Xây dựng và phân loại một số lớp đồ thị có cấu trúc đặc biệt

Một cáchkhông chính thức, đồ thị là một tập các đối tượng được gọi là các đỉnhđược nối với nhau bằng các cạnh.. Tính chất này được phát hiện vànghiên cứu bởi hai nhà khoa học Erd˝os và R

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Đồ thị n-e.c 5

1.1 Khái niệm về đồ thị n-e.c 5

1.2 Một số tính chất cơ bản của đồ thị n-e.c 7

1.3 Các đồ thị Paley và biến thể 13

Chương 2 Xây dựng và phân loại một số đồ thị n-e.c 18

2.1 Đồ thị n-e.c 18

2.2 Đồ thị 2-e.c 23

2.3 Đồ thị 3-e.c 25

2.4 Các đồ thị n-e.c với n ≥ 4 28

Chương 3 Xây dựng đồ thị ngẫu nhiên chính quy mạnh 31 3.1 Xây dựng 1 32

3.2 Xây dựng 2 34

Tài liệu tham khảo 42

Mở đầu

Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học nghiên cứu về tính chất củacác đồ thị, chiếm vị trí quan trọng về cả lý thuyết lẫn ứng dụng Một cáchkhông chính thức, đồ thị là một tập các đối tượng được gọi là các đỉnhđược nối với nhau bằng các cạnh Cạnh có thể có hướng hoặc vô hướng

Đồ thị thường được vẽ dưới dạng một tập các điểm và các điểm nối vớinhau bằng các đoạn thẳng(các cạnh) Luận văn này đề cập tới việc xâydựng và phân loại một số lớp đồ thị có cấu trúc đặc biệt Cụ thể ở đâychính là các đồ thị có tính chất n-e.c Tính chất này được phát hiện vànghiên cứu bởi hai nhà khoa học Erd˝os và Re’nyi [16] và ngày càng nhậnđược sự quan tâm chú ý của các nhà nghiên cứu ở các lĩnh vực khác nhau.Nội dung chính của luận văn là tập trung làm rõ các tính chất của đồthị n-e.c, sau đó xây dựng và phân loại các đồ thị n-e.c, cuối cùng nêu

ra một số cách xây dựng cụ thể cho đồ thị n-e.c Luận văn bao gồm bachương

 Chương 1 : Giới thiệu về đồ thị n-e.c, các tính chất của đồ thị n-e.c

và một vài dạng đồ thị n-e.c đã biết

 Chương 2 : Xây dựng các đồ thị n-e.c tổng quát với điều kiện nhấtđịnh sau đó cụ thể hơn cho các lớp đồ thị 2-e.c, 3-e.c và các đồ thị

n-e.c với n ≥ 4

 Chương 3 : Nêu ra hai cách xây dựng đồ thị ngẫu nhiên chính quymạnh, sau đó chứng minh các đồ thị sinh ra thỏa mãn tính chất kề

n-e.c

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian thực hiện luận văn không nhiềunên trong luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót khi trìnhbày Em rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến xây dựng của thầy

cô và các bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Đồ thị n-e.c

1.1 Khái niệm về đồ thị n-e.c

Trước khi đi vào khái niệm đồ thị n − e.c, chúng ta sẽ nhắc lại một vàikiến thức cơ bản của đồ thị Với ký hiệu đồ thị G = (V, E), thì V (hay

V (G)) là tập đỉnh của đồ thị G và E (hay E(G)) là tập các cạnh của đồthị Tập đỉnh phải khác rỗng, còn tập cạnh có thể là tập rỗng Số đỉnhcủa đồ thị gọi là cấp của đồ thị và ký hiệu là |V | Số cạnh của đồ thị gọi

là cỡ của đồ thị và ký hiệu là |E| Với x, y ∈ V, ta có {x, y} ∈ E hay xy

là cạnh nếu x được nối với y và ta nói rằng x kề với y Đồ thị G0 là đồthị con của đồ thị Gnếu: V (G0) ⊆ V (G) và {x, y} ∈ E(G0) khi và chỉ khi

{x, y} ∈ E(G)

Một đồ thị ngẫu nhiên được tạo bởi một tập n đỉnh cho trước và thêmdần các cạnh một cách ngẫu nhiên Trong khi nghiên cứu về đồ thị ngẫunhiên, Erd˝os và Re’nyi [16] đã phát hiện ra tính chất kề và nghiên cứu về

nó Tính chất kề là tính chất tổng quát của một đồ thị và được phát biểucho mọi tập S các đỉnh của một loại đồ thị cố định nào đó, có một đỉnhđược nối vào một tập đỉnh S nào đó theo một cách nhất định Tính chất

kề mà được gọi là n-e.c nhận được rất nhiều sự quan tâm chú ý của nhiềunhà nghiên cứu ở các lĩnh vực khác nhau như lý thuyết đồ thị, logic học,xác suất và hình học

Định nghĩa 1.1.1 Một đồ thị là n-e.c nếu với mọi cặp tập con U, W củatập đỉnh V sao cho U ∩ W = ∅ và |U | + |W | = n (một trong hai tập U

hoặc W có thể là tập rỗng), thì có một đỉnh v ∈ V − (U ∪ W ) sao cho v

kề với tất cả các đỉnh của U và không kề với đỉnh nào của W

Ví dụ 1: Đồ thị1-e.c là một đồ thị không có đỉnh cô lập (tức là đỉnh không

kề với bất cứ đỉnh nào) cũng không có đỉnh phổ quát (tức là đỉnh đượcnối với tất cả các đỉnh còn lại) (xem Hình 1.1)

Ví dụ 2: Một đồ thị là 2-e.c nếu với mỗi cặp đỉnh riêng biệt u và w, có 4

đỉnh khác với u và w nối với chúng theo tất cả những cách có thể (xemHình 1.2)

Định nghĩa tính chất kề n-e.c khá rõ ràng nhưng từ định nghĩa lại không

dễ để chỉ ra đồ thị tồn tại tính chất này Tuy nhiên, theo chứng minh đầutiên trong [16], hầu hết tất cả các đồ thị hữu hạn đều là n-e.c Với một

số nguyên m, không gian xác suất G(m,12) bao gồm một đồ thị với tậpđỉnh{0, , m − 1} sao cho hai đỉnh riêng biệt được nối với nhau một cáchđộc lập với xác suất 12

Định lý 1.1.1 ([3]) Cố định số nguyênn > 1 Với xác suất1khi m → ∞,

G(m,12) thỏa mãn tính chất n-e.c

Chứng minh Cố định một tập S chứa n phần tử trong tập đỉnh V, và cốđịnh hai tập con A và B rời nhau của S với A ∪ B = S Cho z /∈ S, xácsuất để z chỉ kề với một trong hai tập A và B là (12)n

Như vậy xác suất để z không thỏa mãn tính chất chỉ kề với một trong haitập A và B là

Định lý 1.1.1 cho thấy rằng có nhiều ví dụ về đồ thị n-e.c Ta cũng có thể

dễ dàng tổng quát hóa bằng cách thay 12 bằng một số thực p ∈ (0, 1) cốđịnh nào đó Điều đó cho thấy đồ thị n-e.c khá phổ biến Nhưng thực tếthì cho đến những năm gần đây chỉ có duy nhất một họ đồ thị n-e.c đượcbiết đến, đó là các đồ thị Paley

Nếu một đồ thị là n-e.c với ∀n thì đồ thị đó được gọi là e.c (chú ý rằngbất kỳ đồ thị e.c nào cũng là vô hạn) Bất cứ hai đồ thị e.c đếm được nào

đó cũng đẳng cấu với nhau, dạng đẳng cấu này có tên là đồ thị ngẫu nhiên

vô hạn hoặc đồ thị Rado và được viết là R Đồ thị R trở thành tiêu điểmcủa nhiều hoạt động nghiên cứu gần đây

Một ví dụ đáng chú ý về R, nếu một đồ thị hữu hạn G là n-e.c có thểđược xem như phiên bản hữu hạn của R Do đó, tính chất n-e.c là một độ

đo tất định của tính ngẫu nhiên trong đồ thị Hai khái niệm khác của tínhngẫu nhiên trong đồ thị được đưa ra và nghiên cứu một cách toàn diện làtính ngẫu nhiên chuẩn [12] và tính tựa ngẫu nhiên [6] (nhưng chúng ta sẽkhông thảo luận ở đây) Nhiều đồ thị trong số các đồ thị ở luận văn nàythỏa mãn các tính chất này, ví dụ như đồ thị Paley Tuy nhiên, các tínhchất ngẫu nhiên này không nhất thiết biểu thị tính n-e.c Ví dụ được chotrong [14] là ngẫu nhiên chuẩn nhưng không phải 4-e.c

1.2 Một số tính chất cơ bản của đồ thị n-e.c

Đầu tiên ta nhắc lại một số khái niệm trong đồ thị như sau

Định nghĩa 1.2.1 Phần bù của đồ thị G ký hiệu là G¯ Đó là một đồ thị

với tập đỉnh là tập đỉnh của đồ thị G đồng thời nếu 2 đỉnh kề trong G thìkhông kề trong G¯ và ngược lại.

Định nghĩa 1.2.2 Sắc số của một đồ thị G là số màu tối thiểu cần dùng

để tô màu các đỉnh của đồ thị sao cho hai đỉnh kề nhau phải có màu khácnhau Sắc số của đồ thị G kí hiệu là χ(G)

Với x ∈ V (G) ta ký hiệu G − x là đồ thị con của G thu được bằng cáchxóa đi điểm x Đặt N (x) = {y ∈ V (G), y 6= x : {x, y} ∈ E(G)} và

Nc(x) = {y ∈ V (G), y 6= x : {x, y} /∈ E(G)} Với S ⊆ V (G) ta ký hiệu

G S là đồ thị cảm sinh của Gtrên S, tức là vớix, y ∈ S thì{x, y} ∈ E(S)

khi và chỉ khi {x, y} ∈ E(G) Với N (S) = {y ∈ V (G), y 6= x : {x, y} ∈E(G), x ∈ S}, thì N (S) = ∪x∈SN (x)

Định nghĩa 1.2.3 Chỉ số clique của đồ thị G là số đỉnh lớn nhất của tập

U ( U là tập con của tập đỉnh V) thỏa mãn tính chất: Với mỗi cặp đỉnhthuộc U luôn tồn tại một cạnh của G nối chúng Chỉ số clique của đồ thị

sao cho A ∩ B = ∅và |A| + |B| = n Do G là n-e.c nên khi đó có một đỉnh

v ∈ V − (A ∪ B) sao cho v kề với tất cả các đỉnh của A và không kề vớiđỉnh nào của B Khi đó hiển nhiên v ∈ V − (U ∪ W ) và v kề với tất cảcác đỉnh của U nhưng không kề với đỉnh nào của W Theo định nghĩa thì

G là m-e.c với ∀m, 1 ≤ m ≤ n − 1

(2) Giả sử G có m cạnh (m ≥ n) Theo chứng minh của Định lý 1.1.1, ta

có xác suất để G không là n-e.c là

|U | + |W | = n cạnh khác nhau Giả sử U1, W1 là một cặp tập con kháccũng thỏa mãn U1 ∩ W1 = ∅ , U1 ∪ W1 = S và |U1| ≥ n

2 ≥ |W1| Khi đócũng tồn tại 2 đỉnh v1, w1 ∈ V − (U1 ∪ W1) sao cho v1 kề với tất cả cácđỉnh của U1 và không kề với đỉnh nào của W1 còn w1 thì ngược lại Do

U 6= U1 và |U |, |U1| ≥ n2 nên tồn tại x ∈ U1 ∩ W mà v không kề với W

còn v1 kề với U1 nên v 6= v1 Lập luận tương tự ta cũng có w 6= w1 và hiểnnhiên v 6= w1, w 6= v1 Như vậy với cặp tập con U1, W1 ta cũng chỉ ra ítnhất |U1| + |W2| = n cạnh khác nhau và khác n cạnh ứng với cặp tập con

U, W Do có 2n−1 cặp tập con của S nên đồ thị G có ít nhất n.2n−1 cạnh.(3) Do G làn-e.c nếu với mọi cặp tập con U, W của tập đỉnh V của đồ thịsao cho U ∩ W = ∅và |U | + |W | = n, khi đó có một đỉnh v ∈ V − (U ∪ W )

sao cho v kề với tất cả các đỉnh của U và không kề với đỉnh nào của W.Khi đó trong G¯ thì v không kề với đỉnh nào của U và kề với tất cả các

đỉnh của W Do đó, G¯ cũng là n-e.c.

(4) Chọn U gồm n điểm và W là tập rỗng Do G là n-e.c nên tồn tại

v ∈ V − (U ∪ W ) sao cho v kề với tất cả các đỉnh của U và không kề vớiđỉnh nào của W Phải tô màu υ và các đỉnh trong U bởi các màu khácnhau nên cần n + 1 màu Vậy χ(G) ≥ n + 1

Chọn U1 = {u1} và W1 là tập gồm n − 1 đỉnh Do G là n-e.c nên tồntại u2 ∈ V − (U1 ∪ W1) sao cho u2 kề với u1 Chọn U2 = {u1, u2} và

(5) Chọn x ∈ S Do G là n − e.c nên tồn tại đỉnh zx kề với x và không

kề với các đỉnh khác của S Ta có zx ∈ N (S) Hơn nữa, với x 6= x0 thì

zx 6= zx0 Từ đó ta suy ra |N (S) ≥ |S|

Định lý 1.2.2 Nếu n > 1, thì với mỗi đỉnh x của G ta có các đồ thị

G − x, G N (x) và G  Nc(x) là đồ thị (n − 1)-e.c

Chứng minh Với x ∈ V (G), xét cặp tập con U, W của tập đỉnh V (G 

Nc(x)) sao choU ∩ W = ∅ và |U | + |W | = n − 1 Khi đó (U + x) ∩ W = ∅

và |U + x| + |W | = n Do G là n-e.c nên tồn tại υ ∈ V (G) − (U + x ∪ W )

kề với tất cả các đỉnh trong U + x và không kề với đỉnh nào trong W Khi

đó υ kề với tất cả các đỉnh trong U và không kề với đỉnh nào trong W.Như vậy G  Nc(x) là (n − 1)-e.c (đồ thị G − x chứng minh hoàn toàntương tự)

Đối với đồ thịG N (x), ta cũng xét cặp tập conU, W của tập đỉnhV (G 

N (x)) sao cho U ∩ W = ∅ và |U | + |W | = n − 1 Khi đó U ∩ (W + x) = ∅

và|U | + |W + x| = n Do Glà n-e.c nên tồn tại υ ∈ V (G) − (U ∪ (W + x))

kề với tất cả các đỉnh trong U và không kề với đỉnh nào trong W + x Khi

đó, υ kề với tất cả các đỉnh trong U và không kề với đỉnh nào trong W.Như vậy G N (x) là (n − 1)-e.c

Hệ quả 1.2.1 Với mec(n) là cấp nhỏ nhất của một đồ thị n-e.c thì

mec(n) ≥ 2.mec(n − 1) + 1 với n > 1

Chứng minh Giả sửG là đồ thịn-e.c có cấp nhỏ nhất mec(n) Với ký hiệu

N (x) và Nc(x) như ở định lý trên, ta xét hai trường hợp sau:

• Nếu |N (x)| ≤ mec (n)−1

2 Theo Định lý 1.2.2, G  N (x) là (n − 1)-e.cnên mec(n − 1) ≤ mec (n)−1

Trong [5] ta có chú ý đầu tiên là mec(2) = 9 và K3K3 là 2-e.c Theo [2]

ta cũng thu được K3K3 là dạng đẳng cấu duy nhất của đồ thị 2-e.c cócấp 9 Đồ thị K3K3 được cho trong Hình 1.2

Hình 1.2: Đồ thị 2-e.c có cấp nhỏ nhất duy nhất

Cũng theo Hệ quả 1.2.1, mec(3) ≥ 2.mec(2) + 1 = 19 Tuy nhiên, một đồthị 3-e.c với 19 đỉnh là đồ thị 9- chính quy và vì thế mec(3) ≥ 20 Kếtquả trong [18] thu được bằng cách sử dụng máy tính khoa học chỉ ra rằng

mec(3) ≥ 24 Một tìm kiếm trong [2] đã tìm thấy hai đồ thị 3-e.c cấp 28

không đẳng cấu với nhau Do đó ta có 24 ≤ mec(3) ≤ 28 Việc xác địnhchính xác mec(3) là bài toán mở rất khó

Ta có mec(n) ≥ 2.mec(n − 1) + 1 và mec(3) ≥ 24, bằng chứng minh quynạp đơn giản, chúng ta suy ra với n ≥ 3 thì

tồn tại

1.3 Các đồ thị Paley và biến thể

Trong mục này sẽ trình bày một vài kết quả của trường hữu hạn Chúng

ta bắt đầu với các ký hiệu và khái niệm cơ bản

Ký hiệu Fq là trường hữu hạn q phần tử, trong đó q là lũy thừa của một

số nguyên tố Ký hiệu Fq[x] là vành đa thức trên Fq và F∗q là nhóm nhâncác phần tử khác 0 của Fq

Một đặc trưng χ của F∗q là một ánh xạ từ F∗q vào nhóm nhân các số phứcsao cho |χ(x) = 1| với ∀x ∈ F∗q và χ(xy) = χ(x).χ(y) với x, y ∈ F∗q Trong

số các đặc trưng của F∗q chúng ta có đặc trưng tầm thường χ0 định nghĩabởi χ(x) = 1 với ∀x ∈ F∗q Các đặc trưng khác của F∗q được gọi là đặctrưng không tầm thường Với mỗi đặc trưng của F∗q chúng ta kết hợp đặctrưng liên hợp định nghĩa bởi χ(x) = χ(x) với ∀x ∈ F∗

q Đặc trưng χ cócấp d nếu χd = χ0 và d là số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất này.Chúng ta mở rộng khái niệm đặc trưng không tầm thường cho trường Fq

bằng cách định nghĩa χ(0) = 0 Với χ0 ta định nghĩa χ(0) = 1 Chú ýrằng χt(a) = χ(at) với a ∈ Fq và t là một số nguyên dương Nếu χ là đặctrưng không tầm thường của Fq thì theo [18] chúng ta có

Định nghĩa 1.3.2 Một đồ thị G là k- chính quy với v đỉnh, sao cho mỗicặp đỉnh nối với nhau có chính xác λ đỉnh kề chung, và mỗi cặp đỉnh không

nối với nhau có chính xác µ đỉnh kề chung thì được gọi là đồ thị chính quymạnh, và ký hiệu G là SRG(v, k, λ, µ)

Hầu hết các đồ thị n-e.c mà chúng ta biết là đồ thị chính quy mạnh Họ

đồ thị đầu tiên được phát hiện ra chứa các đồ thị n-e.c với∀nlà các đồ thịPaley Các đồ thị Paley được định nghĩa trên trường hữu hạn, và chúngthỏa mãn nhiều tính chất của đồ thị ngẫu nhiên (G,12) Đồ thị Paley cấp

q với q ≡ 1( mod 4) là đồ thị mà các đỉnh của nó là các phần tử của Fq,

và có một cạnh giữa hai đỉnh x và y nếu và chỉ nếu x − y là bình phươngtrong Fq

Các đồ thị Paley có nhiều tính chất được mô tả trong các định lý dưới đây

và chứng minh của chúng sử dụng các tính chất của các trường hữu hạn.Định lý 1.3.1 ([3]) Cố định q là lũy thừa của một số nguyên tố với q ≡ 1(mod 4)

(1) Đồ thị Pq là SRG(q,q−12 , q−54 ,q−14 )

(2) Đồ thị Pq là tự bù, nghĩa là Pp ∼= ¯P

p.(3) Đồ thị Pp là đối xứng, nó là bắc cầu đỉnh và cạnh

Định lý 1.3.2 ([3]) Nếu q > n2.22n−2, thì Pq là n-e.c

Định lý dưới đây được đưa ra bởi Schmidt [21] và rất hữu ích trong việcchứng minh định lý về tính chất n -e.c

Định lý 1.3.3 Cho χ là đặc trưng không tầm thường cấp d trên trường

Fq Giả sử rằng f (x) ∈ Fq[x] với chính xác m nghiệm khác nhau và không

có dạng c(g(x))d, trong đó c ∈ Fq và g(x) là một đa thức trên Fq Khi đó

Paley bậc 4 có cấp q ≡ 1( mod 8) có các đỉnh kề với các đỉnh khác nếuhiệu của nó là lũy thừa bậc 4của một phần tử trong Fq Kết quả dưới đâyđược chứng minh bằng cách sử dụng ước lượng tổng đặc trưng.

Định lý 1.3.4 ([20])

(1) Nếu q > (2n.22n−1− 22n+ 1)2n√

q + 3n.2−n.32n−1 thì Pq(3) là n-e.c.(2) Nếu q > (2n.22n−1− 22n+ 1)3n√

q + 4n.2−n.42n−1 thì Pq(4) là n-e.c

Cho q = pr là lũy thừa của một số nguyên tố sao cho q ≡ 1( mod 4) và

p ≡ 3( mod 4) Cho v là một phần tử sinh của nhóm nhân của Fq Do

đó v là một căn nguyên thủy của q Định nghĩa đồ thị P∗(q) có các đỉnh

là các phần tử của Fq, và với hai đỉnh a, b bất kỳ được nối với nhau nếu

|a − b| = vj, trong đó j ≡ 0( mod 4) hoặc j ≡ 1( mod 4) Tương tự các

đồ thị Paley, đồ thị P∗(q) cũng là đồ thị chính quy mạnh, tự bù, và đốixứng Sử dụng ước lượng tổng đặc trưng ta đưa ra được kết quả dưới đây.Định lý 1.3.5 ([7]) Nếu q = pr là lũy thừa của một số nguyên tố sao cho

q ≡ 1( mod 4), p ≡ 3( mod 4) và q > 8n228n thì P∗(q) là n-e.c

Chứng minh ChoS = (u1, u2, , un1, v1, v2, , vn2) là dãy bất kỳ các đỉnhriêng biệt của P∗(q), với n1 + n2 = n Ta định nghĩa {a, b} là cạnh của

P∗(q) ( a, b ∈ Fq) nếu và chỉ nếu χ(a − b) = 1 hoặc χ(a − b) = i Ta sửdụng điều này để chứng minh tồn tại một đỉnh kề với các đỉnhu1, u2, , un1

nhưng không kề với các đỉnh v1, v2, , vn2 Đặt

Chúng ta ước lượng giá trị của |f (S)| bằng cách ước lượng giá trị của

|g(S)| và |g(S) ư f (S)| Khai triển g(S) chúng ta có (chú ý rằng trongphần còn lại của chứng minh thì  và các i có modulo là 1)

tử tiếp theo đều bằng 0 do χ là đặc trưng Do đó, g(S) ư q = T

Chúng ta sẽ ước lượng T T chứa 22n ư 5 phần tử dạng

Để chỉ ra|f (S)| > 0, ta đi ước lượngg(S)ưf (S) Rõ ràng,|χ(wưui)+| ≤

2, nên chúng ta có thể ước lượng thô

|g(S) ư f (S)| ≤ 2n.22n

2.1 Đồ thị n-e.c

Đầu tiên, ta đi xây dựng đồ thị n-e.c bằng cách sử dụng hình học hữuhạn Cố định hai số nguyên dương v, λ và cố định k sao cho 2 ≤ k < v.Một cấu trúc khối cân bằng khuyết cấp v ký hiệu là BIBD(v, k, λ) là mộtcặp thứ tự (V, B) trong đó V là tập chứa v điểm còn B là tập hợp các tậpcon của tập V được gọi là các khối thỏa mãn:

(1) Qua hai điểm bất kỳ xác định duy nhất một đường thẳng

(2) Từ một đường thẳng l và một điểm x /∈ l, khi đó có duy nhất mộtđường thẳng đi qua x và song song với l

(3) Một mặt phẳng affine luôn có ít nhất 4 điểm trong đó không có bộ

Với mọi mặt phẳng affine hữu hạn A, tồn tại một số nguyên dương q ≥ 2

sao cho mọi điểm trên mặt phẳng affine nằm trên q + 1 đường và mỗiđường thẳng chứa chính xác q điểm Ta có A chứa chính xác q2 điểm,

q2 + q đường, q + 1 lớp song song Khi đó ta nói mặt phẳng affine A cócấp q

Xét một mặt phẳng affine A cấp q, trong đó A được tọa độ hóa trên Fq

với q là số nguyên tố A là một BIBD(q2, q, 1) cấu trúc (với các khối đượcgọi là đường thẳng) Chúng ta đi xét một cấu trúc của đồ thị chính quymạnh được đưa ra bởi Delsarte với Goethals và Turyn Cho l∞ là đườngthẳng tại vô cực với q + 1- phần tử Các phần tử của l∞ có thể xác địnhthông qua hệ số góc của đường thẳng trong mặt phẳng affine Cố định

S ⊆ l∞ Định nghĩa G(q, S, A) là đồ thị có các đỉnh là các điểm trong A,

và hai đỉnh p, q là kề nhau nếu và chỉ nếu đường thẳng pq có hệ số góctrongS Khi đó, G(q, S, A)là một đồ thị SRG(q2, |S|(q − 1), q − 2 + (|S| −1)(|S| − 2), |S|(|S| − 1)) Ký hiệu G(q, A) là họ các đồ thị G(q, S, A) vớicác tất cả các lựa chọn của S Nếu 0 ≤ k ≤ q + 1 là cố định, thì ta viết

G(q, k, A) là họ con tất cả các đồ thị trong G(q, A) với |S| = k Với k cốđịnh, G(q, k, A) có thể chứa các đồ thị không đẳng cấu.

Cố định A là mặt phẳng affine với cấp chẵn q ≥ 8 được tọa độ hóa bởi

F2 k Chọn S là một tập cố định nào đó có q2 hệ số góc trong l∞ Khi

đó G(q, S, A) là một SRG(q2,q(q−1)2 ,q(q−2)4 ,q(q−2)4 ) (đó là một đồ thị hìnhvuông La tinh)

Chúng ta có thể xét G(q, q2, A) như một không gian xác suất với q+1q/2
điểm: mỗi điểm của không gian xác suất tương ứng với một lựa chọn của

S với |S| = q2 Với cách nhìn như vậy thì chúng ta có kết quả dưới đây.Định lý 2.1.1 ([9]) Với q là một lũy thừa của 2 và cố định số nguyêndương n Với xác suất bằng 1 khi q → ∞, G(q, q2, A) là n -e.c

Tuy nhiên, không phải tất cả đồ thịG(q, q2, A) là n-e.c, thậm chí khi q lớnnhư mô tả trong kết quả sau đây

Định lý 2.1.2 ([9]) Cho q ≥ 8 là một lũy thừa của 2

A là mặt phẳng affine với q2 điểm Cố định p ∈ (0, 1), chọn m ∈ l∞ trong

S một cách độc lập với xác suất p (hiển nhiên m thuộc phần bù của S

với xác suất 1 − p) Điều này dẫn đến G(q, A) được đưa vào một khônggian xác suất và ta ký hiệu là Gp(q, A) Khi |S| là biến ngẫu nhiên thì mỗilựa chọn của S đều cho chúng ta một đồ thị ngẫu nhiên chính quy mạnh.Chúng ta chứng minh kết quả sau

Định lý 2.1.3 ([3]) Cố định p ∈ (0, 1) và cho n là một số nguyên dương.Với xác suất 1 khi q → ∞, Gp(q, A) là n-e.c

Chứng minh Cố định hai tập đỉnh rời nhau X và Y của G, |X ∪ Y | = n.Đặt U = X ∪ Y Chúng ta sẽ chứng minh rằng với q đủ lớn, với xác suất

1 thì có một đỉnh z chỉ kề với một trong hai tập X và Y Để chỉ ra điềunày chúng ta sẽ xây dựng một tập PU các điểm z không thuộc U, sao chovới xác suất 1 thì z ∈ PU Đặt s = [qb], với b < 1 cố định

Cố định điểm v ∈ A Phép chiếu từ v lên l∞, là ánh xạ

Đầu tiên, chọn một điểm p1 ∈ U/ nào đó sao cho p1 không nằm trên bất

cứ đường nào chứa 2 điểm của U Với q đủ lớn thì

(i) không nằm trên đường nào chứa hai điểm của U,

(ii) không nằm trên đường nào chứa một điểm củaU với một điểm nằmtrong ∪i

nên chúng ta có thể tìm được điểm pi+1 thỏa mãn tính chất (1) và (2).Thêm pi+1 vào PU,i ta được tập PU,i+1 Đặt

pn = 1 − pm(1 − pn−m)

Từ tính chất (2) trong định nghĩa tính chất của PU, cứ hai điểm phân biệtbất kỳ của PU thì hai tập hệ số góc sẽ rời nhau trong l∞ Đặc biệt, xácsuất pn độc lập với các lựa chọn z ∈ PU Do đó, xác suất để không tồn tại

z ∈ PU kề với một trong hai tập X và Y là (pn)[qb] Như vậy, xác suất để

Gp(q, A) không thỏa mãn tính chất n-e.c lớn nhất là

q2

n

!

2n(pn)[qb] = O(n log(2q2) + qblog(pn)) → 0(q → ∞)

Cuối cùng, chúng ta sẽ tìm hiểu một xây dựng gần đây dựa trên lýthuyết tổ hợp số và được đưa ra bởi Hausdorff([9]) Xét ma trận với r =2n(n − 1) + 1 hàng và c cột, trong đó c được chọn thỏa mãn