Đánh giá các phép biến hình á bảo giác lên cung tròn bị cắt theo các cung tròn đồng tâm 8

Luận văn thạc sĩ -chuyên ngành Toán giải tích Đánh giá các phép biến hình á bảo giác lên cung tròn bị cắt theo các cung tròn đồng tâm

CHUaNG 5

MOT BAI TOAN TOI UU CHO PBHKABG

5.1 D~t va'nd~

Trong m~t ph~ng Z eho mQt mien A gidi h,;mbdi du'ong troll IZI= 1 va

p (1::; p < 00) nhat dttheo ban kinh

L j ={Z 0 <c,,; Izi ,; d,<1.arg Z = 2;} (j = 0,1, , P - 1)

GQi JF la lOp ta'tca cae ham s6 w=I (Z), ZE A co tinh d6i xling quay p Ign:

j(e~;z )=e';;j(Z)

va m6i ham I E JF bien K-a baa giae (KABG) mien A len mQt mien Bf ehlia

trong hlnh troll Jwl< 1 sao eho IZI= 1 thanh thanh phgn bien ngoai C, 1(0) = 0.

D~t:

d(/) = max{lwl, WE L~}, Vj = O,I, ,p -1,

vdi L~ la thanh phgn bien eua mien Bf tu'dng ling vdi nhat dt Lj'

Cgn Hm ta't ca cae ham s6 fo E JF thoa man:

d(/) ::;d(fo), VI E JF

va tinh d(fo) theoK,p, do'

5.2 Giiii quye'"tva'n d~

- GQi A'Ia mien con eua A, mQt mien nhi lien gidi h~n bdi du'ong troll IZI=1 nhu'thanh phgn bien ngoai va thanh phgn bien trong g6m p nhat dt

Ij ~ {Z O,;IZI,; do<i,argZ = 2;j}llie Lj c Ij (j ~ 0,1, ,p -I).

- f)~t Yj =lj \Lj,j=O,l, ,p-l.

Khi do ham dn tIm fo du'<Jc xiiy d1!ngtit cae ham sau :

- GQi g Ia phep bie'n hlnh bao giac mi~n nhi lien At len hlnh vanh khan

Al = {s : o < r < Isl< I} sao cho Izi=1 thanh Isl= 1 va g(do) =So= r.

V~y titdinh nghla ham ph1;1R(p,t,s) ta co r = R(p,do'O).

- GQi h Ia PBHKABG t = h(s) = Isl*,-1 s V~y h bie'n hlnh vanh khan Al len

hinh vanh khan A, ={I :ri <III< I} san cho III=1 tltdng I1ng v<1j Isl = 1

I

va h(so)=to =rK .

- GQi k la phep bie'n hlnh bao giac hlnh vanh khan Az len mi~n nhi lien B~

gidi hl;lnbdi thanh phgn bien ngoai Iwl=I va thanh phgn bien trong gam p

ohat dt I; ={w 0,; 11<1';d; <i,argw ~ Z;j },j = O,I, ,p -I san chn

It I = I tu'dngung 1»1= I va k(to) = d;.

I~

'0

I

w=/(z)

~

,,-~

" "

"

,

,

I '

I I

\ I

\

\

~

0.00w 1

z

B6 d~ 5.1

,do

ICO

I

:0

I

I

1

(-::)', '"

C-.:')ri

s=g(z)

~

1

1.1, (Z) =khg(Z)

I~

IC

I

:0

I

I

~

w=k(t)

lt~h(S)=W-' S

1 1

Hinh 5.1: khip = 2

D(it lo(Z) = khg(Z), ZEA' wJi g, h, k dinh nghia nhUtren Khi do co thi

thac triin KABG ham 10(Z), ZEA', thanh 1;;(Z), Z E A, saDcho 1:: E IF.

Chung minh

X6t d;ip diem bfft ky Zl' Z2 E Yj tren hai bo khae nhau thoa man:

IZd=IZ21< co' GQi wI' Wzla cae di~m bien eua B~ tu'dng ling vdi Z Z2 bC1i10,

r6 rang ta co: Iwll= IW21va arg WI= arg Wz tile WI' Wz n:tm d6i xling nhau tren

l' , V}= 0,1, , p -1 J

V~y theo nguyen 19 d6i xling eho PBHKABG [3, tr.16] thl co the thae trien

KABG tren cae nhM e3:tb6 sung Yj (j = 0,1, ,p -1), tlie

;;,' (Z) = (~Z«(EA')lim 1o(t;) n€u Z E y (j = O,I, ,p -1)J

la PBHKABG mi€n A len mi€n Bo (:::>B:) gidi h~n bCti I~ =1 vap nhat ca:t

,

{

}

Lj = W Co ~lwl~do <I,argw=-p , }=O,I, ,p-I

trong do c~ Ia diem bien tu'dng ung vdi CobCti10 Tom I~i;;,'E IF.

Dfnh Iy 5,1

Ham ;;"(Z) = khg(Z)(E IF), Z E A WYi g, h, k du(lc dink nghia nhu tren thoa man:

del) ~ d(;;") ,Vf E IF

trang do dang thac xdy ra khi va chi khi f(Z) = aJ;; (Z), ZE A, WJi lal = 1.

Chung minh

Vdi mi€n nhi lien A' (c A) xac dinh nhu'tren,

di;it B> = f(A'), Vf E IF Tren thanh phgn bien trong rf cua B~ do tinh d6i xung quay p Iffncua f ph,\i co p diem:

.21rV

/-Wv = aM(f)e P vdi lal=1, M(f) = m~xlwl

werj (v = 0,1, , P -1).

Vi cac thanh phffn bien trong cua Bf thuQc v€ rj nen vdi mQi f E IF co:

d(f) ~ M(f)

Do do, de chung minh dinh 19 ta chi cffn chi rar~ng: vdi mQi f E IF thi t6n t~i

m5i quan h~ sau day:

M(f) ~ d(fo*) .

Mu5n th€, ta bi€n hinh KABG mi€n A'len mi€n B~ thi theo [15, B6 d€ 6.1]

ho~c [20, B5 d€ 3.4] ta nh~n duQcvdi mQi f E IF:

I

M(f) ~ T(p,rK,O) =M(lo) = M(fJ = d(fJ

-H~ qua5.1

Tli chling minh tren ta co:

1

d(fJ =T(p,rK,O) WJir = R(p,do'O) trang do cac ham ph~ T(p, r, s) va R(p, t, s) du(fc djnh nghia hinh hQCva gidi tich nhu trang m~c 3.2

-Tli do va dinh ly 5.1 do (3.20), (3.24) ta co danh gia ddn gian

.! 1

del) < 4PdoK, Vf E IF,

I

trong do h~ s6 4P khong the thay bdi h~ s6 nho hdn chi phV thuQc p.

H~ qua 5.2

j2n:j GQi Zj=e P IZjl WJi do<IZjl<l,ZjEA, (j=O,l, ,p-I) TuClng tlf

chling minh djnh ly 5.1, Vf E IF, ta co

If(Zj)1 ~ T(p,rK,O) < 4PrK wii r = R(p,IZjl,O), (j = 0,1, ,p-1)

trang do dling thac co thl xdy ra

-Bay giO ta xet tntong hQp m6i nh<itdt Lj cua mi€n A thoai hoa thanh mQt

;2n:j diemZj = doe P (j=O,I, ,p-I),tuc Co= do' va xac dinhb5 sung f(Zj)=wj (j = 0,1, , p -1) trong do Wj Ia diem bien cua mi€n B=f (A) tudng ung vdi

Zj , ta thu duQc

H~ qua 5.3 (md rQng b6 d~ Schwarz)

GQi w= I(z) ZaPBHKABG hlnh trim dClnvi A cila m(it phl1ng Z Zen m(Jt

mi~n B chaa trong hlnh trim Iwl< 1 sao cho 1(0) =0 va thod (5.1) Khi do

'v'Z0 (* 0) E A ta co

I

I/(Zo)1sT(p,rK ,0) wJi r = R(p,IZol,O). (5.2) Trang do dl1ngthac xay ra dit chi t(,lim(Jtdilm khi va chi khi f (z) = aJ;,*(Z),

Z E A, lal = 1,wJi 10* du(/c xac dinh nhu trong dinh Zy5.1 vcJi Co= do =

IZol-Chu y5.1: Ne'u K =1, tuc w= I(Z) la PBHBG,thl (5.2) trd thanh

jJ(Zo)lsIZol, VZoEA,

trong do d~ng thuc xay ra du chi t~i m9t di~m khi va chi khi 1 (z) = aJ;, (Z)

= aZ, Z E A, vdi lal=1 V~y h~ qua 5.3 co th~ coi la s\1'md r9ng b6 de Schwarz

cho PBHKABG

Ne'u so vdi ke't qua tu'dng t\1'cua Hersch va Pfluger[9] trlnh bay du'di d"mg

ky hi~u cua ta:

1

I/(Zo)lsT(l,rK,O) vdi r=R(l,IZol,O)

thl day la tru'ong h<jpd~c bi~t (5.2) vdl p =1va tho hdn (5.2) ne'u p > 1.