Sự tồn tại nghiệm của mô hình chất bán dẫn với điều kiện biên hỗn hợp

PHẠM THỊ LIỄUSỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH CHẤT BÁN DẪN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 TS... Trong luận văn này, c

PHẠM THỊ LIỄU

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH CHẤT BÁN DẪN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01 02

TS LÊ HUY CHUẨN

HÀ NỘI, 2015

Mở đầu 3

1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Những không gian hàm cơ bản 6

1.1.1 Không gian H¨older 6

1.1.2 Không gian Sobolev 7

1.2 Toán tử quạt 9

1.2.1 Định nghĩa 9

1.2.2 Toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính 12

1.2.3 Toán tử quạt trong không gian L2 16

1.2.4 Toán tử quạt trong không gian tích 20

1.3 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 20

2 Mô hình chất bán dẫn 30 2.1 Nghiệm địa phương 31

2.1.1 Sự tồn tại nghiệm địa phương 31

2.1.2 Tính không âm của nghiệm địa phương 34

2.2 Nghiệm toàn cục 40

2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 40

2.2.2 Nghiệm toàn cục 42

2.3 Tập hút mũ 43

Kết Luận 50

Tài liệu tham khảo 51

Trong luận văn này, chúng ta sẽ nghiên cứu mô hình chất bán dẫn được nhàVật lý Shockley đưa ra vào năm 1950 để mô tả các dòng electron và lỗ trốngtrong chất bán dẫn (xem [10]) Ý nghĩa Vật lý và chi tiết của mô hình này cóthể xem thêm trong tài liệu [6].

Cụ thể, mô hình của Shockley có dạng sau:

ν ∇.{v∇χ} ký hiệu sự khuếch tán của electron và lỗ trống phụ thuộc vào điệnthế χ, trong đó µ và ν là hệ số khuếch tán của electron và lỗ trống Với các điềukiện thích hợp thì các electron và lỗ trống được hình thành với tốc độ f ≥ 0 vàđược kết hợp với tốc độ f uv Các hàm g ≥ 0 và h là các hàm ngoại lực đã biết.Luận văn bao gồm: phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài liệutham khảo

Chương 1 gồm những khái niệm và kết quả trong Giải tích hàm liên quanđến không gian H¨older, không gian Sobolev, toán tử quạt Cuối cùng, chúng tatrình bày chi tiết định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán tiến hóa nửatuyến tính để phục vụ cho nghiên cứu ở chương tiếp theo

Chương 2 là nội dung chính của luận văn, ở chương này chúng ta sẽ nghiêncứu bài toán (1) với điều kiện biên hỗn hợp Cụ thể, trong Mục 2.1 chúng ta

sẽ chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính không âm của nghiệm địa phương

Sự tồn tại của nghiệm toàn cục sẽ được trình bày trong Mục 2.2 dựa trên mộtđánh giá tiên nghiệm Cuối cùng, chúng ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cậnnghiệm của phương trình này Cụ thể, ở Mục 2.3 chúng ta sẽ xây dựng tập hút

mũ cho hệ động lực được xác định bởi phương trình (2.1) Tập hút mũ là kháiniệm được đưa ra bởi các nhà Toán học Eden, Foias, Nicolaenko, Temam - đó

là một tập bất biến dương chứa tập hút toàn cục, có số chiều fractal hữu hạn

và hút mọi quỹ đạo với tốc độ mũ Những nghiên cứu chi tiết về tập hút mũ cóthể xem trong [2]

Các nội dung chính của luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo[11], [5]

Trong luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những hạn chế và sai sót, tácgiả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Thầy Cô và bạn đọc Quađây tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS Lê Huy Chuẩn,người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thànhluận văn này

Hà Nội, 02 tháng 01 năm 2015

Tác giảPhạm Thị Liễu

0 ([a, b]) := {f ∈ C m ([a, b]) : giá của f compact trong [a, b] }

liên tục Lipschitz trên Ω

1.1 Những không gian hàm cơ bản

1.1.1 Không gian H¨ older

Cho Ω⊂Rn là một tập mở và 0 < γ ≤ 1

Định nghĩa 1.1. a) Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục H¨older bậc γ nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho

|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y| γ , x, y ∈ Ω.

Khi γ = 1 , hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz.

b) Cho u : Ω → R bị chặn và liên tục Ta định nghĩa

và chuẩn H¨ older bậc γ là

∥u∥ C 0,γ(Ω) :=∥u∥ C(Ω) + [u] C 0,γ(Ω).

Định nghĩa 1.2 Không gian H¨ older C k,γ(Ω) gồm tất cả các hàm số u ∈ C k(Ω),

Nhận xét: Không gian H¨older C k,γ(Ω) là không gian Banach với chuẩn ∥.∥ C k,γ(Ω)

Không gian hàm liên tục H¨ older có trọng F β,σ ((a, b]; X).

Cho (X, ∥.∥) là không gian Banach, với hai số mũ 0 < σ < β < 1 Không gian

F β,σ ((a, b]; X) gồm các hàm liên tục F (t) : (a, b] → X thỏa mãn ba tính chất sau:(1) (t − a)1−β F (t) có giới hạn khi t → a

(2) F là hàm liên tục H¨older với số mũ σ và trọng (s − a)1−β+σ, nghĩa là

là một không gian Banach

1.1.2 Không gian Sobolev

Không gian Sobolev là một lớp không gian được dùng rất nhiều trong quátrình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng Để định nghĩa lớp không giannày, trước tiên chúng ta tìm hiểu khái niệm "đạo hàm yếu" của một phần tửthuộc không gian L1loc(Ω)

Định nghĩa 1.3 Với một hàm u ∈ L1

loc(Ω), ta nói rằng v ∈ L1

loc(Ω) là đạo hàm yếu của u ứng với biến x j , ký hiệu v = D j u , nếu

∫Ω

vϕ dx = −

∫Ω

u ∂ϕ

∂x j dx,

với mọi ϕ ∈ C0∞(Ω) Bằng cách quy nạp, chúng ta cũng có thể định nghĩa đạo

hàm yếu cấp cao như sau: nếu u, v ∈ L1

loc(Ω) thì v được gọi là đạo hàm yếu cấp

α của u , viết là v = D α u , nếu

∫Ω

D α uϕ dx = ( −1) |α|

∫Ω

(i) Nếu k < m/2 thì u ∈ L 2m/(m −2k)(Ω) và tồn tại một hằng số C sao cho

Định lý 1.2 (Định lý compact Rellich-Kondrachov) Cho Ωlà một miền bị chặn

có biên thuộc lớp C1 Khi đó H1(Ω) nhúng compact trong không gian L2(Ω).

1.2 Toán tử quạt

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.6 Cho X, Y là hai không gian Banach, A : D(A) ⊂ X → Y D(A)

được gọi là miền xác định của toán tử A

• Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X

• Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X × Y thì A được gọi là toán tử đóng, tức là

• Nếu λ ∈ ρ(A) thì R(λ) = (λ − A) −1 được gọi là giải thức.

• Tập phổ của A là σ(A) =C\ρ(A)

Định nghĩa 1.8 Cho X là không gian Banach, A : X → X là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trên X Giả sử rằng phổ của A nằm trong miền hình quạt mở

Điều kiện (1.1) suy ra gốc O không thuộc σ(A), nghĩa là, A có nghịch đảo bịchặn A −1 trên X Nếu |λ| < ∥A −1 ∥ thì λ ∈ ρ(A) và ta có

∥(λ − A) −1 ∥ ≤ ∥A −1 ∥

1− ∥A −1 ∥|λ| , |λ| < ∥A −1 ∥. (1.3)

Với mỗi λ0= r0e ±iω , r

0 > 0 thì{

1− M sin(ω − ω ′) Vậy nếu

σ(A) ⊂ Σ ω thì tồn tại ω ′ < ω sao cho σ(A) ∈ Σ ω ′

Định nghĩa 1.9 Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X Kí hiệu

ω A = inf

ω {σ(A) ⊂ Σ ω }

được gọi là góc của toán tử quạt A Khi đó, với mọi góc ω thỏa mãn ω A < ω ≤ π

thì tồn tại M ω > 1 sao cho

(λ − A) −1 ≤ M ω

|λ| , ∀λ /∈ Σ ω

Hàm mũ của toán tử quạt

Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X với góc 0 ≤ ω A < π

2 vàthỏa mãn các điều kiện

Ta định nghĩa họ các toán tử tuyến tính bị chặn e −tA bởi tích phân Dunford

trong L(X) như sau

e −tA = 1

2πi

∫Γ

Khi đó, tích phân (1.8) hội tụ trong L(X) Họ các toán tử e −tA được gọi là hàm

mũ sinh bởi −A và thỏa mãn tính chất sau

e −tA e −t ′ A

= e −t ′ A

e −tA = e −(t+t ′ )A

, 0 < t, t ′ < ∞.

Hàm lũy thừa của toán tử quạt

Cho (X, ∥.∥) là một không gian Banach, A là một toán tử quạt trong X vớigóc 0≤ ω A < π Với mỗi số nguyênn ∈Z, toán tử A n được định nghĩa, thật vậy,khi n > 0 thì A n là một toán tử đóng, xác định trù mật trong X, khi n < 0 thì

A n = (A −1)−n = (A −n)−1 là một toán tử bị chặn của X, và khi n = 0 thì A0 = 1

(toán tử đồng nhất trên X) Tiếp theo chúng ta sẽ mở rộng định nghĩa này cho

Trong đó, Γ là một đường cong bao quanh σ(A) theo chiều dương trong C−

(∞, 0] ∩ ρ(A) Ở đây, ta có thể lấy Γ = Γ− ∪ Γ0∪ Γ+ thỏa mãn

Γ± : λ = ρe ±iω , δ ≤ ρ < ∞ và Γ0: λ = δe iφ , −ω ≤ φ ≤ ω, (1.10)trong đó ω A < ω < π và 0 < δ < ∥A −1 ∥ −1 Hơn nữa, Γ định hướng từ ∞e iω tới

δe iω, từ δe iω tới δe −iω và từ δe −iω tới ∞e −iω Do

|λ −z | = |e −z log λ | = |e −z(log ρ±iω) | = e ±(Imz)ω ρ −Rez , λ ∈ Γ ± ,

nên tích phân (1.9) hội tụ trong L(X)

Ta có một số tính chất của toán tử A −z như sau:

• A −z là khả nghịch với mỗi Re z > 0 và nghịch đảo của nó A z là một toán

tử tuyến tính đơn trị của X và được định nghĩa là:A z = (A −z)−1 ,Re z > 0.

Do D(A z) trù mật trong X nên A z là một toán tử tuyến tính, đóng, xácđịnh trù mật trong X

Như vậy, với mỗi số thực −∞ < x < ∞ thì toán tử mũ A x của A đã được địnhnghĩa và thỏa mãn các tính chất sau

(1) A x là toán tử bị chặn trênX với −∞ < x < 0, A0 = 1 và A x là toán tử tuyếntính, đóng, xác định trù mật của X với 0 < x < ∞

(2) D(A x2 )⊂ D(A x1 ) với 0≤ x1 < x2 < ∞

(3) A x A x ′ = A x ′ A x = A x+x ′ với −∞ < x, x ′ < ∞

Đặc biệt, với 0 < θ < 1, A θ là một toán tử quạt củaX với góc ≤ θω A VàA θ thỏamãn bất đẳng thức năng lượng sau

∥A θ U ∥ ≤ C∥AU∥ θ ∥U∥1−θ , U ∈ D(A).

trong đó C > 0 là hằng số phụ thuộc vào θ

Ta có

A θ e −tA = e −tA A θ = 1

2πi

∫Γ

∥[e −tA − 1]A −θ ∥ ≤ Ct θ , 0 < t < ∞, 0 < θ ≤ 1.

1.2.2 Toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính

Cặp không gian liên hợp

Cho X và Y là hai không gian Banach với chuẩn tương ứng là ∥.∥ X và ∥.∥ Y.Hàm nhận giá trị phức ⟨., ⟩ xác định trên không gian tích X × Y được gọi làdạng nửa song tuyến tính nếu ⟨., ⟩ thỏa mãn

i) ⟨αu1+ βu2, v ⟩ = α ⟨u1, v ⟩ + β ⟨u2, v ⟩ , α, β ∈C; u1, u2∈ X; v ∈ Y,

ii) ⟨u, αv1+ βv2⟩ = α ⟨u, v1⟩ + β ⟨u, v2⟩ , α, β ∈C; u ∈ X; v1, v2 ∈ Y.

Hơn nữa, dạng nửa song tuyến tính ⟨., ⟩ trên X × Y được gọi là tích đối ngẫunếu ⟨., ⟩ thỏa mãn

G ∈ X ∗, hàm tuyến tính ⟨., G⟩ liên tục trên X Với X ′ là không gian gồm các

phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X, ta xét tương ứng J : G → JG từ X ∗ vào

Do đó J là phép nhúng từ X ∗ vào J (X ∗)⊂ X ′ Khi đó, ta có kết quả sau.

Định lý 1.3 ([11], Định lý 1.17) Cho X là không gian Banach tự liên hợp và

{X, X ∗ } là cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu ⟨., ⟩ Khi đó, phép nhúng

J : X ∗ → X ′ được xác định bởi (1.12) là một đẳng cấu Do đó, với mỗi Φ ∈ X ′

thì tồn tại duy nhất G ∈ X ∗ sao cho ∥Φ∥ X ′ = ∥G∥ X ∗ và Φ(F ) = ⟨F, G⟩ với mọi

ii) Z nhúng liên tục vào X, nghĩa là, tồn tại c > 0 sao cho |.| X ≤ c∥.∥ Z

Định nghĩa 1.10 Nếu tồn tại không gian Banach Z ∗ , ∥.∥ ∗ thỏa mãn các điều

kiện sau

i) Z ⊂ X ⊂ Z ∗ nhúng liên tục và trù mật.

ii) (Z, Z ∗) là cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu ⟨., ⟩ Z,Z ∗

iii) ⟨., ⟩ thỏa mãn tính chất ⟨z, x⟩ = (z, x) với mọi z ∈ Z, x ∈ X ⊂ Z ∗

Khi đó ba không gian Z ⊂ X ⊂ Z ∗ được gọi là bộ ba không gian.

ChoZ ⊂ X ⊂ Z ∗ là bộ ba không gian với các chuẩn tương ứng∥.∥, |.|, ∥.∥ ∗ và tích

đối ngẫu trên Z × Z ∗ là ⟨., ⟩ Z ×Z ∗ : Z ∗ × Z →R xác định bởi (Φ, z) 7→ ⟨z, Φ⟩ Z ×Z ∗

Giả sử a : Z × Z → C là một dạng nửa song tuyến tính, tức là, a thỏa mãn haiđiều kiện sau:

i) ăαu1+ βu2, v) = αău1, v) + βău2, v), α, β ∈C; u1, u2, v ∈ Z,

ii) ău, αv1+ βv2) = αău, v1) + βău, v2), α, β ∈C; u, v1, v2 ∈ Z.

Ta có ặ, ) liên tục nếu tồn tại M ≥ 0 sao cho

Với mỗi u ∈ Z, ău, ) là hàm tuyến tính liên tục trênZ Do đó, theo Định lý 1.3,tồn tại duy nhất Φ ∈ Z ∗ sao cho ău, v) = ⟨v, Φ⟩ Z×Z ∗ với mọi v ∈ Z, nghĩa là,

ău, v) = ⟨Φ, v⟩ với mọi v ∈ Z Khi đó tương ứng A : Z → Z ∗ xác định bởi u 7→ Φ

là một toán tử tuyến tính Khi đó, toán tửA được gọi là toán tử tuyến tính liênkết với dạng nửa song tuyến tính ău, v) Do đó,

nên toán tử A liên tục và ∥A∥ ≤ M

Ta nói ặ, ) thỏa mãn điều kiện bức nếu

thỏa mãn điều kiện liên tục và điều kiện bức trên Z Do đó A − λ là một phépđẳng cấu từZ vàoZ ∗ Tiếp theo, ta thiết lập các ước lượng khác nhau liên quan

đến tập giải (λ − A) −1, Reλ ≤ 0

Với U ∈ Z, ta có

δ ∥U∥2 ≤Re a(U, U ) −Re λ |U|2

=Re ⟨(A − λ)U, U⟩ ≤ ∥(A − λ)∥ ∗ ∥U∥.

Với U ∈ D(A |X), ta có với mỗi Re λ ≤ 0,

δ ∥U∥2 ≤Re a(U, U ) −Re λ |U|2

=Re ((A − λ)U, U) ≤ |(A − λ)U||U|.

Từ

λ |U|2= a(U, U ) + ((λ − A)U, U)

Suy ra

|λ||U|2≤ M∥U∥2 +|(λ − A)U||U| ≤ (Mδ −1+ 1)|(λ − A)U||U|.

Đặt F = (λ − A)U, ta thu được

Từ các ước lượng này ta thu được kết quả sau

Định lý 1.5 ([11], Định lý 2.1) Cho a(u, v) là một dạng nửa song tuyến tính trên Z thỏa mãn điều kiện (1.13), (1.15) Khi đó, toán tử A liên kết với dạng nửa song tuyến tính a(u, v) và các hạn chế A | X , A | Z là các toán tử tuyến tính thỏa mãn điều kiện (1.1), (1.2) với góc ω = π2 và hằng số M +δ δ , tức là, các toán

tử A, A | X , A | Z là toán tử quạt trên Z ∗ , X, Z với các góc phổ nhỏ hơn π

2.

1.2.3 Toán tử quạt trong không gian L2

Xét Ω là miền trong Rn, Z là không gian con đóng của H1(Ω) thỏa mãn

a ij (x)D i uD j vdx +

∫Ω

2(Ω), Z, vớicác góc phổ nhỏ hơn π2

Tiếp theo, ta xét các trường hợp đặc biệt hơn Trường hợp Z =

H1 (Ω) thỏa mãn (1.1), (1.2) với góc ω = π/2 và hằng số M được xác định bởi ∥a ij ∥ L ∞ , ∥c∥ L ∞ , δ, c0, tức là, các toán tử A, A | L2 (Ω), A | o

H1 (Ω) là toán tử quạt trong H −1 (Ω), L

2(Ω),

o

H1(Ω) với các góc phổ nhỏ hơn π/2 Hơn nữa, nếu Ω

là một miền bị chặn với biên Lipschitz thì các hàm trong D(A) thỏa mãn (1.22).

Trường hợp Z = H1(Ω) Khi đó Z ∗ không trùng với bất kỳ không gian con

suy rộng nào Vì vậy, toán tử liên kết A không phải là một toán tử đạo hàmthông thường Nhưng với u ∈ D(A| L2 ), nghĩa là Au ∈ L2 (Ω) Khi đó theo côngthức Green ta có

c(x)uvdx, v ∈ H1

(Ω).

trong đó ν(x) = (ν1(x), , ν n (x)) là vector trực giao ngoài tại x ∈ ∂Ω Do a(u, v)

liên tục tại v với tôpô trong L2(Ω) nên tích phân trên ∂Ω bị triệt tiêu Tức là, u

phải thỏa mãn điều kiện biên

u = 0 trên ΓD và ∂u

∂ν A = 0 trên ΓN . (1.26)

Định lý 1.8 ([11], Định lý 2.5) Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz Giả

sử ta có các giả thiết (1.18), (1.19), (1.20) Khi đó, toán tử A liên kết với dạng

kiện c(x) ≥ 0 ta thu được điều kiện (1.15).

Ngoài ra, ta có kết quả sau

Định lý 1.9 ([11], Định lý 2.10) Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz được tách như sau ∂Ω = Γ D ∪ Γ N , Γ D ∩ Γ N =∅ và ΓD là tập mở khác rỗng của ∂Ω Giả

sử ta có các giả thiết (1.18), (1.19), (1.20) và hai điều kiện sau:

Hơn nữa, với 1

∇.[u∇χ] = ∇u.∇χ − u.Λχ ∈ L2(Ω).

Vì u ∈ H2 (Ω) nên suy ra ∇u ∈ L2 (Ω) và u ∈ L2 (Ω) Tương tự, từ χ ∈ D(Λ| L2 )∩

W p1(Ω) cũng cho ta ∇χ ∈ L2 (Ω) Hơn nữa, theo định nghĩa của Λ, ta có

(Λχ, ¯ uv) L2 =

∫Ω

Λχ.uvdx =

∫Ω

Λχ.u.¯ vdx

=

∫Ω

∇χ.∇(u¯v)dx =

∫Ω

Do H2(Ω) là không gian con trù mật của H 2/p(Ω) nên chúng ta có thể mở rộng

∇.[u∇χ] ∈ H D −1(Ω)một cách liên tục, với mọi u ∈ H 2/p(Ω) vàχ ∈ D(Λ| L2 )∩W1

u ∇χ.∇vdx, v ∈

o

H D1 . (1.35)

1.2.4 Toán tử quạt trong không gian tích

Cho (X1, ∥.∥1 )và (X2, ∥.∥2 )là hai không gian Banach Giả sử X là không gianBanach tích của X1 và X2 với chuẩn

Định lý 1.10 (Định lý 2.16 [11]) Giả sử A k là toán tử quạt trong X k với góc

0 ≤ ω k < π , với k = 1, 2 Khi đó, toán tử A xác định bởi (1.37) thỏa mãn (1.1)

và (1.2) với góc ω thỏa mãn ω A < ω ≤ π , trong đó ω A = max{ω1, ω2} và với hằng

số M ω = max{M 1,ω , M 2,ω } , tức là, A là toán tử quạt của X với góc nhỏ hơn π

1.3 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Cho (X, ∥.∥) là không gian Banach Xét bài toán Cauchy cho phương trìnhtiến hóa nửa tuyến tính trong X như sau

∥F (U) − F (V )∥ ≤ φ(∥A β U ∥ + ∥A β V ∥)[∥A η (U − V )∥

+ (∥A η U ∥ + ∥A η V ∥)∥A β (U − V )∥], U, V ∈ D(A η ), (1.39)trong đó β là số mũ thỏa mãn

và φ(.) là hàm liên tục tăng Đặc biệt từ (1.39) ta suy ra ước lượng

∥F (U)∥ ≤ ψ(∥A β U ∥)(∥A η U ∥ + 1), U ∈ D(A η ), (1.41)trong đó ψ(ξ) = ∥F (0)∥ + φ(ξ)(ξ + 1) Hàm G(t) ∈ F β,σ ((0, T ]; X), 0 < σ < β Giátrị ban đầu U0 của bài toán thuộc D(A β) Với các giả thiết trên chúng ta sẽ đichứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương củabài toán (1.38) Đầu tiên, ta xétbài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính sau

Định lý 1.11 ([11], Định lý 3.4) Cho A là toán tử quạt thỏa mãn điều kiện

(1.6), (1.7), G(t) ∈ F β,σ ((0, T ]; X), 0 < σ < β < 1 và U0∈ X Khi đó, bài toán

Định lý 1.12 ([11], Định lý 4.1) Giả sử ta có các giả thiết (1.6), (1.7), (1.39),

(1.40), với G ∈ F β,σ ((0, T ]; X), trong đó 0 < σ < 1 − η , và với mọi U0 ∈ D(A β).

Khi đó, tồn tại duy nhất một nghiệm địa phương U của bài toán (1.38) trong không gian hàm

Chứng minh Với mỗi S ∈ (0, T ], xét không gian Banach sau

X (S) =

{

U ∈ C((0, S]; D(A η))∩ C([0, S]; D(A β)) : sup

0<t ≤S t η−β ∥A η U (t) ∥ < ∞

∥A θ {ΦU}(t)∥ ≤ ∥A θ−β e −tA ∥∥A β U0∥

Đặt A ξ = sup

0<t ≤T t

ξ ∥A ξ e −tA ∥, 0 ≤ ξ ≤ 1 Khi đó

t θ−β ∥A θ {ΦU}(t)∥ ≤ A θ −β ∥A β U0∥ + t θ−β A θ

t −θ(1− u) −θ (C1(ut) β −η + 1)tdu

=A θ ψ(C2)(C1

∫ 1 0

t −θ(1− u) −θ (tu) β −1 tdu

=A θ ∥G∥ F β,σ

∫ 1 0

B(x, y) =

∫ 1 0

∥A η e −(t−τ)A ∥[∥F (U(τ))∥ + ∥G(τ)∥]dτ

≤ C G,U0A1−σ (t − s) σ s β−σ−η

+ C G,U0A η

∫ t s

(t − τ) −η (τ β −1 + 1)dτ.

Viết β − 1 = (η + σ − 1) + (β − σ − η), ta có

∫ t s

(t − τ) −η τ β−1 dτ ≤

∫ t s

(t − s) −η(1− v) −η v η+σ−1 (t − s) η+σ−1 s β−σ−η (t − s)dv

=

∫ 1 0

∥A β e −(t−τ)A ∥[∥F (U(τ))∥ + ∥G(τ)∥]dτ

≤ ∥e −(t−s)A A σ ∥∥A β+σ ΦU (s) ∥

+

∫ t s

∥A β e −(t−τ)A ∥[∥F (U(τ))∥ + ∥G(τ)∥]dτ

≤ C G,U0(t − s) σ s −σ + C

G,U0

∫ t s

(t − τ) −β τ β−1 dτ.

Viết β − 1 = (β + σ − 1) − σ, ta có

∫ t s

(t − τ) −β τ β −1 dτ ≤

∫ t s