bất đẳng thức biến phân tựa đơn điệu và thuật toán xấp xỉ giá trị 5

luận văn nàysẽ khảo sát sự hội tụ của thuật toán xấp xỉ giá trị để giải bài toán trong trường hợp toán tử F là ánh xạ từ không gian Hilbert X vào chính nó và F tựa đơn điệu. Ngoài ra luận văn còn làm sáng tỏ sự tồn tại nghiện , cũng như sự hội tụ của thuật toán được xây dựng dựa trên nguyên lý bài toán bổ trợ để giải bài toán

CHUdNG 3

THUA T TOAN XAP XI GIA TRJ

3.1 Thu~t toan xa'p Xlgia trj

Trang chuong nay, lu~n van nghien CUllsq hQi tl 1cua thu~t toan xap xi gia tr~dtSgi,ii bai toan (1), voi F la anh x~ don tr~tli kh6ng gian Hilbert X vao chinh no va F Wa don di~u m~nh tren Xad

Tu tudng chinh cua khai ni~m xap xi gia tr~la chQn lqa mQt anh x~ xap

?

xi anh x~ F sao cho vi~c giai bai toan (1) trd lien don gian bon 0 day, anh x~ F se duQc xap xi bdi mQt anh x~ don di~u m~nh

Gia sa cDla mQt anh x~ tli kh6ng gian Hilbert X vao chinh no T~i m6i

x EOX, ne'u thay the' anh xa F bdi cDthl sai so' ct'la vi~c xap xi Ia F - cD Sai

so' nay se duQc tinh bang cach cQng vao cDmQt luQng la F(x) - cD(x)

Bai toan xap xi cua bai toan (1) la

(51)

Vdi x E xad eho trude, am Y E xad saG eho

(cD(y) + F(x) - cD(x),x - y) ~ 0 \f x E Xad.

Nh~n xet rang, ne'u y =x thl (51) trd thanh

(F(y),x-y) ~ 0 \f x EO Xad,

nhu v~y, y la nghi~m cua bai toan (1)

Tli nh~n xet nay, xay dqng thu~t toan san day, duQc gQi la thu(lt toan xiip

xl gia trj dtS giai bai toan (1).

3.1.1 Thu~t toan 3

Gia sa {cDk}la mQtday cac anh x~ don di~u m~nh tli kh6ng gian Hilbert

X vao chinh no Xet thu~t toan:

h ' a ~d , , '

d~

Qn Tem xuat p at oX EA tuy y va g.t :=

(52)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

3.1.2

O b ' kb 'A' k , k"V'ld

h

D(it dk=yk_Xk.

Nf/u l = Xk, dang thu(lt loan Nguqc lqri, titp tf:lc sang buac (iv),

TIm tk bang cach gidi baj loan mQt chi;]u

t ~ 0

qrt x = x + tk , = +

Nf/u Xkla nghi?m chap nh(ln duqc thi dang thu(lt loan, Nguqc lqri, tro lqri buac (i),

811tan t~i va duy nha't nghi~m

Dinh If 3.1

Tqri m6i buac cua thu(lt loan tren, bcli loan (52) luon t8n tqri duy nha't mQt

nghi?m l.

Chung minh

a) Sz;c t8n tqri nghi?m

Ap d~ng b6 d~ 1.1 vdi A la C!>k, f la C!>k (xk), <pIa F(Xk) thi A va <pd<3

thay thoa 3 gia thie't cua b6 d~, Ta ki€m tra gia thie't cu6i,

R5 rang 0 E dam <pva do C!>kla don di~u m':lnh lien t6n t':li b > 0 saG

cho

(53) (C!>k(x) - C!>k(y), X - y) ~ b II x - y 112 \j x, Y EX,

Thay y = 0 VaG (53) thi ta dli<.1C

( C!>k(x) ,x)~b II xl12 +( C!>k(O),x), suy ra

(C!>k(X), x> + <p(x)

II x II

II x II

tuc Ia

< <p'(yk) + F(x k) - Cp'(X k), Y- yk > ~ a

V~y lla nghit?m cua bai toan (52) .

\j YE Xad

.

Nh~n xet 3.1

Voi Xkda bie't, do <pla ham 16i tren X lien ham

cp(y)- <pCX k) +<F( x k) - <p'(x k), Y- X k > , 16i theo bie'n y tren Xad

Nhu' v~y, b~ng cach ap dl.lllg khai nit?m xip Xl gia tri, vi~c giai bai toan (1) du'Qc du'a v~ giai mQt day cac bai toan to'i u'u 16i

3.2 Djnh ly hQi t\1 dl,ia tren tlnh tl,ia ddn di~u m~nh

Cae ghl thie't

Trang phan nay, chung ta se chung minh slJ'hQi W cua thu~t toan xip Xl gia tri voi cac gia thie't san day:

1 F la Wa don di~u m(;lnh voi h~ng sO'e tren Xad ,

2 F la lien t~lCLipschitz voi h~ng sO'A tren Xad ,

k

3 cD = Cp' \j k E ~, trong do <pIa ham tu kh6ng gian Hilbert X

VaG 91, <p16i m(;lnh voi h~ng sO'b tren Xad va kha vi Gateaux tren X,

4 Gia sli' tk=1 , \j k E ~

Djnh ly 3.2

Gid sa bai loan (1) co nghiljm x* Ntu <pla ham l6i mt;lnh veii hang sf;' b tren J[1dva khd vi Gateaux tren X thi t6n tt;liduy nhat nghiljm l cua bai loan

(52)

Ntu F la tZ;tadan dilju mt;lnh wJi hang so e tren J[1d( thi x* duy nha't ) va lien tl:lcLipschitz vdi hang s6' A tren J[1dva gid sa

(56) b ~ A2

2e '

thi day { Xk } hQi tf:l mqmh vti x* , han mla, ne'u cp' la lien tf:lCLipschitz vdi hang sf;' B tren xad thi ta co udc lu(fng

(57) Ilxk+l_X*II::; A+Bllxk+l-xkll

e

Chung minh.

a) Slj t8n tqziva duy nh[{t nghi?m

VI ham cp16i m;:Lnhvoi hang so' b tren xad va khi vi Gateaux tren X lien theo m~nh d~ 1.3, ta co

(58) (cp'(x)- cp'(y), x - y) ~ b IIx - y 112 "1/x, y E xad

Nhu v~y, cp'ddn di~u m;:Lnhvoi hang so' b lIen xad

Do do tU dinh Iy 3.1, ta suy ra t;:Limoi buoc cua thu~t loan 3, bai loan (52) co nghi~m duy nha't l.

h) Day {x k} hQi tf:l mqznh vti x*

Xet ham

\p(x) =cp(x )-cp(x)-(cp'(x),x -x)

VI cpla ham 16i m;:Lnhvoi hang so' b tren Xad nen theo m~nh d~ 1.3, ta duQc

2

VI tk = 1 lien xk+l =Xk +tkdk =Xk +yk -xk =yk Hdn mIa, vi l Ia

nghi~m cua bai loan (52) lien

(60) (cp'(xk+l)+F(xk)_cp'(xk),y-xk+l )~O "1/Y E Xad

Xem sl! bitn d5i cua \p t;:Limoi buoc cua thu~t loan 3.

~t+l := \p(xk+l) - \p(xk)

=cp(Xk)_cp(xk+l)_(cp'(xk+l),X* -xk+l )+(cp'(xk),X* _Xk)

= cp(Xk)_cp(Xk+l)_(cp'(Xk),Xk -xk+l )+(cp'(Xk)_cp'(xk+l),x* -xk+l)

Vi <pla ham 16i m(;lnh vdi hilng sO'b lIen xad lien theo m~nh d~ 1.3, ta duQc

<p(Xk+l) - <p(Xk) - <<pI(xk), xk+l - xk) ~ b II xk+l - xk 112.

2

Do v~y

(61) Sl :=(p(Xk)_<p(Xk+l)_«p'(Xk),xk _Xk+l):::;- b IIxk+l-xk 112.

2 Thay y=x* vao (60) ta duQc

s2:= «p'(Xk)_<p'(Xk+l),x* _Xk+l):::; <F(Xk),X* _Xk+l)

Ta co

<F(Xk),X*_Xk+l) = <F(xk)-F(xk+l),x* -xk+l) +<F(xk+l),x* -xk+l)

Vi x *la nghi~m cua bai loan (1) nen

<F(x ),x -x )~O, M~t khac, vi F tlfa don di~u m(;lnh vdi hilng sO'e lIen xad lien tli lIen suy ra (62) <F(Xk+l),Xk+l -x*) ~ e IIxk+l-x* 112.

Hon nlia, vi F lien tllC Lipschitz vdi hilng sO'A lIen xad lien

(63) <F(xk)-F(xk+l),x* -xk+l):::;A II xk+l -xk IIIIxk+l -x* II.

Tli (62) va (63) ta dc1'Qc

(64) S2:::;- e II Xk+l - x* 112+ AII x k+l - Xk IIII Xk+l - x * II

Tli (61) va (64) ta suy ra

Ak+l

:::; - b II xk+l - Xk 112 - e II xk+l - x * 112+ AII Xk+l - Xk II II Xk+l - x * II

2

(

~

J

2

(

2

J

Do do

(65)

"V' ,; (~~ - e)u Xk+l - x' 112

Tli (56) ta co

2b V~y flt+1 ~ a va do d6 ta du'cjc 'P(xk+l) ~ 'P(Xk)

Day {'P(Xk)}giam va b! ch~n du'di bdi a lien hQi W Do d6 flt+1~ a va tir

(65) suy fa day {Xk}hQi W m'.lnh v~ x*

c) Chang minh (57)

Thay y =x* vao (60) va do (62), ta du'cjc

(66) (cp'(xk+l)_cp'(Xk),X* -xk+l)+(F(xk)-F(Xk+l),x* -xk+l);;::

;;::_(F(xk+l),x* -xk+l)

;;:: e II xk+l - x * 112.

M~t khac, do cp'lien Wc Lipschitz vdi h~ng sO'B va F lien Wc Lipschitz vdi h~ng sO'A tfen Xad lien

(67) (cp'(xk+l)_cp'(xk),x* -Xk+l)~Bllxk+l_Xk 1IIIxk+l-x* II, (68) (F(Xk) - F(x k+l), X * - Xk+l ) ~ A II Xk+l - x k IIII x k+l - X* II

Tir (66), (67), (68), ta du'cjc

Ne'u Xk+l*- x * thi tir (69) ta suy fa

(70) II xk+l - x * II ~ A + B II xk+l - xk II

e