• Giải được phương trình mũ và logarit dạng cơ bản nhất, tương ứng với mức độ thi THPT
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TOÁN
GV: LÊ MINH HƯỞNG
*****===*****
CHUYÊN ĐỀ:
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LOGARIT
NĂM HỌC: 2009-2010
PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ LOGARIT
Trang 2PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ LOGARIT
A MỤC TIÊU :
Giải được phương trình mũ và logarit dạng cơ bản nhất, tương ứng với mức độ thi THPT
Không đầu tư nhiều thời gian vào chuyên đề này vì học sinh còn chuẩn bị cho các bộ môn khác
Từ bài tập cơ bản nâng lên các bt mức độ cao hơn
B KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Lũy thừa:
n
n
n
n
n
n
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
xy
y
x
y
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
(
.
)
(
)
(
.
.
0 1 log
1 log
log 1 log
log log
log log
log
) ( log log
log
a a
a a
a a
a a
a a
a
a
x x
x x
y
x y
x
xy y
x
Trang 3C NỘI DUNG CHÍNH:
PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT
I)Phương trình mũ
Dạng cơ bản
x f
x g x f
Log x
f a
x g x f a
a
) (
) ( ) ( )
(
) ( ) (
Tập trung vào bốn dạng thường gặp sau đây:
1)Tích qui về cùng cơ số
Khi giài ta dựa theo dạng cơ bản đễ lấy nghiệm
TD Giải các phương trình sau đây
a) 2x+1.4x-1 x 16x
8
1
1
2
4 4 6
2
2 1 2 2 3 3 4
x
x x
x x
x x
3
2 9
4 2 1
9
4 9
4 2
2 4 2
4 2
2
4 3
4 3 3 3
27
4 9
3 )
3
3 3
3 3 3
2 2
3 2 2 1
Log Log
x
Log Log
Log x
Log x
Log x
b
x
x x x
x x
x
2) Tổng qui về cùng cơ số
Thông thường ta đưa về cơ số nguyên dương bé nhất và thu gọn thành phương trình bậc hai
TD Giải các phương trình sau đây ;
3 2
0 6
:
) 0 (
2 6 4
2 )
2
t t
t t
ptr
t t
Đăt
a
x x x
Do t > 0 nên ta chỉ nhận nghiệm t = 2
Suy ra 2x = 2 KQ x = 1
x x x
b) 27 12 2 8
Chia hai vế cho 8x ta được phương trình
Đặt t = ax ( t > 0 ) Suy ra anx = t n Nếu a.b = 1 Đặt t = ax thì bx= 1/ t 11
Trang 4
2 2
3 2
3
2 8
12 8
27
3
x x
Đặt
x
2
3
( t > 0 ) Ptr : t3 + t - 2 = 0
Ta được nghiệm duy nhất t = 1 1
2
3
x
KQ x = 0
3) Tích chứa cơ số khác nhau
Dùng phương pháp logarit hóa ( Lấy log hai vế theo cơ số thích hợp )
TD Giải các phương trình
a) 3x 2x2 1
Lấy log hai vế của phương trình theo cơ số 2
Ta được phương trình Log23x Log22x2 0
3 2 0
2 x
xLog
3 0
0 )
3 (
2 2
Log x
x
x Log
x
5 5 1
1
0 5 log 1
) 5 (log
5 log 1
5 log
5 2
5 2
) 5 2 ( )
5 2 (
10 5
2 )
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
Log
Log x
x
x x
x x
Log Log
Log Log
Log Log
b
x x
x x
x x
4) Tổng không đưa về được cùng cơ số
Tính nhẩm tìm nghiệm x 0 của phương trình
Chứng tỏ nghiệm đó là duy nhất
TD Giải các phương trình:
a) 2x + 3x = 5
Phương trình nhận nghiệm x = 1
2x + 3x = 5 2x + 3x - 5 = 0 Xét hàm số f(x) = 2x + 3x – 5 ( xác định với mọi x )
Ta có f / (x) = 2xln2 + 3x ln3 > 0 ( x )
Suy ra đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại duy nhất một điểm Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
b) 2x + 3x = 5 x
Phương trình nhận nghiệm x = 1
Chia hai vế của phương trình cho 3x
Trang 5x x
x g x
f
ptr
3
5 ) (
&
1 3
2 ) (
3
5 1 3
2 :
Cả hai hàm số đều có tập xác định là R
0 3
5 ln 3
5 ) (
&
0 3
2 ln 3
2 )
/
x x
x g x
f
Suy ra hàm số f(x) nghịch biến và hàm số g(x) đồng biến
Do đó đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại mọt điểm duy nhất
KL phương trình có duy nhất một nghiệm x = 1
II) PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
DẠNG CƠ BẢN :
f x a x
f Log
x g x f x g x f x
g Log x
f Log
a a
Cho
a
a a
) ( )
(
) ( ) (
0 ) (
0 ) ( )
( )
(
1
&
0
Ta tập trung vào ba dạng sau đây :
1) Tổng qui vế cùng cơ số
Thu gọn về dạng cơ bản
TD Giải các phương trình
a)
6
11 8
4
2xLog xLog x
Log
ĐK x > 0 Đưa về cơ số 2 , ta được phương trình
2 1 6
11 6
11
6
11 )
3
1 2
1 1 (
6
11 3
1 2
1
2 2
2
2 2
2
x
x Log
x Log
x Log
x Log x
Log x
Log
) ( 9 3
0 27 6
27 ) 6 (
3 ) 6 ( log
:
0 :
3 ) 6 ( log 2 log
)
2
3
9 3
loai x
x
x x
x
x
x x ptr
x
đk
x
2) Đặt ẩn phụ : Khi trong ptr chứa nhiều logarit cùng một cơ số trong biểu thức chứa tích hoặc thương
log 5
1 log
1
2
a
Trang 6
1 5
10 10 0
x
x
x
Đặt t = logx
5
1 1
2
t t
Thu gọn: t2 5t 6 0
1000 10
3 log
100 10
2 log 3 2
3 2
x x
x x
t t
b (1log2 x)(2 log4 x)3
Đk: x 0
Đặt t log2 x
Ptr : ) 3
2
1 2 )(
1
( t t
Thu gọn: t2 3t 2 0
4
2 2
log
1 log
2
1
2
2
x
x x
x t
t
3) Tổng cơ số khác nhau :
Tìm nghiệm x0
Chứng tỏ ptr có một nghiệm duy nhất x0
TD: giải ptr:
log 2 x log 3 (x 1 ) 3
ĐK : x 1
Ptr có nghiệm x = 4
Ptr : log2 x log3(x 1 ) 3 0
Xét hs f(x) log 2 x log 3 (x 1 ) 3
TXĐ: D ( 1 ; )
1
1 2 ln 1 ) (
x x
x
f
Suy ra hs f(x) đồng biến
Do đó ptr có duy nhất một nghiệm x = 4
Bài tập tương tự:
Bài 1: giải các ptr mũ:
5 25
.
x x
b 3x2 9x 27
c 32 1 0 , 25 128 3
x
d 5x1 5 3x 26
e 3 4x 2 6x 9x
f 2x 4x 8x 14
g 3 2 8 4 3 5 27 0
x
h ( 2 1 )x ( 2 1 )x 6
i 3x 4x 5x
j 3x 4x 25
Trang 7k 5 2 7 35 5 2 36 7 0
x
l 8x 1 8 ( 0 , 5 ) 3x 3 2x 3 125 24 ( 0 , 5 )x
Bài 2: giải các ptr logarit:
a
2
5 log log
8
2x x x
b log3x(x 1 ) 1
c log5x log5(x 1 ) 1
d log( 2 6 7 ) log( 3 )
x
e log ( 5 2 ) log 2 5 1
f logx2 16 log2x64 3
g log4x17 log9x7 0
h log ( 2 2 65 ) 2
5x x x
i log 5 log(x 10 ) 1 log( 21x 20 ) log( 2x 1 )
j log 2 3 log log 2 4
x
k 0
6
7 log 2 logx 4 x
e loglog 2x x loglog 48x x
16
8 4
2
III) BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Khi giải chủ yếu xét theo tính đơn điệu của hàm số mũ
Các dạng cũng tương tự như phương trình mũ
TD1 Giải các bất phương trình sau đây (Dạng a f x b
)
2 0
0 2
2 2 2
3 3
9 3
)
2 2
2 2
2
2 2
2 2
x x
x x
x x
a
x x
x x
9
50 log 9
50 2
50 2 9
25 2 4 2 2
25 2
2 )
2
2 1
x
b
x x
x x
x x
3 log
3 3 2
3 3 2
3 2 )
3 2
1
x
c
x
x x
x x
TD2 Giải các bất phương trình (Dạng đặt ẩn phụ )
a) 4x – 3.2x + 2 > 0
Đặt t = 2x ( t > 0)
Phương trình: t2 – 3t + 2 > 0
1
0 2
2
1 2 2
1
x
x t
t
x
x
b) 2x+1 + 2-x – 3 < 0
2 2x 2 x 3 0
Đặt t = 2x ( t > 0 )
Bất phương trình : 2 1 3 0
t t
Trang 8
0 1
1 2 2 1
1 2
1
0 1 3 2
x
t
t t
x
IV) BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Khi giải ta cũng dựa theo tính chất đơn điệu của hàm số Logarit1
Chú ý các dạng thường gặp sau đây
) 1 0
( ) ( )
( 0
) 1 (
0 )
( )
( )
( )
(
*
) 1 0
( )
(
) 1 (
) ( )
(
*
a khi
x g x
f
a khi x
g x
f x
g Log x
f Log
a khi
a x
f
a khi a
x f x
f Log
a a
TD Giải các phương trình :
3 1
0 4 5
2 ) 2 ( ) 3 (
1 ) 2 ( ) 3 (
3 2
0 2 0 3 :
1 ) 2 ( )
3 ( )
2 2
2 2
x ĐK Do
x x x
x x
x x
Log Bptr
x x
x ĐK
x Log x
Log
a
Nên bất phương trình có nghiệm : 3 x 4
) (4 11) ( 2 6 8)
2
1 2
1 x Log x x
Log
b
Do cơ số a < 1 Nên bất phương tương đương với
) 3 ,
1 ( 0 3 2
) 2 ,
4 ( 0 8 6
) 4 11 (
0 11 4
8 6 11
4
0 8 6 0 11 4
2 2 2
x x x
x
x x
x x
x x
x x x
x x
x -4 -3 4
11
-2 1
11
8 6
2
x
x + 0 - - - 0 + +
3 2
2 x
x + + 0 - - - 0 +
Chọn nghiệm thuộc miền mang dấu
Kết quả: nghiệm của ptr: là S ( 2 ; 1 )
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Giải các bất ptr mũ:
a 3 2 3 1 28
x
b 2x 2 3x 1 4
c 2 2 1 2 2 2 2 2 3 448
x
d 9x 3x 1 4 0
e 2x 1 5x 2 2x 1 5x 1 0
f 5 2 1 5 4
x
g 2x 2 1 x 3 0
h ( 1 ) 2 2 1
x x
x
Trang 9Bài 2: Giải các bất ptr logarit :
a) log3( 3x 5 ) log3(x 1 )
b) log0,2 x log5(x 2 ) log0,23
c) log 2 5 log3 6 0
3 x x
d) log log ( 2 1 1
2 , 0
2 x
e) log ( 6 5) 2log3(2 ) 0
2 3
1 x x x
f) 11 loglog 21
2
4
x x
g) log (6 1 36 ) 2
5
1 x x
h) log( 2 2 ) log( 2 2 )
x
V) Một số pt & bptr mũ, log trong đề thi TNPTvà ĐH
1) Tốt nghiệp phổ thông
Giải các phương trình sau đây :
a) 2x+2 – 9.2 x + 2 = 0 (2006)
b) Log4xLog2(4x) 5(2007)
c) 3 2x+1 - 9.3 x + 6 = 0 (2008)
d) 25 x - 6.5x + 5 = 0 (2009)
2) Đại học
e) Giải phương trình
2 2 4 2 2 2 2 4 0 ( 2006 )
D
x x x x x
f) Giải bất phương trình
) 2006 ( ) 1 2 ( 1
2 4 ) 144 4
5 5
g) Giải bất phương trình
2 (4 3) (2 3) 2 ( 2007)
3 1
3 x Log x A
h) Giải phương trình
3 2 4
1 2
) 27 2 15 4
i) Giải bất phương trình
4
2 6 7 ,
x
x x Log
j) Giải bất phương trình
log 3 2 0 ( 2008 )
2
2
x
x x
HẾT