Tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục

Lý thuyết về quá trình ngẫu nhiên trong thời gian liên tục là một trongnhững lĩnh vực quan trọng của chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kêtoán học.Nói một cách đơn giản, quá trình

Lời cảm ơn 3

1.1 Qúa trình ngẫu nhiên 6

1.2 Phân phối hữu hạn chiều 9

1.3 Tiêu chuẩn liên tục của Kolmogorov 10

1.4 Quá trình Gaussian 14

1.5 Tính không khả vi của các quỹ đạo của chuyển động Brown 17 1.6 Bộ lọc và thời điểm dừng 18

2 Martingales 25 2.1 Định nghĩa và ví dụ 25

2.2 Martingales thời gian rời rạc 26

2.2.1 Biến đổi martingale 26

2.2.2 Các bất đẳng thức 29

2.2.3 Khai triển Doob 31

2.2.4 Các định lý hội tụ 32

2.2.5 Các định lý dừng tùy chọn 37

2.3 Martingales thời gian liên tục 40

2.3.1 Upcrossings trong thời gian liên tục 40

2.3.2 Tính chính quy 41

2.3.3 Các định lý hội tụ 44

2.3.4 Các bất đẳng thức 45

2.3.5 Tùy chọn dừng 46

2.4 Ứng dụng chuyển động Brown 48

2.4.1 Biến phân bậc hai 48

2.4.2 Bất đẳng thức mũ 50

2.4.3 Luật loga lặp 51

2.4.4 Phân bố các lần chạm 54

3 Quá trình Markov 56 3.1 Định nghĩa cơ bản 56

3.2 Sự tồn tại của một bản sao chính tắc 59

3.3 Quá trình Feller 63

3.3.1 Hàm chuyển trạng thái Feller và các giải thức 63

3.3.2 Sự tồn tại của một bản sao cadlag 68

3.3.3 Sự tồn tại của một bộ lọc tốt 71

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn rất nhiệt tình vàtận tâm của PGS TS Phan Viết Thư Thầy đã dành nhiều thời gian hướngdẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luậnvăn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình.

Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đãtham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối vớicông lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạođiều kiện, động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Hà nội, tháng 03 năm 2014

Lý thuyết về quá trình ngẫu nhiên trong thời gian liên tục là một trongnhững lĩnh vực quan trọng của chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kêtoán học.

Nói một cách đơn giản, quá trình ngẫu nhiên là một hiện tượng có thểđược coi như phát triển trong thời gian một cách ngẫu nhiên Ví dụ thườngthấy là vị trí của một hạt trong một hệ thống vật lý, giá của một cổ phiếutrong một thị trường tài chính, lãi suất,

Một ví dụ cơ bản là sự chuyển động thất thường của hạt phấn hoa lơlửng trong nước, gọi là chuyển động Brown, được đặt theo tên tiếng Anh nhàthực vật học R Brown, người đầu tiên quan sát được nó vào năm 1827 Sựchuyển động của các hạt phấn hoa được cho là do tác động của các phân

tử nước bao quanh nó Những va chạm này xảy ra với một số lượng lớn,trong mỗi khoảng thời gian nhỏ, chúng độc lập với nhau, và tác động củamột va chạm duy nhất là rất nhỏ so với tổng hiệu lực Điều này cho thấy

sự chuyển động của các hạt có thể được xem như là một quá trình ngẫu nhiên

Trong khuôn khổ hạn chế, luận văn này chỉ đề cập đến một phần xungquanh vấn đề tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên trong thời gian liên tục Nộidung chính của luận văn :

" Tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục"

giới thiệu một số các khái niệm cơ bản của quá trình ngẫu nhiên, bao gồmcác định lý, định nghĩa, bổ đề có chứng minh, sử dụng mô hình toán họccủa chuyển động Brown, và các kiến thức có liên quan các Martingale và quátrình Markov

Bố cục của luận văn này gồm 3 chương:

Chương 1: Quá trình ngẫu nhiên.

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên (định

lý, định nghĩa, bổ đề, hệ quả), phân phối hữu hạn chiều, điều kiện liên tục củaKolmogorov, quá trình Gaussian, tính không khả vi của các quỹ đạo chuyểnđộng Brown, bộ lọc và thời điểm dừng

Chương 2: Các Martingale

Mục đính của chương này là giới thiệu định nghĩa và cung cấp các ví dụ vềMartingale, lý thuyết Martingale với thời gian rời rạc, Martingale thời gianliên tục và ứng dụng của chuyển động Brown

Chương 3: Quá trình Markov

Chương này trình bày các định nghĩa cơ bản, sự tồn tại của một bản saochính tắc, quá trình Feller

Qúa trình ngẫu nhiên

Nói một cách đơn giản, quá trình ngẫu nhiên là một hiện tượng có thểđược coi như phát triển trong thời gian một cách ngẫu nhiên Ví dụ thườngthấy là vị trí của một hạt trong một hệ thống vật lý, giá của một cổ phiếutrong một thị trường tài chính, lãi suất,

Một ví dụ cơ bản là sự chuyển động thất thường của hạt phấn hoa lơ lửngtrong nước, gọi là chuyển động Brown, được đặt theo tên tiếng Anh nhà thựcvật học R Brown, người đầu tiên quan sát được nó vào năm 1827 Sự chuyểnđộng của các hạt phấn hoa được cho là do tác động của các phân tử nước baoquanh nó Những va chạm này xảy ra với một số lượng lớn, trong mỗi khoảngthời gian nhỏ, chúng độc lập với nhau, và tác động của một va chạm duy nhất

là rất nhỏ so với tổng hiệu lực Điều này cho thấy sự chuyển động của cáchạt có thể được xem như là một quá trình ngẫu nhiên với những đặc tính sau:

(i) Sự di chuyển trong khoảng thời gian bất kỳ [s,t ] là độc lập với những

gì xảy ra trước thời gian s

(ii) Di chuyển như vậy có một phân phối Gaussian, mà chỉ phụ thuộc vào

độ dài của khoảng thời gian [s,t ]

(iii) Sự chuyển động là liên tục

Mô hình toán học của chuyển động Brown sẽ là đối tượng chính đề cậpđến trong luận văn này Hình 1.1 cho thấy một thể hiện cụ thể của quá trình

ngẫu nhiên này Hình ảnh cho thấy chuyển động Brown có một số điểm đángchú ý, và chúng ta sẽ thấy rằng điều này thực sự đáng để nghiên cứu.

Hình 1.1: Biểu diễn các chuyển động BrownĐịnh nghĩa 1.1.1 Cho T là một tập hợp và (E, E ) là một không gian đođược Một quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số T, lấy giá trị trong (E, E ), làmột tập hợp X = (Xt)t∈T, của những ánh xạ đo được Xt từ một không gianxác suất (Ω, F ,P) vào (E, E ) Không gian (E, E ) được gọi là không giantrạng thái của quá trình

Chúng ta coi t như một tham số thời gian, và xem các bộ chỉ số T như tậphợp tất cả các thời điểm có thể Trong luận văn này chúng ta thường gặp

T = Z+ = {0,1, } hoặc T = R+ = [0, ∞) Trong trường hợp đầu chúng

ta gọi thời gian là rời rạc, trong trường hợp sau chúng ta gọi thời gian là liêntục Lưu ý rằng một quá trình thời gian rời rạc có thể được xem như là mộtquá trình liên tục mà nó là hằng số trên khoảng [n − 1, n) với mọi n ∈ N.

Không gian trạng thái (E, E )thường dùng nhất là không gian ơclid Rd, đượctrang bị σ-đại số BorelB(Rd) Nếu E là không gian trạng thái của một quátrình, chúng ta gọi là quá trình E -giá trị

Với mọi t ∈ T cố định, quá trình ngẫu nhiên X cho chúng ta một phần

tử ngẫu nhiên E - giá trị Xt trên (Ω, F ,P) Chúng ta cũng có thể cố định

ω ∈ Ω và xét các ánh xạ t 7→ Xt(ω) trên T Những ánh xạ này được gọi làcác quỹ đạo, hoặc quỹ đạo mẫu của quá trình Các quỹ đạo mẫu là các hàm

từ T vào E, tức là các phần tử của ET Do đó, chúng ta có thể coi quá trình

X là một phần tử ngẫu nhiên của không gian hàm ET (Khá thường xuyên,các quỹ đạo mẫu là các phần tử của một số tập hợp con tốt của không giannày.)

Mô hình toán học của chuyển động Brown là một quá trình ngẫu nhiênđược định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên W = (Wt)t ≥ 0 được gọi là mộtchuyển động Brown tiêu chuẩn, hoặc quá trình Wiener, nếu

(i) W0 = 0, h.c.c

(ii) Wt − Ws độc lập với (Wu : u ≤ s) với mọi s ≤ t,

(iii) Wt − Ws có phân phối N (0, t − s) cho tất cả các s ≤ t,

(iv) Hầu tất cả các quỹ đạo mẫu của W là liên tục

Chúng ta viết tắt chuyển động Brown là BM Tính chất (i) nói rằng một

BM tiêu chuẩn bắt đầu ở 0 Một quá trình với tính chất (ii) được gọi là mộtquá trình với số gia độc lập Tính chất (iii) thể hiện rằng sự phân bố củagia số Wt − Ws chỉ phụ thuộc vào t − s Được gọi là tính dừng của gia số.Một quá trình ngẫu nhiên có tính chất (iv) được gọi là quá trình liên tục.Tương tự như vậy, chúng ta gọi một quá trình ngẫu nhiên là liên tục phảinếu gần như tất cả các quỹ đạo mẫu của nó là hàm liên tục phải Chúng ta

sẽ thường sử dụng các từ viết tắt cho các quá trình với quỹ đạo là liên tụcphải có những giới hạn bên trái hữu hạn ở mọi thời điểm

Từ định nghĩa không khẳng định rằng BM thực sự tồn tại! Chúng ta sẽphải chứng minh rằng tồn tại một quá trình ngẫu nhiên mà thỏa mãn tất cảcác tính chất của Định nghĩa 1.1.2

Mệnh đề 1.1.3 Quá trình W thỏa mãn các tính chất (i), (ii), và (iii) củaĐịnh nghĩa 1.1.2 nếu và chỉ nếu với mọi t1, , tn ≥ 0 vector (Wt1, ,Wtn) cóphân phối Gaussian n chiều với vector trung bình 0 và ma trận hiệp phươngsai (ti∧ tj)i,j=1, ,n

1.2 Phân phối hữu hạn chiều

Trong phần này, chúng ta nhớ lại định lý Kolmogorov về sự tồn tại củaquá trình ngẫu nhiên với các phân phối hữu hạn chiều đã cho Chúng ta sửdụng nó để chứng minh sự tồn tại của một quá trình có tính chất (i), (ii) và(iii) Định nghĩa 1.1.2

Định nghĩa 1.2.1 Cho X = (Xt)t∈T là một quá trình ngẫu nhiên Phânphối của các vectơ hữu hạn chiều có dạng (Xt1, , Xtn) được gọi là phânphối hữu hạn chiều (fdd) của quá trình

Có thể dễ dàng kiểm tra được fdd của một quá trình ngẫu nhiên tạo thànhmột họ các độ đo, thể hiện bởi các định nghĩa dưới đây

Định nghĩa 1.2.2 Cho T là một tập hợp và (E, E ) là một không gian đođược Với mọit1, , tn ∈ T, cho µt1, , tn là một độ đo xác suất trên (En, En)

Bộ các độ đo được gọi là nhất quán nếu nó có các tính chất sau:

(i) Với mọi t1, , tn ∈ T, mọi hoán vịπ của {1, , n} và mọi A1, , An ∈ E

Định lí 1.2.3 (Định lý nhất quán của Kolmogorov) Giả sử E là mộtkhông gian Polish và E là σ-đại số Borel Cho T là một tập hợp và với mọi

t1, , tn ∈ T, lấy µt1, ,tn là một độ đo trên (En, En) Nếu độ đo µt1, , t n tạothành một hệ nhất quán, khi đó trên không gian xác suất (Ω, F ,P) nào đótồn tại một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt)t∈T có độ đo µt1, ,t n là fdd củanó

Chứng minh Xem ví dụ Billingsley (1995)

Bổ đề sau đây là bước đầu tiên trong việc chứng minh sự tồn tại của BM.

Hệ quả 1.2.4 Tồn tại một quá trình ngẫu nhiên W = (Wt)t≥0 thỏa mãncác tính chất (i), (ii) và (iii) của Định nghĩa 1.1.2

Chứng minh Chúng ta hãy lưu ý đầu tiên là một quá trình W có tính chất(i), (ii) và (iii) của Định nghĩa 1.1.2 khi và chỉ khi với mọit1, , tn ≥ 0vectơ

(Wt1, ,Wtn) có phân phối Gaussian n chiều với vectơ trung bình 0 và matrận hiệp phương sai (ti ∧ tj)i,j=1 n ( Mệnh đề 1.1.3) Vì vậy, chúng ta phảichứng minh rằng tồn tại một quá trình ngẫu nhiên có phân bố như trên trùngvới fdd của nó Đặc biệt, chúng ta phải chỉ ra rằng ma trận (ti ∧ tj)i,j =1 n

là một ma trận hiệp phương sai hợp lệ, tức là nó xác định không âm Điềunày thực sự là thích hợp, do với mọi a1 an, ta có :

Điều này suy ra rằng với mọi t1, , tn ≥ 0 tồn tại một véc tơ ngẫu nhiên

(Xt1, , Xtn) có phân phối Gaussian n chiều µt1, ,tn với trung bình 0 và matrận hiệp phương sai (ti∧ tj)i,j =1 n Khi đó suy ra các độ đo µt1, ,tn tạothành một hệ nhất quán Do đó, theo định lý nhất quán của Kolmogorov,tồn tại một quá trình W có các phân phối µt1, ,tn như các fdd của nó

Để chứng minh sự tồn tại của BM, còn cần phải xem xét tính liên tục (iv)trong định nghĩa của BM Đây là chủ đề của mục tiếp theo

Theo hệ quả 1.2.4 tồn tại một quá trình W có tính chất (i) - (iii) của Địnhnghĩa 1.1.2 Chúng ta muốn quá trình này cũng có cả tính chất liên tục (iv)của định nghĩa Tuy nhiên, chúng ta đi vào vấn đề mà không có lý do cụ thểtại sao tập

tục và vẫn thỏa mãn (i) - (iii), tức là có cùng các fdd như W Để làm cho ýtưởng này trở nên chính xác, chúng ta cần các khái niệm sau.

Định nghĩa 1.3.1 Cho X và Y là hai quá trình đánh chỉ số bởi cùng mộttập T và với cùng không gian trạng thái (E, E ), định nghĩa trên các khônggian xác suất (Ω, F ,P) và (Ω0, F0,P0) tương ứng Hai quá trình được gọi làtương đương nhau nếu chúng có cùng fdd, tức là nếu với mọi t1, , tn ∈ T

và B1, , Bn ∈ E

P(Xt1 ∈ B1, , Xtn ∈ Bn) = P0(Yt1 ∈ B1, , Ytn ∈ Bn)

Định nghĩa 1.3.2 Cho X và Y là hai quá trình đánh chỉ số bởi cùng mộttập T và với cùng không gian trạng thái (E, E ), định nghĩa trên cùng mộtkhông gian xác suất (Ω, F ,P) Hai quá trình được gọi là bản sao của nhaunếu ∀t ∈ T:

Xt = Yt h.c.c

Khái niệm thứ hai rõ ràng là mạnh hơn so với khái niệm đầu tiên: nếuhai quá trình là bản sao của nhau, thì chắc chắn cũng là hai quá trình tươngđương nhau Những điều ngược lại nói chung là không đúng

Định lý sau đây cho một điều kiện đủ để một quá trình có một chỉnh sửaliên tục Điều kiện (1.1) được gọi là điều kiện liên tục của Kolmogorov

Định lí 1.3.3 Tiêu chuẩn liên tục của Kolmogorov

Cho X = (Xt)t∈[0;T ] là một quá trình Rd - giá trị Giả sử rằng tồn tại cáchằng số α, β, K > 0 sao cho

với mọi s, t ∈ [0, T ] Khi đó tồn tại một chỉnh sửa liên tục của X

Chứng minh Để đơn giản, chúng ta giả thiết rằng T = 1 trong chứng minh.Đầu tiên quan sát thấy theo Bất đẳng thức Chebychev, điều kiện (1.1) cónghĩa là quá trình X là liên tục theo xác suất Điều này có nghĩa là nếu

tn → t, khi đó Xtn → Xt theo xác suất Bây giờ với n ∈ N, định nghĩa

Dn = {k/2n : k = 0, 1, 2n} và lấy D = S∞

n=1Dn Khi đó D là một tậpđếm được, và D là trù mật trong [0, 1] Mục tiêu tiếp theo của chúng ta làchỉ ra rằng với xác suất 1, quá trình X là liên tục đều trên D

Cố định γ ∈ (0, β/α) tùy ý Sử dụng bất đẳng thức Chebychev một lầnnữa, chúng ta thấy rằng

Tiếp theo, xét một cặp tùy ý s, t ∈ D sao cho 0 < t − s < 2−N Mục đíchcủa chúng ta trong đoạn này là để chỉ ra thấy rằng

k Xt− Xs k |t − |γ

(1.3)Chú ý rằng có tồn tại một n ≥ N sao cho 2−(n +1) ≤ t − s < 2−n Chúng tôikhẳng định rằng nếu s, t ∈ Dm với m ≥ n + 1, thì

Chứng minh nhận định này tiến hành bằng quy nạp Trước tiên giả sử rằng

s, t ∈ Dn+1 Khi đó, nhất thiết, t = k/2n+1 và s = (k − 1) /2n+1 đối với một

số k ∈ {1, , 2n+1} Từ (1.2), suy ra :

k Xt − Xs k< 2−γ(n−1)

điều đó chứng minh khẳng định trên chom = n+1 Bây giờ giả sử rằngkhẳngđịnh đó đúng với m = n + 1, , l và giả thiết rằng s, t ∈ Dl+1 Định nghĩacác số s0, t0 ∈ Dl bởi:

s0 = min {u ∈ Dl : u ≥ s}, t0 = max{u ∈ Dl : u ≤ t}

1

Ký hiệu ‘.’ có nghĩa là vế trái nhỏ hơn một hằng số dương so với vế phải.

Hệ quả 1.3.4 Sự tồn tại chuyển động Brown.

Chứng minh Theo định lý 1.3.3, tồn tại một quá trình W = (Wt)t ≥ 0 cótính chất (i) - (iii) của Định nghĩa 1.1.2 Theo (iii) số gia Wt− Ws có phânphối N (0, t − s) với mọi s ≤ t Suy ra E(Wt− Ws)4 = (t − s)2EZ4 Trong

đó Z là một biến ngẫu nhiên Gauss tiêu chuẩn Điều này có nghĩa là tiêuchuẩn liên tục của Kolmogorov (1.1) thỏa mãn với α = 4 và β = 1 Vì vậy,với mỗi giá trị T ≥ 0, tồn tại một chỉnh sửa liên tục WT = (WT

t )t∈[0,T ] củaquá trình (Wt)t∈[0,T ] Bây giờ ta định nghĩa quá trình X = (Xt)t ≥0 bởi

Quá trình X là một chuyển động Brown.

r (s, t) = Cov(Xs, Xt) Các hàm m và r xác định các fdd của quá trình X

Bổ đề 1.4.2 Hai quá trình Gaussian có cùng hàm trung bình và hàm hiệpphương sai thì tương đương nhau

Hàm trung bình m và hàm hiệp phương sai r của BM được cho bởim (t) =

0 và r (s, t) = s ∧ t (Mệnh đề 1.1.3) Ngược lại, bổ đề trước nói rằng tất cảcác quá trình Gaussian có cùng hàm trung bình và hàm hiệp phương sai cófdd giống nhau là BM Khi đó một quá trình như vậy có tính chất (i) -(iii)của Định nghĩa 1.1.2 Do đó, ta có kết quả như sau

Bổ đề 1.4.3 Một quá trình Gaussian liên tục X = (Xt)t ≥0 là một BM nếu

(ii) (Đối xứng) quá trình -W,

(iii) (Xác định tỉ lệ xích) với mọi a > 0, quá trình Wa xác định bởi

để phân phối của suptWt tập trung trên{0, ∞} Do đó, để chứng minh rằng

suptWt = ∞ h.c.c, ta chỉ cần chứng minh rằng P(sup

t

Wt = 0) = 0 Bâygiờ chúng ta có :

Cùng với khẳng định đầu tiên, điều này chứng minh khẳng định thứ hai

Vì BM là liên tục, kết quả trước đó nói lên rằng hầu hết các quỹ đạo điqua tất cả các điểm của R vô hạn lần Một quá trình giá trị thực với tínhchất này được gọi là lặp

Chứng minh Cho X là như trong phần (iv) của Định lý 1.4.4 Khi đó

lý sau đây nói rằng điều này thực tế là đúng

Định lí 1.5.1 Cho W là một chuyển động Brown Đối với mọi ω bên ngoàimột tập hợp có xác suất bằng không, đường quỹ đạo t → Wt(ω) là không nơinào khả vi

Chứng minh Cho W là một BM Xét các đạo hàm trên và dưới từ bên phải

Để xác định các biến cố B, xét đầu tiên với k, n ∈ N biến ngẫu nhiên

Xn,k = max

n

Wk+1 2n −W k

2n

,

Wk+2 2n −Wk+1

2n

...

Chúng ta gọi lọc lọc tạo X, lọc tự nhiên

X Bằng trực giác, lọc tự nhiên trình theo dõi “lịchsử” trình Một q trình ngẫu nhiên ln ln phù hợp với bộlọc tự nhiên

Nếu (Ft) lọc,...

Bây giới thiệu lớp quan trọng ? ?thời điểmngẫu nhiên? ?? liên kết với lọc

Định nghĩa 1.6.5 Một biến ngẫu nhiên τ nhận giá trị [0, ∞] đượcgọi thời điểm dừng liên quan đến lọc (Ft)... - thời điểm dừng Hơn nữa, lặp lại

BM (xem Hệ 1.4.6), τx thời gian dừng hữu hạn

Chúng ta thường muốn xét trình ngẫu nhiên X, đánh giá mộtthời điểm dừng hữu hạn τ Tuy nhiên,