Sức bền vật liệu - Các bài tập lớn tính toán - thiết kế

- Mômen quán tính chính trung tâm: - Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm: Cho phép xác định mômen quán tính chính trung tâm, phương của các trục quán tính chính... Xác định các

P G S TS TÔ VĂN TÂN

C Á C BÀI TẬP LỐN TÍNH TOÁN - THIẾT KẾ

NHÀ XUẤT BẢN XÂY DỰNG

L Ờ I N Ó I Đ Ầ U

Sức bền vật liệu - khoa học về các phương pháp tính toán kĩ thuật độ bển,

độ cứng và độ ổn định của các bộ phận công trình, chi tiết máy - một môn học kĩ thuật cơ sà đang được học tập và nghiên cứu ở tất cả các trưì/ng đại học kĩ thuật, cao đẳng.

Cuốn sách này chứa các chương cơ bản nhất của sức bền vật liệu, có thể phục vụ cho công việc tính toán thiết kế, tham khảo của cán bộ kĩ thuật, việc học tập ở lớp cũng như việc tự học của sinh viên.

Trong sách, mỗi chương đều có phần tóm tắt lí thuyết, các ví dụ tính toán

và các đê' bài tập lớn với số lượng khá phong phú, có thể cho phép ra đề bài cho lớp đông sinh viên, cũng như chọn các phần riêng biệt cho sinh viên tự lcim, hoặc soạn các đề thi.

Hi vọng rằng cuốn sách sẽ giúp ích cho sinh viên trong quá trình học tập,

bổ sung kiến thức, làm tài liệu tham khảo cho những người quan tăm nghiên cứu môn học này.

Việc biên soạn cuốn sách này chắc còn nhiều khiếm khuyết, tác giả mong nhận được những ỷ kiến đóng góp quý báu của bạn đọc.

Tác giả

E - môđun đàn hồi khi kéo, nén.

- Nếu tiết diện thanh, lực dọc thay đổi liên tục:

- Nếu cho trước cường độ tính toán R, khi tính theo phương pháp trạng thái giới hạn (thường dùng cho kết cấu xây dựng) thì kiểm tra theo:

ATính tại mặt cắt nguy hiểm (mặt cắt có lực dọc lớn nhất)

- Trường hợp hệ siêu tĩnh: Giải kết hợp phương trình cân bằng và phương trình biến dạng

- Úng suất nhiệt được tính theo:

- Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất, chuyển vị

- Kiểm tra độ bền thanh

Cho Fị = 60kN, F2 = 120kN, A] = 12cm2, A2 = 6cm2, /j = 80cm, ¡2 = 50cm,

E = 2.105MPa, R = 210MPa

Lời giải:

- Dùng phương pháp mặt cắt để xác định lực dọc trong một số mặt cắt: Nị = 60kN, N2 = 120kN, N3 = 120kN, N4 = 0

/ / / / / / / / / / / / / / / / /

1

úng suất pháp tương ứng:

ơ, _N>

L1

— = 5 kN/cm2 = 50MPa 12

A, = 20 kN/cm2 = 200MPaơ4 = 0

Vẽ biểu đồ ứng suất ơ

- Xác định biến dạng của từng đoạn:

Kiểm tra bền: ơ _ = ^ 2 = 200MPa < R = 210MPa

Vứt bỏ ngàm dưới và thay bằng phản lực B Xác định B từ phương trình:

B = 87,5kN

- Viết phương trình cân bằng: F| + B - F2 - A = 0 => A = 47,5kN

- Dùng phương pháp mặt cắt xác định lực dọc:

- Kiểm tra độ bền tại mặt cắt nguy hiểm:

ơmax Ë i L 109,5MPa < R = 210MPa

Vậy để ứng suất đạt giá trị cho phép thì còn:

210-109,5

210 •100% = 47,9%

Ví dụ 3: Tính thanh siêu tĩnh có khe hở

Cho thanh hình bậc, có khe hở cách ngàm A = 0,2mm như hình vẽ Yêu cầu:

Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất và chuyển vị Cho F ị = 60kN, F2 = 120kN, A] = 12cm2,

Ví dụ 4: Cho hệ gồm 1 thanh tuyệt

đối cứng, tựa trên 2 thanh thép và ở chính

giữa có gắn 1 thanh hình bậc Thanh này

cách nền với khe hở A = Pc Yêu cầu:

1 Xác định lực F để khe hở bị lấp kín

2 Tìm phản lực nền ở tiết diện dưới

thanh giữa với lực F cho trước và vẽ biểu

đồ lực dọc cho thanh giữa

3 Tìm lực dọc và ứng suất ở thanh

bên với lực F đã cho

4 Cần làm lạnh thanh giữa bao nhiêu

độ để phản lực nền tại tiết diện dưới của

thanh giữa bằng 0 với lực F đã cho

e —: 152

1 Tìm F = F0 để khe hở bị lấp kín từ điểu kiện:

- Vẽ biểu đồ lực dọc cho thanh giữa.

4 Với R = 0 lực dọc các thanh bên N = F/2, tìm At từ phương trình:

AF - aAt.c = pc Fc

Cho thanh hình bậc chịu tác dụng của các tải trọng tính toán Fị Vật liệu thanh là thép

có cường độ tính toán R = 210MPa Yêu cầu:

1 Vẽ biểu đồ lực lọc, ứng suất và chuyển vị

• 4_ 2\T

w

B Phương án 2

Cho 2 thanh thép hình bậc một đầu ngàm

một đầu tự do, chịu lực F đặt cách đầu tự do

khoảng c Trọng lượng vật liệu là Y = 78 kN/m3,

E = 2.105MPa Yêu cầu:

1 Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất

2 Tính giá trị lực dọc, ứng suất của mỗi đoạn

khi tính đến trọng lượng bản thân thanh

3 Tính chuyển vị của tiết diện cách đầu tự do

khoảng / khi tính đến trọng lượng bản thân thanh

Số liệuSỐTT

Bài 2: Kéo nén thanh siêu tĩnh

Cho thanh hình bậc chịu các tải trọng tính toán Fj Vật liệu thanh là thép có cường độ tính toán R = 210MPa, khe hở A = 0,lmm Yêu cầu:

1 Xác định các phản lực ngàm

2 Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất và chuyển vị

3 Đánh giá độ bền của thanh

Số liệu cho như ở bài 1 (phương án 1)

Các lực Fj đặt vào đầu đoạn và giữa đoạn

©

@

77777777777777777

Bài 3: Hệ thanh siêu tĩnh

Ví dụ: Cho hệ có sơ đồ tính như hình vẽ Cho F = lOOkN, Aị = lOcm2, A2 = 15cm2,

ỉị = lm , /2 = 2m, R = 210MPa E = 2.10sMPa, a = 3m, b = lm , c = 0,5m, a 2 = 90°,

a 2 = 60 Yêu cầu:

1 Xác định ứng suất các thanh với tải trọng đã cho

2 Xác định tải trọng cho phép tác dụng lên hệ

Lời giải:

1 Hệ có 4 ẩn (B, D, Nj, N2), có 3 phương trình cân bằng nên đây lắ hệ siêu tĩnh bậc 1, cần bổ sung thêm 1 phương trình biến dạng Vì chỉ cần tìm Nj, N2 nên viết 1 phương trình cân bằng:

ơ _ ^ 1 = = 6 6 kN/cm2 = 66MPa < R = 210MPa

1 Aj 10

ơ - ì h = = 2,13 kN/cm2 = 21,3MPa < R

2 A 2 15Đảm bảo độ bền Ta thấy thanh 1 nguy hiểm hơn

Sơ đồ tính

©

© ®

Cho hệ từ vật liệu đàn dẻo chịu tải

trọng tăng dần dần Cho E = 2.105MPa,

ơch = 240MPa, hệ số an toàn bền

3 Xác định giá trị giới hạn của lực F

để 2 thanh không còn chịu lực nữa

4 Tìm giá trị Fgh (lực giói hạn) theo

phương pháp ứng suất cho phép và theo

phương pháp tải trọng giới hạn với cùng

một hệ số an toàn bền So sánh các kết

quả đó

Khi tính xem thanh ngang là tuyệt

đối cứng

3 Tìm lực dọc và ứng suất ở các thanh ngoài với lực F đã cho.

4 Xác định cần làm lạnh thanh giữa bao nhiêu độ để phản lực nền tại tiết diện dưới của thanh giữa bằng 0 với lực F đã cho

H

^ ^ ẸS •"*

- Xét 1 phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:

- Quy ước dấu của ứng suất:

Theo định luật đối ứng của vXy -

- Úng suất trên mặt cắt nghiêng 1 góc a:

2 2 ^ (ơ x ~ gy) +4Txy (2)

Mặt chính: Mặt không có ứng suất tiếp,

ứng suất chính: úng suất pháp trên mặt chính

Phương chính: Phương pháp tuyến của mặt chính

- Các phương chỉnh:

2x.

ơx ơy

hoặc: t g a l , 2 = (4)

xy

ơ y “ Ơ1,2trong đó: otị 2 - góc giữa írục X vói trục 1,2

- Úng suất tiếp cực trị tác dụng trên mặt nghiêng 45° với các phương chính và bằng:

a ) Xxy > 0 , ơ x > ơ y ; b ) Xxy > 0 , ơ x < ơ y ; c) Xxy < 0 , ơ x > ơ y ; d ) Xxy < 0 , ơ x < ơ y

- Dùng định luật Húc tổng quát xác định các biến dạng tương đối:

^ ( ơ x -v ơ y ), s z = “ (ơ x + ơ y)

^ ( ơ y - v ơ x), Y - T x y

(6)

3 Xác định biến dạng tương đối và biến dạng thể tích của phân tố.

Cho ơx = - 30MPa, ơy = 70MPa, Txy = 40MPa, V = 0,3, E = 2.105MPa

ơ I = 84,03MPa, ơ2 = - 44,03MPa

V í dụ 2: Dùng thuyết bền Mo kiểm tra độ bền của phân tố với các ứng suất:

ơ a = 12MPa ứng suất: ơy = - 30MPa, xXy = 25MPa, cường độ tính toán khi kéo và nén

là Rt = 40MPa, Rc = 130MPa

- Kiểm tra bền theo thuyết bền Mo:

ơ tMo = Ơ 1 ~ k ơ 3 = 23,65 — ——(—41,65) = 36,46MPa < R t = 40MPa

Vậy độ bền của vật liệu (phân tố) được đảm bảo

3 Xác định ứng suất tiếp cực đại và mặt mà nó tác dụng

4 Dùng vòng Mo xác định ứng suất pháp trên mặt có ứng suất tiếp cực đại

5 Sử dụng một trong các thuyết bền để kiểm tra bền phân tố

6 Xác định các biến dạng tương đối theo phương X, y, z và biến dạng thể tích

B - Phương án 2

Cho phân tố bằng thép ở trạng thái ứng suất phẳng.

Yêu cầu tìm:

1 Các ứng suất chính và các phương chính

2 Các ứng suất tiếp cực đại

3 Các biến dạng tương đối ex, Sy, Ez Cho E = 2.104 kN/cm2

4 Biến đổi thể tích tương đối

5 Thế năng riêng biến dạng

Sơ đồ tính

Nếu tiết diện gồm nhiều (n) hình đơn giản:

lx, = I xcos2a + I ysin2a - I xysin 2 a

ly = Ixsin2a + I ycos2a + Ixysin 2 a (9)

Ix - I v IY.V = I vvcos2a + -sin2otX y xy 2

- Các định nghĩa:

+ Hệ trục có mômen quán tính li tâm đối với nó bằng không => hệ trục quán tính chính + Nếu có thêm gốc tọa độ trùng trọng tâm tiết diện => hệ trục quán tính chính trung tâm Mômen quán tính đối với hệ trục đó => mômen quán tính chính trung tâm, có trị

so la Imax va Imjn

- Mômen quán tính chính trung tâm:

- Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm:

Cho phép xác định mômen quán tính chính

trung tâm, phương của các trục quán tính chính

- Bán kính quán tính đối với trục X, y:

Ví dụ 1: Cho tiết diện như hình vẽ Yêu cầu:

1 Xác định vị trí trọng tâm tiết diện

2 Xác định các mômen quán tính đối với trục

trung tâm

3 Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và

các mômen quán tính chính trung tâm

2 Xác định các mômen quán tính đối với các trục trung tâm.

3 Xác định các mômen quán tính chính trung tâm yà phương của hệ trục quán tính chính trung tâm Cho:

Hoặc tính theo công thức:

2 Xác định các mômen quán tính đối với các trục trung tâm

3 Xác định các mômen quán tính chírih trung tâm và hệ trục quán tính chính trung tâm

4 Vẽ vòng tròn Mo quán tính và sử dụng nó để kiểm tra câu 3

B - Phương án 2

Sơ đồ tính

r

Số liệu (dùng cho cả phương án 1 và phương án 2)

8 2 4 0 -7 2 )

(GOCT 8 5 0 9 -7 2 )

K h ôn g đ ều cạnh (G O C T 8 5 1 0 -7 2 )

Chú ý: Khi tính mômen quán tính li tâm của thép góc đều cạnh đối với các trục trung

im song song với hai cánh, có thể dùng công thức:

ì = W ~ i íQịiLsin 2 a

Chương 4

XOẮN THANH THẲNG

1 TÓM TẮT L Í TH UYẾT

- Xoắn thuần túy: trên các mặt cắt ngang chỉ có mômen xoắn Mz

a) Thanh tiết diện tròn

- Mz được xác định theo phương pháp mặt cắt

- Mz được quy ước là dương khi nhìn vào mặt cắt thấy chiều quay thuận kim đồng hồ

- Úng suất tiếp tại điểm cách tâm khoảng p:

_ M Z

T = I pp

- Điều kiện bền theo phương pháp ứng suất cho phép

- Điều kiện cứng:

M 0?= ~ ^ s [ e ] (rad/m)

[e](rad/m)= J~_[e] (7m)

(5)

Ví dụ: Tính thanh tiết diện tròn không đổi

Một trục thép tiết diện tròn chịu xoắn như hình vẽ Yêu cầu:

1 Vẽ biểu đồ mômen xoắn Mz

2 Xác định đường kính từ điều kiện bền và điều kiện cứng

3 Vẽ biểu đồ Tmax theo chiều dài thanh

4 Vẽ biểu đồ góc xoắn tuyệt đối và tương đối

5 Xác định ứng suất chính và phương của nó tại điểm trên bề mặt thanh ở đoạn thanh

có Mz lớn nhất

Cho: Mị = 29kNm, M2 = 12kNm, M3 = 18kNm, /j = l,2m, /2 = l,6m, /3 = 0,7m, [0] = 2 /m, G = 8.104MPa, Rs = 130MPa

Lời giải:

1 Dùng phương pháp mặt cắt, đi từ đầu a) $A

tự do để tính Mz, chú ý quy ước dấu

Vẽ biểu đồ góc xoắn tương đối 0.

5 Xác định các ứng suất chính trên đoạn AB (có Mzmax) tại điểm trên bề mặt thanh:

ơ x +ơy 1 / ~~ ~2 2

- Xác định các phương chính tại điểm ấy:

= — 0 0

2 a 0 = -90° => a 0 = -45°

Vậy các ứng suất chính nghiêng góc 45° với trục X, y

Bài 6 Tính trục chịu xoắn tiết diện tròn

A - Phương án 1

Cho một trục thép tiết diện tròn chịu xoắn bởi các mômen ngoại lực như hình vẽ Cường độ tính toán khi trượt Rs = 130MPa Yêu cầu:

1 Vẽ biểu đồ mômen xoắn Mr

2 Xác định đường kính trục từ điều kiện bền và điều kiện cứng (chọn giá trị cuối cùng theo tiêu chuẩn D = 30, 35,40,45, 50,60,70, 80,90,100,125,140,160,170,200mm)

1 Tìm giá trị X để góc xoắn của đầu phải trục bằng o

2 Vẽ biểu đồ mômen xoắn với X tìm được

3 Với giá trị [t], xác định đường kính trục từ điều kiện bền

Ví dụ: Tính thanh tiết diện thay đổi

Cho trục thép tiết diện thay đổi chịu xoắn như hình vẽ Yêu cầu:

1 Vẽ biểu đồ mômen xoắn Mz

2 Tim mômen cho phép [M] theo điều kiện bền

3 Vẽ biểu đồ ứng suất tiếp trên các tiết diện trục và đánh dấu các điểm nguy hiểm

4 Vẽ biểu đồ góc xoắn cp

Cho G = 8.103 kN/cm2; Rs = 10 kN/cm2

Đoạn III (tiết diện chữ nhật):

w in = pb3, h/b = 8/6 = 1,333, p = 0,3.

WjỊn = 0,3.0,63 = 64,8cm3Vậy:

- Tính ứng suất trong các đoạn theo M:

n ĩĩD4 7Ĩ.104 _ _ 4

I11 = - — = —— = 980cm

562kNcm

(tại điểm giữa cạnh dài)

(tại điểm giữa cạnh ngắn)

lxotrong đó: khi h/b = 1/33 thì a = 0,243

562lỊFn = a b 4 = 0,243.64 = 315cm

Bài 7 Tính thanh tiết diện thay đổi

Cho trục thép có tiết diện và chịu xoắn bởi 2 mômen ở hai đầu như hình vẽ:

1 Vẽ biểu đồ mômen xoắn Mz

2 Xác định mômen chống xoắn cho đoạn I, II, III và theo tiết diện nguy hiểm tìm mômen cho phép [M]

3 Vẽ biểu đồ phân bố ứng suất tiếp ỏ tiết diện của đoạn I, II, III và đánh dấu các điểm nguy hiểm

4 Vẽ biểu đổ góc xoắn (p khi xem gốc tọa độ ở đầu trái trục

Cho G = 8.104MPa, Rs = lOOMPa

Chú ý: Có thể xem tiết diện ở đoạn III là hình vuông với cạnh bằng 0,8D.

Chương 5

UỐN NGANG PHẲNG

1 TÓM TẮT LÍ THUYẾT

- Nếu trong các mặt cắt ngang của dầm chỉ có mômen uốn và lực cắt thì sự uôn đo

được gọi là uốn ngang phẳng Nếu chỉ có mômen uốn thì gọi là uốn thuân túy phang

Giá trị của lực cắt Q và mômen uốn Mx được xác định theo phương pháp mặt cắt:

q =ẻ fi;

trong đó: Fj, Mị - các lực và các mômen uốn nằm về một phía của tiết diện đang xét

- Quy ước dấu của Q và Mx là dương như hình vẽ (Q > 0 khi ngoại lực có chiều hướng quay phần đang xét theo chiều kim đồng hồ, M > 0 khi nó làm cảng thớ dưới)

- Dùng quy tắc dấu đó để vẽ biểu đồ Q và Mx Tung độ dương của Q đặt phía trên của trục biểu đồ Biểu đồ Mx đặt theo thớ căng của dầm

- Cách vẽ biêu đô cho khung cũng tương tự như cho dầm nhưng chú ý rằng ở khung thường có 3 thành phần nội lực N, Q, Mx và với mỗi đoạn trục z lấy hướng theo trục thanh, trục X, y trùng với trục quán tính chính trung tâm của tiết diện

- Nếu tìm được nội lực trên các tiết diện thì có thể xác định ứng suất pháp, ứng suất tiếp tại điểm bất kì, tìm các ứng suất chính, kiểm tra bển, chọn kích thước tiết diện

- úng suất pháp và tiếp tại điểm bất kì:

trong đó: Sx - mômen tĩnh của diện tích cắt đối với trục x;

bc - bề rộng tiết diện tại điểm đang xét

- Điều kiện bền theo ứng suất pháp:

- Nếu tại 1 điểm của mặt cắt ngang có ứng suất pháp và ứng suất tiếp khá lớn thì cần

sử dụng thuyết bền để kiểm tra bền

- Để kiểm tra độ cứng dầm thì cần tính độ võng và góc xoay của tiết diện

- Sử dụng phương pháp thông số ban đầu để viết phương trình đường đàn hồi, cho phép xác định độ võng của mật cắt bất kì khi EI = const:

Dấu của Fj, Mị, q, là dương khi chúng

có chiều như trên hình vẽ

Các thông số ban đầu y0, (p0 được xác

định từ các điều kiện biên

Sử dụng (7), (8) có thể xác định độ võng,

góc xoay tại mặt cắt bất kì Chú ý rằng khi

tính chuyển vị tại 1 mặt cắt nào đó chỉ lấy

các tải trọng nằm bên trái mặt cất đó

- Trường hợp nếu độ cứng EI của các đoạn thanh là khác nhau nên sử dụng phương pháp Mo - Vêrêsaghin để tính độ võng, góc xoay

2 CÁC V Í DỤ

Ví dụ 1: Cho dầm chịu lực như hình vẽ

yêu cầu:

1 Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn

2 Chọn tiết diện chữ I và tính ứng suất

Theo các số liệu vừa tính vẽ biểu đồ Q, Mx.

- Xác định mômen chống uốn của tiết diện:

Tra bảng chọn I°30 có: Wx = 472cm3, Sx = 268cm3, Ix = 7080cm4, d = 0,65cm

- ứng suất tiếp lớn nhất:

Vậy tiết diện đã chọn thỏa mãn cả điều kiện bền theo ứng suất tiếp

Ví dụ 2: Cho dầm côngxôn bằng gỗ chịu lực như hình vẽ

Yêu cầu:

1 Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn

2 Dựa vào mặt cắt nguy hiểm, chọn kích thước tiết diện chữ nhật h : b = 1,5,

z = lm: Qy = - 30kN, Mx = - lOkNm

z = 2m: Qy = - 30kN, Mx = 20kNm