TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -NGUYỄN VIẾT CHIẾN SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH HIỆU ỨNG BIẾN ĐỔI PHA CỦA CHẤT BỊ HÚT BÁM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số:
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-NGUYỄN VIẾT CHIẾN
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH
HIỆU ỨNG BIẾN ĐỔI PHA
CỦA CHẤT BỊ HÚT BÁM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS LÊ HUY CHUẨN
Hà Nội – Năm 2015
Trang 2Mở đầu 2
1.1 Những không gian hàm cơ bản 4
1.1.1 Các định nghĩa 4
1.1.2 Định lý nhúng 7
1.2 Toán tử quạt 8
1.2.1 Các định nghĩa 8
1.2.2 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính 12
1.2.3 Toán tử quạt trong không gian L2 14
1.3 Phương trình tiến hóa tựa tuyến tính 16
2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann 24 2.1 Nghiệm địa phương 25
2.2 Nghiệm toàn cục 35
2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 35
2.2.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục 39
KẾT LUẬN 41
Tài liệu tham khảo 42
Trang 3Năm 1990, Jakubith đã nghiên cứu quá trình oxy hóa phân tử CO trên bềmặt nguyên tử Pt(110) Ông khám phá ra rằng trên bề mặt nguyên tử Pt, quátrình các phân tử CO hấp thụ nguyên tử O để tạo ra phân tử khí Cacbonic diễn
ra rất phức tạp Vì vậy, để hiểu được cơ chế của các hiện tượng trên, Hildebrand
- Kuperman - Wio - Mikhailov - Ertl [2] và Hildebrand - Ipsen - Mikhailov - Ertl[1] đã trình bày một mô hình động lực học đơn giản của phản ứng đó có tên gọi
là mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám Nội dung của luận văn
là nghiên cứu mô hình trên với điều kiện biên Neumann
Luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số khái niệm
và kết quả bao gồm: Định nghĩa về các không gian hàm cơ bản; Định nghĩa toán
tử quạt và tính chất liên quan; Các định lý nhúng; Bài toán Cauchy cho phươngtrình tiến hóa tựa tuyến tính
Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi phacủa chát bị hút bám với điều kiện biên Neumann Nội dung của chươngnày là chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của mô hình hiệu ứng biến đổipha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann, gồm hai bước: Đầu tiên,
ta chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương bằng cách viết lại mô hình trên vềdạng bài toán Cauchy trừu tượng Sau đó, ta xây dựng đánh giá tiên nghiệmcho các nghiệm địa phương, sử dụng đánh giá đó chứng minh sự tồn tại nghiệmtoàn cục của mô hình đã cho
Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo[3] và [5]
Trang 4Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắccủa TS Lê Huy Chuẩn Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giảiđáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏlòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã thamgia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công laodạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Nhà trường
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quantâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ củamình
Hà Nội, tháng 11 năm 2014Tác giả luận văn
Nguyễn Viết Chiến
Trang 5Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả liênquan đến không gian H¨older, không gian Sobolev, toán tử quạt thường được sửdụng khi nghiên cứu các bài toán của phương trình vi phân đạo hàm riêng Cuốicùng, ta trình bày bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa tựa tuyến tính.Chứng minh chi tiết các kết quả này có thể xem trong [5]
1.1 Những không gian hàm cơ bản
1.1.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Cho X, Y là các không gian Banach, và tập mở Ω ⊂ X Ta
có định nghĩa các không gian hàm cơ bản sau
Rn =x = (x1 , x2, , xn) : xi∈R, i = 1, n .
Rn+ =x = (x 1 , x 2 , , x n ) : x i ∈R, i = 1, n, x i > 0 .
C([a, b]; X) =f : [a, b] → X : f liên tục trên [a, b] .
Cm([a, b]; X) = f : [a, b] → X : f khả vi liên tục đến cấp m .
|f | = inf {k : µ {x ∈ Ω : f (x) > k} = 0} , µ là độ đo Lebesgue trên Ω.
Lploc(Ω) =nf đo được trên Ω : f ∈ Lp(Ω0), ∀Ω0compact⊂ Ω
o
.
Trang 6Định nghĩa 1.2 Cho X là không gian Banach.
a) Kí hiệuB ([a, b] ; X) =
u : [a, b] → X : u bị chặn trên[a, b] Khi đóB ([a, b] ; X)
là không gian Banach với chuẩn
kukB = sup
a≤t≤b
ku(t)k , ∀u ∈ B ([a, b] ; X)
b) Choη > 0, không gianB{a}−η ((a, b] ; X) = u : (a, b] → X : (t − a)ηu ∈ B ((a, b] ; X) Không gian trên được trang bị chuẩn
kukB−η {a} = sup
Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz
b) Không gian C ¯ Ω=u : Ω → R: ubị chặn và liên tục trên Ω với chuẩn
Không gian trên được trang bị chuẩn
kukCm,σ = kukCm + sup
a≤s<t≤b
u(m)(t) − u(m)(s)
|t − s|σ .
d) Cho 0 < σ < 1, không gian
C{a}σ ([a, b] ; X) =u : [a, b] → X : u liên tục H¨older bậc σ tại x = a .
Ta định nghĩa chuẩn của không gian trên là
kukCσ {a} = kukC + sup
a<t≤b
ku(t) − u(a)k (t − a)σ , ∀u ∈ C{a}σ ([a, b] ; X)
Không gian hàm liên tục H¨older có trọng Fβ,σ((a, b]; X)
Cho (X, k.k) là không gian Banach, với hai số mũ 0 < σ < β < 1 Không gian
Fβ,σ((a, b]; X) gồm các hàm liên tục F (t) : (a, b] → X thỏa mãn ba tính chất sau:
Trang 7(1) Khi β < 1, (t − a)1−βF (t) có giới hạn khi t → a.
(2) F là hàm liên tục H¨older với số mũ σ và trọng (s − a)1−β+σ, nghĩa là
là một không gian Banach
Sau đây, ta sẽ định nghĩa lớp không gian Sobolev Trước tiên, chúng ta tìmhiểu khái niệm "đạo hàm yếu" của một phần tử thuộc không gian L1loc(Ω).Định nghĩa 1.4 Với một hàm u ∈ L1loc(Ω), ta nói rằng v ∈ L1loc(Ω) là đạo hàmyếu của u ứng với biến xj, ký hiệu v = Dju, nếu
Trang 8Không gian Sobolev Wk,p(Ω) được định nghĩa như trên là không gian Banachkhả ly Trường hợp p = 2, ký hiệu Hk(Ω) = Wk,2(Ω) Người ta chọn ký hiệu này
vì Hk(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng được trang bị như sau
Trang 9Từ Định lý 1.1, Định lý 1.37 [5] và bất đẳng thức H¨older trong không gian
Lp, ta thu được các đánh giá thường được dùng sau Giả sử Ω là Rn , Rn+ hoặcmột miền bị chặn với biên Lipschitz Cho 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ thỏa 1p +1q = 1r, ta cóđánh giá
kuvkL
r ≤ kukL
p kvkL
q , u ∈ Lp(Ω), v ∈ Lq(Ω). (1.4)Khi 0 ≤ s < 1, Hs(Ω) ⊂ Lp(Ω), 1/p = (1 − s)/2 ta có ước lượng
kukL
p ≤ CkukHs , u ∈ Hs(Ω) ∩ Lp(Ω) (1.5)Khi s = 1, H1(Ω) ⊂ Lq(Ω) với 2 < q < ∞ thỏa mãn
kukL
q ≤ Cp,qkuk1−(p/q)H1 kukp/qL
p , u ∈ H1(Ω) ∩ Lq(Ω) (1.6)Khi 1 ≤ p < q < ∞, s > 1, Hs(Ω) ⊂ C( ¯ Ω) ta đưa vào ước lượng
kukC ≤ CkukHs , u ∈ Hs(Ω) ∩ C Ω. (1.7)Với 0 < θ ≤ 1 ta có
kuvkH1+θ ≤ CθkukH1+θ kvkH1+θ , u, v ∈ H1+θ(Ω). (1.8)
1.2 Toán tử quạt
1.2.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.6 Cho X, Y là không gian Banach với chuẩn k.k, A : D(A) ⊂
X → Y D(A) được gọi là miền xác định của toán tử A
Trang 10• Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X.
• Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X × Y thì A được gọi là toán tửđóng, tức là
GA = {(x, y) : x ∈ D(A), y = Ax} là tập đóng
Định nghĩa 1.7 Cho A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trongkhông gian Banach X Kí hiệu
• Tập giải ρ(A) =λ ∈C: (λ − A)−1 ∈ L(X)
• Nếu λ ∈ ρ(A) thì R(λ) = (λ − A)−1 được gọi là giải thức
• Tập phổ của A là σ(A) =C\ρ(A)
Định nghĩa 1.8 Cho X là không gian Banach, A là toán tử tuyến tính đóng
và xác định trù mật trên X.Giả sử phổ của A nằm trong miền
Σω = {λ ∈C: |argλ| < ω} , 0 < ω ≤ π, (1.9)
và giải thức thỏa mãn đánh giá
(λ − A)−1 ≤ M
trong đó M ≥ 1 Khi đó, A được gọi là là toán tử quạt
Định nghĩa 1.9 Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X Kí hiệu
a) Hàm mũ sinh bởi toán tử quạt
Cho A là toán tử quạt trong không gian BanachX với góc ωA < π
Trang 11Chúng ta định nghĩa họ các toán tử tuyến tính bị chặn e−tA bởi tích phânDunford trong không gian L(X) như sau
e−tr(cosω±isinω) = e−trcosω = e−trcosω Từ đó, ta suy ra e−tλ(λ − A)−1 ≤
Me−trcosωr Do vậy tích phân trên hội tụ Khi đó, họ các toán tử e−tA được gọi làhàm mũ sinh bởi −A Họ toán tử trên thỏa mãn tính chất
Định lý 1.2 (Mệnh đề 2.6 [5]) Cho φ bất kì thỏa 0 < φ < π2 − ω Với mọi
z ∈ ¯ Σφ− {0}, toán tử e−zA hội tụ mạnh về 1 trên X khi z → 0
b) Lũy thừa phân số của toán tử quạt
Cho (X, k.k) là một không gian Banach, A là một toán tử quạt trong X vớigóc 0 ≤ ωA < π Với mỗi số nguyên n ∈ Z, toán tử An được định nghĩa như sau.Khi n > 0 thì An là một toán tử đóng, xác định trù mật trong X, khi n < 0 thì
An = (A−1)−n = (A−n)−1 là một toán tử bị chặn của X, và khi n = 0 thì A0 = 1
(toán tử đồng nhất trên X) Tiếp theo chúng ta sẽ mở rộng định nghĩa này cho
Trong đó,Γ là một chu tuyến bao quanhσ(A) theo hướng ngược chiều kim đồng
hồ trong C− (∞, 0] ∩ ρ(A) Ở đây, ta có thể lấy Γ = Γ−∪ Γ0∪ Γ+ thỏa mãn
Γ± : λ = ρe±iω, δ ≤ ρ < ∞, và Γ0: λ = δeiϕ, −ω ≤ ϕ ≤ ω,
Trang 12trong đó ωA < ω < π và 0 < δ < kA−1k−1 Hơn nữa, Γ định hướng từ ∞eiω tới
δeiω, từ δeiω tới δe−iω và từ δe−iω tới ∞e−iω Do
λ−z = e−z log λ ... D2i gọi toán tửLaplace điều kiện biên ∂u
Trang 17với chuẩn tương đương
C−1kukH2θ... ta suy nghiệm địa phương U
trong không gian nghiệm (1.40)
Trang 21Với nghiệm. .. Y gọi không gian liên hợp của< small>X với tích đối ngẫu h., i Nếu
Y liên hợp X với tích đối ngẫu h., iX×Y