Đánh giá các phép biến hình á bảo giác lên cung tròn bị cắt theo các cung tròn đồng tâm 6

Luận văn thạc sĩ -chuyên ngành Toán giải tích Đánh giá các phép biến hình á bảo giác lên cung tròn bị cắt theo các cung tròn đồng tâm

CHUONG 3

CONG Ct)

Trong chu'dng nay, chung toi neu mQt s6 b6 d€ va cae h~ qua cffn thie't cho vi~c danh gia cae d~i Iu'Qngsau nay

3.1 B6 d~ Carleman va cae h~ qua

B6 d~ 3.1 (Carleman)

Gill sa w = f(z) Zam(Jt PBHBG hlnh vanh khan 0 < r < Izi < R <00 Zen m(Jt

mi~n nhi lien D khong chaa dilm 00, wii bien trang C1 va bien ngoai C2 saD cho

Izi= R tUdng ling vdi C2.

GlJi S Za difn tich (trong) cila tq.p mi'J do C2 baa blJc, s Za difn tich (ngoai)

cila tq.pdong do C1 baa blJc.

Khi do, ta co

Being thac xlly ra <=>j(z) =az + b vdi cac hling sa a, b, a::/:O.

Chung minh: Xem chung minh trong [4, tr.2I2], ho~c [11, tr.6]

-Tli b6 d€ nay ta suy ra ba h~ qua ra't quail tn;mgd6i voi PBHBG mi€n nhi lien: H~ qua 3.1 (djnh nghia modun mi@nnbj lien)

I

I

I

I

Gill sa mi~nnhi lien D qua cac PBHBG j va 1; bien Zenhai hlnh vanh khan

H:r<I~<R,

HI :rI <IWII<RI.

fJH.J<H.Tlr Nt-HEN

TH-U \tIEN

Khi d6

R _RJ

r rJ

Ty s5 nay gQi Zam6dun cila mi~n nhi lien D va dllf/CkY hi~u Za mod(D).

Chung minh.

X6t hai PBHBG 101;-J mi€n HJ leD H va 1;01-1 mi€n H leD HJ' Tli b6 d€

3.I,tasuYfa

(~r ~(~' r va (~r s(~l Tlid"o -=R R

! -r rJ

H~ qua 3.2 (Hnb bilt bie'n cua modun mi~n nhi lien)

Ne'u mi~n nhi lien A c6 cac thank phdn bien kh6ng thaai h6a thanh milt diim dllf/Cbie'n baa giac dan di~p Zenmi~n nhi lien B thz

Chung minh

GQi1 la PBHBGddn di~p mi€n A leDmi€n B X6t hai PBHBG g mi€n A leD hlnh vanh khan A' : lj < Isl < RJ va h mi€n Bien hlnh vanh khan

B' : rz < ItI < Rz Tli h~ qua 3.1, ta suy fa

mod (A) = RJ va mod (B) = Rz.

GQi cp= hot thl cp la PBHBG ddn di~p mi€n A' leD mi€n B' Khi d6 do b6 d€

3.1, ta c6:mod(A) = RI = Rz = mod (B)

H~ qua 3.3 (Hnb ddn di~u cua modun mi~n nbi lien)

Gia sa cac mMnnhi lien D va DI vfJimodun tlldng ang R va !!J ,co tinh

chat D c DJ va D ngdn cach hai thanh pht1n bien cua DJ' Khido

R~RJ

r 1j

(3.3)

Diing thuc xay ra khi va chi khi D == DI'

Chung minh

Xet f la PBHBG don di~p DI len hinh vanh khan HI : 1j < Iwl < Rl' Khi do

mi€n nhi lien D(c D1) qua phep bien hinh f se trd thanh mi€n nhi lien H voi

bien trong CI (CJ baa quanh ho~c trimg duong troll Iwl=1j) va bien ngoai Cz (duong troll Iwl=RJ baa quanh ho~c triing Cz).

GQiS la di~n tich (trong) cua t~p md do Cz baa bQcva s Ia di~n tich (ngoai) cua t~p dong do CJ baa bQc

Ta co,R- Ia mo un cua' Ad ? H va t eo 0 e' h b.:!d); 3 1

r

~ ~(~)z

M~t khac, ta co ba't d£ng thuc hi~n nhien

s ~ trR}, s ~ 7rrJz.

Dodo

(~:r 2 ~ 2(:)'

Tit d6 c6 (3.3) vdi d£ng thlte xay fa <0>( ~,)' = ~ = (~ r

Theo b6 d€ 3.1,CJ vaCz phai la duong troll Iwl= 1j va Iwi = RI' tuc la D ==DJ8

? ,

Bo de 3.2 (md rQng b6'd~ 3.1 cho PBHKABG bdi Thao)

Gid sa w=j(z) Za mQt PBHKABG hinh vanh khan 0 < r < Izl< R <00 Zen

mQt mi~n nhi lien D khong chaa diim oc>, vdi bien trong C] va bien ngoai Cz saD cho Izi = R tudng ling vdi Cz.

Gri S Za di~n rich trong cila ti7p md do Cz baa brc, s Za di~n rich ngoai cila

t(ip dong do C] baa brc.

Khi do, ta co

Ddng thac xdy ra ~ j(z) =a Izli lz + b vdi cac hang so' a ("*0) va b.

Chung minh: (Thao[14], tr.521)

R5 rang tan tl,limQt PBHBG t = g(w) bie'n mi€n D leu mQt hlnh vanh khan

1J< ItI < R] sao cho Cz tu'dng ung vdi du'ong troll ItI=Rl' Ap d1;mg be) d€ 3.1 cho

phep bie'n hlnh ngu'<;lcg-], ta co

trong do d~ng thuc Kayra ~ w=g-](t) = a/ + bl' vdi cae h~ng s6 a]("*0) va b].

M~t khac phep bie'n hlnh h<;lp t =gf(z) Ia mQt PBHKABG hlnh vanh khan

r < Izi< R leu hlnh v~lllhkhan 1J< ItI< R].

hK - -(-) 1

gf( -) I' A

PBHKABG b' K

1< Iz/ < R leu 1 < It I< R] , nen theo (2.2) va (2.6) ta co:

1

~?

(

R ) K,

r1 r

trong do d~ng thuc xay ra <=>t(z) =elzlTlz, lei= 1,

hay

1

t = (gofXz) = e-t-lzIK-1 z ,lei = 1.

rK

Ke't hQp ba"t d~ng thuc vua neu voi (3.5) ta duQc (3.4) voi ke't lu~n v€ kha

d:t h~

d~ 'ica1 b b .

nang xay ra ang t lic trong 0 a =~, = I

rK

3.2 Cae ham phI}T{p,r,s) va R{p,r,s)

Cac ham s6 tht!c

1= T(p,r,s)

r = R(P, I, s)

(O~s<r<I), (0 ~ s < t < 1),

pEN, duQCdinh nghla sao cho hlnh vanh khan r < Izi < 1 tudng dudng baa giac voi hlnh vanh khan s < Iwl< 1 bi dt dQc p do;;tn(hlnh 3.1)

F; ~ {w s ,; 11<1 ,; t,argw ~ j 2;} (j=O,l, ,p-I).

z

Hlnh 3.1: PBHBG r < Izi< lIen s < I~ < 1 bi dt dQc p(= 2) do~n.

Do tinh ddn di~u cua modun mien nhi lien (xem h~ qua 3.3), ta co cac tinh cha"t

sau cua ham T(p, r, s) va R(P, I, s):

r < T(p,r,s) < I (0~ s < r < I), (3.6)

Nho cae c6ng thuc cua [10, tr.295], [13, tr.l0l-l04], ta tlm du<jcbi~u thuc cua

R (p, t, s) nhusau:

{

-ltK'(tP)

}

R(p,t,O) = exp 2pK(tP) (0 < t < 1,pEN), (3.14)

voi

I

K(k) =

J ~0 (1- x2)(I- dx k2x2) , K'(k) ~ K(.JI- k' ),

va voi 0 < s < t < 1,pEN,

{

-ltK'(U)

} R(p,t,s) = exp 2pK(u) , (3.15) voi U = 1+ h - Jh(2 + h) , trong do:

h =(1- k)(l- ak), k = 4sPIT

[

1 + <pj

]

4,

k(1 + a) j=l 1 + S4PJ-2p

a = sn ( b + i 2~b In ~, k ) b = K(k) ,

d day sn(z, k) chi sin eliptic voi tham s6 k.

Vi~c tinh toaD K(tP) va K'(tP) ([13, tr.1l7], [19, tr.177]), cho

1

T(p, r, s() > T(p, r, S2) (0 SI < S2 < r < 1), (3.7)

T(p,r(,s) < T(p,r2's) (0 s < lj < r2 < 1), (3.8) T(p, r, s) < T(1,r, s) (0 s < r < 1,P 2), (3.9)

s < R(p,t,s) < t (0 s < t < 1), (3.10)

R(p,tl,s) < R(p,t2's) (0 S < tl < t2 < 1), (3.11)

R(p,t,sl) < R(P,t,S2) (0 SI < S2 < t < 1), (3.12)

R(p,t,s) > R(1,t,s) (0 s < t < l,p 2), (3.13)

2

tr

l-R(p,t,O) ~ 8

2p In p(l- t)

khi t ~ 1 (3.17)

Nho [13, tr.l02-105], ta cling chi fa bi€u thuc cua T(p, r, s) nhu'sau:

1

[

4

T(p,r,O)= 4PrfI 1+ r4pj

]

p

j=l 1 + r4pj-2p

(O<r<I,pEN), (3.18)

{

a

}

(p, , ) P 2pK(k) 1 ~(l-x')(l-k'x') ,

0 < s < r < 1,pEN , v~i K(k) nhu' tfen,

(3.19)

[

1 + r4pj

]

4

k + m ' 2h(1- k) , D 1 + r4pj-2p

Tli bi€u thuc cua T(p, r,O)ta d~ dang tha"yding

1

T(p, r,O) < 4P r (0 < r < I, pEN) (3.20)

Vi v~y, nho (3.6) va (3.7) c6

1

Tli d6 sur fa

Vi v~y nho (3.10) va (3.12) c6

Tli d6 sur fa

limT(p,r,s) =r (0 s < r < 1). (3.22)

p-+oo

Mt khac tU (3.20) c6

1

R(p, t,O) > 4 p t (0 < t < I, pEN). (3.23)

lim R(p, I,s) = I p-+oo

(0 ::; s < I < 1). (3.25) Han nua, ta nh~n duQc tit (3.16) va (3.17)

khi r ~ 0 , va

{

2

}

khi r ~ 1.

3.3 Cae b6 d@khae

B6 d~ 3.3 (md rQng mQt ba't diing that Grotzsch bdi Thao)

nlim Iren cae duiJng Iron dong lam 0 saD cho D Irung vdi chfnh no blJi phep quay

,27r

1-Z = e Pz, f la PBHKABG miin D len miin E nlim trong m(it phdng phac

0 < Iwl < 1 saD cho duiJng tron Izi = R tUdng ang bien trong C] gidi h(;m blJi mQt t(ip dong chaa gdc tQa dQ, duilng tron Izi = 1 tUdng ang bien ngoai C2 Hdn nila,

,27r

1-gid sa E trung vdi chfnh no blJi phep quay W = e Pw

Khi do

vdi

m1=min{lwllw E C1}

(~ 0),

va T(p,r, s) la ham ph{/-du(lc dinh nghia Irong phdn 3.2.

Ddng thuG xdy ra ~ fez) =fo(z) = ah(t), lal = 1, t = blzlK-1z, Ibl= 1, h za

PBHBG hinh vimh khan RK < ItI < 1 Zen mi~n nhj lien P saD cho ItI=RK tUdng ring vlii

c,~ {wiIWI= m,} u{wm, ,; 1»1'; M"argw ~ j 2; },

j = O,I, ,p -1 va ItI = 1 tUdng ring vlii Cz = {wJlwI= I}.

Chung minh: Bfftd~ng thuc (3.28) vdi K=1 va C2 la duong troll Iwl=1 la mQt d.;mg khac cua bfft d~ng thuc Grotzsch [6], tr 372 khong trinh bay chung minh Ngo Thu Luong [11], tr.I8 da chung minh d mi bfft d~ng thuc (3.28) cho tru'ong

hQp da lieU cua Grotzsch va trlnh bay h;li [11, tr.33] stf ma rQng cua Thao[14],

tr.63 thanh b6 d€ 3.3

B6 d~ 3.4

Gid sa D Za hinh vanh khan Q < Izl < R trit pn (p E N, n E N u {v})nhat cdt ndm tren cac duong trim dang tam 0 saD cho D trung vlii chinh no bai phep

.2"

quay Z =e'f; z, f ZaPBHKABG mi~n D Zenmi~n E ndm trong mijt phdng phac

0 < Iwl < 00 saD cho duilng trim Izl=Q tUClngring bien trong C] gilii h~n mQt ttJ-p

dong chaa goc tQa dQ, duilng trim Izl=R tUdng ring bien ngoai C2 Hdn naa, gid

,z"

1-sit'E trung wJi chinh no bai phep quay W =e P w Khido

> mIl

]

T[P.(R) 'M,

(3.29)

vlii

mj = min{lwllwE Cj}, j = 12, ,

M2 = max {IWIIw E C2}

va T(p, r, s) Zaham ph,! dl1(Jc dinh nghfa trong phdn 3.2.

1

Dllng thac xdy ra <;:::)fez) = fo(z) = aH(t), lal = 1, t = blz/K-l z, Ibl= 1, H Za

PBHBG hlnh vanh khan QK < It1< RK Zenmiin nhi lien P' saD cho It1= RK tl1dng ilng v{ti

I

j=O,l, ,p-l va Itl=QK tl1angilngv{ti C] ={wllw1=m1}.

Chung minh: Xem chUng minh trong [20, tr.16], ho~c [11, tr.35]

-B6 d~ 3.5 ("D~o ham" cuahamngu'fjc cho PBHKABG)

V{ti cac kY hi~u dl1a vao 11m,!c 2.3, gid sa w = fez) Za PBHKABG cua miin chaa z = 0 v{ti f(O) = 0 va m'(O,f) > O Dt;it g = 1-1, ta co:

1

1

Chung minh:

Lffy R > 0 dii be, d~t CR= {z: Izi= R} va c~ =/(CR), r6 rang

t6n t~i WI E C~ va Zl E CR sao cho

m(R,f) =Iwl! = !f(ZI)!= r (r>O).

D~t Lr = {w: Iwl= r} va L; =g(Lr)

Vi L; n~m trong Izl:::;R, ta co

M(r,g)=lg(WIX=lzJ/=R.

Do do, tu m'(O,/»O, ta co

'

(0 f) _ I' m(R,f) _ I' r _ I'

[

M(r,g)

]

-K - M *

(0 )-~

Tu'dng tv,

U(y R > 0 dii be, d~t CR = {z: Izl = R} va c~ =f(CR), ra rang

t6n tC;liWz E C~ va Zz E CR sao cho

M(R,f)=lwzl=lf(zz~=r (r>O), B~t Lr = {w: Iwl= r} va L; = g (Lr)'

Vi Izi~ R niimtrong L;, ta co

m(r,g) = Ig(wz)1= Izzi= R,

Do do, ta co

I

M'

(Of) _ I' M(R,f) _ 1' r _ I'

[

m(r,g)

]

-K - *

(0 )-~.

H~ qua 3.4

Cho K=l, ta co m'(O,f)=If'(O~ va M*(o,g)=lg'(o~, phl1ang trinh (3.30) triJ thanh 1f'(0~=Ig'(ofl,