Sự tồn tại nghiệm của mô hình phản ứng Belousov - Zhabotinskii với điều kiện biên Neumann

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -NGUYỄN THỊ LÝ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH PHẢN ỨNG BELOUSOV-ZHABOTINSKII VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LU

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN THỊ LÝ

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH PHẢN ỨNG BELOUSOV-ZHABOTINSKII VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ HUY CHUẨN

Hà Nội – Năm 2014

MỞ ĐẦU 2

1.1 Những không gian hàm cơ bản 6

1.1.1 Không gian H¨older 6

1.1.2 Không gian Sobolev 7

1.1.3 Bộ ba không gian 9

1.2 Toán tử quạt 10

1.2.1 Các định nghĩa 10

1.2.2 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng nửa song tuyến tính 13 1.2.3 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính 14

1.2.4 Toán tử quạt trong không gian L2 15

1.2.5 Toán tử quạt trong không gian tích 18

1.3 Bài toán Cauchy 18

1.3.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính 18

1.3.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 19

2 Mô hình Field-Noyes 28 2.1 Nghiệm địa phương 29

2.1.1 Sự tồn tại nghiệm địa phương 29

2.1.2 Nghiệm địa phương không âm 32

2.2 Nghiệm toàn cục 35

2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 35

2.2.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục 37

3 Mô hình Keener-Tyson 38 3.1 Nghiệm địa phương 39

3.1.1 Sự tồn tại nghiệm địa phương 39

3.1.2 Nghiệm địa phương không âm 42

3.2 Nghiệm toàn cục 44

3.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 44

3.2.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục 46

KẾT LUẬN 47

Tài liệu tham khảo 48

Vào năm 1968, lần đầu tiên thế giới được biết một phản ứng hóa học rất kỳ

lạ biểu hiện tính tự tổ chức do hai nhà khoa học Nga, Belousov và Zhabotinskythực hiện Đây là một thí nghiệm hóa học thú vị, hấp dẫn và đầy thách thức vì nókhông dẫn đến bất kì sự cân bằng hóa chất nào Khi trộn lẫn một số hóa chất baogồm axit malonic CH2(CO2H)2 (công thức cấu tạo là HOOC-CH2-COOH), kalibromat KBrO3 là một chất oxi hóa mạnh, kali bromua KBr (hoặc natri bromatNaBrO3, natri bromua NaBr), cerium amonium nitrate (NH4)2Ce(NO3)6, axitsulfuric H2SO4 là axit vô cơ manh, chất chỉ thị màu Ferroin và nước trong mộtbình chứa Lúc nhiệt độ tăng cao tới mức nào đó, đột nhiên xuất hiện một cấutrúc gồm các dao động tuần hoàn di chuyển theo những vòng đồng tâm hayxoắn ốc, tồn tại bền vững mặc dầu phản ứng không ngừng tác động, và còn tiếptục phát sinh nhiều dao động thêm nữa

Vào năm 1974, Field-Noyes trình bày mô hình toán học mô tả phản ứngBelousov-Zhabotinskii như sau

Trong luận văn, ta sẽ nghiên cứu mô hình Field-Noyes và mô hình Tyson với điều kiện biên Neumann

Keener-Luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này cung cấp lý thuyết cơ sở chohai chương sau Bao gồm những không gian cơ bản, tiếp theo là định nghĩa vềtoán tử quạt, cách chuyển dạng nửa song tuyến tính về toán tử quạt, cuối cùng

là bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Chương 2 Mô hình Field-Noyes Chương này trình bày mô hình toánhọc mà Field-Noyes đưa ra để mô tả phản ứng Belousov - Zhabotinskii Ta sẽchứng minh sự tồn tại địa phương, xây dựng đánh giá tiên nghiệm và chứngminh sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán

Chương 3 Mô hình Keener-Tyson Tương tự như Chương 2, nội dungcủa Chương 3 là chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của mô hình Keener-Tyson

Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo[5] Trong đó có dựa trên đóng góp của những tác giả trong các tài liệu [1], [2],[3] và [4]

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Lê HuyChuẩn Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắcmắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc đến thầy.

Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã thamgia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công laodạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Nhà trường

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quantâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ củamình

Hà Nội, tháng 11 năm 2014Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Lý

Rn =x = (x1 , x 2 , , x n ) : x i ∈R, i = 1, n ,

Rn+ =x = (x1, x2, , xn) : xi ∈R, i = 1, n − 1, xn > 0 ,

C([a, b]; X) =

f : [a, b] → X, f liên tục trên [a, b] ,

Cm([a, b]; X) =f : [a, b] → X, f khả vi liên tục đến cấp m ,

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Những không gian hàm cơ bản

1.1.1 Không gian H¨ older

Định nghĩa 1.1 Cho tập mở Ω ⊂Rn và 0 < γ ≤ 1

a) Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục H¨older bậc γ nếu tồn tại hằng số

C > 0 sao cho

|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ, x, y ∈ Ω.

Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz

b) Nếu u : Ω →R là bị chặn và liên tục, ta định nghĩa

kukC0,γ (Ω) = kukC(Ω)+ [u]C0,γ (Ω)

Định nghĩa 1.2 Không gian H¨older Ck,γ(Ω) gồm tất cả các hàm số u ∈ Ck(Ω),

Như vậy, không gian Ck,γ(Ω) gồm tất cả các hàm số u sao cho các đạo hàmriêng cấpk của nó bị chặn và liên tục H¨older bậc γ Hơn nữa, không gian H¨older

Ck,γ(Ω) là không gian Banach với chuẩn k.kCk,γ (Ω)

Không gian hàm liên tục H¨older có trọng F β,σ ((a, b]; X)

Cho X là không gian Banach, với hai số mũ 0 < σ < β ≤ 1, định nghĩa khônggian hàm F β,σ ((a, b]; X) gồm các hàm F (t) : (a, b] → X liên tục trên (a, b] (tươngứng [a, b]) khi 0 < β < 1 (tương ứng β = 1) thỏa mãn ba tính chất sau:

1 Khi β < 1, (t − a)1−βF (t) có giới hạn hữu hạn khi t → a

2 F là liên tục H¨older với số mũ σ và với trọng (s − a)1−β+σ, nghĩa là

Với chuẩn này, không gian F β,σ ((a, b]; X) trở thành không gian Banach

1.1.2 Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.3 Với một hàm u ∈ L1loc(Ω), ta nói rằng v ∈ L1loc(Ω) là đạo hàmyếu của u ứng với biến xj, ký hiệu v = Dju nếu

Định nghĩa 1.4 Cho Ω là một miền trong R, với 1 ≤ p ≤ ∞ và k = 0, 1, 2, ta

Khi đó Y được gọi là một không gian liên hợp củaX với tích đối ngẫu h., i Nếu

Y là liên hợp của X với tích đối ngẫu h., iX×Y thì X là liên hợp của Y với tích

đối ngẫu hG, F iY ×X = hF, GiX×Y Khi đó ta nói hai không gian X và Y là mộtcặp liên hợp với tích đối ngẫu h., i.

ChoZ và X là hai không gian Hilbert với tích ((., ))và (., ) và chuẩn k.kvà |.|

tương ứng, Z ⊂ X là nhúng liên tục và trù mật Giả sử rằng tồn tại một khônggian Banach Z∗ trang bị chuẩn k.k∗ thỏa mãn

1 Z ⊂ X ⊂ Z∗ là nhúng liên tục và trù mật

2 {Z, Z∗} là một cặp liên hợp với tích đối ngẫu h., i

3 Tích đối ngẫu h., i thỏa mãn

Định nghĩa 1.5 Cho X, Y là hai không gian Banach,A : D(A) ⊂ X → Y D(A)

được gọi là miền xác định của toán tử A

• Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X

• Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X × Y thì A được gọi là toán tửđóng, tức là

• Tập phổ của A là σ(A) =C\ρ(A).

Định nghĩa 1.7 Cho X là không gian Banach, A là toán tử tuyến tính, đóng,xác định trù mật trên X Giả sử rằng phổ của A nằm trong miền

Σω = {λ ∈C: | arg λ| < ω} , 0 < ω ≤ π, (1.5)

và giải thức thỏa mãn đánh giá

(λ − A)−1 ≤ M

trong đó M ≥ 1 Ta gọi A là toán tử quạt

Định nghĩa 1.8 Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X Kí hiệu

Khi đó tích phân (1.7) hội tụ trong L(X) Họ các toán tử e−tA được gọi là hàm

mũ sinh bởi −A Ta có tính chất sau

e−tAe−t0A = e−t0Ae−tA= e−(t+t0)A, 0 < t, t0< ∞.

Hàm lũy thừa

Cho (X, k.k) là một không gian Banach, A là một toán tử quạt trong X vớigóc 0 ≤ ωA < π Với mỗi số nguyênn ∈Z, toán tử An được định nghĩa, thật vậy,khi n > 0 thì An là một toán tử đóng, xác định trù mật trong X, khi n < 0 thì

An = (A−1)−n = (A−n)−1 là một toán tử bị chặn của X, và khi n = 0 thì A0 = 1

(toán tử đồng nhất trên X) Tiếp theo chúng ta sẽ mở rộng định nghĩa này cho

δeiω, từ δeiω tới δe−iω và từ δe−iω tới ∞e−iω Do

|λ−z| = |e−z log λ| = |e−z(log ρ±iω)| = e±(Im z)ωρ− Re z, λ ∈ Γ±,

nên tích phân (1.8) hội tụ trong L(X)

Ta có một số tính chất của toán tử A−z như sau

Như vậy, với mỗi số thực −∞ < x < ∞ thì toán tử mũ Ax của A đã được địnhnghĩa và thỏa mãn các tính chất sau.

1 Ax là toán tử bị chặn trênX với −∞ < x < 0, A 0 = 1 và Ax là toán tử tuyếntính, đóng, xác định trù mật của X với 0 < x < ∞

2 D(A x 2 ) ⊂ D(Ax1 ) với 0 ≤ x1< x2 < ∞

3 AxAx0 = Ax0Ax = Ax+x0 với −∞ < x, x0 < ∞

Đặc biệt, với0 < θ < 1, Aθ là một toán tử quạt của X với góc nhỏ hơn hoặc bằng

θωA Và Aθ thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng sau

k[e−tA− 1]A−θk ≤ Ctθ, 0 < t < ∞, 0 < θ ≤ 1.

1.2.2 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng nửa song tuyến tính

Cho Z ⊂ X ⊂ Z∗ là một bộ ba không gian, {Z, Z∗} là một cặp liên hợp, vớitích đối ngẫu h., iZ∗ ×Z = h., iZ×Z∗ Xét dạng nửa song tuyến tính a : Z × Z →C

thỏa mãn

a(αu + β ˜ u, v) = αa(u, v) + βa(˜ u, v), α, β ∈C, u, ˜ u, v ∈ Z,

a(u, αv + β ˜ v) = αa(u, v) + βa(u, ˜ v), α, β ∈C, u, v, ˜ v ∈ Z.

Khi a(u, v) thỏa mãn điều kiện

với M là hằng số, ta nói a(u, v) là dạng nửa song tuyến tính liên tục

Xét dạng nửa song tuyến tính a(u, v) xác định trên Z Với mỗi u ∈ Z, tồn tạiduy nhất Φ ∈ Z∗ sao cho a(u, v) = hΦ, vi với mọi v ∈ Z Khi đó A : u 7→ Φ là một

toán tử tuyến tính từ Z vào Z∗ Toán tử A này được gọi là toán tử liên kết vớidạng nửa song tuyến tính a(u, v) Do đó

Z∗ với δkuk ≤ kAuk∗ ≤ M kuk và là một toán tử tuyến tính, đóng, xác định trùmật trong Z∗

1.2.3 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính

Cho Z ⊂ X ⊂ Z∗ là bộ ba không gian với các chuẩn k.k, |.|, k.k∗ tương ứng.Tích trong của X là (., ) và tích đối ngẫu trong Z∗× Z là h., i Xét một dạngnửa song tuyến tính a(u, v) xác định trên Z thỏa mãn

Với mỗi Re λ ≤ 0, xét dạng nửa song tuyến tính

a(u, v) − λ(u, v), u, v ∈ Z,

thỏa mãn điều kiện liên tục và điều kiện bức trênZ Do đó A là một phép đẳngcấu từ Z vào Z∗ Hơn nữa, ta có những đánh giá sau đây:

|λ|k(λ − A)−1Φk∗≤ (M δ−1+ 1)kΦk∗, Φ ∈ Z∗,

|λ||(λ − A)−1F | ≤ (M δ−1+ 1)|F |, F ∈ X,

|λ|k(λ − A)−1uk ≤ (M δ−1+ 1)kuk, u ∈ Z.

Từ những đánh giá này ta thu được kêt quả sau

Định lý 1.3 ([5], Định lý 2.1) Cho a(u, v) là một dạng nửa song tuyến tínhtrên Z thỏa mãn (1.14) và (1.15) Khi đó A, A|X, và A|Z tương ứng là các toán

tử tuyến tính của Z∗, X và Z được xác định từ a(u, v), chúng thỏa mãn (1.5) và(1.6) với góc ω = π

2 và hằng số M + δ

δ Do đó chúng là các toán tử quạt của

Z∗, X và Z tương ứng, với góc nhỏ hơn π

2

1.2.4 Toán tử quạt trong không gian L 2

Xét dạng nửa song tuyến tính xác định trên H1(Rn)

i,j kai,jkL∞, kckL∞

o Ngoài ra,(1.18) kéo theo

Ta xét một bộ ba không gian H1(Rn) ⊂ L 2 (Rn) ⊂ H1(Rn)∗ và một toán tử A

2 và M được xác định bởi kaijkL∞, kckL∞, δ, c0, tức là A là toán tửquạt của H1(Rn)∗, L2(Rn), H1(Rn) tương ứng, với góc nhỏ hơn π

2.Bây giờ cho Ω là một miền bất kì trong Rn Trên không gian H1(Ω) ta xétdạng nửa song tuyến tính

u ∈ D(A|L2), tức là Au ∈ L 2 (Ω) thì theo công thức Green ta có

ở đây kí hiệu ν(x) = (ν 1 (x), , ν n (x) là véc-tơ ngoài tại x ∈ ∂Ω Vì ău, v) phảiliên tục theo v trong L 2 (Ω) nên tích phân trên ∂Ωphải triệt tiêụ Nói cách khác,

u phải thỏa mãn điều kiện

2 và M được xác định bởi kaijkL∞, kckL∞, δ, c0, tức là A

là toán tử quạt của H1(Ω)∗, L 2 (Ω), H1(Ω) tương ứng, với góc nhỏ hơn π

2.Chú ý Khi aij(x) ≡ δij, toán tử vi phân ∆ = Pn

i=1 D2i được gọi là toán tửLaplace và điều kiện biên ∂u

Ta bổ sung định nghĩa không gian con đóng HNs (Ω) của Hs(Ω) với 3

hoặc lồi, ặ, ) là dạng nửa song tuyến tính xác định trên H1(Ω) có dạng (1.20)

Kí hiệu A là toán tử quạt liên kết với ặ, ) Giả sử (1.21), (1.22), (1.23) đượcthỏa mãn và a ij (x) ∈ C1(Ω), 1 ≤ i, j ≤ n Khi đó

với chuẩn tương đương

C−1kukH2θ ≤ kAθukL2 ≤ CkukH2θ , u ∈ D(Aθ)

trong đó C > 0

1.2.5 Toán tử quạt trong không gian tích

Cho (X1, k.k1) và (X2, k.k2)là hai không gian Banach Giả sử X là không gianBanach tích của X1 và X2 với chuẩn

Định lý 1.7 ([5], Định lý 2.16) Giả sử Ak là toán tử quạt trong Xk với góc

0 ≤ ωk < π, với k = 1, 2 Khi đó toán tử ma trận A xác định bởi (1.24) thỏa mãn(1.5) và (1.6) với mọi góc ω sao cho ωA < ω ≤ π, ở đây ωA = max {ω1; ω2} vàvới hằng số Mω = max {M1,ω; M2,ω} Tức là, A là toán tử quạt của X với góc nhỏhơn hoặc bằng ωA

1.3 Bài toán Cauchy

Trong luận văn ta xét toán tử quạt A trong không gian Banach X với góc

1.3.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính

Ta xét bài toán Cauchy cho một phương trình tiến hóa tuyến tính trừu tượngtrong không gian Banach X như sau

Ở đây 0 < T < ∞ là thời gian cố định; A là toán tử quạt trong X với góc

ωA < π

2 thỏa mãn (1.25) và (1.26); F là một hàm được cho trong không gian

F β,σ ((0, T ]; X), 0 < σ < β ≤ 1; giá trị ban đầu U0 được cho trong X

Khi đó ta có kết quả như sau

Định lý 1.8 ([5], Định lý 3.4) Cho A thỏa mãn (1.25) và (1.26), với bất kì hàm

F ∈ Fβ,σ((0, T ]; X) và bất kì U0 ∈ X Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm U của bàitoán (1.27) trong không gian

e−(t−τ )AF (τ )dτ, 0 ≤ t ≤ T.

1.3.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Bài toán Cauchy cho một phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trừu tượngtrong kông gian Banach X có dạng như sau

G(t) được cho trong không gian F β,σ ((a, b]; X), 0 < σ < β; giá trị ban đầu U0

được cho trong X

Trong đó toán tử F : D(Aη) → X gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu

và ϕ(.) là hàm liên tục tăng Đặc biệt, (1.29) kéo theo đánh giá

kF (U )k ≤ ψ(kU k)(kAηU k + 1), U ∈ D(Aη), (1.31)với ψ(ξ) = kF (0)k + ϕ(ξ)(ξ + 1).

Ta nhận được kết quả sau

Định lý 1.9 ([5], Định lý 4.4) Giả sử các điều kiện (1.25),(1.26),(1.29) và (1.30)được thỏa mãn Khi đó, với bất kì hàm G ∈ Fβ,σ((0, T ]; X), 0 < σ < β ≤ 1 − η,

và bất kì U 0 ∈ X, bài toán Cauchy (1.28) có duy nhất một nghiệm địa phương U

trong không gian

U ∈ C((0, TG,U0]; D(A)) ∩ C([0, TG,U0]; X) ∩ C1((0, TG,U0]; X), (1.32)trong đó TG,U0 > 0 chỉ phụ thuộc vào chuẩn kGkFβ,σ và kU0k Hơn nữa, U thỏamãn đánh giá

e−(t−s)A[F (U (s)) + G(s)]ds, 0 ≤ t ≤ S.

Mục tiêu của ta là chứng minh rằng Φ là ánh xạ co từ K(S) vào chính nó với

S đủ nhỏ và điểm bất động của Φ chính là nghiệm cần tìm của (1.28) Với mục

tiêu này, ta chia chứng minh thành bốn bước chính Kí hiệu CG,U0 thay thế chotoàn bộ các hằng số đươc xác định trong suốt quá trình chứng minh.

Bước 1 Chứng minh Φ là ánh xạ từ K(S) vào chính nó Cho U ∈ K(S), từ(1.31) ta có

kF (U (t))k ≤ ψ(kU k)(kAηU k + 1),

kết hợp với (1.34), (1.35) suy ra

kF (U (t))k ≤ ψ(C2)(C1t−η+ 1), 0 ≤ t ≤ S. (1.36)Với mọi θ thỏa mãn 0 ≤ θ < 1 ta có

AθΦU (t) = Aθe−tAU 0 +

Z t 0

Aθe−(t−s)A[F (U (s)) + G(s)]ds,

suy ra

kAθΦU (t)k ≤ kAθe−tAkkU0k +

Z t 0

(t − s)−θkF (U (s))kds

+ Aθtθ

Z t 0

(t − s)−θkG(s)kds,

từ (1.1) và (1.36 ) nhận được

tθkAθΦU (t)k ≤AθkU0k + Aθψ(C2)tθ

Z t 0

(t − s)−θ(C1s−η+ 1)ds

+ AθkGkFβ,σ tθ

Z t 0

(t − s)−θs−1ds.

Đổi biến s = ut, ds = tdu

tθkAθΦU (t)k ≤ AθkU 0 k + Aθψ(C 2 )

Z 1 0

(1 − u)−θ(C 1 (ut)−η+ 1)tdu

+ AθkGkFβ,σ

Z 1 0

(1 − u)−θu−ηdu + t

Z 1 0

(1 − u)−θdu



+ AθkGkFβ,σ

Z 1 0

Như vậy ΦU thỏa mãn (1.34) và (1.35)

Chứng minh ΦU ∈ C((0, S]; D(Aη)) Với 0 < s < t ≤ S ta có

ΦU (t) = e−tAU0+

Z t 0

e−(t−τ )A[F (U (τ )) + G(τ )]dτ

= e−(t−s)Ae−sAU0+ e−(t−s)A

Z s 0

e−(s−τ )A[F (U (τ )) + G(τ )]dτ

+

Z t s

e−(t−τ )A[F (U (τ )) + G(τ )]dτ,

ΦU (s) = e−sAU 0 +

Z s 0

e−(s−τ )A[F (U (τ )) + G(τ )]dτ



+

Z t s

e−(t−τ )A[F (U (τ )) + G(τ )]dτ

=he−(t−s)A− 1iΦU (s) +

Z t s

e−(t−τ )A[F (U (τ )) + G(τ )]dτ.

Sử dụng (1.37) và vì ΦU thỏa mãn (1.34) nên

kAη[ΦU (t) − ΦU (s)]k ≤ khe−(t−s)A− 1iA−σkkAη+σΦU (s)k

+

Z t s

kAηe−(t−τ )Ak[kF (U (τ ))k + kG(τ )k]dτ

≤ CG,U0(t − s)σs−(η+σ)+ CG,U0Aη

Z t s

(t − τ )−η(τ−1+ 1)dτ.

Ta viết −1 = (η + σ − 1) + (−σ − η)

Z t s

(t − τ )−ητ−1dτ ≤

Z t s

(1 − v)−ηvη+σ−1(t − s)σs−σ−ηdv

= B(1 − η, η + σ)(t − s)σs−σ−η.