBHBG mi~n nhi li~n va tinh don die?Ucua m6dun mi~n nh! li~n (xem he?qua 2.3)

Cling do tinh don die?ucua m6dun mi~n nhi li~n, ta co cac tinh chAt sau cua ham

r(p,r,s) va R(P,t,s):

r<r(p,r,s)<l r(p,r,s]) > r(p,r,sz) r(p,r] ,s) < r(p,rz,s) r(p,r,s) < r(l,p,s) s<R(P,t,s)<t R(P,t],s) < R(P,tz,s)

(1.13) (1.14) (1.15) (1.16) (1.17)

(O::;s]<sz <r<l),

(0 ::;s < r] < rz < 1)

(0::;s<r<1,p~2) O::;s<t<l

0 ::;s < t] < tz < 1

R(p,t,sJ<R(p,t,S2) O:::;SI<S2 <t<I (1.18)

Nha cae cong thuc cua ([151tr.295) ,T hilO aI71 tr.I 01-104), tlm dugc bi~u thuc cua

(0 < t < 1,pEN) ( 1.20)

v6'i

1

vavm (O<s<t<I,pEN),

{

-JiK' (u)

}

v6'i u = 1+ h - -Jh(2 + h), trong d6:

(1.21 )

h= (I-kXI-ak), k=4sPIl'"

[

I+s4PJ

]

4,

k(I + a) j~1 1+ S4PJ-2p

a = sn( b + i 2:b In ~, k ), b = K(k),

aday sn(z,k) chi sin eliptic v6'itham s6 k.

Vi~ctinh toan K(tp) va K'VP) [171tr.1O0-I05,[131tr.13-18cho

-I

Ji2

2pln p I-t( )

Thao [171tr.102-I05 cling chi fa bi~u thuc cua T(p,r,s) nhu sau:

(1.23) va

1

[

4

]

p j~l 1+r4pj-2p

(0 < r < I,p EN), (1.24 )

{

}

T(p,r,s)=sexp 2;:(k)!~(I-X2XI-k2x2)

(1.25)

0 < s < r < 1,pEN, vai K(k) nhu lIen,

[

l+r4pj

]

4

Tu bi~u thuc cua T(p, r,O) ta d~ dang thay rang

1

T(p,r,0)<4Pr (O<r<l,pEN)

Vi v~y nho (1.10) va (1.11) co

(1.26)

1

tu do suy ra

limT(p,r,t) = r

Mi\itkhac tu (1.26) ta co

-I

R(p,t,0»4P t

Vi v~y nho (1.16) va (1.18) co

-I

Tu do suy fa

lim R(p,t,s) = t

Han nfia ta nh~n duqc tu (1.22) va (1.23)

1

va

8 {

-;rr2

}

I-T(p,r,O)~-exp p 2p l-r( ) khi r~1 (1.33)