Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn C , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 4 5o... Trong dạng bài này, chúng ta thường sử dụng các kỹ thuật liên quan đến dấu củ
Trang 1MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số 2 4
1
x y x
có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Tìm trên C hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng M N , biết M 3; 0 , N 1; 1
Câu 2: (1 điểm)
1 s in 2 c o s 2 s in 4
2
Câu 3: (1 điểm)
Tính tích phân:
2 0
c o s
1 s i n 2
x
x
Câu 4: (1 điểm)
Việt và Nam thi đấu với nhau một trận cầu lông, ai thắng trước 3 ván sẽ giành chiến thắng chung cuộc Xác suất để Nam thắng mỗi ván là 0,6; xác suất xảy ra 1 ván hòa là 0 Hỏi xác suất Việt thắng chung cuộc là bao nhiêu?
Câu 5: (1 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ O x y z , cho mặt phẳng P :x 2y z 5 0 và điểm A 2; 3; 4,
Gọi là đường thẳng nằm trên P đi qua giao điểm của d và
P , đồng thời vuông góc với d Tìm trên điểm M sao cho khoảng cách A M ngắn nhất
Câu 6: (1 điểm)
Cho hình chóp tứ giác S A B C D. có đáy A B C D là hình bình hành, A D 4a , các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng S B C và S C D khi thể tích khối chóp S A B C D. là lớn nhất
Câu 7: (1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độO x y , cho đường tròn 2 2
(C) :x y 2x 2y 8 0 và đường thẳng
d x y Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn C , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 4 5o
Câu 8: (1 điểm)
Giải hệ phương trình:
3
3
x y x
x y
ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 9
Trang 2Câu 9: (1 điểm)
Cho x y z, , là các số thực thuộc đoạn 0; 2 Chứng minh bất đẳng thức:
2 x y z x y y z z x 4
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:
1 Tập xác định: D \ { 1}
( 1)
6
x
Suy ra hàm số không có cực trị và hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1) và ( 1; )
Ta có: lim lim 2
y
lim ; lim
y
Bảng biến thiên:
x -1
'
y ||
y
2
2
Đồ thị:
Trang 32
Phương trình đường thẳng M N là: x 2y 3 0
Phương trình đường thẳng d vuông góc với M N có dạng: y 2xm
Phương trình hoành độ giao điểm của C và d là:
1
x
x
Đường thẳng d cắt C tại 2 điểm phân biệt A B,
2
8 3 2 0
Khi đó phương trình * có 2 nghiệm x1,x2, ta có: 1 2
2
m
Tọa độ A B, là A x 1; 2x1m,B x 2; 2x2 m
Tọa độ trung điểm I của A B là: 1 2
; 2
x x
I x x m
4 2
m m
,
A B đối xứng nhau qua M N IM N m 4
Với m 4, ta có tọa độ A B, là A0; 4 , B2; 0
Nhận xét: Bài toán này thuộc lớp các bài toán liên quan đến sự tương giao của đồ thị Trong dạng
bài này, chúng ta thường sử dụng các kỹ thuật liên quan đến dấu của tam thức bậc hai và sử dụng định lý Viète về mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức (đã được đề cập đến ở đề số 5)
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Cho hàm số 2
1
x y x
có đồ thị (C) Tìm trên đồ thị C hai điểm B C, thuộc hai nhánh sao cho tam giác A B C vuông cân tại đỉnh A với A2; 0
Trang 42 Cho hàm số 1
2
x y x
có đồ thị (C) Tìm trên đồ thị C các điểm A B, sao cho độ dài đoạn A B
bằng 4 và đường thẳng A B vuông góc với đường thẳng y x
Đáp số: A1 2 ; 2 2 , B 1 2 ; 2 2
Câu 2:
Phương trình đã cho tương đương với:
1 s in 2 c o s 2 1 s in 2 c o s 2 1s in 4
2
1 s i n 4 s i n 2 c o s 2 1 s i n 4 0
1
1 s i n 4 s i n 2 c o s 2 1 0
2
1
1 s i n 4 0
2
s i n 2 c o s 2 1 0
x
s in 2x c o s 2x 1
4
c o s 2 c o s
2
x
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Giải phương trình: 1 ta n 2 1 s in 22
c o s 2
x x
x
2
k
x k
2 Giải phương trình: t a n s i n 2 c o s 2 2 2 c o s 1 0
c o s
x
Đáp số:
,
k
Câu 3:
Ta có:
2
0
c o s s in
s in c o s
x
Trang 52 0
s in c o s s in c o s
0
d
s in
x d x
x d
2 0
s in 2
0
x
c o s
x d x
x d
2 0
Từ đó suy ra:
2 2
2
e
e
Nhận xét: Kỹ thuật áp dụng liên tiếp phương pháp tích phân từng phần để làm xuất hiện lại biểu
thức cần tính tích phân là một kỹ thuật tương đối quen thuộc Nó thường được áp dụng khi biểu thức cần tính tích phân có chứa hàm s in x (hoặc c o s x ) và hàm số mũ
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Tính tích phân:
4
4
s i n c o s
2 0 1 5x 1
Đáp số:
3 2
I
2 Tính tích phân:
4 6
6
s in
2 0 1 5 x 1
x d x I
Đáp số: 4 7 3
6 4
I
3 Tính tích phân:
4 0
ln 1 t a n
Đáp số: ln 2
8
I
Câu 4:
Trang 6Xác suất để Việt thắng cả 3 ván là: 3
1 0 , 4 0 , 0 6 4
*) Trường hợp 2: Trận đấu có 4 ván
Suy ra: trong 3 ván đầu tiên sẽ có 1 ván Việt thua
Xác suất để Việt thắng 3 trong 4 ván là: 1 3
2 3 0 , 6 0 , 4 0 , 1 1 5 2
*) Trường hợp 2: Trận đấu có 5 ván
Suy ra: trong 4 ván đầu tiên sẽ có 2 ván Việt thua
Xác suất để Việt thắng 3 trong 5 ván là: 2 2 3
3 4 0 , 6 0 , 4 0 , 1 3 8 2 4
Vậy xác suất để Việt thắng chung cuộc là: P P1 P2 P3 0 , 3 1 7 4 4
Nhận xét: Đây là dạng bài tính xác suất mang tính thực tế cao Trong dạng bài này, chúng ta cần
xác định được tất cả các tình huống có thể xảy ra và tính toán xác suất cho từng tình huống đó
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Một bài kiểm tra có 10 câu hỏi trắc nghiệm 4 phương án, trong đó chỉ có 1 đáp án đúng Mỗi câu trả lời đúng sẽ được 5 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm Một học sinh trả lời ngẫu nhiên tất cả các câu hỏi Tính xác suất để học sinh đó được không quá 10 điểm
Đáp số:
2 Việt và Nam thi đấu với nhau một trận cầu lông, ai thắng trước 3 ván sẽ giành chiến thắng chung cuộc Biết Việt chơi kém hơn mình nên Nam quyết định ván đầu tiên chắc chắn sẽ để cho Việt thắng Xác suất để Nam thắng mỗi ván là 0,6; xác suất xảy ra 1 ván hòa là 0 Hỏi xác suất Việt thắng chung cuộc là bao nhiêu?
Đáp số: P 0 , 5 2 4 8
Câu 5:
Gọi I là giao điểm của d và P , tọa độ I có dạng I2t 3;t 1;t 3
Vì I P nên ta có: 2t 3 2t 1 t 3 5 0 t 1, hay tọa độ I là I 1; 0; 4
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u d 2 ;1;1
Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là n 1; 2; 1
Gọi u là vectơ chỉ phương của đường thẳng
Ta có: 1 , 1; 1; 1
3 d
u u n
Suy ra phương trình đường thẳng là: 1 4
x y z
Vì M thuộc nên tọa độ M có dạng M 1 s s; ; 4 s A M 1 s s; 3;s
3
Vậy tọa độ điểm M cần tìm là: 7;4 1 6;
3 3 3
Trang 7Nhận xét: Dễ dàng nhận ra rằng đánh giá A M ngắn nhất A M là đánh giá quan trọng nhất của bài toán Các tính toán còn lại trong lời giải đều khá cơ bản và dựa vào đánh giá trên
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1; 5; 0 , 3; 3; 6
:
x y z
tam giác M A B có diện tích lớn nhất
Đáp số: M 1; 0; 2
0; 0; 3 , 0; 3; 3
A B Tìm điểm M trên d sao cho biểu thức M AM B đạt giá trị nhỏ nhất
Đáp số: 3;3;3
2 2 2
Câu 6:
Gọi O là tâm của hình bình hành A B C D
Do S A S B S C S D a 6 nên suy ra S O A B C D
Từ đó suy ra: O A O B O C O D A B C D là hình chữ nhật
Giả sử A B b, khi đó:
1 6
2
a b
Suy ra:
Từ đó:
.
S A B C D
Dấu bằng xảy ra khi b 2a
Chọn hệ trục tọa độ O x y z sao cho O0; 0; 0, S0; 0;a, B2 ; ; 0a a , C 2 ; ; 0a a , D 2 ;a a; 0 Khi đó ta có: S B 2 ; ;a a a ,S C 2 ; ;a a a ,S D 2 ;a a; a
, 0 ; 4 ; 4 , , 2 ; 0 ; 4
Suy ra vectơ pháp tuyến của S B C là n1 0 ;1; 1 , vectơ pháp tuyến của S C D là n2 1; 0 ; 2 Gọi là góc giữa 2 mặt phẳng S B C và S C D
Ta có: 1 0 0 1 2 1 2
c o s
Trang 81 Cho hai hình chữ nhật A B C D và A B E F không cùng nằm trên một mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện A B a A D, A F a 2 , đường thẳng A C vuông góc với đường thẳng B F Gọi H,K là đường vuông góc chung của A C B F, Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện A B H K
Đáp số: 6 3
6
a
r
2 Cho hình chóp S A B C. có đáy A B C vuông cân tại B, B A B C 2a , hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng đáu A B C là trung điểm E của A B và S E 2a Gọi I J, lần lượt là trung điểm của ,
E C S C , M là điểm di động trên tia đối tia B A sao cho E C M , 9 0o và H là hình chiếu vuông góc của S trên M C Tính thể tích khối tứ diện E H IJ theo a, và tìm để thể tích đó lớn nhất
Đáp án:
3
5 s i n 2
; 4 5 8
o a
Câu 7:
Đường tròn 2 2
(C) :x y 2x 2y 8 0 có tâm I(1; 1) và bán kính R 1 0
Gọi n a b; là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến cần tìm ( 2 2
0
a b )
2
, 4 5 c o s ,
a b
3
Với a 3b, phương trình có dạng: : 3x yc 0
1 4
1 0
c c
c
Với 3 a b, phương trình có dạng: :x 3y c 0
1 2
1 0
c c
c
Vậy ta có 4 tiếp tuyến thỏa mãn: 1: 3x y 6 0 , 2 : 3x y 1 4 0 , 3 :x 3y 8 0 và
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độO x y , cho đường tròn 2 2
(C) :x y 6x 2y 5 0 và đường thẳng
d x y Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn C , biết tiếp tuyến không đi qua gốc tọa độ và hợp với đường thẳng d một góc 4 5o
Đáp số: 2x y 1 0 0 hoặc x 2y 1 0 0
2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O x y , cho đường tròn 2 2
(C) :x y 2x 0 Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn C , biết tiếp tuyến này hợp với trục tung một góc bằng 3 0o
Trang 9Đáp số: Có 4 tiếp tuyến thỏa mãn là: 1: 3x y 2 3 0; 2: 3x y 2 3 0;
Câu 8:
Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng số phức
Nhân phương trình thứ hai với i và cộng với phương trình thứ nhất ta được:
Đặt z x y i 1 x2 y i2
Phương trình trên trở thành:
z 3 i 3
z
2
2
1
Với z 2 i, ta có: x 2 ;y 1, thỏa mãn
Với z 1 i, ta có: x 1;y 1, thỏa mãn
Vậy hệ có nghiệm x y; 2;1 , 1; 1
Nhận xét: Hệ phương trình trên là một hệ tương đối lạ và khó
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Giải hệ phương trình:
3 1 0
1
1 0 3
2
x
x y
x y y
x y
Đáp số: Hệ phương trình vô nghiệm
2 Giải hệ phương trình:
2 2
2
0
x y x
x y
x y y
x y
Đáp số: x y; 0;1 , 2; 1
Câu 9:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
2 y z x 2y z y z 4 0 Xét f x 2 y z x 2y z y z 4 với x0; 2
Trang 10 0 2 4 2 2 0
f y z
Từ đó suy ra: f x 0 với mọi x0; 2
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi: x y 0 ;z 2
Nhận xét: Bài toán trên sử dụng phương pháp phần tử cực biên (dựa vào tính chất đồ thị của hàm
số)
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn x y z 1 Chứng minh bất đẳng thức:
7 2
2 7
x y y z z x x y z
Hướng dẫn: Xét hàm 1 2 7
2 7
f y z x x y z x y z với 2
1 0
4
x
y z
2 Cho a b c d, , , là các số thực thuộc đoạn 0;1 Chứng minh bất đẳng thức:
1 a 1 b 1 c 1 da b c d 1
Hướng dẫn: Xét hàm f a 1 a 1 b 1 c 1 da b c d 1
Ta có: f 1 b c d 0; f 0 1 b 1 c 1 d b c d 1 g b
Lại có: g 1 c d 0; g 0 c d 0
Suy ra g b 0 , b 0;1, từ đó suy ra điều phải chứng minh
