Một canô đi từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A.. Thời gian cả đi và về là 5 giờ không tính thời gian nghỉ.. Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010 (Đợt 2)
Câu 1 (3 điểm)
a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2 x − 4
b) Giải hệ phương trình 2 3
2 3
= −
= −
c) Rút gọn biểu thức P = 9 225 4 3
2
+ với a > 0.
Câu 2 (2 điểm)
Cho phương trình x2 − 3 x m + = 0 (1) (x là ẩn).
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa
mãn
1 1 2 1 3 3
Câu 3 (1 điểm)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km Một canô đi từ bến A đến
bến B, rồi quay lại bến A Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không tính thời
gian nghỉ) Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc
của dòng nước là 4 km/h
Câu 4 (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là điểm thay đổi trên
cạnh BC (M khác B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N khác C) sao
cho MAN 45 · = 0 Đường chéo BD cắt AM và AN lần lượt tại P và Q
a) Chứng minh tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp
b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP Chứng minh AH vuông góc với MN
c) Xác định vị trí điểm M và điểm N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh a3 + ≥ b3 ab a b ( + ) với mọi a b , ≥ 0 Áp dụng kết quả trên,
chứng minh bất đẳng thức 3 13 3 13 3 13
1
mọi a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1
-Hết -Gv: lê trung học
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Họ tên thí sinh: ………Số báo danh: ……….…… Chữ kí của giám thị 1:……… Chữ kí của giám thị 2: ……… ……
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 (đợt 2) Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm
- Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm
- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
1 a Vẽ đồ thị của hàm số y = 2 x − 4 1,00
Đồ thị cắt trục Ox tại A(2;0) (HS có thể lấy điểm khác)
Đồ thị cắt trục Oy tại B(0; 4) − (HS có thể lấy điểm khác)
Vẽ được đồ thị hàm số
0,25 0,25 0,5
b Giải hệ phương trình 2 3
2 3
= −
= −
x y
− = −
⇔ − =
(HS có thể dùng phép thế hoặc phép trừ)
Tìm được x = 3 Tìm được y = 3 Kết luận Hệ có nghiệm duy nhất x = 3, y = 3
0,25
0,25 0,25 0,25
c Rút gọn biểu thức P =
3
2
2
+ với a > 0 1,00
3
9 a − 25 a + 4 a = 9 a − 5 a + 2 a a 0,25
0,25 Gv: lê trung học
Trang 32 a a ( 2)
a + a a a = +
P = 2
a hoặc
2 a
a
0,25 0,25
2 a Giải phương trình x2 − 3 x m + = 0 khi m = 1 1,00
1
m = ta có phương trình x2 − 3 x + = 1 0
9 4 5
∆ = − =
1
3 5 2
2
3 5 2
x = − (mỗi nghiệm đúng cho 0,25)
0,25 0,25 0,5
b Tìm m để
1, 2
x x thỏa mãn 2 2
1 1 2 1 3 3
Pt (1) có hai nghiệm phân biệt 9
9 4 0
4
⇔ ∆ = − > ⇔ < (1) Theo định lí Viet x1+ = x2 3, x x1 2 = m Bình phương ta được
1 2 2 2 ( 1 1)( 2 1) 27
Tính được x12 + x22 = ( x1+ x2)2 − 2 x x1 2 = − 9 2 m và đưa hệ thức
trên về dạng m2 − 2 m + 10 = + m 8 (2)
Thử lại thấy m = − 3 thỏa mãn pt (2) và điều kiện (1)
0,25
0,25
0,25 0,25
3 Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng 1,00
Gọi vận tốc canô trong nước yên lặng là x (km/h, x > 4)
Vận tốc canô khi nước xuôi dòng là x + 4 và thời gian canô chạy
khi nước xuôi dòng là 48
4
Vận tốc canô khi nước ngược dòng là x − 4 và thời gian canô chạy
khi nước ngược dòng là 48
4
x − .
Theo giả thiết ta có phương trình 48 48
5
pt ⇔ 48( x − + + = 4 x 4) 5( x2 − 16) ⇔ 5 x2− 96 x − 80 0 =
Giải phương trình ta được x = − 0,8 (loại), x = 20 (thỏa mãn)
Vậy vận tốc canô trong nước yên lặng là 20 km/h
0,25 0,25 0,25
0,25
4 a Chứng minh tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp 1,00
Gv: lê trung học
M P
M P
Q
Trang 4Hình 1 Hình 2
Vẽ được hình 1
Theo giả thiết QAM · = 450 và QBM · = 450
⇒ = ⇒ ABMQ là tứ giác nội tiếp
0,5 0,25 0,25
ABMQ là tứ giác nội tiếp suy ra · AQM + · ABM = 1800
· ABM = 900⇒ · AQM = 900 ⇒ MQ ⊥ AN
Tương tự ta có ADNP là tứ giác nội tiếp ⇒ NP ⊥ AM
Suy ra H là trực tâm của tam giác AMN ⇒ AH ⊥ MN
* Chú ý Lập luận trên vẫn đúng khi M trùng với C
0,25 0,25 0,25 0,25
c Xác định vị trí điểm M và N để ∆AMN có diện tích lớn nhất 1,00
M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M khác B) nên có 2 TH
TH 1 M không trùng với C, khi đó M, N, C không thẳng hàng.
Gọi I là giao điểm của AH và MN và S là diện tích tam giác AMN
thì S = 1
.
2 AI MN.
Tứ giác APHQ nội tiếp suy ra · PAH = PQH · (1)
Tứ giác ABMQ nội tiếp suy ra BAM · = · BQM (2)
Từ (1) và (2) suy ra PAH · = · BAM hay · MAI = MBA ·
Hai tam giác vuông MAI và MAB có MAI · = MBA · , AM chung suy
ra ∆ MAI = ∆ MAB ⇒ AI = AB a IM = , = BM
Tương tự ∆ NAI = ∆ NAD ⇒ IN = DN Từ đó
Ta có MN MC NC a BM a DN < + = − + − = 2 a − ( IM + IN )
Vậy MN < 2 a MN − hay 1 1 2
.
MN a < ⇒ = S a MN < a
TH 2 M trùng với C, khi đó N trùng với D và ∆ AMN = ∆ ACD
0,25
0,25
0,25
Gv: lê trung học
Trang 5nên S = 1 1 2
.
2 AD DC = 2 a Vậy ∆AMN có diện tích lớn nhất ⇔ M ≡ C và N ≡ D
0,25
1
⇔ − − ≥ ⇔ − + ≥ , đúng ∀ a b , ≥ 0
a + ≥ b ab a b + ⇔ a + + b abc ab a b ≥ + + abc
3 3
3 3
(Do các vế đều dương) Tương tự, cộng lại ta được
1
0,25 0,25 0,25
0,25
Gv: lê trung học
