Đánh giá các phép biến hình á bảo giác lên cung tròn bị cắt theo các cung tròn đồng tâm 7

Luận văn thạc sĩ -chuyên ngành Toán giải tích Đánh giá các phép biến hình á bảo giác lên cung tròn bị cắt theo các cung tròn đồng tâm

CHu'ONG 4

"" "'"

CAC DANH GIA LOP HAM G

Trong chuang nay, chung Wi danh gia cae d'.li lu<;1ngd~c tru'ng cho mien

chu§n cling nhu modun cua cae ham g E G Vi~c danh gia ban ldnh R(g),

g E G theo cae d'.li lu<;1ngdfi bie't gill mQt vai tro quan tr<;mgtrong vi~c danh gia

cae d'.li lu<;1ngkhac Do do, ta b~t dffu b~ng danh gia R(g) va cae d'.li lu<;1nglien quan

4.1 Danh gia ban kinh R(g) va Ig(w)1

Dfnh Iy 4.1

Vdicdcgiathie'tvakYhifucuam~c2.3, vdimQi g E G, WEB (w*O), taco:

K M*(O,g)2(;)2 (~1),

(4.1)

K

R(g»

[

]

2 ne'us>O,

ps+S-1! M*(O,gtK

(4.3)

-4 P dK <R(p,d,Ot ::;R(g)::::;4P M*(O,g)CK, (4.4)

4-Plw1K <R(p,lwl,ot ::;lg(w~::;4PM*(O,g)HK. (4.5)

Ddng thac t{Ii(4.1) xay ra khi va chi khi B =Bo va g(w}=a»i»iK-lvdi lal= 1.

Chung minh

GQi 1 = g-],g E G, theo c6ng thuc (2.3) trong [18, tr.l046], ta co

8'(0,f)~ 8 1r

M~t khac, tu dinh nghla cac ky hi~u d ffi1,1C2.3 ta co

m'(0,f)2 ~8'(0,f).

V~y

m'(0,f)2 ~ 8

Ke't h<;1pvdi (3.30), suy fa:

M*(O,gt~ ~ 8 ~ (4.1).

1r

f)~ng thuc d (4.1.a) xay fa khi va chi khi I(z) =hzlzli-l, Ihl= 1, tuc

B = f(A) = Bo, do do d~ng thuc d (4.1) xay fa khi va chi khi B = Bo va

z=g(w)=f-1(w)=a~wIK-], lal= 1

M~t khac, tu c6ng thuc (2.13) trong [18, tr.l046], ta co

( )-1 i *( )~ ( )

- < 2Pm' 0, f = 2PM 0, g K ~ 4.2

c

Tu c6ng thuc (2.4) trong [18, tr.l046] va b6 de 3.5 ta co:

2

ps =[8] -lr 8'(0,f)]iK

K K

]

=> R(g)<=(S,-.-s'(o,f)] <=[s,-.-m'(O,f)'

~

K

2

8] -lr M*(O,ftK

ke't h<;1pvdi 81 = 8 + ps ta suy fa (4.3)

M~t khac, tu c6ng thuc (2.16) trong [18, tr.1O46],

ta c6

Theo dinh nghla va Hnhdon di~u cua cac ham T(p,r,s) vaR(p,t,s) suy ra

RK =R(p,t,O)~R(p,d,O»4 Pd.

Titd6 ta nh~n du'<Jcc~n du'dicuaR=R(g) trong (4.4).

Mi,Hkhac, tit cong thuc (2.16) trong [18, tr.l046] ta nh~n du'<Jc

4 P m'(O,f)RK ~c

~

RK ~c4Pm'(O,ft1

Tit d6 ta nh~n du'<Jcc~n tren cua R =R (g), Vg E G trong(4.4).

Tit cong thuc (2.15) trong [18, tr.l046], ta du'<Jc

Ke't h<Jpvdi (3.30) va chung minh tu'ong tl! nhu' (4.4) ta c6 (4.5)

H~ qua 4.1

VgE G, fa (4.3) suy ra

K

(1» R(g) >[p::s r

lac ntu (tr » ps ;:::canst > 0 va S ~ 0 thi R(g) ~ 1.

Heln mIa, ktt h(lp (4.4) v(ji (3.17) ta co khi d ~ 1

Ktr2 I-R(g) < l-RK (p,d,O) ~ K[I-R(p,d,O)] ~ 8

2pIn-p (1- d)

H~ qua 4.2

Khi K=I, M*(O,g)=lg'(O~ nen ta (4.1) ta co

Ddng thac xiiy ra khi va chi khi B=Bo va g(w) =aw WYi la!= 1.

H~ qua 4.3

4

Ddng thac xiiy ra khi va chi khi B =Bo va g(w) =a~wIK-l wYi lal =1.

Chung minh

Theo (2.1) trong [18, tr.l046], Vf = g-', g E G, ta co:

2 s, (f) ~ 1rS' (0, f) + psR K ~ 1r m' (0, f) + psR K.

Tu (4.4): R-i( ~ 4 PM* (O,gfK c-2 k€t h<Jp vdi (3.30)

Suy fa

8, ~ 1r M* (O,gfK +4 PM* (O,gfK c-2ps => (4.7).

H~ qua 4.4

Trang tn{(Jng h(lp K=1, khi do M* (0, g) = Ig' (0)1, (4.7) triJ thanh:

Ig' (0)1 :?o~1r+8,C (:?o ') (g E G) (4.8)

Ddng thac xiiy ra khi va chi khi B =Bo va g(w) = aw wYilal = 1.

Ddnh gid nay cung v{Ji ddnh gid (4.6) sac hl1nddnh gid cd diln Ig' (0)1 ~ 1, g E G

v{Ji K = 1 (xem [10, tr.352]).

4.2 Daub gia g6c md P(g)

R5 rang ta 1uonco 0 < fJ(g) < 2" , Vg E G Tuy nhien, ta mu6n danh gia t6t

p

hdn trong nhung tntong h<Jpnao do.

Djnh Iy 4.2 (c~ndum cuaP(g)

V{Jinhilng gill thief nhu trong m1:tc 2.3, ta co:

p>(d~Crz;

K 7r

ntu (0 <)M* (O,g)cK ~ 4 PeP (4.9.a)

( )

4 4 PM* (0, g) cK

Chung minh:

- Theo Thao[13], tr.1O9t6n t~i duy nha"tPHBBGu mi€n BIen mi€n E 1ahlnh

tron lul < 1 trir P nMt dt theo ban kinh l j ={u 0 < Co ,; lul ,; do,a:rgu ~ 2:}

sao cho u (0) = 0, bien C thanh lul = 1 va cae CYj tu'dng ling voi cae f j

(j = O,l, ,p -1) (hlnh 4.1).

- D~t k = gu-1 V~y k 1aPBHKABGmi€n E 1en mi€n A sao cho lul= 1 thanh Izi= 1, cae nhat dit theo ban kinh f j thanh cae nhat dit theo cling troll d6ng tam

Lj (j = 0,1, ,P - 1) va k (0) = 0

f)~ t A~ A n { z IIzl > R'}, Ao ~ A n {z -; <arg z <; }, ]3= g -, (A),

Eo =g-I(Ao), C' ={wllgcw)1 =R2} (hlnh4.1).

GQi C" = u(C'), E = u(B), Eo = u(Bo) (hlnh4.1).

R5 rang Ao = k (Eo) (hlnh 4.1).

-GQi Z =h (z) = In z Ia PBHBG mi6n Ao Ien mi6n mi6n nhi lien Al co bien

ngoai Ia hlnh chli' nh~t co kich thu'oc .~, 2In ~ va bien trong la nh:H dt theo

do£.lnth~ng r n6i ZI=In R - i~ voi Z2=In R + i~ tile r co dQdai j3 (hlnh

4.1)

Tit mi6n Al co hai tru'C1ngh<;1pxay ra ho~c ta co the tIm du'<;1CmQt mi6n nhi lien

A2, co bien ngoai la du'C1ngtrODHim J (In R, 0) (trung diem cua r), ban klnh

b ~ min {In ~, ;} vabien !rang la r (mnh 4.1) ho~c khong thl! urn d1f(1c mi;;n

A2 nhu'tren Do do, ta xet 2 tru'C1ngh<;1psau:

Khi do:

Theo tlnh ddn di~u cua modun (3.3), ta co

- PBHBG h = i(Z -In R) bien mi6n A2 ten mi6n nhi lien A3 co bien ngoai la

dliC1ngtroD tam 0 ban klnh 1 va bien trong Ia nhat dt th~ng r' =

[- ~ , ~

]

2b 2b

(hlnh 4.1)

- GQi p la PBHBG mi6n A3 ten hlnh vanh khan A4 = {ph <Ipl <I} (hlnh 4.1)

sao cho Ihl= I tu'dngilng voi Ipl = I va P( ~

) =ro thl ro = R( 2,~,0 ) do dinh

nghla ham phl;1R(p,t,s).

Khi d6:

1 mod(A2) = mod(A3) = mod(A4) =

(

p

)

R 2, 2b ' 0

(4.12)

- GQi EI Ia mi~n nhi lien chua mi~n Eo c6 bien ngoai la du'Ctngtroll lul= 1 va bien trong la nhat dt £0 = [co,dJ Khi d6 theo tinh ddn di~u cua modun

- D6 dang thtly ding t = u - Co la PBHBG mien EI len mien nhi lien E2 c6 bien

l-uc 0

ngoai la du'Ctng troll It1=1 va bien trong Ia nhat dt th~ng n6i di~m 0 vdi

tJ = do - Co (hinh 4.1).

I-d 0C0

- GQi s la PBHBG mi~n E2 len hinh vanh khan EJ = {s II( < Isl < I} sao cho It1=1

tu'dngungvdi Isl=1 va s(tJ)=s

(

do-Co

J

=1( thil( =R

nghla ham phl;1 R(p,t,s) (hinh 4.1).

Khi d6:

1 mod(EJ)=mod(E2)=mod(EJ)=

(

-)

R I, 0 co, 0

1- doco

(4.14)

Vi phep bie'n hinh k =gu-1 tu mi~n Eo len mi~n Ao nhu'dff neu la mQt PBHKA

BG nen

mod(Ao) ~ [mod(Eo)T

Ke't h<Jpvdi (4.10), (4.11), (4.12), (4.13) va (4.14), ta c6

l

1

R

(

1 do - CO O

J

(l, do -co ,OJ

K ~ R

(2,L,0 )<L.

Dodo:

(do (3.24»

fJ > 2bR

(I, do - CO,OJ

K > 2b

(

4-I do - CO

J

K

K

2b d - c

4K 1- d c0 0 I

M~t kMc, tit (4.4), b = mill {In ~, :} ta sny fa:

(do (3.24»

(4.15)

b2::min

{

}

=a

4P M* (O,g)cK P

(4.16)

Tli ba"t d£ng thuc cua Thao[13], tr.ll0 0 < Co~ C < d ~ do < 1 (ba"t d£ng thuc

d ~ do la tru'dng h<Jpd~c bi~t cua chu'dng 5 voi K=1) ke"th<Jp(4.15) va (4.16) ta

co

(

d - C

)

K

P> PI > 2a 4 =P2.

(

Jr

J

- > - 2::-In- <=>P

ke"th<Jpvoi (4.4) va (4.16), suy ra

P> 21n ~ 1 =2a > 2a(

d - C

) K

V~y, tli hai tru'dng h<Jptren ta luon luon co

~~

,/

!

~ 11

'- , B I , Bo , "

", ' ',,/

Kabg

I '

I

K9)I

1

/~

,

,

E ,/

~O~UI

-:E

, 0

,

,

£1

£0

0 Co

0 t1

s

o~

1

1

Hinh 4.1

AI

{:

p

0

- -i-1£

P

In R2 -i TC

P

A, r

z,

p

-2];

Oro

t-O

1

b+InR

P 2b

1

p

d ~ c

)K vdi a =mill fIn '£ 1 K ';}

K Jr

- Ntu (0 <)M* (O,g)cK ~ 4-Pe-P thl a=ff , khi do ta co (4.9.a).

p

thl a = In K 1 lien ta co (4.9.b)

4 PM* (0, g) cK

/3, bdi /32 « /31)do do trong danh gia d dinh ly 4.2 co th~ thay (d ~ cr bdi

K

4-K 0 0 de du<;lccac danh gla sac bon.

1-d 0c0

? ,

Bo de 4.1(Kiihnau)

Trong m(it phdng zcho mQt miin nht lien A gicJi h(ln biJi dui1ng trim Izi= 1 va

nhat cdt L(t) ={ziO ~ Izi ~t( < l),argz = O} GQi Fl LaleJp tat ca cac ham w = fez)

co tinh chat: m6i ham f E Fl bien baa giac deln di~p miin A LenmQt miin B f co

VfEFJ trang do D(f) LaduiJngkinh cua c(f) GQi S(f) Ladi~n tich trang cua

miin do bien ngoai C (f) baa bQc.Khi do, mQtham Iv E F1thoa miin:

S(f)~ S(fJ= So' Vf E Fl'

,

cod(lng fa z = (1n1-t 2) vaSo = In 1-t( 2)

w

~ ~/

OC)l

, c(7J

10

Hinh 4.2

Chung minh: (xem [12, tr.288]).

Chu y4.1: Voi nhG'nggiii thie't cua b6 de 4.1 nhu'ng D(/) (> 0) bfftky thi nho phep co dan, ta co

8(/)

D'(J) ?S hay D'(J),; S(J)80

voi 80 = 80 (1) xac dinh nhu' trong b6 de 4.1.

Dfnh Iy 4.3 (c~n tren cua P(g)

Viti cac kY hi~u nhl1 trang m1:lc2.3, diJ,t:

-(

J

fo = ~ 1 ' do = T p, 4PM (0, g)K c,O ,

4P M' (0, g)K

1; ~ [(d.)~ -~][l +c~(d.)~]

(di+ £1)[1- cf (do)fJ ,i' = R(I, ~,O) ,T =T(I,i'~,O}

p<2arcsin )-10(1-/)

(4.17.a)

,8 < 4 arcsin )-In(1-"f)

-2-J2pR(p,d,O)~ =,82 voi P = I.

(4.17.b)

Chung minh:

duilng trim Iwd = I va p nMt dt l j = {w, 0 < Co,; Iw,l,; do' arg w, ~ 2;j}sao

cho bien C thanh Iwll=1 ya cae (J"jtu'dng ung yoi cae f! /j = 0,1, ,p - 1 ) D~

thffy ding:

- Ham s= InWI th\ic hien PBHBG Drien nhi li~n Ii, = Ii n {-; <arg w, <;}

len mien B2 (hinh 4.3) yoi So = In do' S) = In Co'

- Ham v = -i ~ S thgc hi~n PBHBG mien B21en mien B3 (hinh 4.3) yoi:

v =-1 - S =-1 - n v =-1 - S =-1 - n c .

- Ham u = sin v thgc hi~n PBHBG mien B3 len mien B4 (hinh 4.3) yoi:

Uo= sin Vo= sin( -i ~ Indo), UI= sin VI= sin( -i ~ In Co).

- Ham r = k(u) = u -uo thgc hi~n PBHBG mien B41en mien B5 (hinh 4.3) yoi

u+uo

k (uo) = 0 co bien ngoai la du'ong trOll It I= 1 ya bien trong la nhat dit

y={tl°::S;lrl::s;tl<1,argr=O}

,. U l -u

1-ul +uo

- sin ( -i fm c} sin(-i fIn d ) - ish( fIn t) - ish( fIn ;j-J

- sin(-; ~ Inc} sin(-; ~ Ind ) - irh( ~ In :} irh( ~ In ~J

- Sh( flnt)-Sh(fln*) - (t)f -(trf _[(*)f -(*fJ

- s{ ~ill c~ ) +Sh(~ In:J - (:j - (: t+uj -u. r~

(

)

(

)

(dof - Cof)( 1+ Cofdof) ,

=>tl=

(

E E.

)(

E E.

)

tucO<tl<l

d2+C21-C2d20 0 0 0

- GQir;;= r;;(t) lamQt PBHBG mi€n Bs ten mi€n B6 (hlnh 4.3) sao cho{tlltl=I}

(4.18)

thanh {r;;IIr;;1=I} va nhat dt r trd thanh {r;;IIr;;1=r < I}.

I

- Ham'; =h(r;;)=r;;K la mQtPBHKABGmi€n B61enmi€n B7(hlnh 4.3).

- GQi J1=~(,;) lamQt PBHBG mi€n B71en mi€n Bs (hlnh 4.3) sao cho kll,;1=I}

tMob tullpl =I}vii {4' 14'1=r ~} thiinb y' ~ tulo ,; Ipl ,; t, argp = O} Then dinb

ngliia cua hai ham pho T(p,r,s) va R(p,t,s) thl t = r(l,p,O) = r( 1.rk, 0) vdi

r = R(I,tl'O).

- GQi cPla PBHBG mi€n Bslen mi€n AI(c A) vdi Al =g-l [1fI-1 (HI)]va gQis*

la di~n tfch cua mi€n Al do tfnh dol xung quay p Ign nen S* ::;7r

P

GQi D Ia du'ong klnh cua nhat dt Lj (j = 0,1, ,p -I) Be Hmqua h~ gifi'aD va

B4

1r

2

S(

B3

Uo

I

: WI

I

: f!j

0'-:Co

I I

:13B

I I I I

do ,I

So

v

VI

Vo

0 1r

2

u

/ / ~I/ / )if / )( / /

0

to

r

t

tl

WI =ljI'(w)

~

p .

V= S.I

2

}"'ill'

\T-~

1

~

bg

I ,

I "

BU/~O /

: B( "

,, " "

- z = g(w)

,

I , A

(

-

)

z

I

0:

f {O

I

'-,AI,

I

010

rp

}.1r=In"

-1-p

f.l

r'

fjJ bg

BOp

1

B6

h K abg

,

f3 ta c§n xet hai tntong h<jp:

a) Vdi p ;:::2 thl f3 < 2tr < tr do d6 D chfnh la khoang each hai fiut cua L Khi

d6 D =Rsin f3 va nho chu y 4.1, suy ra :

f3

= 2 arcsin-2R ~ 2 arCSIn2R JS: ~ 2 arCSInSo 2R" plJocc.s

tr

vdi So =-In (1-{ 2)

do d6

(4.19)

f3 ~ 2 arcsin 2R P JP < 2 arCSIn C2vpRp,( d,O)K

vdi I ~ Tl1,r ~ ,0) r= R(I,I,,0) trong do I, dtt<!c xac djnh ohtt trong (4.18).

M~t khac, theo cong thuc (2.16) trong [18, tr.1O46] va (3.7), ta c6

m'~1f) :>co:>c:>d:>d :>T(P,Rk,oJ

ket h<jpvdi (4.4), (3.16), (3.26) va (4.3), suy ra:

do , T(P,4J; M" (O,g)~ c,O) = do <4~ M" (O,g)L,

m' (0, f) R( d 0) m' (0, f) d - d

do d6

(

)(

P P

1'- !'.

)[

1'- -

1'-]

1

suy ra:

r =R (1,1,,0)< R (q-, 0) =i' => 1= T(1,r~,O)< T( V~,o) =

T-V~y ta co (4.17.a)

b) Vdi P =1 co th~ xay ra 1r <P< 21r Den du'ong kfnh D cua nhat cfit Lj co th~ kh6ng phai la khoang cach hai mut cua Lj' £)~ khfic ph1;1Cdi~u do ta dung ham ph1;1Z = If/ (Z) = rz (chQn nhanh .Jf=1) tht!c hi~n PBHBG mi~n A leD mi~n A

(hlnh 4.4) Khi do: R = If/(R) =.JR.,L =If/(Lj)' jJ = ~ va ham Z = If/og(w)

tht!c hi~n PBHKABG mi~n B leD mi~n A.

z =g(w)

~~~ ~

",~~~ -'-, C

" ~~~- """

Z=If/ (z)

~

~~~====

~-= =:::1

"

"

-" Z

"

""II

Z = If/og(w)

Hlnh 4.4

GQi jj Ia du'ong kfnh cua nhat dt L, tu'dng tt! nhu' tren ta co:

p =2arcsin ~,; 2arcsin -1s.

Den

Fr

P:::;; 4 arcsin 2-J2pRSo

vdi So duqc xac dinh bdi (4.19).

Do do:

!5.-p::;; 4 arCSIn 2.J2pR 2.J2pR(p,d,0)2

Chung minh tu'dngtv nhu trong ph~n a) ta co (4.17.b)

C = Cova cho d = do d~n de'n co' khi do l1.~ 0,712 ~ 0 vdi mQiK nen ta co

p < l1. < 21r va p < 712 < 21r tuc danh gia (4.17.a) va (4.17.b) khong phiii hi€n

nhien